棱柱基礎(chǔ)練-高一年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章8.1.1棱柱基礎(chǔ)練一人教A版（2019）必修第二冊(cè)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

I.已知正方體ABCD-A耳GA，棱長(zhǎng)為2,E為棱的中點(diǎn)，則經(jīng)過A，D,E三點(diǎn)的正

方體的截面面積為（）

A.-B,372C.空D.—

2V22

2.在正方體ABC。-A4GA中，棱長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面月內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

則PE+PG的最小值為（）

A.3B.2拒C.3五D.5

3.已知點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為4的正方體ABC。-44GA的棱BC的中點(diǎn).過直線作平面a,記

平面a與棱AA的交點(diǎn)為K,當(dāng)平面a與底面A8CO所成的銳二面角最小時(shí)，AK=（）

128

A.3B.—C.-D.1

55

4.如圖，在一個(gè)正方體中，E,G分別是棱A3,CC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱靠近。的四等分

點(diǎn).平面EFG截正方體后，其中一個(gè)多面體的三視圖中，相應(yīng)的正視圖是（）

AB'

A.B.

5.在長(zhǎng)方體ABC。-ABC。中，AB=2,BC=1,若線段上存在一點(diǎn)E，使得DE±EC,,

則B4的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[1,-w））C.（0,2]D.[2,+oo）

6.如圖，己知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是線段C4的中點(diǎn)，平面a經(jīng)過點(diǎn)A,

P,C，則正方體48CO-AMGA被平面a截得的截面面積為（）

A.2y/2B.40C.4D.近

7.己知過8。的平面與正方體ABC。-488相交，分別交棱A4-CG于M,N.則下

列關(guān)于截面BMQN的說法中，不正確的是（）

答案第2頁(yè)，共22頁(yè)

A.截面8AS,N可能是矩形B.截面可能是菱形

C.截面BMDN可能是梯形D.截面不可能是正方形

8.在長(zhǎng)方體ABC。-A4CA中，AB=4,AD-3,A/l,=5,點(diǎn)尸在長(zhǎng)方體的面上運(yùn)動(dòng),

且滿足AP=5,則尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.12兀B.87rC.6兀D.47r

二、多選題

9.在正方體ABCO-AgG。中，43=1,點(diǎn)M在正方體內(nèi)部及表面上運(yùn)動(dòng)，下列說法正

A.若M為棱CC,的中點(diǎn)，則直線AG平面BOW

B.若M在線段BG上運(yùn)動(dòng)，則CM+MR的最小值為2+&

C.當(dāng)M與R重合時(shí)，以M為球心，好為半徑的球與側(cè)面B8CC的交線長(zhǎng)為￡

24

D.若"在線段8,上運(yùn)動(dòng)，則M到直線CG的最短距離為正

2

10.如圖，正方體ABCQ-AAG。的棱長(zhǎng)為1,E,F,G,"分別是所在棱上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足

DH+BG=AE+CF=l,則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.E,G,F,，四點(diǎn)一定共面

B.若四邊形EGF"為矩形，則r>”=CF

C.若四邊形EGFH為菱形，則E,尸一定為所在棱的中點(diǎn)

D.若四邊形瓦加H為菱形，則四邊形EFG"周長(zhǎng)的取值范圍為［4,2方］

11.已知正方體A8S-A4G。的棱長(zhǎng)為2,P是正方體表面一動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.若"=2,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為3萬

B.若AP=Cf,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為6

C.若點(diǎn)P到直線的距離為1,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為4

D.若點(diǎn)P到直線44，BB-CO的距離相等，則滿足條件的點(diǎn)尸僅有2個(gè)

12.如圖，正方體ABCD-A耳GR的棱長(zhǎng)為1,P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CG上的動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)A,P,。的平面截該正方體所得的截面多邊形記為S,則下列命題正確的是（）

A.當(dāng)。。=；時(shí)，S為等腰梯形

31

B.當(dāng)CQ=1時(shí)，S與GR的交點(diǎn)H滿足GR=

3

C.當(dāng)二<CQ<1時(shí)，S為六邊形

D.當(dāng)CQ=1時(shí)，S的面積為直

2

答案第4頁(yè)，共22頁(yè)

三、填空題

13.十月一日是國(guó)慶節(jié)，也是小明爸爸的生日，小明到商店買了一個(gè)生日蛋糕和家人一起慶

祝.賣蛋糕的售貨員說，商店有圖①和圖②兩種捆扎方式供你選擇，但捆扎用的彩帶要根據(jù)

帶子的長(zhǎng)度另外付費(fèi).你選擇哪種捆扎方式？小明經(jīng)過計(jì)算，很快作出了自己的選擇.售貨

員聽后直夸小明聰明.說，你選擇的捆扎方式比另一種所用的彩帶短，所需的費(fèi)用少，那么，

小明選擇的捆扎方式是_______(注：填圖①或圖②).

14.在正三棱柱ABC-ASG中，4A=4,底面43c的邊長(zhǎng)為2,用一個(gè)平面a截此三棱

柱，截面a與側(cè)棱，BB、,CC,分別交于點(diǎn)M,P,且△MNP為直角三角形，則AMNP

的面積的取值范圍是.

15.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹

堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵A8CO-AMGA中，AB1AC,例是AG的中

點(diǎn)，48=2/14,=AC=28,N,G分別在棱8片，AC上，且BN=；BB「AG=^AC,平

面MNG與A8交于點(diǎn)“，則=.

16.已知正方體ABC。-A4Gq的棱長(zhǎng)為6,E、尸分別是AR、4A的中點(diǎn)，則平面CEF

截正方體所得的截面的周長(zhǎng)為.

BC

四、解答題

17.用一個(gè)平面截正方體，截面的形狀會(huì)是什么樣的？請(qǐng)你給出截面圖形的分類原則，找到

截得這些形狀截面的方法，畫出這些截面的示意圖.例如，可以按照截面圖形的邊數(shù)進(jìn)行分

類：

(1)如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什么？

(2)如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？

(3)能否截出正五邊形？為什么？

(4)是否存在正六邊形的截面？為什么？

(5)有沒有可能截出邊數(shù)超過6的多邊形？為什么？

18.如圖，棱長(zhǎng)均為2cm的正三棱柱ABC-A8心中，點(diǎn)。為棱AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)棱AA,

上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

參考答案：

1.A

【分析】先作出經(jīng)過A，D,E三點(diǎn)的正方體的截面，再利用梯形面積公式即可求得該截面

面積.

【詳解】正方體中，AQ〃平面CBBC，

則平面ACE與平面CBBC的唯一交線與4。平行.

取中點(diǎn)F,連接￡尸、DF、AE、A}D,

則四邊形AQFE即為經(jīng)過A，D,E三點(diǎn)的正方體的截面

梯形尸E中，A.D//EF,AD=2應(yīng),EF=近,A,E=DF=y[5

則梯形的高為(石)、［十七J=方

答案第6頁(yè)，共22頁(yè)

則梯形\DFE的面積為L(zhǎng)夜+2夜）X延=2

222

故選：A

2.A

［分析］利用點(diǎn)面對(duì)稱關(guān)系，找到點(diǎn)E關(guān)于平面BDD耳的對(duì)稱點(diǎn)為F,則

PE+PG=PF+PG，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得答案.

【詳解】解：取的中點(diǎn)F,連接EF,如下圖：

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E、F關(guān)于平面8。。片對(duì)稱，所以尸E+PG=PF+PG，最小

值為FJ=^12+22+22=3.

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)題意，作出平面a與正方體A8CO-44GA的截面，然后，找出當(dāng)平面a與

底面ABC。所成的銳二面角最小時(shí)，該截面的相關(guān)邊長(zhǎng)，然后，利用相似，即可求出答案.

【詳解】連接MD,則為直線與底面ABC。所成的角.

由于u平面a,因此平面a與底面ABC。所成的銳二面角的大小不小于

下面作平面a,使得平面a與底面ABC。所成的銳二面角恰為NRM。：

取的中點(diǎn)N,則CNLDM,故CN_L平面。

取NB的中點(diǎn)E,則ME〃CN,故平面。MR.

則當(dāng)平面a位于平面QME時(shí)，平面a與底面ABC。所成的銳二面角恰為NRM。,

此時(shí)平面a與底面ABCD所成的銳二面角最小.

如圖作出截面"KEA〃，其中AE:￡8=3:1,BE=i,A￡=3,AF=6,

312

從而==《，

故選：B

4.D

【分析】根據(jù)條件可得平面EFG經(jīng)過點(diǎn)玄，然后可得答案.

連接仍'，GB'

因?yàn)镋,G分別是棱AB,CC'的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱8靠近C的四等分點(diǎn)

所以EB'〃FG,所以平面￡FG經(jīng)過點(diǎn)"

所以多面體A'DTM-EFGC5的正視圖為

答案第8頁(yè)，共22頁(yè)

5.D

【分析】由題設(shè)G爐+。爐=6。2,令與E=/l機(jī)且0W4W1,可得

筋_/l+'T=0,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，〃的范圍即可.

m'

【詳解】若線段8片上存在一點(diǎn)E,使得。E1EC，如下圖示：

則6￡：2+。爐=和。2,令BBi=m>Q,則6。2=療+4,

設(shè)8盧=為《且0W4W1,有3E=〃?(1-㈤，則C]E?=4?！?+1,DE2=w2(l-Z)2+5,

所以病(1一/1)2+5+分/+1=%2+4,整理得萬-九+4=0,

故/(田=萬-/1+!在0W4W1上有零點(diǎn)，而/(0)=」T>0且對(duì)稱軸為a=:，開口向上，

所以，只需△=1-，NO,則〃吐2,即叫的取值范圍是[2,80).

故選：D

6.B

【分析】先判斷出平面即為正方體A88-ABCR被平面a截得的截面，再求面積

即可.

連接由點(diǎn)P是線段C4的中點(diǎn)，可得BC經(jīng)過點(diǎn)P,又ABD￡,AB=RG，則

四邊形ARCR為平行四邊形，

又點(diǎn)A,P，GU面AACB,則平面即為正方體ABC。-4由?？诒黄矫鎍截得的截面,

又5G=2血，ABJ.BC—?jiǎng)t截面面積為2忘x2=4a.

故選：B.

7.C

【分析】選過特殊點(diǎn)（中點(diǎn)、對(duì)角頂點(diǎn)）且含體對(duì)角線8口的平面截取正方體，根據(jù)正方體的

性質(zhì)及結(jié)構(gòu)特征、勾股定理分析各選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】如下圖，當(dāng)M,N分別與對(duì)角頂點(diǎn)重合時(shí)，顯然8例是矩形；

如下圖，當(dāng)M,N為AA，CG的中點(diǎn)時(shí)，顯然是菱形，由正方體的性質(zhì)及勾股定

根據(jù)對(duì)稱性，其它情況下BMD、N為平行四邊形；

綜上，C不正確.

故選：C.

8.C

【分析】由題設(shè)，在長(zhǎng)方體表面確定尸的軌跡，應(yīng)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算軌跡長(zhǎng)度.

【詳解】如圖，P在左側(cè)面的軌跡為弧AN,在后側(cè)面的軌跡為弧Rc，在右側(cè)面的軌跡為

弧的C，在前側(cè)面內(nèi)的軌跡為弧AM.

MC=-^7TX3X2=^-,XsinZ/A,AN=cosZ.NAD—,

易知NC=—^x4x2=7.71,

4

cosZ241AM=sinNMAB=-,

答案第10頁(yè)，共22頁(yè)

/.Z^AN+ZA,AM,貝!]+=-^TTX5X2=^-,

；.尸的軌跡長(zhǎng)度為6兀，

故選：C.

9.ACD

【分析】作AC,BD交點(diǎn)、0,連接QM,可證AGOM,進(jìn)而得到AG平面BDW;展開

△BGR與，BCG；到同一平面上，由兩點(diǎn)間直線段最短，結(jié)合余弦定理可求；R在側(cè)面

8BQC上的射影為C―確定交線為以G為圓心的圓弧，結(jié)合弧長(zhǎng)公式即可求解；平面

BDDA與CC,的距離最短恰為走，能找出此點(diǎn)恰在BD,±.

2

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,作AC,BD交點(diǎn)、0,連接?！?，因?yàn)椤锳C中點(diǎn)，M為棱CG的中點(diǎn)，

所以AGOM,又因?yàn)镺Mu平面800,所以4G.平面8DW,故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B,展開△BG。與BCQ到同一平面上如圖:

22

知CM+MDV.CD、=Vl+l-2xlxlxcosl35°=亞+板,故B錯(cuò)誤；

對(duì)選項(xiàng)C：M與Q重合時(shí)，在側(cè)面88CC上的射影為C-故交線是以G為圓心的一段圓弧

（J個(gè)圓），且圓半徑r=-I2=-.故圓弧長(zhǎng)=；'2"=:，所以C正確;

4

對(duì)選項(xiàng)D,直線CG與平面燈）口4距離顯然為0C,當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，設(shè)CG中點(diǎn)為￡,

易得ME^C,所以ME為M到直線CC,最短距離變，選項(xiàng)D正確.

2

10.AD

【分析】根據(jù)棱長(zhǎng)為1,且O”+BG=AE+C/=1可得A”=BG,AE=CZ，再逐項(xiàng)分析即

可得解.

答案第12頁(yè)，共22頁(yè)

【詳解】

連接4G，8。交于點(diǎn)P,尸為正方體A8CO-ABC"的中心，

由棱長(zhǎng)為1,

h.DH+BG^AE+CF=i,

可得DtH=BG,AE=CFt,

所以交于尸點(diǎn)，”G,B。交于2點(diǎn)，

所以EF,4G交于p點(diǎn)，，

故民G,F,"四點(diǎn)一定共面，所以A正確；

對(duì)B,若四邊形EG1H為矩形，

可以￡>"=C/也可以D〃=AE,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,若四邊形EGFH為菱形，

則必有EF_LG〃，

則必有E,F一定為所在棱的中點(diǎn)或。，”一定為所在棱的中點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

四邊形EGF”為菱形，當(dāng)E,￡G,H都為各邊中點(diǎn)時(shí)，

四邊形EFG”周長(zhǎng)最小為1x4=4,

若E,F為所在棱的中點(diǎn)，而",G分別和?！?重合時(shí)，

此時(shí)菱形EFG"周長(zhǎng)最大，邊長(zhǎng)為石，

所以周長(zhǎng)為4石，故D正確.

故選：AD

11.AD

【分析】根據(jù)題意分別分析可判斷出軌跡，進(jìn)而計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】對(duì)A,如圖，點(diǎn)尸在以A為球心，2為半徑的球面上，該球面與正方體表面的交線

為三段半徑為2的四分之一圓，故軌跡長(zhǎng)度為］x2乃x2=3"，故A正確；

4

對(duì)B,如圖，點(diǎn)尸在過線段AG中點(diǎn)且與AG垂直的平面內(nèi)，該平面與正方體表面的交線是

邊長(zhǎng)為正的正六邊形，軌跡長(zhǎng)度為6夜，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,如圖，點(diǎn)尸在以線段8片為軸，底面半徑為1的圓柱面內(nèi)，該圓柱面與正方體表面的

交線為兩段圓弧和兩條線段,故軌跡長(zhǎng)度為2乂!、2"+4=〃+4'故C錯(cuò)誤;

對(duì)D,如圖，因?yàn)辄c(diǎn)尸到及的距離相等，故點(diǎn)尸在過線段AB，Ag中點(diǎn)，且與AB垂直

的平面內(nèi)，在平面A8C。和平面ABQQ內(nèi)個(gè)存在一點(diǎn)滿足要求,即滿足條件的P點(diǎn)有2個(gè)，

故D正確.

故選：AD.

答案第14頁(yè)，共22頁(yè)

D

12.ABD

【分析】分0<CQ4；,|<CC<1,CQ=1三種情況討論截面的形狀，再逐一分析各個(gè)選

項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】解：過點(diǎn)A,P,。的平面截正方體，當(dāng)0<CQ?g時(shí)，其截面形狀為梯形如圖1,

特別地當(dāng)CQ=g時(shí)，截面形狀為等腰梯形，

當(dāng);<CQ<1時(shí)，其截面形狀為五邊形如圖2.

若則器=鬻j所以

當(dāng)CQ=1時(shí)，。與G重合，其截面形狀為四邊形如圖3,

此時(shí)PQ=AP,

因?yàn)镻為BC的中點(diǎn)，且C/7/A。，所以。為MN的中點(diǎn)，所以尸C7/AE,

同理QE〃4P,所以四邊形APQE為平行四邊形，

所以四邊形APQE為菱形，其面積為=，百?夜=".故ABD正確.

故選：ABD.

圖1圖2圖3

13.圖①

【分析】根據(jù)給定幾何體，設(shè)出其相應(yīng)的棱長(zhǎng)，表示出兩種捆扎方式所用彩帶長(zhǎng)度，比較大

小作答.

【詳解】由給定的幾何體及生活實(shí)際知，蛋糕盒是正四棱柱，設(shè)其底面正方形邊長(zhǎng)為“，高

為b,

圖②所用彩帶總長(zhǎng)為4(。+力，對(duì)于圖①，令彩帶與包裝盒的棱的部分公共點(diǎn)如圖，

過E作E/〃GH交AC于尸，由圖①的幾何體及對(duì)稱性知，AB=AC=EH=FG,則彩帶

總長(zhǎng)為4(BC+CE),

^BC+CE<[AB+AC}+(.CF+EF)=AC+CF+FG+b=a+h,于是得

4(BC+CE)<4(a+b),

所以圖①所用彩帶總長(zhǎng)比圖②所用彩帶總長(zhǎng)短，所需的費(fèi)用少.

故答案為：圖①

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際生活中的幾何體，聯(lián)系生活并了解相應(yīng)幾何體的結(jié)構(gòu)特征求解.

14.[3,Vn]

【分析】設(shè)M在A處，忸兇=加，|5=〃，再結(jié)合直角三角形中的各邊的關(guān)系，求得〃=機(jī)+上,

進(jìn)而表達(dá)出火“種=”2+1,再結(jié)合〃的取值范圍求解即可

【詳解】不妨設(shè)M在A處，=|5=〃,

則AW2=4+%2,NP2=(n-m)2+4,AP2=4+n2,

4+m2+(n-m)2+4=4+/=〃=—,

m

SL/N尸=:“叱?2尸2=；(4+m2)[5一W)2+4]=5+3+m2=(加+2]+1=/+1,

因?yàn)椤?機(jī)+工22/〃八2=2后當(dāng)且僅當(dāng)〃z=應(yīng)時(shí)取等號(hào)，且〃W4,B|J8<n2<16,故

mVm

34S^NP—?

答案第16頁(yè)，共22頁(yè)

故答案為：［3,J萬］

15.22&

【分析】延長(zhǎng)MG,交AA于K,連接&V,交AB于H,連接A”，MH,由三角形相似

KAAGAHKA

可得k二1/，警=黑，由直棱柱的性質(zhì)可求得答案?

必4但BHNB

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)MG,交AA于K,連接交A8于，.則△K4GS/\K4］M,

nlKAAG32.

則27==7=［=1，則nl必=2①，

KA{AM3

2

XBN=-BBt=-AAt,所以必=68N,貝1］必=3=6,所以4"=948=24.

33BHNB7

222

連接A",MH,則幽1A}H,MH=X/24+14+14=22尤?

故答案為：22夜.

16.69+3&

【分析】延長(zhǎng)￡尸交D4的延長(zhǎng)線于M連接C7V交48于點(diǎn)G,連接尸G；延長(zhǎng)尸E交。。的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接CM交CR點(diǎn)H,連接EH；則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG.

則EF+FG+GC+CH+4E為平面CEF截正方體所得的截面的周長(zhǎng)，根據(jù)幾何關(guān)系即可求

解.

【詳解】延長(zhǎng)EF交D4的延長(zhǎng)線于N,連接CN交于點(diǎn)G,連接尸G；延長(zhǎng)尸E交。。的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)例，連接CM交CQ點(diǎn)，，連接E”；

則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG.

M

:E、F分別是4A、AA的中點(diǎn)，則易知AN==

：.AN=-ND,AG=-CD=2,

33

:.EF=3叵，F(xiàn)G=A,CG=2瓜

同理，RH=；CD=2,EH=A,CH=2岳;

.??平面CEF截正方體所得截面的周長(zhǎng)為：

EF+FG+GC+CH+HE=3&+布+2而+2屈+加=69+3夜.

故答案為：6\/13+3>/2.

17.(1)三類，見解析

(2)五類，見解析

(3)不能，見解析

(4)存在，見解析

(5)不能,見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意作出截面，并分類即可；

(2)根據(jù)題