高中數(shù)學(xué)歸納法

第二章推理與證明》＞

2.3數(shù)學(xué)歸納法

第二章推理與廊一~多

.學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.r解一數(shù)學(xué)歸納法的原理.2,能用數(shù)學(xué)歸納法證明

一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.

第二章推理與證明〉

預(yù)習(xí)察▲自主學(xué)習(xí)研讀?思考?嘗試,

新知提煉“

數(shù)4力I納法

一般」也，證叨一個(gè)上正整數(shù)〃仃關(guān)的命題，“取卜列*牌進(jìn)行:

他（〃oWN'）

（1）（UI納莫掂）'葉明力〃取第-個(gè)修時(shí)命

題成".；

n=k(kNn。,A:6N)

?1納遞推）假3【義L肘命題成M,

n=k+l

證叨時(shí)命題也成％

只此完成這兩個(gè)少吸,就唱以斷定命題時(shí)從小開(kāi)始的所仃力坐

數(shù)〃都成M.

卜一述證明小法叫做數(shù)學(xué)歸納法

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明》＞

名【師〕指［津

1.數(shù)學(xué)1納法是一種白:接證明的方法,一般生，與正整數(shù)有關(guān)的

恒等式、不等式、數(shù)的整除、數(shù)列的通項(xiàng)及前〃項(xiàng)和等問(wèn)題都

可以/目數(shù)學(xué)歸納法證明,但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問(wèn)題都能

用數(shù)學(xué)歸納法解決.

2,第一個(gè)值小是命題成立的第一個(gè)正整數(shù)，并不是所仃的第一

個(gè)（直叫都是L

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

3.步驟（2）是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵,歸納假設(shè)“當(dāng)〃=A

（心〃—時(shí)命題成立”起著已知的作用，證明“當(dāng)〃

=A+1時(shí)命題也成立”的過(guò)程中，必須用到歸納假設(shè)，再根據(jù)

有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等推證出當(dāng)〃=A+1時(shí)命題也

成立,而不能宜接將〃一A+1代入舊納假設(shè)，此時(shí)〃一A+1時(shí)命

題成立也是假設(shè),命題并沒(méi)有得證.

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

自羲嘗試,

Q判斷正誤（正確的打“，錯(cuò)誤的打"x”）

（1）與正整數(shù)〃有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.

（）

（2）數(shù)學(xué)歸納法的第--步小的初始值一定為1.（）

（3）數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可.（）

答案：(1)X(2)X(3)V

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

2用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸〃邊形的內(nèi)角和等于（〃一2）7T”時(shí),

歸納奠基中〃。的取值應(yīng)為（）

A.lB.2

G3D.4

解析：選C.根據(jù)凸〃邊形至少有3條邊,知〃三3,故〃。的取

值應(yīng)為3.

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

□用數(shù)學(xué)歸蝌法前嵋等式1+2+3+-+(.w+3)=

C^+3)Cw+4)《布丘鑿)時(shí).第一^驗(yàn)證露=1時(shí)涉左邊應(yīng)

取地項(xiàng)是()

41Bd+2

C.l+2+3D4+2+3+4

答案案D

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

?用數(shù)學(xué)歸納法證明1+:+:++」.5(舞EN.且心1)

21

第一步要證明的不等式是/肽舞=百到I盤=面+1

時(shí)繆左端增加了項(xiàng).

愣卷h當(dāng)翦一工制11+|+|<2,

當(dāng)蠹三t晡翌篝21項(xiàng)，

蹴到篥2w-i

2W-1-(2^-1)=2w-2=20歲一好

答案一十|十|<2譽(yù)

欄目

導(dǎo)引

搽宛點(diǎn)E用教學(xué)掃射施證喇等式

iMl)用教學(xué)期納法述明11X4+2X7+3X11+-+?(3w+l)

=麴(w+1)%其中舞EBI：

E證明】C1)當(dāng)雅=1時(shí)，左邊=1X4=4享右邊=1X2*=%

左邊=右邊,等式或直

b)假羲當(dāng)再=豢(靠EN。時(shí)等就g售

W1X4+2X7+3X10+―+t(3*+1)=*(1+1)%

那么當(dāng)露=巔+1時(shí)期

lX4+2X7+3X10+-*+t(3*+1)+0+11J3(&+1)+1]

=JtQ+1)量+0+1)p(t+1)+1]

=(fc+1)tf+<+4)=(t+1)[(t+1)+lf,

即當(dāng)箴=女+1時(shí)等貳也成立重

欄目

根據(jù)Cl)和(2)可知等式就任何府MN”都成立導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

方法歸納

川數(shù)學(xué)廠I納法注明等式的方法

：’著京氐兩應(yīng)屆麻送統(tǒng)鼠才/質(zhì)的薪看出3曲;

一看）---；項(xiàng)的多少與幾的取值是否有關(guān)，由幾二人至?。輲?及+1時(shí)，

:等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)

X_/

，熏底a渤幾工+i證而無(wú)字疊花展血命植被威塞

透螭Q構(gòu)相同的形式

0>-，法■豆面」然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過(guò)恒等變形，得

、纓足”「：:‘到到結(jié)姑論膿所需的他形式

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

證瞬,(1)當(dāng)豳=1時(shí)膏有中堡成立.

1X3

欄目

導(dǎo)引

區(qū)」跟躁訓(xùn)練用數(shù)學(xué)歸納法證明:第二章推理與證明〉

I222〃2〃(〃+1)

1X3+3X5*1(2/z-l)(2/z+l)~2(2/z+l)*

(2)殿贊當(dāng)k酎等式成意即:+獲ii+

1(t+1)

i+1+

0=1)(>+1)2C>+1)步哪疊疊?=毗1X3

爐,金皿事,爐_________?《■+?》"_

3X5十…+(?-1)m+1)i+0+1)0+3)=

1(t+1)(1+1)3_(t+1)(i+2)

2(2t+l)+(2t+l)《21+3》—=-20+3)―%

W當(dāng)曜=t+里酎等馳蹣之欄目

導(dǎo)引

由(1)(2)可藉對(duì)于任意的理卷十號(hào)式簿或或

提輟點(diǎn)2期教學(xué)封物被鐮囑不等式第二章推理與證明》>

例2；索證累…《維登第露&

舞十1露十25B?

r證明］(i)當(dāng)舞=z時(shí),左邊="：+：￡=*故左邊

J45ow

A右邊,不等式成.正

(2)假設(shè)當(dāng)翳=A(&^2S&er)時(shí)不等式成立，即

i+i+i+2+***+i>l5則當(dāng)彈=11時(shí),

1I1

+--J-SttM——I-----------p

(i+D+i(^+1)+23i3i+l34+2

1i

11J"---------------*=|=V?*?=|=--------L-

3(1+1)*+11+2十黛十

111

l3i+l+'3i+2+'3A+34+l.J>i+

f1+——1kT

13命+1怎黛+魯舞+3i+1/%欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

m.__1~~~1~—1~?一

w

1

由m

只髭毓(?+2)C?+3)+《麟+a(?+3)+C?+l)(?

+2)—3(?-H)(?+2)委做

M?ffei^+lSt+f)+《南+寬+3)+(rf+fl+2)—

(2T^+27t+?)

MWttSi+5>?.最熟蹣邕

解叫當(dāng)麴=1+&毗看等或豳霸或

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

所眺當(dāng)踴=蠹41腦期不等或也虛或

*(1)(2)翊飆原不等式鬻一?糠奏飄藕莞甯燧娥直

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

反【思【提】升

川數(shù)學(xué)加納法證明不等式問(wèn)題的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)

關(guān)鍵驗(yàn)證第1個(gè)孔的取值時(shí)，要注意即不一定為1,

氤二J?若條件為n>k9則7i0=^+l

證明不等式的第二步中，從九二人至U幾二人4的推導(dǎo)

關(guān)鍵

過(guò)程中，一定要應(yīng)用歸納假設(shè)，不應(yīng)用歸納假設(shè)

點(diǎn)二

的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)槿鄙佟皻w納遞推”

:應(yīng)用而正國(guó)屣篇「春虛明》獲宗加漏:司臬用芬

?析法證明n=k+\時(shí)也成立，這樣既易于找到證明的

點(diǎn)三:突破口，又完整表達(dá)了證明過(guò)程

:證明幾M+1成立時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)目標(biāo)意識(shí)，即要證明

關(guān)鍵

:的不等式是什么，目標(biāo)明確了，要根據(jù)不等號(hào)的

點(diǎn)四

?方向適當(dāng)放縮，但不可“放得過(guò)大”或“縮得過(guò)小”欄目

、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一____一一一一一一一一一一一一?導(dǎo)引

國(guó)堡蹤訓(xùn)練用藪學(xué)歸納法證明:

$+$+$+…+}<!,一；(鑫參嘉雅￡可購(gòu))取

證明歲(1)當(dāng)器三重時(shí)，

alI_..喻dI

五1J超口爐二手CIlAi=1一/=I

因?yàn)?4所以不等式成宜

通》假談翔=矗盤&EM)時(shí)*

不等式成立，

即31京+.+“*+5<1

顛當(dāng)蠹=*+1暗安

1,.1,1.1.1-1口1—

譽(yù)田源十矛十B四十嚴(yán)中飛百/VI一三431^一工1f一

<1+1>^+Mk(t+1)i_1

&(i+D(*+l)-豳《1+1》鬻f-QP

廝以當(dāng)瓣=1+1時(shí),不等式假2

繪上>讖修瞽使意嘉沁觴正音善不等或藩或堂欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明》

探究點(diǎn)3!H納——猜想——iiljyi

KSHffl￡”阿/瑜F臀寓產(chǎn);京如擲鼠逸f.（=lw

例3己知數(shù)列的前”項(xiàng)和為IL1,S”

①燧F魁M趣三電十畛二供z-崛饕物4N量二’十號(hào)與國(guó)

（/；C\）.

^瞅*聞尸趣"h?#稼尸§叫》電萼燃n1w忐=」十，十?？诓?/p>

（1）'號(hào)出S，S3S‘S」,并猜想S,的衣達(dá)式;

空嬲=4厥a檢=峋十—十與十時(shí)=1百/jy'腳啊聲施q蠲

（2）用數(shù)學(xué)III納法詛叫你的猜想,并求出“”的友達(dá)式.程編個(gè)印?“

金貳十1

然下呵陽(yáng)麟座原陶雄■制遺麟吸鬣電

舞n孵n就閃鬻薄誦露晦寇-

蘸曦當(dāng)徽=t（1M,噩eO的籍通盛宣期即贏=^方

則當(dāng)懣=好1毗品+廣d+11％血=(>+*1)1€%MF)

斯瓶cf+?）&產(chǎn)c.m）演產(chǎn)Ci+i）打爵

10+1)

W6A的M產(chǎn)t+l辱

微當(dāng)0^1+1時(shí)鋁知漁虞鬣，

由0麗知靜對(duì)于在慧的蚱格都看民產(chǎn)冷

3?^1.1JL

欄目

Z導(dǎo)引

因?yàn)槭筘尉?#腳鼠J

勰C?+1)

第二章推理與證明

回法歸

印倩想iiE叫”的一般少驟

:根據(jù)條件，準(zhǔn)確計(jì)算出前若干項(xiàng)，這是

計(jì)算

:歸納、猜想的基礎(chǔ)

歸納

通過(guò)觀察、分析、比較、綜合、聯(lián)想,

、猜想出一般的結(jié)論

猜想

證明對(duì)一般結(jié)論用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明:

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

.當(dāng)堂檢測(cè)，

1.一個(gè)大門'1然數(shù)〃的命題，如梟證得1時(shí)命題成并

任侶"、七〃A（A、1|[A，、）時(shí)命題成M的匪礎(chǔ)上，證明」'

A+2時(shí)命題成'九那么綜介k述,對(duì)廣（）

\?切正整數(shù)命題成。

B.一切正奇數(shù)命題成。

CT”正偶數(shù)命題成立

D.以上都不對(duì)

■析：選B.本題證明了當(dāng)〃=1,3,5,7,…時(shí),命題成立,

印命題對(duì)一I為正奇數(shù)成立.A,C,D不正確.

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

2.川數(shù)學(xué)UI納Mill叫“1+〃；2+…+M；時(shí)’山""

〃十

+1,不等」弋左邊的變化是

川濟(jì)川2（/\）.項(xiàng)

BM皿Ji"/'兩項(xiàng)

和2/3網(wǎng)弧同網(wǎng)減少J1-頂

（,邪叫A+1

D,以上結(jié)論都不正確

欄目

導(dǎo)引

3勒求證r十：士!』…十白1>：《嘉仁4）」第一早推理與證明—》

證明:①當(dāng)『1時(shí)，左邊=L右邊M/所以不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)耀=蠢（蠢2L蠢巨N）時(shí)不等式成立歲

t1111

則當(dāng)舞=上+1時(shí)浮1+尹，+…+^^+沙丁+1+7-*+2+…+

1.i,1,1

?>2+Fi+l+2i-1+2++去>與+$+玄+""+'=，+

所以當(dāng)理=4+1時(shí)，不等式成立.

由①②可知l+|+1d-----H^I>2（源6ND成立.

第二章推理與證明〉

國(guó)理尊避已知蒙到｛/精足鼠+%=加+]

(1.)寫出勰京轆型姆攀摧疆％的表達(dá)式胃

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

②殿贊當(dāng)嬲teO耐縉豳或應(yīng)解哪崛=爵一土舞

。禽牛喉手叫時(shí)+—睡=@C#+l)+1^

-w

rt*l=4~^所嬲赧1=2一漂1鬻

由府于隹意正版B第畿都成m

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

規(guī)范解答數(shù)學(xué)一納法的應(yīng)用

典例（本題滿分12分）給個(gè)等式:

11,

1—4—（112）,

1-4+91+2+3,

1-4+9-16-(1+2+3+4),

（1）口重第5,6個(gè)等」弋，并煢測(cè)第〃（〃■、）個(gè)等」弋;

（2）川數(shù)學(xué)?“納法i正叫你精測(cè)的等式.

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

【解】（1）第5個(gè)弋:1-4I9—16+251+2+3+4+5,

（1分）

第6個(gè):；」弋:1—4I9—16+25-36—（1+213I4I5卜6）,

（2分）

第〃個(gè)等」弋為:I2—22+32—424----卜（—1）"ln~

（—1）"1（112+3+—）//）.（4分）

批注

___________A.__n___

（y

?確一測(cè)此結(jié)論,是本題的居礎(chǔ).

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

(2)ffflt尬當(dāng)翻二1酎.左邊二1甥二3

右邊=(->>?X1=1,左遨=右池步等式成年(6?

(7?

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

C—1)取(1+1)I0+1)一寺

《QH.》『《魁".》+好

<?=

C------?(1)版C1+1+3++B+1)F(1??

?=k到B~t+

1蜷率藏為

WB?=t+l簪式噩球直(11?

(12?

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

I規(guī)范與警示/

(1)應(yīng)用數(shù)學(xué)I八納法時(shí)，M按口訣“遞推居礎(chǔ)不可少，「納假

設(shè)要用到，突/舊式明依據(jù)，總結(jié)定論莫忘掉”來(lái)檢短要點(diǎn).

(2)在數(shù)學(xué)列納法應(yīng)用中，要明確「〃A+1時(shí)，等式兩邊的

式「?！ˋ?時(shí)券苴兩邊的式廣的聯(lián)系，增加的項(xiàng)為(-1)A

(A+1)?,這樣才可正確求解.

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明

.當(dāng)堂檢測(cè)“

1.一個(gè)大門'1然數(shù)〃的命題，如梟證得丁〃1時(shí)命題成并

任侶"、七〃A（A、1|[A，、）時(shí)命題成M的匪礎(chǔ)上，證明」'

A+2時(shí)命題成'九那么綜介k述,對(duì)廣（）

\?切正整數(shù)命題成U

B.一切正奇數(shù)命題成。

CT”正偶數(shù)命題成立

D.以上都不對(duì)

小^選B.本題證明了當(dāng)〃=1,3,5,7,…時(shí),命題成立,

即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立.A,C,D不正確.

欄目

導(dǎo)引

第二章推理與證明〉

2.川數(shù)學(xué)UI納Mill叫“1+〃；2+…+M；時(shí)’山""

〃十

+1,不等」弋左邊的變化是

川濟(jì)川2（/\）.項(xiàng)

BM皿Ji"/'兩項(xiàng)

和2/3網(wǎng)弧同網(wǎng)減少J1-頂

（,邪叫A+1

D,以上結(jié)論都不正確