蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-3-2拋物線的幾何性質(zhì)課件

知識點1

拋物線的幾何性質(zhì)3.3.2

拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(p>0)y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyp的幾何意義:焦點F到準(zhǔn)線l的距離頂點O(0,0)對稱軸x軸y軸離心率e=1范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下1.焦點弦的概念過拋物線焦點的直線與拋物線相交所得的線段,稱為拋物線的焦點弦.2.通徑過拋物線焦點且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所得的弦,稱為拋物線的通徑,拋物

線的通徑長為2p,是所有焦點弦中最短的弦.定點2拋物線的焦點弦3.有關(guān)拋物線焦點弦的結(jié)論如圖,已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,拋物線的焦點為F,A(x1,y1),B(x2,y2),AA',BB'均

垂直于準(zhǔn)線,直線AB的傾斜角為θ.則有:(1)AB=x1+x2+p=

;(2)x1x2=

,y1y2=-p2,

·

=-

p2;(3)AF=

,BF=

;(4)

+

=

;(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;(6)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;(7)A,O,B'共線,A',O,B共線;(8)∠A'FB'=90°;(9)S△AOB=

;(10)拋物線在A,B處的切線互相垂直且交點在準(zhǔn)線上.知識拓展1.圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為:平面內(nèi)到一個定點F和到一條定直線l(F不在l上)的距離之比等

于常數(shù)e的點的軌跡,其中e是圓錐曲線的離心率,定點F是圓錐曲線的焦點,定直線l是圓錐曲

線的準(zhǔn)線.當(dāng)0<e<1時,它是橢圓;當(dāng)e>1時,它是雙曲線;當(dāng)e=1時,它是拋物線.橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線,對于中心在原點,焦點在x軸上的橢圓或雙曲線,與焦點F1(-c,0),F2(c,0)對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別為x=-

,x=

.2.阿基米德三角形:圓錐曲線的弦AB與過弦的端點的兩條切線圍成的△PAB叫作阿基米德三

角形.拋物線阿基米德三角形的常用性質(zhì):(1)當(dāng)AB過焦點時,點P在準(zhǔn)線上且PA⊥PB,PF⊥AB;(2)當(dāng)點P在準(zhǔn)線上時,AB過焦點,底邊AB的中線所在直線平行或重合于對稱軸,且S△PAB的最小

值為p2.知識辨析1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,它們的離心率都相等嗎?2.拋物線y=ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程是x=-

嗎?3.如何區(qū)分曲線是拋物線還是雙曲線的一支?4.“直線與拋物線只有一個交點”是“直線與拋物線相切”的充分必要條件嗎?一語破的1.相等.拋物線的離心率是拋物線上的點到焦點的距離和到準(zhǔn)線的距離的比值,因為兩個距離

相等,所以離心率都是1.2.不是.將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=

y(a≠0),所以其準(zhǔn)線方程為y=-

.3.曲線的延伸趨勢不相同,當(dāng)拋物線y2=2px(p>0)上的點趨于無窮遠(yuǎn)時,拋物線接近于與x軸平

行;當(dāng)雙曲線上的點趨于無窮遠(yuǎn)時,雙曲線接近于它的漸近線.4.不是.當(dāng)直線與拋物線有一個交點時,直線與拋物線相切或直線與拋物線的對稱軸平行(或

重合);當(dāng)直線與拋物線相切時,直線與拋物線有一個交點.因此“直線與拋物線只有一個交

點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件.定點1拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用關(guān)鍵能力定點破涉及拋物線的幾何性質(zhì)的問題,常畫出圖形,結(jié)合拋物線的定義求解,通過圖形可以直觀

地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征.典例已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,對稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,AB=2

,求拋物線的方程.解析

由已知得,拋物線的焦點可能在x軸正半軸上,也可能在x軸負(fù)半軸上,故可設(shè)拋物線方

程為y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2+y2=4都關(guān)于x軸對稱,∴點A與點B關(guān)于x軸對稱,∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2

,∴|y1|=|y2|=

,代入x2+y2=4,得x2+3=4,∴x=±1,∴A(±1,

)或A(±1,-

),代入拋物線方程,得3=±a,∴a=±3.∴所求拋物線的方程是y2=3x或y2=-3x.解決拋物線焦點弦問題的關(guān)鍵是熟記有關(guān)焦點弦的結(jié)論,并靈活運用.知識點2中有關(guān)焦

點弦的結(jié)論都是針對方程為y2=2px(p>0)的拋物線而言的,在實際應(yīng)用中不能盲目套用.定點2拋物線的焦點弦問題典例已知拋物線y2=4x,經(jīng)過其焦點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于M,N兩點,且MF=

3NF,則k=

.解析

解法一:分別過M,N兩點作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂足為S,設(shè)

NF=m(m>0),則MF=3m,由拋物線的定義得MP=MF=3m,NQ=NF=m,所以MS=2m,MN=m+3m=4m,則sin∠MNS=

=

,即∠MNS=30°,故直線l的傾斜角為60°,所以k=tan60°=

.解法二:設(shè)直線l的傾斜角為θ,則θ∈

,由于MF=

,NF=

,且MF=3NF,所以

=

,解得cosθ=

,所以θ=

,所以k=tanθ=

.學(xué)科素養(yǎng)情境破素養(yǎng)解讀

圓錐曲線的定點問題主要是曲線系(直線系)過定點問題,反映的是數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性,常見的具有圓錐曲線的性質(zhì)背景的題目有蒙日圓、阿基米德三角形等;定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或代數(shù)表達(dá)式的值等和參數(shù)無關(guān),是一個確定的值,這類問題的綜合性比較強(qiáng),常涉及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識,同時與函數(shù)、不等式、方程、平面向量等知識緊密聯(lián)系,解決此類問題需要有較強(qiáng)的運算能力和圖形識別能力,能準(zhǔn)確進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)換,合理猜想并仔細(xì)推理論證,在求解論證的過程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).素養(yǎng)

在解決圓錐曲線定點、定值問題中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)例題已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,短軸長為2

,離心率為

.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)一條動直線l與橢圓C交于不同的兩點M,N,O為坐標(biāo)原點,△OMN的面積為

,求證:OM

2+ON

2為定值.典例呈現(xiàn)主編點評

本題第(2)問是定值問題,題設(shè)條件沒有給出這個定值,那么我們可以這樣思考:由

于這個定值對符合要求的一些特殊情況必然成立,因此我們可以根據(jù)特殊情況先找到這個定

值,明確了解決問題的目標(biāo),然后進(jìn)行一般情況下的推理證明.解題思路

(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1(a>b>0),則2b=2

,e=

=

,所以b=

,

=

=

=

=

,解得a=

,c=1,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

+

=1.(2)證明:當(dāng)直線l的斜率不存在時,不妨設(shè)l:x=n,-

<n<

,n≠0,將x=n代入橢圓方程

+

=1,可得y=±

,-

<n<

,n≠0,不妨設(shè)M

,N

,則S△OMN=

·MN·|n|=|n|

=

,化簡可得4n4-12n2+9=0,解得n=±

,此時M

,N

,故OM2+ON2=

+12+

+(-1)2=5.當(dāng)直線l的斜率存在時,不妨設(shè)l:y=kx+m(m≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立

消去y整理得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,Δ=(6km)2-4(2+3k2)(3m2-6)>0,則2+3k2>m2,由根與系數(shù)的關(guān)系得

易得點O到直線l的距離為

,MN=

·

=

·

=

·

=

·

,所以S△OMN=

·

·

·

=

,整理得(3k2-2m2+2)2=0,所以3k2+2=2m2>m2,滿足題意,所以x1+x2=

,x1x2=

,故y1+y2=k(x1+x2)+2m=

,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2·

+km·

+m2=

-1,則OM2+ON2=

+

+

+

=(x1+x2)2-2x1x2+(y1+y2)2-2y