高考壓軸題 黃岡中學高考數學壓軸100題

高考壓軸題精選+黃岡中學高考數學壓軸100題

書目

1.二次函數.........................................................................................2

2復合函數........................................................................................3

3.創(chuàng)新型函數.....................................................................................6

4.抽象函數......................................................................................10

5.導函數一一不等式..............................................................................12

6.函數在實際中的應用............................................................................18

7.函數與數列綜合...............................................................................20

8.數列的概念與性質..............................................................................29

9.Sn與an的關系................................................................................35

10.創(chuàng)新型數列...................................................................................37

11.數列一不等式.................................................................................39

12.數列與解析幾何..............................................................................43

13.橢圓.......................................................................................45

14.雙曲線......................................................................................48

15.拋物線.......................................................................................51

16解析幾何中的參數范圍問題.....................................................................53

17解析幾何中的最值問題.........................................................................58

18解析幾何中的定值問題..........................................................................61

19解析幾何與向量..............................................................................64

20探究問題......................................................................................70

(1)a+b+c...2/r......................................................................................................................................................................100

(2)a+b+c<27r.......................................................................................................................................................................100

1.二次函數

1.對于函數/（幻=渥+伯+1比+6-23*0）,若存在實數%,使-%）=%成立,則稱X。為/（X）的不動

點.

（1）當〃=2/=-2時，求/（幻的不動點；

（2）若對于任何實數力，函數/（"）恒有兩個相異的不動點，求實數。的取值范圍；

,1

V=KY___________

（3）在⑵的條件下，若y=/（x）的圖象上A3兩點的橫坐標是函數/（X）的不動點，且直線‘-2a2+1

是線段A3的垂直平分線，求實數人的取值范圍.

分析：本題考查二次函數的性質、直線等基礎學問，及綜合分析問題的實力.

函數與方程思想

2

解：f（x）=ax+（b+l）x+b-2（a^0）f

（］）當。=2,6=-2時.，f（x）=2x2-x-4_

設x為其不動點，即2x2—x—4=x，則21-2x—4=0.所以為=-1，々=2,即/⑶的不動點是一1,2.

（2）由f（x）=xax2+bx+b-2=0

由已知，此方程有相異二實根，所以金=/-4。（。-2）＞0,即后-4時+8a＞0對隨意bwR恒成立.

.?.%＜0,.」6/-32。＜0,...0＜。＜2

,11

⑶設A（X，X）,B（w，%）,直線）一'2"+1是線段A8的垂直平分線，.?M=T.

_b1LZ

記AB的中點“（/，x。），由⑵知"2a/(x)=x<=>ax''+樂+。-2=0,二%+工2=——

.1hb1

y=kx-i-----------=-----1----?—

M在2。-+1上，2a2a2a~+1

,_a1、1_y/2

=F=一二1-一/1=彳”也

化簡得：。V?，當2時，等號成立.

,>虛."五.

bN,../?€,+oo

nr44

例2已知函數〃x）=d+4x_2,若對隨意尤|,々eR且入戶赴，都有I212

（I）求實數。的取值范圍;

（H）對于給定的實數。，有一個最小的負數M（“），使得⑼時，都成立，則當a

為何值時，知（“）最小，并求出M（“）的最小值.

\2

X+x/(百)+/(42)華)+b%+x+(g?+如+c+ar2-\-bx+c

f2222

解：（I）2222

a>0..?.實數a的取值范圍為（O，”）.

2

2.\2|H4-_2..

6Kx~+4-X—2=〃|尤H——2----

a,明顯了⑼=一2,對稱軸式一丁

4/、

-2——<-4A/(a)e--.0

(1)當a,即()<。<2時，a,且/

一2±j4-2a

x=------------------

令武+4x-2=-4,解得a

M/\_-2+J4-2a〃一展+2〉”

此時加（。）取較大的根，即“M(a)

a[4-2a+2,0<av2,

-2-->-4M(?)<--且/[.(叫=4

(2)當a,即時，a,

—2±j4+64一2-14+6a-6

x--,此時“（"）取較小的根，即"""

令加+4X-2=4,解得。j4+6a+2,

~6—>-3

.S2,i⑷

14+6”2.當且僅當。=2時，取等號.

..?一3<-1,.?.當a=2時，”（。）取得最小值—3.

2復合函數

x-x~'）

2

1.已知函數a-1,其中。>0,且"1。

對于函數〃力,當x?Tl）時，“1一加）+/（?叫

(1)求實數m的取值范圍;

當xw（~oo,2）時，“力-4的取值范圍恰為（—,0）,

求a的取值范圍。

/（%止號33）3>。且“］）

解:

止號…）語號…）

設r=log“x,則x=a

當”e(O,l)時，q,jq-T...y=/(x)在其定義域上T

當ae(l,+8)時，...,4個，「J...y=/(x)在其定義域上T

/.V">。且a*l,都有丁=/(幻為其定義域上的增函數

又...3=號X)/⑴為奇函數

222

(]):當xe(T,l)時，/(l-777)+/(l-zn)<0A/(I-m)<-/(I-m)=/(m-1)

-1<1-772<1

-l<m2-l<l=>l<m<V2

.\-m<m2-1

(2)當％e(-8,2)時，?.?尸(x)=/(%)-4在(-8,2)上T,且值域為(一匕。)F(2)=/(2)-4=0

a

a2]、_//-]

a2-1a2a2-1a2a2+\=4a.?.Q=2±VJ

r(\y------1(XG7?)/\y=———

例2.函數外可是10'+1的反函數，外叼的圖象與函數1一1的圖象關于直線

)=”一1成軸對稱圖形，記尸卜)=，卜)+8(”)。

(1)求外可的解析式及其定義域；(2)試問外力的圖象上是否存在兩個不同的點A、B,使直線AB恰好

與1軸垂直？若存在，求出A、B的坐標；若不存在，說明理由。

y=-----110'+1-10'--~x=1g-~~-/(x)=1g-_-(-1<x<1)

解：(1)io"+iy+ii+yi+y，i+x

4-3x

y--------

g(x)的圖象與x-1的圖象關于直線成軸對稱圖形

4-3x,3-2x

y=------------1]=----------

???ga)+i的圖象與x-i的圖象關于直線y=x對稱

3-2y%--------

即：g(x)+l是X-1的反函數孫一y=3-2x

一―+3x+31

SX+g(無)=

(y+2)x=y+3y+2...~x+2x+2

1—x]

F(x)=/(x)+g(x)=lg—+—(-1<X<1)

|ct_\_—__X_|___1___=c

(2)假設在“x)的圖象上存在不同的兩點A、B使得心軸，即丸eR使得方程1+xx+2一有兩

不等實根

/=_\_—_x=_J_|____2_

設―1+X-X+1,則，在(一1,1)上J且"0

1—t1Z4~111+1，+12

x=-------=----1g1+---=cIgr=c-----=(c-l)+----

1+/，x+2t+3J孔￡/?使得方程￡+3有兩不等正根￡+3t+3

2

設W)=lg⑺，*)=("])+不

,2

lg,=(C—1)H----

，+3僅有唯一正根I.不存在點A、B符合題意。

=6入_X_1g(九)=CX

3.設。€氏且a*°，e為自然對數的底數，函數f(x)'.2，

(1)求證：當時，/(x)Wg(x)對一切非負實數x恒成立;

(2)對于(0,1)內的隨意常數a,是否存在與a有關的正常數x。，使得/“。)>g(/)成立？假如存

在，求出一個符合條件的X。；否則說明理由.

分析：本題主要考查函數的單調性，導數的應用等基礎學問，以及綜合運用所學學問分析和解決問題的實

力.分類探討、化歸(轉化)思想方法

x-弼*,/(x)4g(x)o14—xH—~h[x)=—x2+*+1nh\x)=x(a-—)

解：(1)當2e,令2e，ex

va>l,x>0.'.h'(x)20,=>/?(x)在[0,+oo)上單調遞增，

〃(x)>h(0)=1=>f(x)<g(x)

f(xQ)>g(Xo)=>+-1<0

⑵2e°⑴，

,、ax+11

心)=5%2---1

需求一個X。，使(1)成立，只要求出2e的最小值，滿意，(x)mm<0,

,/t'(x)=%(。--^-)在(0,-111a)

e，上I

在(-In力o)上■?■^U=^-ln?)=^ln2?+?(-ln?+l)-l

—In2(n-6r(ln?4-l)-l<0在。e(0,1)

只需證明2內成馬上可，

(p(a)=—In2a+a(-ln。+1)—1n“(a)=—(ln2a)>0=>(p(a)

a9

=>(p{d)<6?(1)=0=>—InQ+a(-InQ+1)—1<0,

為增函數2

故存在與a有關的正常數⑴成立。

3.創(chuàng)新型函數

1.在R上定義運/⑸c為實常數）。記稔）=/3,/2（Z）=Z-2^

%eR令〃%）=/；（0③工（％）

?V-

_4

（I）假如函數“/在Z=1處有極值一試確定b、c的值；

（II）求曲線、=/（%）上斜率為c的切線與該曲線的公共點；

（III）記g（x）T/（x）l（T4xG）的最大值為若對隨意的b、C恒成立，試示人的最大值。

232

^f（x）=fl（x）0f2（x）^~（x-3c）（x-3b）+4bc=-^x+bx+cx+hc_f'^=_^+2bx+c

_4

（I）由f（x）在》=1處有極值3,可得

廣⑴=一i+2》+c=o

b=lj/?=-l

f(l}=--+b+c+bc=~—解得］c=T或1c=3

V733

2

若Ic=-l,|jliJ/W=-^+2x-l=-(x-l)<0>此時〃x)沒有極值;

若b=—l,c=3,則r(x)=-Y-2x+3=—(x—l)(x+3)。

當X改變時，"X）、/'（X）的改變狀況如下表:

XS，-3)-3(-3,1)1(1,+8)

—0+0—

微小值單調遞增極大值

/（X）單調遞減單調遞減

-12_4

~3

_4

???當x=l是，/（“）有極大值3,故b=T,C=3即為所求。

（n）設曲線，=/（"）在苫=，處的切線的斜率為J

2

..f'{x）=-x+2hx+c^+2bt+c=c,即/_加=0。解得f=0或1=2/?

若f=0,則〃°）="c,得切點為（°'"。），切線方程為丫=5+尻；

4C4

33

f(2h}=-b+3bc2b,-b+3bc3

，=,則3,得切點為I3y=cx+bc+-h

若?切線方程為3

-^x3+bx2^-cx+bc=cx+bc<^>x3-3hx2=0八

若3,解得七=々=0,%=3b

則此時切線y=cx+加1與曲線丁=/（X）的公共點為（°，歷），（3"4歷）；

,、+bx1+cx+bc=cx+bc+-b?,<^>x3-3bx2+4b3=0

⑵若33

解得—,.J此時切線尸….+/與曲線y=/（x）的公共點為（2苧+3可.

綜合可知，當6=0時，斜率為c的切線與曲線y=/（x）有且只有一個公共點（°，°）；當6/0,斜率為C的

切線與曲線尸“X）有兩個不同的公共點，分別為（°，姐和（3》，4"）或+3可，（-。?。?/p>

（山）g（x）T/'（x）|=|-（x-6）2+〃+c|

⑴當網>1時，函數y=r（x）的對稱軸x=b位于區(qū)間［T,l］外，/'（X）在［T［］上的最值在兩端點處取得，故

M應是g（T）和g（。中較大的一個。

.?.2M2g（l）+g（T）=|T+2"d+|T-2"c白網>4,即.?.M>2

⑵當例（的，函數丁=/（X）得對稱軸x=b位于區(qū)間fl】之內

此時M=max{g（-l）,g（I）,gS）}

由/'⑴-/X-D=4b,有f'⑻-/7±1)=0ml)2>O

若一14640,貝!Jf'(l)4f'(T)4f，(b),r.g(T)4max{g(-l),g(b)}

"=max{/(-l)|,/S)|}q(『(l)|+,S)|)*(|八1)卜/(創(chuàng))=/一1)2

JZE/22

若OSbWl,則a)4f(b),?..g(l)<max{g(-l),gS)}

M=max{,(—l)|,/⑸}2；(『(一1)|+|八帥2；(『(一1)|一『(帥=；S+1)2>；

M>-

綜上，對隨意的b、c都有2

，、21

b=0,c=—g(x)=-x+-M=一

而當，2時,在區(qū)間［TJ上的最大值2

c恒成立的k的最大值為5o

故M2K對隨意的b,

1

x+-

/(x)=XU>0)i

W[-]+M+[-]+111⑵=2,匕］=0,［1.8］=1

例2.設函數.VX,其中㈤表示不超過x的最大整數,如3

(I)求”5)的值;

(II)若在區(qū)間［2,3)上存在x,使得/*)*/成立,求實數k的取值范圍;

(HI)求函數/0)的值域.

3+2

,冶)=213=13

[-]=1,[-]=02[-]?[-]+[-]+[-]+112

解：(1)因為23，所以l2Jl3JL2JL3J

[x]=2,[-]=0

(II)因為2〈x<3,所以x

f(JC)=—(X4--)/(》)=—(1---)、八

則3X.求導得'3X2，當2Mx<3時，明顯有/(力>°

f510

所以『⑴在區(qū)間QB上遞增，即可得"X)在區(qū)間23)上的值域為6'9,

k>—

在區(qū)間23)上存在X,使得/(x)次成立，所以-6

2

(III)由于/⑶的表達式關于X與嚏對稱,且x>0,不妨設x>l.

當x=l時，LI,貝1/°卜；；當X>1時，設x=n+a,neN*,0<?<l,

1

n+a+------

0.f(x)=f(n+a)=----------

貝U[x]=n,，所以n+]

11

設g(x)=x+-g(x)=l一一7>0,

X

g(x)在口，+00)上是增函數，又〃W〃+c<”+l,nn+an+1,

11

〃+一n+t1H----

〃x)€___n_____/+1=/?(/2GN\H>2)

n+\〃+1

當x22時,

當xe(l,2)時，/(Re。，4)=/>故心(1,物)時，/(x)的值域為[]u[2U…U[nU…

11I

〃+一n+l+---.

n1+1

ab?=-----=1+---------

nn+1+

設"+1("+1),則/,=&，b")

_n-2

""("+l)("+2),.?.當位2時,a2=a3<a4b<an<…

又bn單調遞減，，b2>b3>--->bn>---/.[a2,b2)=12*13*14*???*In*

4)=1,0l2=[a2,b2)=I，5

'1,lug當平,q

IlUI2U-UInU-=IlUI2=L*L69J[_64人

flljFs2]

綜上所述，f(力的值域為12/16'4)

例3.我們用訕"…，…，s,J和max{s』,…,s"}分別表示實數s』，中的最小者和最大者.

(1)設f(x)=min{sinx,cosx},g(x)=max{sinx,cosx},xe[0,2^](函數/(x)的值域為A,函數g(?的

值域為8,求ACIB；

(2)提出下面的問題：設。,%為實數，彳€/?,求函數/。)=/1》_/1+出1》―々1+_+與1》一乙1

(不＜々＜…＜x,,eR)的最小值或最大值.為了便利探究，遵循從特殊到一般的原則，先解決兩個特例:

求函數/W=|x+2|+3|x+l|-|x-l|和g(x)=|x+l|~4|x-l|+2|x-2]的最值。得出的結論是：

"⑸.=min{/(-2)J(T)J⑴}，且/⑴無最大值；儂切-、=皿刈g(-l),g(l),g(2)}，且g。)無最小值.請

選擇兩個學生得出的結論中