高中數學：8-6空間直線、平面的平行（學案）

第06講空間直線、平面的平行

號目標導航

課程標準課標解讀

1.理解與掌握基本事實4與等角定理，并

能為學習與判定線面平行與面面平行奠定

基礎.

2.直線與平面平行的判定、平面與平面平通過本節(jié)課的學習，要求掌握空間線線、線面、面面平

行的判定；行的判定方法及能應用線線、線面、面面平行的關系的

3.掌握直線與平面平行的性質定理，明確相互轉化來解決空間平行的綜合問題.

由線面平行可推出線線平行；

4.掌握平面與平面平行的性質定理，并會

應用性質定理解決問題.

知識點

一、基本事實4與等角定理

1.基本事實4

(1)自然語言：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(2)符號語言：a,b,c是三條不同的直線，a//h,h//c=>a//C.

(3)作用：判斷或證明空間中兩條直線平行.

公理4表述的性質也通常叫做空間平行線的傳遞性.

用基本事實4證明空間兩條直線a,c平行的步驟

(1)找到直線/7;

(2)證明?！╖?,b//c；

(3)得到?！╟.

2.等角定理

(1)自然語言：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.

(2)符號語言：

如圖(1)(2)所示，在ZAOB與夕中，04〃OS，，OB//O'B',則ZAOB=ZA'O'B'

或N408+NA'O'B'=180°.

圖(1)圖(2)

二、直線與平面平行的判定定理

語言文字平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行.

a

圖形語言

符號語言aQa,bua,且?！╞=a〃a

作用證明直線與平面平行

三、平面與平面平行的判定定理

語言文字一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行

/一/

圖形語言

符號語言aup,bu[J,aQb=P,a//a,b//a=>a//P

作用證明兩個平面平行

【微點撥】

1.要證明兩平面平行，需要在其中一個平面內找到兩條相交直線平行于另一個平面，注意"相交”二字不能

丟.

2.可以通過證明線線平行來證明面面平行.

線面平行面面平行

線線平行線面平行面面平行

的判定定理的判定定理

四、直線與平面平行的性質定理

(1)自然語言：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.

(2)圖形語言：如圖.

(3)符號語言：a"a,au/3=b=>a//b.

(4)直線與平面平行的性質定理的作用

①作為證明線線平行的依據.當證明線線平行時，可以證明其中一條直線平行于一個平面，另一條直線

是過第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條直線與已知直線平行的依據.如果一條直線平行于一個平面，要在平面內畫一條直線與已

知直線平行，可以通過已知直線作一個平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.

五、平面與平面平行的性質定理

(1)自然語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.

(2)圖形語言：如圖.

(3)符號語言：y=a,/3\y=b=a〃b.

【微點撥】

1.已知兩個平面平行，雖然一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面，但是這兩個平面內的所有直

線并不一定互相平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不可能是相交直線.

2.應用該定理證明線線平行.

六、兩個平面平行的其他性質

(1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線都平行于另一個平面.

（2）夾在兩個平行平面間的平行線段相等.

（3）經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

（4）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例.

（5）如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.

【即學即練1】.若=且。4〃。兇，04與方向相同，則下列結論正確的有（）

A.。8〃。百且方向相同B.OB〃。風方向可能不同

C.。8與。聲不平行D.與。內不一定平行

【答案】D

【解析】

【分析】

畫出圖形，當滿足題目中的條件時，出現的情況有哪些，即可得出結論.

【詳解】

解：如圖,

當乙405=/40向時，且04〃。/4,04與0A的方向相同，

03與0/8/是不一定平行.

故選：D.

【即學即練2】如圖，下列四個正方體圖形中，A、8為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中

點，能得出A8〃平面MNP的圖形序號是（）

AM

A.①③B.①④

C.②③D.②④

【答案】B

【解析】①連接AC,AC〃MN,可得出面ACB須MPN；④AB〃PN,

PMN；②③中，AB與面PMN不平行.

【即學即練3】下列命題正確的是（）

A.若直線a在平面a外，則直線a〃a

B.若直線a與平面a有公共點，則a與a相交

C.若平面a內存在直線與平面用無交點，則a//￡

D.若平面a內的任意直線與平面夕均無交點，則a/川

【答案】D

【解析】

【分析】

利用直線a在平面a外的定義，可判斷A；直線a與平面a有公共點，沒說明公共點的個數，可判斷B；平

面a內也可能存在直線與平面￡有交點，可判斷C；利用面面平行的判斷定理，可判斷D

【詳解】

直線a在平面a外，則直線a//a或。與a相交，故A錯；

直線a與平面a有公共點，則a與a相交或aua,故B錯：

C中a與夕可能平行，也可能相交，故C錯；

若平面a內的任意直線與平面夕均無交點，則平面a內的任意直線與平面￡平行，一定存在兩條相交直線與

平面夕平行，則出//，故D正確；

故選：D

【即學即練4】如圖是長方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長方形A8C。為底面,

則四邊形EFG”的形狀為（）

A.梯形B.平行四邊形

C.可能是梯形也可能是平行四邊形D.不確定

【答案】B

【解析】

【分析】

根據長方體的性質，結合面面平行的性質有"G〃所,E7///FG,即知E尸G"的形狀.

【詳解】

由長方體的性質：各對面平行，易知HGUEF,EHUFG,

EFGH為平行四邊形.

故選：B

【即學即練5】如圖，在四棱錐P-ABCD中，A/、N分別為AC、PC上的點，且MNH平面PAD，則（)

A.MN//PDB.MN〃平面卓5C.MN//ADD.MN//PA

【答案】BD

【解析】

【分析】

利用線面平行的性質結合線面平行的判定可得出結論.

【詳解】

因為〃平面R4。，MNu平面PAC,平面PAC一平面R4Z>=R4,，MV〃E4,

K4u平面上鉆，例NO平面上鉆，因此，MN〃平面

故選：BD.

【即學即練6】如圖，空間四邊形ABCD中，E,F,G分別是A8,BC,C。的中點，下列結論正確的是

A.AD//EGB.AC//平面EFG

C.〃平面EFGD.AD,FG是一對相交直線

【答案】BC

【解析】

應用異面直線的定義和線面平行的判定定理逐一判斷選項可得結果.

【詳解】

A：點Ge平面AOC,點G任直線AO,點E任平面AOC,由異面直線的定義可知AO,EG是異面直線，A

錯;

B：AC〃M,由直線與平面平行的判定定理可得AC//平面EFG,答案5對;

C：BD//FG,由直線與平面平行的判定定理可得8D〃平面EFG,答案C對;

D：點Ge平面AOC,點G走直線AO,點尸任平面AOC,由異面宜線的定義可知AO,FG是異面直線，D

錯;

故選：BC.

【即學即練7】判斷下列命題是否正確，并說明理由:

(1)若平面口內的兩條直線分別與平面4平行，則a與4平行;

(2)若平面a內有無數條直線與平面用平行，則a與夕平行;

(3)平行于同一條直線的兩個平面平行;

(4)過已知平面外一點，有且只有一個平面與已知平面平行;

(5)過已知平面外一條直線，必能作出與已知平面平行的平面.

【答案】(1)不正確，理由見詳解.

(2)不正確，理由見詳解.

(3)不正確，理由見詳解.

(4)正確，理由見詳解.

(5)不正確，理由見詳解.

【分析】根據空間線面位置關系的性質，判定定理判斷，或舉反例說明.

【解析】

(1)不正確，不妨設a=mlIniH,且”uc,〃ue,

則機〃小”/〃，顯然結論不成立.

(2)不正確，若平面a內有無數條直線與平面夕平行，

則不能保證兩個平面平行，兩個平面有可能相交.

(3)不正確，平行于同一條直線的兩個平面可能相交.

(4)正確，假設過A存在兩個平面a,4都與平面/平行，

則a〃尸，顯然這與A是a,夕公共點矛盾.

(5)不正確，若平面外直線與此平面相交，則不存在過該直線的平面與此平面平行.

【即學即練8】如圖，梯形中，BCHAD,E是PD的中點，過8c和點石的平面與Q4交于點F.求證:

BC//EF

【答案】證明見解析

【解析】

由證明BC〃平面PAD,再由直線與平面平行的性質可得BC//EF

【詳解】

BC//AD,8C平面PAD.4)u平面PAD,

BC〃平面尸A。，

BCu平面BCEF,平面BCEF|平面PAD=EF,

/.BC//EF

考法01

基本事實4的應用

證明兩條直線平行的方法：

(1)平行線的定義；

(2)利用平面幾何的知識，如三角形與梯形的中位線、平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理

等；

(3)利用基本事實4.

【典例1】如圖，△ABC的各邊對應平行于△44G的各邊，點E,尸分別在邊AB,AC上，且

AE=^AB,AF=^AC,試判斷EF與qG的位置關系，并說明理由.

【答案】E尸與qC；平行.理由詳見解析.

【解析】平行.理由如下:

?:AE=；AB,AF=；AC,：.EF〃BC.又B\C\〃BC,：.B,C"EF.

【典例2】如圖所示，在長方體AG中，AG與用烏相交于點QE,尸分別是80,G。的中點，則長方體

的各棱中與EF平行的有()

C.5條D.6條

【答案】B

【解析】

根據三角形中中位線的性質，以及長方體的各棱長位置關系進行判斷.

【詳解】

由于E,F分別是30,C0的中點，

故EF〃B\G，

因為和棱BC平行的棱有A￡>,BC,AQ,

所以符合題意的棱共有4條.

故選：B.

【點睛】

本題考查線線平行的判定，涉及平行關系的傳遞性，屬基礎題.

考法02

等角定理：利用等角定理解題的關鍵是不要漏掉兩個角互補的這種情況.

【典例3】空間兩個角a,夕的兩邊分別對應平行，且a=60。，則夕為（）

A.60°B.120°C.30°D,60°或120°

【答案】D

【解析】：空間兩個角a,一的兩邊對應平行，.?.這兩個角相等或互補，；a=60。，.”=60?；?20。.故選D.

【名師點睛】根據公理4知道當空間兩個角a與夕的兩邊對應平行時?，得到這兩個角相等或互補，根據所

給的角的度數，即可得到￡的度數.

【典例4】如圖，在四面體ABCD^,分別是AB,BC,CD,AD,AC的中點，則下列說法中不正確的是

A.例,N,P,Q四點共面B.NQME=NDBC

C..BCD^..MEQD.四邊形MNPQ為梯形

【答案】D

【解析】

根據題意及中位線定理和等角定理可以一-判斷.

【詳解】

由中位線定理易知MQ//BD,MEHBC.QE//CD,NP//BD.

于人由基本事實易得"Q//NPP,所以M,N,P,0四點共面，故A中的說法正確；

對于8,根據等角定理，得NQME=NOBC,故B中的說法正確；

對于C,由等角定理，知/。同萬=/。8（7,/M后。=/88,所以BCD^MEQ,故C中的說法正確；

由三角形的中位線定理知MQ〃BO,M。=g8。.NP//%>,NP=g8。,所以M處P，所以四邊形MNPQ為

平行四邊形，故D中的說法不正確.

故選D

【點睛】

本題主要考查的是關于平行四邊形的判定及四點共面的判定，中位線定理及等角定理的應用，考查學生的

分析推理能力，是基礎題.

考法03

直線與平面平行的判定

應用判定定理證明線面平行的步驟:

上面的第一步"找''是證題的關鍵，其常用方法有：利用三角形、梯形中位線的性質；利用平行四邊形的

性質；利用平行線分線段成比例定理.

【典例5】在空間四邊形A2C。中，E,F分別為AB,AZ）上的點，且他:￡B=AF:FD=1:4,H,G分別

為BC,C。的中點，則（）

A.平面EFG,且四邊形EFGH是平行四邊形

B.E尸〃平面BC。，且四邊形EFGH是梯形

C.HG〃平面且四邊形EFGH是平行四邊形

D.E“〃平面AOC,且四邊形EFG4是梯形

【答案】B

【解析】

【分析】

根據線面平行的判定定理分析判斷即可

【詳解】

因為E,尸分別為43,AD上的點，且他:所二人尸：㈤目”，

所以EF〃皿，EF=^BD,

因為，H,G分別為BC,8的中點，

所以G”〃B。，GH'BD，

所以EF〃GH,EF豐GH,

所以四邊形EFG”為梯形，

因為E尸〃8。，￡/（2平面BCD,BDu平面BCD，

所以￡尸〃平面5C￡）,

若叩〃平面AOC,則由線面平行的性質可得可〃FG，而E4與FG不平行，所以E4與平面ACC不平

行，

故選：B

【典例6】如圖，已知四棱錐尸-A8C。，底面48co為正方形，E,尸分別為48,PO的中點.求證：EFH平

面尸BC.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取PC的中點G,連接FG,BG.由平面幾何知識證得四邊形BEFG為平行四邊形，再由線面平行判斷定理

可得證.

【詳解】

證明：取PC的中點G,連接FG,BG.

因為尸，G分別為P。，PC的中點，所以尸G〃CO,且尸G=：DC.

因為四邊形A8CQ為正方形，所以A8〃C￡>,AB=CD.

又因為E為48的中點，所以BE"DC,BE桔DC,所以BE〃尸G,且8E=fG,

所以四邊形8EFG為平行四邊形，所以EF〃8G.

因為EFH平面PBC,BGu平面PBC,

所以EF〃平面PBC.

【典例7］在如圖所示的空間圖形中，ZVIBC是任意三角形，AE〃C￡>,且AE=2mCD=a,F為BE的

中點.求證：DF〃平面A8C.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取AB的中點G,連接尸G,CG,先證明四邊形CDFG為平行四邊形，則可得。尸〃CG,進而可證明結論.

【詳解】

證明：取AB的中點G,連接FG,CG.

因為F，G分別是BE,A8的中點，所以PG〃AE且FG=3A￡

因為AE=2”，CD=a,所以d>=萬4￡

因為AE〃CO,所以CD〃尸G且C/)=FG,

從而四邊形C0FG為平行四邊形，所以DF//CG.

又CGu平面ABC,。川平面ABC,

所以。尸〃平面ABC.

B

考法04

平面與平面平行的判定

平面與平面平行的判定方法有如下三種：

(1)根據定義：證明兩個平面沒有公共點，但有時直接證明非常困難.

(2)根據判定定理：要證明兩個平面平行，只需在其中一個平面內找兩條相交直線，分別證明它們平

行于另一個平面，于是這兩個平面平行，或在一個平面內找到兩條相交的直線分別與另一個平面內兩條

相交的直線平行.

(3)根據平面平行的傳遞性：若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面互相平行.

【典例8】.在正方體中，下列四對截面彼此平行的是()

A.平面片尸。與平面EGMB.平面與平面耳”。

C.平面片;/也與平面尸，4D.平面與平面

【答案】A

【解析】

【分析】

根據正方體的平行關系，可證平面與平面EGW平行，可得出結論.

【詳解】

如圖，正方體EFGH-4畢加,EEJ1GG、,EE}=GG,,

所以四邊形E4GG是平行四邊形，4G//EG,4Ga平面,

EGu面EG"」所以gGJ/平面￡Gg,同理〃平面￡GHi

因為EQcGF=d，g6，G/u平面E、FG、,

所以平面gFGJ/平面EGg.

故選：A

【典例9】如圖，在斜三棱柱ABCA/B/G中，點。，》分別在AC,A/G上，那么當點。在什么位置時,

平面3CQ〃平面AB/O/

【答案】。為AC的中點

【分析】根據面面平行的性質定理即可求解.

【解析】連接A山交48/于點。，連接。功，由平面8C/Q〃平面4B/。,

且平面A/8C/PI平面BDCI—BCI,平面A/BC/PI平面AB/Di—DiO,

因此8G〃￡)/0.同理

所以器=黑’5F=7H?又因為黑=1，所以嗡=1，即。為AC的中點.

MciOBMciADOBAD

考法05

線面平行、面面平行的綜合應用

在立體幾何中，常見的平行關系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關系不是孤立的，而

是相互聯(lián)系，并且可以相互轉化的.在解決問題的過程中，要靈活運用平行關系的判定定理.一般地，證

明線面平行可以轉化為證明線線平行；證明面面平行可以轉化為證明線面平行；證明線線平行可以利用線

面平行或面面平行的性質定理來實現.

【典例10】如果AB、BC、CQ是不在同一平面內的三條線段，則經過它們中點的平面和直線AC的位置關

系是（）

A.平行B.相交

C.AC在此平面內D.平行或相交

【答案】A

【解析】把這三條線段放在正方體內如圖，

顯然AC//EF,ACQ平面EFG.EFu平面EFG,故AC〃平面EFG.故選A.

【典例11］如圖所示，在四棱錐C—ABE。中，四邊形ABE。是正方形，點G,口分別是線段EC,5。的

中點.

（1）求證：G77〃平面ABC；

（2）線段上是否存在一點“，使得平面GF"〃平面ACO,若存在，請找出點”并證明；若不

存在，請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】（1）由四邊形ABED為正方形可知，連接AE必與6。相交于中點尸，故G尸〃AC.

仁平面ABC，...GF〃平面ABC.

（2）線段BCt:存在一點”滿足題意，且點〃是BC的中點.

理由如下：由點G,”分別為CE,CB中點可得：GH//EB//AD

?.?6〃2平面470，，6"〃平面4。￡）,由（1）可知，G/〃平面AC。，且G/GH=G,.

故平面GF”〃平面ACO.

【名師點睛】本題考查線面位置關系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關系的定義、判定、幾何特

征是解答的關鍵，其中垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：證明線面、面面平行，需

轉化為證明線線平行，著重考查了推理與論證能力.

考法06

直線與平面平行的性質定理的應用

應用線面平行的性質定理時，關鍵是過已知直線作輔助平面與已知平面相交，所得交線與已知直線平

行.還可以利用交線判斷已知平面內任意一條直線與已知直線的位置關系，即在已知平面內所有與交線平

行的直線都與已知直線平行，所有與交線相交的直線都與已知直線異面.

【典例12］若直線。平行于平面a,則下列結論錯誤的是（）

A.直線a上的點到平面a的距離相等

B.直線。平行于平面a內的所有直線

C.平面a內有無數條直線與直線”平行

D.平面a內存在無數條直線與直線。成90。角

【答案】B

【分析】直線a與平面a內的所有直線平行或異面.

【解答】解：由直線。平行于平面a,知：在A中，直線。上的點到平面a的距離相等，故A正確；

在B中，直線a與平面a內的所有直線平行或異面，故B錯誤；

在C中，平面a內有無數條直線與直線”平行，故C正確；

在D中，平面a內存在無數條直線與直線4成90。角，故D正確.故選：B.

【典例13］如圖，在四棱錐P-A8CO中，M,N分別為AC,PC上的點，且MN〃平面力D,貝IJ（）

A.MN//PDB.MN//PAC.MN//ADD.以上均有可能

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用線面平行的性質分析解答.

【詳解】

?：MN//nPAD,MNu平面以C,平面布OD平面用C=B4,

：.MN//PA.

故選：B

【典例14］如圖所示，平面a過正方體ABCD-A/B/C/D的三個頂點B,D,4,且a與底面A/B/GS的交

線為/,則/與8Q/的位置關系是.

【答案】平行

【解析】

【分析】首先證得8。//平面A/B/CQ/.,然后根據線面平行的性質即可得到結果.

【詳解】

因為DD〃/BB?,DD產BBi,

所以四邊形80。//是平行四邊形.

所以BD//BQ］.

又8Q/U平面AIBICIDI,8ZXt平面AIBICIDI,

所以B￡>//平面A/B/C/。/.

又BDua,aD平面A/BQD尸/,所以〃/BD

所以UlBiDi.

【典例15］如圖所示，在四棱錐P-A8CD中，8s平面外￡>,BC=^AD,E是P。的中點.

（2）求證：C。/平面PAB.

【答案】（D證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用線面平行即可證明BC//AD-

（2）取布的中點立連接EF,BF,證明EC/AEB,CE//平面以8即得證.

【詳解】

證明：（1）在四棱錐P—ABC。中，

8C//平面用力，BCu平面A8CQ,

平面ABCD平面外￡>=A￡>,

BC//AD,

⑵取以的中點F,連接EF,BF,

：.EF//AD,EF=-AD,

2

又由（1）可得8C〃AD,且8C=；A￡>,

BC//EF,BC=EF,

，四邊形BCE廠是平行四邊形，

：.ECHFB,

iECn平面以8,FBu平面加8,

.?.EC〃平面PAB.

【點睛】

方法點睛：證明空間直線平面的位置關系一般利用轉化的思想：線線平行（垂直）。線面平行（垂直）O

面面平行（垂直）.

考法07

平面與平面平行的性質定理的應用

利用面面平行的性質定理判斷兩直線平行的步驟:

（1）先找兩個平面，使這兩個平面分別經過這兩條直線中的一條；

（2）判定這兩個平面平行；

（3）再找一個平面，使這兩條直線都在這個平面上；

（4）由定理得出結論.

【典例16】在三棱臺中，點。在上，且M//8O,點M是三角形內（含邊界）的

一個動點，且有平面8OW〃平面AACG，則動點〃的軌跡是（）

A.三角形A4G邊界的一部分B.一個點

C.線段的一部分D.圓的一部分

【答案】c

【解析】

【分析】

過。作OE//AC交BC于E,連接8E,證明平面E7E〃平面AACC,得MGOE,即得結論.

【詳解】

如圖，過。作力E//4?交片GTE,連接BE,

BD//AAt,8￡）二平面A41GC,u平面AA^C,所以8￡）〃平面,

同理DE//平面AACC，又BDcDE=D,平面由小，

所以平面BDE〃平面AAGC,所以Me￡）E,不與￡＞重合，否則沒有平面3DW）,

故選：C.

R

【典例17］設,a〃B，A、Cea,B、DGp,直線A8與CD交于S,若AS=8,BS=9,CD=34,則CS的

長是.

【答案】272或16

【解析】有兩種情況，當點S在明夕面同側時，如圖3）所示,

AS_CS

'：a//f},SBDHa=AC,平面SBOCl夕=BC,：.AC//BD,京=示,

IjijLxO且鼐=歷

.「JASCQ_8X34

-cs=AB=9-8=272.

0q.CS_8

同理，當點S在%A兩平面之間，如圖（。）所示，可證得AC〃D5及施=慶,?*CD-CS=9,

SCD8x34

A9CS=8CD-8CS,：.CS=TT=17=16,

【典例18］已知三個平面%人/滿足a〃6〃力直線〃與這三個平面依次交于點A、B、C,直線人與這

ABEF

三個平面依次交于點E、F、G,求證：---=----.

BCFG

【答案】證明詳見解析.

【解析】如圖，連接AG交夕于“，連接8"、FH、AE、CG.

,/P//Y,平面ACGfV=8〃，平面ACG.y=CG,.?.8〃〃CG.

:.四=必=交，即任二竺

同理AE〃”居

BCHGFGBCFG

【名師點睛】①當“與匕共面時，有AE〃8/〃CG.上述證明過程也是正確的，只是此時8、H、尸三

點共線.

②連接CE，可同理證明.

③當“與6異面時，可過A（或&C）作人的平行線或過E（或雙G）作。的平行線，再利用面面平

行的性質定理可證得結論.

以上思路都遵循同一個原則，即“化異為共

fii分層提分

題組A基礎過關練

1.已知A8//PQ,BC//QR,ZABC=30°,貝iJNPQR=（）

A.30°B.30°或150°

C.150°D.30°或120°

【答案】B

【解析】

根據等角定理，即可得到結論.

【詳解】

ZABC的兩邊與2PQR的兩邊分別平行，

根據等角定理易知NPQR=30°或150。.

故選：B.

【點睛】本題考查等角定理，屬基礎題.

2.在空間四邊形A8C。中，AC^BD,E,F,G,〃分別是邊A8,BC,CD,D4的中點，順次連接各邊中點

E,F,G,H,所得四邊形的形狀是（）

A.梯形B.矩形

C.正方形D.菱形

【答案】D

【解析】

【分析】

根據空間四邊形中各點的位置，結合中位線的性質可得EFG”是平行四邊形，再由AC=3Z）即可判斷四邊形

EFGH的形狀.

【詳解】

如圖所示，空間四邊形A8CO中，連接AC,8?？傻靡粋€三棱錐，

將四個中點連接，得到四邊形EFGH,

由中位線的性質及基本性質4知，EH//FG,EF//HG；

：.四邊形EFG”是平行四邊形，又AC^BD,

：.HG=^AC=^8D=EH,

.??四邊形EFG”是菱形.

A

3.如圖，在直四棱柱ABCQ-ABCIR中，下列結論正確的是（）

A.AC與是兩條相交直線B.AA〃平面B8Q,

C.B'C"BD,D.A,C,B1,R四點共面

【答案】B

【解析】

【分析】

根據異面直線的判定定理，直線與平面平行的判定定理，四點共面的判定，結合四棱柱的性質逐一判定即

可.

【詳解】

8。匚面48。，ACc面ABR=A,AgBD,,所以AC與5R是異面直線，A錯；

因為44,〃￡電，的C面即〃，BBLBBQi，所以A4"面8BQ,B正確；

B"u面B8Q,8（）面陰。=旦，4任8Q,所以BC與8R是異面直線，C錯；

如圖所示，A,C,R三點在面ACA上，BQ,與面ACA相交，所以A,C,用，2四點不共面，D錯.

故選：B.

4.若直線“〃平面a,A建a,且直線”與點A位于a的兩側，B,C^a,AB,AC分別交平面a于點E,F,

若3c=4,CF=5,AF=3,則EP的值為（）

B

22

A.3B.c4D.

23

【答案】B

【解析】

【分析】

由線面平行的性質得出線段間的比例，可得選項.

【詳解】

解：9：BC//a,且平面

.AF_EF3EF

/.EF//BC,即,

*AC-BC5+3

3

：.EF=-

2

故選：B.

5.如圖，在下列四個正方體中，A,8為正方體的兩個頂點，M,/V,。為所在棱的中點，則在這四個正

方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

利用線面平行判定定理逐項判斷可得答案.

【詳解】

對于選項A,OQ//AH,。。與平面MN。是相交的位置關系，故A8和平面MN。不平行:

對于選項B,由于〃例。，結合線面平行判定定理可知45〃平面MNQ：

對于選項C,由于AB〃C￡）〃MQ,結合線面平行判定定理可知AB〃平面MN。：

對于選項D,由于AB//CD//NQ,結合線面平行判定定理可知A8〃平面MNQ：

故選：A.

6.如圖，在長方體ABC。-A/B/GG中，點E,F分別是棱A4/和88/的中點，過EF的平面EFGH分別交

BC和AO于點G,H,則G4與AB的位置關系是（）

B.相交

C.異面D.平行或異面

【答案】A

【解析】

【分析】

先證明EF//平面ABCQ,再證明EF//GH,即得證.

【詳解】

由長方體的性質知，EF//AB,EF(Z平面A8CDABa平面ABCD,

所以瓦7/平面ABCD,

：EFu平面EFGH,平面EFGHC平面ABCD=GH,

J.EFHGH.

又EF//AB,

：.GH/IAB.

故選：A

【點睛】

關鍵點睛：解答本題的關鍵是在解題過程中熟練運用線面平行的判斷和性質定理.

7..一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖如圖所示，在正方體中，設BC的中點為M,GH的中點

為N,下列結論正確的是()

A.MN//平面ABEB.MN”平面ADE

C.MN〃平面BDHD.MV//平面CUE

【答案】C

【解析】

根據題意，得到正方體的直觀圖及其各點的標記字母，取尸”的中點連接ON,80,可以證明MNII80,

利用8。與平面A8E的關系可以判定與平面A8E的關系，進而對選擇支A作出判定；根據MN與平面

BCF的關系，利用面面平行的性質可以判定MN與平面4OE的關系，進而對選擇支B作出判定；利用線面

平行的判定定理可以證明MN與平面8OE的平行關系，進而判定C；利用在平面CDEF的兩側，可以

判定MN與平面CDE的關系，進而對D作出判定.

【詳解】

根據題意，得到正方體的直觀圖及其各點的標記字母如圖所示，取F”的中點。,連接OMB。，

易知ON與平行且相等，，四邊形。M0B為平行四邊形，，MNII50,

?.?80與平面ABE（即平血A8FE）相交，故MN與平面A8E相交，故A錯誤：

平面ADEII平面8cAMNC平面BCF=M,：.MN與平面ADE相交，故B錯誤；

：80u平面BDHF,^BOII平面BDH,MNIIBO,MNQ平面BDHF,：.MNII平面BDH效C正確；

顯然M,N在平面CDEF的兩側，所以MN與平面CDEF相交，故O錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題考查從面面平行的判定與性質，涉及正方體的性質，面面平行，線面平行的性質，屬于小綜合題，關

鍵是正確將正方體的表面展開圖還原，得到正方體的直觀圖及其各頂點的標記字母，并利用平行四邊形的

判定與性質找到MN的平行線BO.

B.EB.D.

8.如圖所示，正方體ABCQ-ABC。，E在BR上,尸在A局上，且染=肝，過E作EH〃耳B交8。

于H,則平面EF”與平面B8CC的位置關系是（)

A.平行B.相交C.垂直D.以上都有可能

【答案】A

【解析】

【分析】

根據面面平行的判定定理：由線線平行推出面面平行.

【詳解】

B.EB.D.

在平面A5GD中，因為蕓=曾，所以

Dxr修Aj

由正方體AB8-ABCQ,B&〃AR，所以E尸〃BG，

又因為EH〃瓦8,E77u平面EFH,EFu平面E777,

u平面BBCC,4Gu平面BB￡C,EH\EF=E,BBJB￡=Bj

所以平面EFH〃平面BB￡C

故選:A.

9.過兩條異面直線（）

A.可能不存在兩個互相平行的平面B.有且只有兩個平面互相平行

C.可能存在兩對互相平行的平面D.可能存在無數對互相平行的平面

【答案】B

【解析】

【分析】

用反證法證明過b與。平行的平面有且只有一個，然后可得正確選項.

【詳解】

如圖，a,b是異面直線，過B上一點P作〃?//a,則m與匕相交于點p,

記6,機確定的平面為夕，顯然。二尸，而mu/?,則。//"，因此過分存在平面與“平行,

假設過6還有一個平面/與。平行，

mlla,設4帆確定的平面為S,則5「夕=相，因此尸是平面,與平面5的公共點，設73=c，顯然

cim=P,

由a///得?！╟,所以c〃/n,與cf〃z=P矛盾，

所以過人只有一個平面與“平行，

同理過a也只有一個平面與b平行，從而可得這兩個平面平行，

因此過這兩條異面直線有且只有兩個平面（一對平面）互相平行.

故選:B.

10.如圖，在長方體ABCD-A/&C/C中,若E,F,G,H分別是棱A/B/,BBi,CCi,CD的中點,則必有

A.BDJ/GHB.BD//EF

C.平面EFGH〃平面A8CDD.平面EFGH〃平面A/BCD

【答案】D

【解析】

【分析】

根據題意，結合圖形，分別判斷選項中的命題是否正確即可.

【詳解】

易知G"〃。/C,因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，所以8。，GH不可能互相平行,

故選項A錯誤；

易知E尸〃A/B,與選項A同理，可判斷選項B錯誤；

因為EF//A/B,而直線AiB與平面ABCD相交，故直線EF與平面ABCD也相交，所以平面EFGH與平面

ABC。相交，選項C錯誤：

對于D,平面￡7P”〃平面48（7馬，理由是：

由E,F,G,H分別是棱A科，BB、,CG，GA的中點,

得出E尸//48,EH"AR,

所以所〃平面ABCD、,EHH平面ABCR,

又EFEH=E,所以平面瓦G“〃平面ABC。,.

故選：D.

11.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD-A/B/G。/中，E是棱。D的中點，尸是側面CQDG上的動點,

且8/尸〃平面A/BE,則F在側面C￡>Q。上的軌跡的長度是（）

A.aB.-C.y/2aD.烏

22

【答案】D

【解析】

【分析】

過用做與平面ABE平行的平面，該平面與側面CDRG的交線，即為滿足條件的軌跡，求解即可.

【詳解】

設G,”，/分別為co,cci,as邊上的中點,

連接8〃，B/H,IH,CD,,EG,BG,則AB〃CR〃GE,

所以Aj,B,E,G四點共面,

由B]H//4上,AEz平面BiHl,B\Hu平面BiHl,

所以A/E〃平面3/”/,同理A/B〃平面3/〃/,

A3AiE=A1,所以平面A/3GE*〃平面3/〃/,

又因為3/〃平面A/3E,所以廠落在線段印上，

因為正方體ABCD-ABCQ）的棱長為。，

所以印」CR=—a,

即尸在側血CO》。上的軌跡的長度是走a.

2

故選：D.

12.如圖，在長方體ABCD-A/CQ中，AD=DDt=\,AB=y/3,E,F,G分別為A8,BC,C|R的中點，點

P在平面A8CZ）內，若直線平面EFG,則Q與滿足題意的P構成的平面截正方體的截面面積為

A.迥B.顯C.@D.五

3222

【答案】D

【解析】

【分析】

根據線面平行的判定定理、面面平行的判定定理進行求解即可.

【詳解】

如圖，連接RA,AC,qC，

因為E,F,G分別為A8,BC，GR的中點，

所以AC//EF,EFcz平面ACDt,則EF//平面ACDt,

因為EG//4R,所以同理得EG//平面ACR,

又EF(EG=E,得平面ACR〃平面EEG,

所以點P在直線AC上，則。與滿足題意的P構成的平面截正方體的截面為△4C。,

在△ACA中，有">1=A/^AC=2,CD1=2,所以SA“c=gx&x

故選：D

題組B能力提升練

1.（多選題）下列命題中，錯誤的結論有（）

A.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等

C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補

D.如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

【答案】AC

【解析】

【分析】

由等角定理可判斷A、B的真假；舉反例可判斷C的真假；由平行公理可判斷D的真假.

【詳解】

對于選項A：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故選項A錯誤；

對于選項B：山等角定理可知B正確；

對于選項C：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角的關系不確定，既可能相等也可能互

補，也可能既不相等，也不互補.反例如圖，在立方體中，與乙418cl滿足A。J.AB,QRLGB,

TTTT

但是幺AG=],NA.BG=1,二者不相等也不互補.故選項c錯誤;

對