湘教版高中數(shù)學選擇性必修第一冊第1章數(shù)列1-2-1-1-2-2等差數(shù)列與一次函數(shù)課件

1.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項之差都等于同一個常數(shù),

那么這個數(shù)列稱為等差數(shù)列,這個常數(shù)叫作等差數(shù)列的公差.2.求公差d時,可以用d=an-an-1(n≥2,n∈N+)或d=an+1-an來求.3.2M

=a+b?a,M,b成等差數(shù)列,即兩個數(shù)的等差中項就是這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù).4.等差數(shù)列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d中的四個量a1,an,n,d,只要知道任意三個量,

就可以求出第四個量.1.2等差數(shù)列1.2.1等差數(shù)列及其通項公式1.2.2等差數(shù)列與一次函數(shù)1|等差數(shù)列相關(guān)概念的理解若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則1.當d>0時,{an}是遞增數(shù)列;當d<0時,{an}是遞減數(shù)列;當d=0時,{an}是常數(shù)列.2.

=d(m,n∈N+且n≠m).3.an=am+(n-m)d(n,m∈N+).4.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),則am+an=ap+aq.特別地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),則am+an=

2ap.5.在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和,即

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….6.ak,

,ak+2m,…(k,m∈N+)成公差為md的等差數(shù)列.7.{c+an}是公差為d的等差數(shù)列;{c·an}是公差為cd的等差數(shù)列;{an+an+k}是公差為2

d的等差數(shù)列;{pan+qbn}是公差為pd+qd'的等差數(shù)列(其中c,k,p,q為常數(shù),k∈N+,d'是2

|

等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列{bn}的公差).1.公差為d的等差數(shù)列{an}的圖象由直線上橫坐標為正整數(shù)n的孤立點(n,an)組成,

這些點均勻分布在直線y=dx+(a1-d)上.當d>0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右上升,等

差數(shù)列{an}遞增;當d<0時,直線y=dx+(a1-d)從左至右下降,等差數(shù)列{an}遞減;當d=0

時,y=a1為水平方向的直線,數(shù)列為常數(shù)列.2.任給一次函數(shù)f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)),則f(1)=k+b,f(2)=2k+b,……,f(n)=nk+b構(gòu)成

一個等差數(shù)列{nk+b},其首項為k+b,公差為k.3|

等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系1.若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列一定是

等差數(shù)列嗎?不一定.差都是同一個常數(shù)時才是等差數(shù)列.2.等差數(shù)列去掉前面若干項后,剩下的項是否還構(gòu)成等差數(shù)列?是.改變了首項,公差不變.3.等差數(shù)列中的奇數(shù)項、偶數(shù)項是否分別構(gòu)成等差數(shù)列?是.公差為原來的2倍.4.若數(shù)列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差為d的等差數(shù)列,則a1,a2,a3,…也是等差數(shù)

列嗎?不一定.反例:設(shè)兩數(shù)列分別為1,3,5,…和4,6,8,…,顯然1,4,3,6,5,8,…不是等差數(shù)列.知識辨析1.定義法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)?數(shù)列{an}是等差數(shù)列.2.定義變形法:驗證數(shù)列的通項an是否滿足an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+).3.等差中項法:2an+1=an+an+2(n∈N+)?數(shù)列{an}為等差數(shù)列.4.通項公式法:數(shù)列{an}的通項公式形如an=pn+q(p,q為常數(shù)且p≠0)?數(shù)列{an}為

等差數(shù)列.其中定義法和等差中項法是證明一個數(shù)列為等差數(shù)列的直接依據(jù),通項公式

法不能作為證明方法.1等差數(shù)列的判定(證明)

典例1已知數(shù)列{an}滿足2an+(n-1)·an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.思路點撥先由條件建立an+1,an,an-1三者之間的關(guān)系,再利用等差中項法證明.證明

由2an+(n-1)an-1=nan+a1(n≥2,n∈N+),得2an+1+nan=(n+1)an+1+a1,兩式相減并整理得(n-1)an+1=2(n-1)an-(n-1)an-1(n≥2,n∈N+).由n≥2得n-1≥1,所以an+1=2an-an-1,即2an=an-1+an+1,因此an是an-1與an+1的等差中項,故數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

典例2已知數(shù)列{an}滿足an=3an-1+3n-1(n≥2,n∈N+),且a3=95.(1)求a1,a2的值;(2)是否存在一個實數(shù)t,使得bn=

(an+t)(n∈N+),且{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.思路點撥

(1)利用遞推關(guān)系,逐項求解.(2)思路一:利用等差數(shù)列的定義,計算bn-bn-

1(n≥2),若存在t使bn-bn-1為常數(shù),則{bn}為等差數(shù)列,否則不存在.思路二:假設(shè)存在t

使{bn}為等差數(shù)列,利用b1,b2,b3的關(guān)系求出t的值驗證即可.解析

(1)當n=3時,a3=3a2+26=95,∴a2=23.當n=2時,a2=3a1+8=23,∴a1=5.(2)解法一:由題意得an-3an-1=3n-1(n≥2,n∈N+),∴當n≥2時,bn-bn-1=

(an+t)-

(an-1+t)=

(an+t-3an-1-3t)=

(3n-1-2t)=1-

.要使{bn}為等差數(shù)列,則bn-bn-1為常數(shù),即1+2t=0,解得t=-

.∴存在t=-

,使{bn}為等差數(shù)列.解法二:假設(shè)存在實數(shù)t,使得{bn}為等差數(shù)列,則2b2=b1+b3,①由(1)及題意知,a1=5,a2=23,a3=95,∴b1=

(5+t),b2=

(23+t),b3=

(95+t),代入①,得

(23+t)=

(5+t)+

(95+t),解得t=-

,此時bn=

.經(jīng)檢驗,bn+1-bn=

-

=

-

=

an+1-

×

-

an+

×

=1,是常數(shù).故存在t=-

,使得{bn}是以1為公差的等差數(shù)列.名師點撥

(1)若an+1-an為常數(shù),則該常數(shù)為等差數(shù)列{an}的公差;由an+1-an=an-an-1(n

≥2,n∈N+)無法確定等差數(shù)列{an}的公差.(2)若數(shù)列的前有限項成等差數(shù)列,則該數(shù)列未必是等差數(shù)列;而要否定一個數(shù)列

是等差數(shù)列,只要說明其中連續(xù)三項不成等差數(shù)列即可.1.求等差數(shù)列通項公式的一般思路(1)方程思想:設(shè)出基本量a1與d,利用條件構(gòu)建方程組,求出a1與d即可.(2)利用變形公式求解:①an=kn+b(n∈N+,k,b為常數(shù));②an=am+(n-m)d(n,m∈N+);③d=

(m≠n,n,m∈N+);④

=

(m≠n,p≠q,m,n,p,q∈N+).2.設(shè)等差數(shù)列中項的方法(1)通項公式法,即an=a1+(n-1)d.(2)對稱設(shè)法.若所給等差數(shù)列有2n(n∈N+)項,則可設(shè)為a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a2等差數(shù)列的通項公式及其應用+3d,…,a+(2n-1)d,數(shù)列的公差為2d;若所給等差數(shù)列有(2n+1)(n∈N+)項,則可設(shè)為a

-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,數(shù)列的公差為d.3.當已知數(shù)列不是等差數(shù)列時,需構(gòu)造與之相關(guān)的等差數(shù)列求通項公式.將遞推關(guān)

系式轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的常見形式如下:(1)轉(zhuǎn)化為(an+2-an+1)-(an+1-an)=常數(shù),則數(shù)列{an+1-an}是等差數(shù)列.(2)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列

是等差數(shù)列.(3)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列

是等差數(shù)列,其中c為常數(shù).(4)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列{

}是等差數(shù)列.(5)轉(zhuǎn)化為

-

=常數(shù),則數(shù)列{

}是等差數(shù)列.

典例

(1)在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a6=12,a18=36,則其通項公式為an=

;(2)已知數(shù)列{an}滿足an+1=3an+3n,且a1=1,求數(shù)列{an}的通項公式.思路點撥

(1)思路一:由已知列方程組

求出a1,d

求出{an}的通項公式.思路二:利用an=am+(n-m)d(m,n∈N+)求出d

求出{an}的通項公式.(2)將遞推公式的兩邊同時除以3n+1,通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)列

為等差數(shù)列,求其通項公式后易得數(shù)列{an}的通項公式.2n(n∈N+)解析

(1)解法一:由題意可得

解得

∴an=2+(n-1)×2=2n(n∈N+).解法二:∵a18=a6+(18-6)d,∴d=

=2,∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n(n∈N+).(2)由an+1=3an+3n,兩邊同時除以3n+1,得

=

+

,即

-

=

.由等差數(shù)列的定義知,數(shù)列

是以

=

為首項,

為公差的等差數(shù)列,∴

=

+(n-1)×

=

,故an=n·3n-1(n∈N+).運用等差數(shù)列的性質(zhì)解題可以起到化繁為簡、優(yōu)化解題過程的作用,但使用

時要注意性質(zhì)的限制條件,若不能用性質(zhì),則化基本量求解.3等差數(shù)列性質(zhì)的應用

典例在等差數(shù)列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此數(shù)列的通項公式.解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.解法一:由a1+a4+a7=15,得a1+a1+3d+a1+6d=15,即a1=5-3d.①由a2a4a6=45,得(a1+d)(a1+3d)(a1+5d)=45,②將①代入②,得(5-2d)×5×(5+2d)=45,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.當d=2時,a1=-1,所以an=-1+2(n-1)=2n-3,n∈N+;當d=-2時,a1=11,所以an=11-2(n-1)=-2n+13,n∈N+.綜上,an=2n-3,n∈N+或an=-2n+13,n∈N+.解法二:因為a1+a7=