高中數(shù)學(xué)公式及知識點(diǎn)速記總結(jié)大全

高中數(shù)學(xué)公式及知識點(diǎn)速記

一、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)X］、x2￡<%2那么

/(X,)-)<0o/(X)在句上是增函數(shù)；

/(x,)-/(x2)>0o/(x)在［。向上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若/'(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；若/'(x)<0,則/(x)為減

函數(shù).

2、函數(shù)的奇偶性

對于定義域內(nèi)任意的X,都有/(—x)=/(x),則/(x)是偶函數(shù)；

對于定義域內(nèi)任意的x,都有/(—x)=—/(x),則/(x)是奇函數(shù)。

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

3、函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=/(x)在尸(/，/(/))處的切線的斜率/'(x0),相應(yīng)的切線方

程是y-%=f'(x0)(x-x0).

*二次函數(shù)：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-二h,4-cic—b~);(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(一b二，A-cic—h~+l)

2a4a2a4a

4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①C'=0；②(x")'=nx"T；③(sinx)'=cosx；?(cosx)=-sinx；

⑤(a*)=avIna；⑥(e")'=e"；⑦(log“x)'=----；⑧(lnx)'=—

xlnax

5、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

.U■uv—uv-

(I)(H+V)-U±V.(2)(MV)=Hv+t/v.(3)(—)=-------(v^0).

VV

6、會(huì)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值

7、求函數(shù)y=/(x)的極值的方法是：解方程r(x)=0.當(dāng)/'(%)=0時(shí)：

⑴如果在,附近的左側(cè)廣(萬)>0,右側(cè):(x)<0,那么/(&))是極大值;

(2)如果在鼻附近的左側(cè)廣(x)<0,右側(cè)廣(x)>0,那么/(&))是極小值?

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

分?jǐn)?shù)指數(shù)第

(1)a"=(.a>Q,m,neN*,且〃>1).

nt1

⑵a~(a>D,tn,neN*,且〃>1).

m2——

nlJ)I

6

根式的性質(zhì)

(1)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，而=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，=}a\=\a'a~^

-a.av0

有理指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)

(1)a-as=ar+s(a>0,r.seQ).

(2)(優(yōu))'=a"(a>0,r,5G2)-

(3)(ab)r-arbr(a>0,Z?>0,re(2).

注：若a>0,p是一個(gè)無理數(shù)，則球表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)福的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)

指數(shù)森都適用.

.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：log“N=boab=N(a>0,a于T,N>0)

logN

.對數(shù)的換底公式:log“N=一如一(。>0,且awl,〃2>0,且WHI,N>0).

log,”。

對數(shù)恒等式："ogdnN(a>0,且aHl,N>0).

推論loglog”>(a>0,且awl,N>0).

"m

二'三角函數(shù)、三角變換、解三角形'平面向量

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

qin

sin2^+cos2。=1,tan9=----.

cos。

9、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)

左乃士a的正弦、余弦，等于a的同名函數(shù)，前面加上把a(bǔ)看成銳角時(shí)該函數(shù)的符號；

攵乃+4TT±2的正弦、余弦，等于a的余名函數(shù)，前面加上把a(bǔ)看成銳角時(shí)該函數(shù)的符號。

2

(l)sin(227T+a)=sina,cos(227r+a)=cosa,tan(2Z/r+a)=tana(Z￡Z).

（2）sin（乃+a）=-sina,cos（%+a）=-cosa,tan（乃+a）=tana.

（3）sin（-a）--sina,cos（-a）=cosa,tan（-a）=-tana.

（4）sin（〃一a）=sin?,cos（〃一a）=-cosa,tan（乃一a）=-tana.

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

]-a）=cosa,cos（/-a]=sina.⑹sin[]+a]=cosa,cos[/+a）=-sina.

(5)sin

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

10>和角與差角公式

sin（a±/?）=sinacosp±cosasinJ3;

cos（a±/?）=cosacos/?*sinasin￡;

,,c、tana±tan

tan(a±0)=----------i―.

I-tanatan/3

11、二倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2<z-l=l-2sin2a.

2tan。

tanla

l-tan2a

c21c2I+cos2a

2cosa-l+cos2cr,cosa----------

公式變形：_2

2sin2a=l-cos2?,sin2a=~~~；

12、函數(shù)y=sin（0x+0）的圖象變換

①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移Ml個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin（x+e）的圖象；再將函數(shù)》=$畝（為+夕）

的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)3；=5皿（3+0）的圖象;

CD

再將函數(shù)〉=5皿（5：+夕）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

y=Asin(69%+^)的圖象.

②數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的工倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

（0

\（f\

y=sin3：的圖象；再將函數(shù)》=《110％的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移四個(gè)單位長度，得到函數(shù)

CD

y=sin（（yx+e）的圖象；再將函數(shù)3；=5111（/x+e）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍

（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)^=Asin?x+e）的圖象.

時(shí)，Xnax=1：當(dāng)>max=l；當(dāng)X=2Z乃+%

x=2k7v--(ZeZ)時(shí)，WL-1.

2

時(shí)，

(kwZ)yn,n=-l.

周期性2兀27r71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

/er?！?/p>

在2k九---—

.22.

在［2&乃一肛2人；r］(&€Z)上是增

在(左萬一工，%乃+工］

(%eZ)上是增函數(shù)；在

122)

單調(diào)性函數(shù)；在［2左1,2&乃+句

2k/r+—,2k7r+—(女eZ)上是增函數(shù).

_22_(&EZ)上是減函數(shù).

(%eZ)上是減函數(shù).

對稱中心(左4,0)(女GZ)對稱中心(2?+],())(%GZ)

對稱中心(―^一,())(2￡Z)

對稱性

對稱軸X=%)GZ)

對稱軸x=k7r(kGZ)無對稱軸

14、輔助角公式

y=asinx+Z?cosjc=Ja2+Z??sin(%十0)其中tan夕=2

a

cihc

15.正弦定理：/一=-^=」一二2H(R為AABC外接圓的半徑).

sinAsinBsinC

<=>a=2/?sinA,h=27?sinB,c=27?sinCOQ:b:c=sinA:sinB:sinC

16.余弦定理

a2=b2+C2-2bccosA,b2=c2+Q?-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.

17.面積定理

(1)S=；血=gbhb=gc%(%、1”、兒分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S=—absinC=—bcsinA=—easinB.

222

18、三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，有A+B+C="oC=4一(A+8)

。?=七—^±^=2。=2乃一2(4+8).

222

19、々與3的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a-b=\a\\b\cos0

20、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)A(X|,y),B%,%)，則鉆=03-04=(%2-司,當(dāng)一了1)?

(2)設(shè)a=(%,%),b=(x2,y2),^a-b=x｛x2+yty2.

(3)設(shè)a=(x,y),則,卜^x2+y2

21、兩向量的夾角公式

設(shè)a=(X]，x),5=(/,%)，且)。則

c0s6==；.(a=(x,y),b^(x,y)).

|a||b|舊+y：.收+y；ll22

22、向量的平行與垂直

設(shè)。=(王，必)，〃=(%，力)，且人h0

allbb=Aaxty2-x2yt=0.

a±b(a*6)=a.B=0ox1％=0.

*平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)&=(X],y。，。=(x2,y2),則a+b=(x,+x2,yi+y2).

⑵設(shè)a=(%,%),6=(%2，必)，則4-〃=(%-ZB-%).

(3)設(shè)A(X1,y),B(x2,y2),則AB=OB-OA-(x2-xpy2-y,).

(4)設(shè)a=(x,y),2eR,則2a=(Zx,2y).

(5)設(shè)a=(X],y),/?=(々,)2)，則a?b=%,%2+^y2.

三'數(shù)列

23、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

sPn—1

an=\(數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)的和為s“=4+々+…+勺).

24、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=4+(〃-l)d=+%-d(nGN*)；

25、等差數(shù)列其前n項(xiàng)和公式為

_〃（4+%）心一1）jd2/1

i）?——fLCL\ia=-n+(。]——a)n.

2222

26、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=a{q'^'=--q'\neN*）；

q

27、等比數(shù)列前n項(xiàng)的和公式為

幺匕A-

\-q或s“=<\-q

叫

nax.q=\,q=1

四、不等式

28、土土2NJ藥。必須滿足一正（x,y都是正數(shù)）、二定（孫是定值或者x+y是定值）、三相等（x=y

2

時(shí)等號成立）才可以使用該不等式）_

（1）若積孫是定值0,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2J萬；

（2）若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積呼有最大值,52.

4

五、解析幾何

29、直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)-y^Kx-x^（直線/過點(diǎn)片（對凹）,且斜率為我）.

（2）斜截式y(tǒng)=Ax+O（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點(diǎn)式2——="~（%一%）（4（西，弘）、鳥（工2，%）（玉力々））,

必一x々一%

（4）截距式巳+2=1（%h分別為直線的橫、縱截距，a、。/0）

ab

（5）一般式Ar+3y+C=O（其中A、B不同時(shí)為0）.

30、兩條直線的平行和垂直

若4:y=幻+4,Z2:y=k2x+b2

①4=K=&2，々工4；

②4J.Z9u>k[k2——1.

31、平面兩點(diǎn)扁的距離公式

4.8=-5)2+(%-%)2(A(%，X)，B(%2，%))?

32、點(diǎn)到直線的距離

_IAvo+gy（）+cI

d(點(diǎn)尸(x°,y°),直線/：Ax+By4-C=0).

33、圓的三種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（工一。）2+（丁一加2二’.

(2)圓的一般方程x2+/+￡>%+￡>'+F=0(￡>2+E2-4F>0).

…，…一(x=a+rcos6

(3)圓的參數(shù)萬程\.

y=h-\-r^m0

*點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)「（%,%）與圓（%-。）2+。-加2=/的位置關(guān)系有三種

若d=J（a-x（））2+（。_%）2，則d>r=點(diǎn)P在圓夕卜；d=r0點(diǎn)P在圓上；d<r0點(diǎn)P在圓內(nèi).

34、直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+5y+C=0與圓（x—a）?+（y—b）2=/的位置關(guān)系有三利I：

J>r<=>相禺<=>A<0;

d=ro相切<=>A=0；

。<r=相交04>0.弦長=2，/一小

|Atz+Bb+C|

其中〃=

JA2+B2

35、橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)_____

橢圓：￡+￥=1（。>。>0）,a2-c2=落離心率e=3=1々<1,參數(shù)方程是,x=acos0

a~b~aVay=bsin0

一)2

雙曲線：。l(a>0,b>0),c2-a2^b2,離心率e=￡>l,漸近線方程是y=±&x.

a~b2a

拋物線：V2px,焦點(diǎn)(T，0),準(zhǔn)線》=-々。拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離.

36、雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

122

y%y

(1)若雙曲線方程為，=1n漸近線方程:0=y=±—x-

a"/一瓦a

2

(2)若漸近線方程為^=±2*0±±2=0=＞雙曲線可設(shè)為二—―=九.

aaba~b~

X2y2%2y2

(3)若雙曲線與■一4=1有公共漸近線，可設(shè)為三一==九(九＞0,焦點(diǎn)在X軸上，X＜0,

ahab

焦點(diǎn)在y軸上).

37、拋物線V=2px的焦半徑公式

2

拋物線y=2px(p＞0)焦半徑\PF\=xa+-^.(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離。)

38＞過拋物線焦點(diǎn)的弦長=X]+-^+x2+y=Xj+x2+p.

六'立體幾何

39.證明直線與直線的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(4)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(5)轉(zhuǎn)化為面面平行.

40.證明直線與平面的平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線線平行；

(3)轉(zhuǎn)化為面面平行.

41.證明平面與平面平行的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn)；

(2)轉(zhuǎn)化為線面平行；

(3)轉(zhuǎn)化為線面垂直.

42.證明直線與直線的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為相交垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；

(4)轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.

43.證明直線與平面垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

(2)轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;

(3)轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

(4)轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面。

44.證明平面與平面的垂直的思考途徑

(1)轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；

(2)轉(zhuǎn)化為線面垂直；

45、柱體、椎體、球體的側(cè)面積、表面積、體積計(jì)算公式

圓柱側(cè)面積=，表面積=2勿7+2"2

圓椎側(cè)面積=mi，表面積=加7+勿」

%體=；5〃（S是柱體的底面積、。是柱體的高）.

腺體（S是錐體的底面積、。是錐體的高）.

4

球的半徑是R，則其體積V=一兀N,其表面積S=4兀R?.

3

46若點(diǎn)A（X［，X，Z］）,點(diǎn)B（x2,y2,z2）,則

22

d^=\AB\=ylAB-AB=^x2-xy+（y2-yl）+（z2-zi）

47、點(diǎn)到平面距離的計(jì)算（定義法、等體積法）

48、直棱柱、正棱柱、長方體、正方體的性質(zhì)：側(cè)棱平行且相等，與底面垂直。

正棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱相等，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心。

七、概率統(tǒng)計(jì)

49、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

2

平均數(shù)：x=3+/+_當(dāng)，方差：§2=j_[Q]_幻2+(X2-x)+…(X"-x)2]

nn

標(biāo)準(zhǔn)差:S=-/—[(%)-X)2+(x-x)2+???(%?-x)2]

Vn2

50、回歸直線方程（了解即可）

___

za-元）出一刃Ex^-nxy

b=-^—；i-----------

y=a+bx,其中＜fa一可2<2—2.經(jīng)過（亍，歹）點(diǎn)。

/jXj-nx

i=li=\

a=y-bx

Ki=Mac-bdY______

51、獨(dú)立性檢驗(yàn)（a+b）（c+d）（a+c）S+d）（了解即可）

52、古典概型的計(jì)算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來,

不重復(fù)、不遺漏）

八、復(fù)數(shù)

53、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

c+di(c+di)(c-di)c2+d2

54、復(fù)數(shù)z=a+"i的模|z|=|a+4|=J/+〃.

55、復(fù)數(shù)的相等：a+bi=c+di=a=c,b=d.(a,b,c,de/?)

22

56、復(fù)數(shù)z=a+次的模(或絕對值)\z\=\a+hi\=y/a+b

57、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)(a+hi)+(c+di)=(a+c)+S+d)i;

(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i;

ac+bdbe-ad

(4)(a+bi)+(c+di)=c2+d2+c2+d2i(c+di#0).

58、復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律

對于任何Z],z2,Z3eC,有

交換律:z,"z2=z2-Z].

結(jié)合律：(Z1?z2)-Z3=Z]《Z2?Z3).

分配律：Z]?(Z2+Z3)=Z|-Z2+Z]-Z3.

九、參數(shù)方程、極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)

pcos0-x（,22

〈p'=x~+y

55、3inO=y-

tan。:（x工0）

、x

十'命題'充要條件

充要條件（記〃表示條件，q表示結(jié)論）

（1）充分條件：若pnq,則p是鄉(xiāng)充分條件.

（2）必要條件：若q=>p,則〃是4必要條件.

（3）充要條件：若p=>q,且則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

56.真值表原命題

若P則q

非Pp或qp且q

Pq八

真真假真真互

真假假真假否

\/

假真真真假

假假真假假否命題

若［P則［C

十一、直線與平面的位置關(guān)系

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

三個(gè)公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共

直線。

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系