2024年廣東省潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高三數(shù)學(xué)高考三模試卷附答案解析

年廣東省潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)高三數(shù)學(xué)高考三模試卷本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列命題是真命題的是（

）A．兩個(gè)四棱錐可以拼成一個(gè)四棱柱 B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C．經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)的球有且只有一個(gè) D．直棱柱的側(cè)面是矩形2．已知全集，集合，或，則（

）A． B． C．（－3，3] D．（2，3]3．已知是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，則的（

）A．實(shí)部為1B．實(shí)部為C．虛部為1 D．虛部為4．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．1 B． C． D．35．在△中，已知，，則（

）A． B． C． D．6．質(zhì)監(jiān)部門(mén)對(duì)某種建筑構(gòu)件的抗壓能力進(jìn)行檢測(cè)，對(duì)此建筑構(gòu)件實(shí)施兩次打擊，若沒(méi)有受損，則認(rèn)為該構(gòu)件通過(guò)質(zhì)檢.若第一次打擊后該構(gòu)件沒(méi)有受損的概率為0.85，當(dāng)?shù)谝淮螞](méi)有受損時(shí)第二次實(shí)施打擊也沒(méi)有受損的概率為0.80，則該構(gòu)件通過(guò)質(zhì)檢的概率為（

）A．0.4 B．0.16 C．0.68 D．0.177．已知平行六面體中，，，，則（

）A． B． C． D．8．若存在直線(xiàn)與曲線(xiàn)，都相切，則a的范圍為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9．甲乙兩名同學(xué)參加系列知識(shí)問(wèn)答節(jié)目，甲同學(xué)參加了5場(chǎng)，得分是3，4，5，5，8，乙同學(xué)參加了7場(chǎng)，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有關(guān)這兩名同學(xué)得分?jǐn)?shù)據(jù)下列說(shuō)法正確的是（

）A．得分的中位數(shù)甲比乙要小 B．兩人的平均數(shù)相同C．兩人得分的極差相同 D．得分的方差甲比乙小10．已知圓，圓分別是圓與圓上的點(diǎn)，則（

）A．若圓與圓無(wú)公共點(diǎn)，則B．當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程為C．當(dāng)時(shí)，則斜率的最大值為D．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作圓兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則不可能等于11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分．把答案填在題中的橫線(xiàn)上．12．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為．13．與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱(chēng)為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為.14．橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上第一象限內(nèi)，記，存在圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，，(1)求異面直線(xiàn)AB與CD所成角余弦值的大??；(2)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．17．11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每?jī)汕蚪粨Q發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束：當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開(kāi)始前通過(guò)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來(lái)確定誰(shuí)先發(fā)球假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立．(1)若每局比賽甲獲勝的概率，求該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率.(2)已知第一局目前比分為10∶10，求（?。┰俅騼蓚€(gè)球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比賽甲獲勝的概率；18．如圖，小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫(huà)板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長(zhǎng)度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫(huà)板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細(xì)繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng)，這時(shí)筆尖在平面上畫(huà)出了圓錐曲線(xiàn)C的一部分圖象.已知細(xì)繩長(zhǎng)度為3，經(jīng)測(cè)量，當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P處，此時(shí)，，.設(shè)直尺邊沿所在直線(xiàn)為a，以過(guò)F垂直于直尺的直線(xiàn)為x軸，以過(guò)F垂直于a的垂線(xiàn)段的中垂線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)斜率為k的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N，已知k的取值范圍為，若，求的范圍.19．定義1

進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿(mǎn)二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿(mǎn)十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿(mǎn)十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿(mǎn)六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等．也就是說(shuō)，“滿(mǎn)幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾，一般地，若是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號(hào)連寫(xiě)在一起的形式進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號(hào)與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．如．定義2

三角形數(shù)：形如，即的數(shù)叫做三角形數(shù)．(1)若是三角形數(shù)，試寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的的值；(2)若是完全平方數(shù)，求的值；(3)已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．1．D【分析】利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)，依次分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，兩個(gè)四棱錐不一定可以拼成一個(gè)四棱柱，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)的球有無(wú)數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D2．A【分析】解集合中的不等式，得到集合，由集合得，再求.【詳解】不等式解得，∴，或，則，.故選：A3．B【分析】設(shè)虛數(shù)，直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出結(jié)果．【詳解】設(shè)虛數(shù)，則，而是實(shí)數(shù)，故，得到.故選：B.4．D【分析】利用已知可得，進(jìn)而可得數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，計(jì)算可求的值.【詳解】根據(jù)題意，可得，則數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，所以.故選：D.5．B【分析】利用正弦定理對(duì)已知條件進(jìn)行邊角互化，求得；再根據(jù)三角形等腰，求得，結(jié)合勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】，即，也即，即；又，，故或；又，故，顯然，則，△為等腰直角三角形，故，解得.故選：B.6．C【分析】運(yùn)用概率乘法公式求解即可.【詳解】設(shè)表示第次打擊后該構(gòu)件沒(méi)有受損，，則由已知可得，，所以由乘法公式可得，即該構(gòu)件通過(guò)質(zhì)檢的概率是0.68.故選：C.7．B【分析】利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則和數(shù)量積的性質(zhì)化簡(jiǎn)條件可求，結(jié)合向量夾角公式可求結(jié)論.【詳解】因?yàn)樗裕?故選：B.8．A【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別求得與相切的切線(xiàn)方程，可得，進(jìn)而可得有解，從而利用導(dǎo)數(shù)可求的范圍.【詳解】設(shè)直線(xiàn)與相切與點(diǎn)，因?yàn)椋郧芯€(xiàn)方程，即，設(shè)直線(xiàn)與相切與點(diǎn)，因?yàn)椋郧芯€(xiàn)方程，即，，所以有解，令，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，所以，的范圍?故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查曲線(xiàn)公切線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題的求解，求解曲線(xiàn)公切線(xiàn)的基本思路是假設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程，根據(jù)切線(xiàn)方程的唯一性構(gòu)造方程組來(lái)進(jìn)行求解.9．BCD【分析】由中位數(shù)，極差的概念即可判斷AC，由平均數(shù)、方差計(jì)算公式可分別判斷BD.【詳解】對(duì)于A，甲的得分中位數(shù)是5，乙的得分中位數(shù)是5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲的得分平均數(shù)是，乙的得分平均數(shù)是，故B正確；對(duì)于C，甲的得分極差是，乙的得極差是，故C正確；對(duì)于D，甲的得分方差是，乙的得方差是，故D正確.故選：BCD.10．BC【分析】對(duì)于A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)即可判斷錯(cuò)誤；對(duì)于B，兩圓方程相減即可驗(yàn)算；對(duì)于C，畫(huà)出公切線(xiàn)通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可驗(yàn)算；對(duì)于D，畫(huà)出圓兩條切線(xiàn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可驗(yàn)算.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，可以無(wú)窮大，所以A不正確；當(dāng)時(shí)兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線(xiàn)方程為，所以B為正確選項(xiàng)；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)如圖，

和為兩條內(nèi)公切線(xiàn)，且，由平面幾何知識(shí)可知，所以可得，即斜率的最大值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，

點(diǎn)P在位置時(shí)，點(diǎn)在位置時(shí)，所以中間必然有位置使得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷CD兩選項(xiàng)的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合即可順利得解.11．ABC【分析】求得，判斷A，再令求得，從而令，可得，判斷B，已知等式變形為，令，則，由賦值法得是奇函數(shù)，判斷C，再計(jì)算出，判斷D．【詳解】令，可得，故A正確；令，可得，令，可得，則，故B正確；由，可得，令，則，令，可得，令，則，所以是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，故C正確；因?yàn)?，所以不是偶函?shù)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．－60【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，設(shè)該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，因?yàn)榈拇螖?shù)為，所以令，二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為，令，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為：13．【分析】利用已知條件求得圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺(tái)的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.【詳解】由題意，畫(huà)出圓臺(tái)的直觀圖，其中為圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)，，分別為上、下底面的圓心，點(diǎn)為內(nèi)切球的球心，點(diǎn)為球與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).則由題意可得：，.因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.故答案為：14．##【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切求得，再設(shè)出點(diǎn)，結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求出即可求出離心率.【詳解】顯然直線(xiàn)斜率都存在，且，由，得，則，而，于是，設(shè)，則，因此，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線(xiàn)的離心率的三種方法：①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)異面直線(xiàn)夾角的定義，結(jié)合中位線(xiàn)性質(zhì)和余弦定理，可得答案；（2）根據(jù)等體積法，結(jié)合三角形面積公式，可得答案.【詳解】（1）取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知，則直線(xiàn)OE與EM所成的角就是異面直線(xiàn)AB與CD所成的角，在中，，因?yàn)槭侵苯切边匒C上的中線(xiàn)，則，可得，所以異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為.（2）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為因?yàn)?，即，在中，，可得，且，可得，所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為16．(1)答案見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)與分類(lèi)討論即可得；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】（1）（），當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，從而在上遞增；當(dāng)時(shí)，，；，，從而在上遞增，在遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.，若，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，解得：，可知的最小值為；若，，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)無(wú)最大值，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，不合題意；綜上所述：的最小值為.17．(1)(2)（?。┓植剂幸?jiàn)詳解，；（ⅱ）【分析】（1）由五局三勝制的規(guī)則，可知的所有可能取值為，求出對(duì)應(yīng)概率相加即可求得甲獲勝的概率為；（2）（?。┮字乃锌赡苋≈禐?，根據(jù)條件概率公式可求得對(duì)應(yīng)概率取值可得分布列和均值；（ⅱ）根據(jù)獲勝規(guī)則求出第一局比賽甲獲勝概率的表達(dá)式，解得.【詳解】（1）因?yàn)榧酌烤肢@勝的概率均為，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，設(shè)甲獲勝時(shí)的比賽總局?jǐn)?shù)為，因?yàn)槊烤值谋荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，所以的所有可能取值為，可得；故該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率.（2）（?。┮李}意，的所有可能取值為設(shè)打成后甲先發(fā)球?yàn)槭录?，則乙先發(fā)球?yàn)槭录?，所以?所以的分布列為012故的均值為；（ⅱ）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件，則.由（?。┲?，，由全概率公式，得解得，即第一局比賽甲獲勝的概率.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到筆尖留下的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，即可求得其軌跡方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示，得到，列出函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，筆尖到點(diǎn)的距離與它到直線(xiàn)的距離相等，所以筆尖留下的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，設(shè)其方程為，則，因?yàn)?，，且，可得，由，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又由拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，則，解得，所以曲線(xiàn)的軌跡方程為.（2）假設(shè)存在，使得，設(shè)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，且，則，則，可得，由，可得，即，所以，令，則，所以，且，即，解得或，所以存在，使得成立.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線(xiàn)方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列