高中數(shù) 2.3.2空間兩點(diǎn)間的距離同步訓(xùn)練 蘇教版必修2

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】-版高中數(shù)學(xué)2.3.2空間兩點(diǎn)間的距離同步訓(xùn)練蘇教版必修2eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1．已知兩點(diǎn)M1(－1,0,2)，M2(0,3，－1)，此兩點(diǎn)間的距離為________．解析據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得所求距離為eq\r(12＋32＋32)＝eq\r(19).答案eq\r(19)2．坐標(biāo)原點(diǎn)O到點(diǎn)A(1,1,1)，B(1,2,2)，C(2，－3,5)，D(3,0,4)的距離中，最小距離是________．解析據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出4個(gè)距離分別為OA＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，OB＝eq\r(12＋22＋22)＝eq\r(9)＝3，OC＝eq\r(22＋32＋52)＝eq\r(38)，OD＝eq\r(32＋02＋42)＝eq\r(25)＝5，即可得最小的是OA＝eq\r(3).答案eq\r(3)3．設(shè)A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，AB的中點(diǎn)M，則CM＝________.解析由A(3,3,1)，B(1,0,5)知AB的中點(diǎn)M為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)，3))；∴CM＝eq\r(2－02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))2＋3－02)＝eq\f(\r(53),2).答案eq\f(\r(53),2)4．在給定的空間直角坐標(biāo)系中，Z軸上到點(diǎn)P(4,1,2)的距離為eq\r(26)的有________個(gè)點(diǎn)．解析設(shè)滿足條件的點(diǎn)為(0,0，z)，代入兩點(diǎn)間距離公式：eq\r(0－42＋0－12＋z－22)＝eq\r(26)，解得z＝5或z＝－1，所以滿足條件的點(diǎn)為(0,0,5)或(0,0，－1)，共2個(gè)．答案25．已知點(diǎn)A(1,1,1)，點(diǎn)B(3,3,3)，點(diǎn)P在x軸上，且PA＝PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為________．解析點(diǎn)P在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為(x,0,0)，據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得eq\r(x－12＋0－12＋0－12)＝eq\r(x－32＋0－32＋0－32)，解得x＝6，故點(diǎn)P坐標(biāo)為(6,0,0)．答案(6,0,0)6．求證：以A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．證明利用兩點(diǎn)間距離公式，得AB＝eq\r(32＋42＋82)＝eq\r(89)；同理，AC＝eq\r(75)，BC＝eq\r(14)；所以AC2＋BC2＝AB2，結(jié)論得證．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．點(diǎn)B是點(diǎn)A(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影，則OB等于________．解析點(diǎn)A(1,2,3)在坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影為B(0,2,3)；據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式得OB＝eq\r(02＋22＋33)＝eq\r(13).答案eq\r(13)8．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有一棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1，A1C的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)解析點(diǎn)E的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a,2)，0))，所以EF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a.答案eq\f(\r(2),2)a9．空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，已知點(diǎn)A(2,3，－1)，B(4,1，－1)，C(4,3，－3)，則△ABC的形狀是________．解析根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得AB＝eq\r(22＋22＋0)＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(22＋0＋22)＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(0＋22＋22)＝2eq\r(2)，即△ABC為等邊三角形．答案等邊三角形10．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，當(dāng)A、B兩點(diǎn)間距離取得最小值時(shí)，x的值為________．解析AB＝eq\r(14x2－32x＋19)，所以當(dāng)x＝eq\f(8,7)時(shí)，A，B兩點(diǎn)間距離取得最小值．答案eq\f(8,7)11．求證：以A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．證明AB＝eq\r(－4＋102＋－1－12＋－9＋62)＝7，AC＝eq\r(－4＋22＋－1＋42＋－9＋32)＝7，BC＝eq\r(－10＋22＋1＋42＋－6＋32)＝7eq\r(2)，所以AB2＋AC2＝BC2且AB＝AC.∴△ABC為等腰直角三角形．12．在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，試問(1)在y軸上是否存在點(diǎn)M，滿足MA＝MB?(2)在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點(diǎn)M坐標(biāo)．解(1)設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，滿足MA＝MB.∵M(jìn)在y軸上，∴可設(shè)M(0，y,0)，由MA＝MB，可得eq\r(32＋y2＋12)＝eq\r(12＋y2＋32)，顯然，此式對(duì)任意y∈R恒成立．∴y軸上所有的點(diǎn)都滿足MA＝MB.(2)設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形．由(1)知，y軸上任意一點(diǎn)都滿足MA＝MB，∴只需MA＝AB就可以使△MAB是等邊三角形．∵M(jìn)A＝eq\r(3－02＋0－y2＋1－02)＝eq\r(10＋y2)，AB＝eq\r(1－32＋0－02＋－3－12)＝eq\r(20)；∴eq\r(10＋y2)＝eq\r(20)，解得y＝±eq\r(10)∴y軸上存在點(diǎn)M(0，eq\r(10)，0)或(0，－eq\r(10)，0)，使△MAB為等邊三角形．13．(創(chuàng)新拓展)如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，M為BD′的中點(diǎn)，點(diǎn)N在A′C′上，且A′N＝3NC′，試求MN的長．解以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD′分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)檎襟w的棱長為a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M為BD′的中點(diǎn)，取A′C′中點(diǎn)O′，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2)))，O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，a)).因?yàn)锳′N＝3NC′，所以N為A′C′的四等分，從而N為O′C′的中點(diǎn)，故Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3,4)a，a)).根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式，可得 MN＝eq\