2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明單元評(píng)估驗(yàn)收演練含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-單元評(píng)估驗(yàn)收(二)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列有關(guān)“三段論”推理“凡是自然數(shù)都是整數(shù)，4是自然數(shù)，所以4是整數(shù)”的說法正確的是()A．推理正確 B．推理形式錯(cuò)誤C．大前提錯(cuò)誤 D．小前提錯(cuò)誤解析：三段論中大前提、小前提及推論形式均正確，所以結(jié)論正確．答案：A2．用反證法證明命題“eq\r(2)＋eq\r(3)是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)eq\r(2)是有理數(shù)B．假設(shè)eq\r(3)是有理數(shù)C．假設(shè)eq\r(2)或eq\r(3)是有理數(shù) D．假設(shè)eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數(shù)解析：假設(shè)應(yīng)為“eq\r(2)＋eq\r(3)不是無理數(shù)”，即“eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數(shù)”．答案：D3．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是()A．歸納推理 B．演繹推理C．類比推理 D．特別推理答案：A4．已知f(x＋1)＝eq\f(2f（x）,f（x）＋2)，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表達(dá)式為()A.eq\f(4,2x＋2) B.eq\f(2,x＋1)C.eq\f(1,x＋1) D.eq\f(2,2x＋1)解析：當(dāng)x＝1時(shí)，f(2)＝eq\f(2f（1）,f（1）＋2)＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,2＋1)，當(dāng)x＝2時(shí)，f(3)＝eq\f(2f（2）,f（2）＋2)＝eq\f(2,4)＝eq\f(2,3＋1)，當(dāng)x＝3時(shí)，f(4)＝eq\f(2f（3）,f（3）＋2)＝eq\f(2,5)＝eq\f(2,4＋1)，故可猜想f(x)＝eq\f(2,x＋1).答案：B5．將平面對(duì)量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算相類比，易得下列結(jié)論：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.以上通過類比得到的結(jié)論正確的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：平面對(duì)量的數(shù)量積的運(yùn)算滿意交換律和安排律，不滿意結(jié)合律，故①③正確；②錯(cuò)誤；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，從而b－c＝0或a⊥(b⊥c)，故④錯(cuò)誤．答案：B6．視察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，則52017的末四位數(shù)字為()A．3125 B．5625C．0625 D．8125解析：因?yàn)?5＝3125，56＝15625，57＝78125，58末四位數(shù)字為0625，59末四位數(shù)字為3125，510末四位數(shù)字為5625，511末四位數(shù)字為8125，512末四位數(shù)字為0625，…，由上可得末四位數(shù)字周期為4，呈規(guī)律性交替出現(xiàn)，所以52017＝54×503＋5，末四位數(shù)字為3125.答案：A7．若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，則△ABC是()A．等邊三角形B．有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一個(gè)內(nèi)角是30°的等腰三角形解析：因?yàn)閑q\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，由正弦定理得，eq\f(sinA,a)＝eq\f(sinB,b)＝eq\f(sinC,c)，所以eq\f(sinB,b)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)＝eq\f(sinC,c).所以sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以∠B＝∠C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．答案：C8．設(shè)有兩個(gè)命題：①關(guān)于x的不等式x2＋2ax＋4>0對(duì)一切x∈R恒成立；②函數(shù)f(x)＝－(5－2a)x是減函數(shù)．若命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．(－2，2)解析：若①為真，則Δ＝4a2－16<0，即－2<a<2.若②為真，則5－2a>1，即a<2.當(dāng)①真②假時(shí)，無解；當(dāng)①假②真時(shí)，a≤－2.答案：A9．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x，y軸上的截距分別為a，b的直線，拓展到空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的平面方程為()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1解析：利用類比推理，可知A項(xiàng)正確．答案：A10．下列不等式中肯定成立的是()A．lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))>lgx(x>0)B．sinx＋eq\f(1,sinx)≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.eq\f(1,x2＋1)>1(x∈R)解析：A項(xiàng)中，因?yàn)閤2＋eq\f(1,4)≥x，所以lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))≥lgx；B項(xiàng)中sinx＋eq\f(1,sinx)≥2只有在sinx>0時(shí)才成立；C項(xiàng)中由不等式a2＋b2≥2ab可知成立；D項(xiàng)中因?yàn)閤2＋1≥1，所以0<eq\f(1,x2＋1)≤1.答案：C11．已知f(x)＝sinx＋cosx，定義f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算，f1(x)＝cosx－sinx，f2(x)＝－sinx－cosx，f3(x)＝－cosx＋sinx，…，照此規(guī)律，則f100(x)＝()A．－cosx＋sinx B．cosx－sinxC．sinx＋cosx D．－sinx－cosx解析：依據(jù)題意，f4(x)＝[f3(x)]′＝sinx＋cosx，f5(x)＝[f4(x)]′＝cosx－sinx，f6(x)＝[f5(x)]′＝－sinx－cosx，…，視察知fn(x)的值呈周期性改變，周期為4，所以f100(x)＝f96＋4(x)＝f4(x)＝sinx＋cosx.答案：C12．如圖，有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層)，第2層每條邊有2個(gè)點(diǎn)，第3層每條邊有3個(gè)點(diǎn)，…，依此類推，假如一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它的層數(shù)為()A．6 B．7 C．8 D．9解析：由題意知，第1層的點(diǎn)數(shù)為1，第2層的點(diǎn)數(shù)為6，第3層的點(diǎn)數(shù)為2×6，第4層的點(diǎn)數(shù)為3×6，第5層的點(diǎn)數(shù)為4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)層的點(diǎn)數(shù)為6(n－1)．設(shè)一個(gè)點(diǎn)陣有n(n≥2，n∈N*)層，則共有的點(diǎn)數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋eq\f(6＋6（n－1）,2)×(n－1)＝3n2－3n＋1，由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8層．答案：C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．“因?yàn)锳C，BD是菱形ABCD的對(duì)角線，所以AC，BD相互垂直且平分．”補(bǔ)充以上推理的大前提是________．解析：大前提是“菱形的對(duì)角線相互垂直且平分”．答案：菱形的對(duì)角線相互垂直且平分14．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N*)，經(jīng)計(jì)算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推想當(dāng)n≥2時(shí)，有______________．解析：視察f(n)中n的規(guī)律為2k(k＝1，2，…)，不等式右側(cè)分別為eq\f(2＋k,2)，k＝1，2，…，所以f(2n)>eq\f(2＋n,2)(n≥2)．答案：f(2n)>eq\f(2＋n,2)(n≥2)15．甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，分別回答如下：甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．由此可以推斷乙去過的城市為________．解析：易知三人同去的城市為A.又甲去過城市比乙去過的城市多，且甲沒去過B城，所以甲去過A城，C城，乙只去過A城．答案：A16．在平面幾何中，△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為eq\f(AE,EB)＝eq\f(AC,BC)，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是________．解析：CE平分∠ACB，而平面CDE平分二面角A-CD-B.所以eq\f(AC,BC)可類比成eq\f(S△ACD,S△BCD)，故結(jié)論為eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)證明：對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x，y，都有x4＋y4≥eq\f(1,2)xy(x＋y)2.證明：要證x4＋y4≥eq\f(1,2)xy(x＋y)2，只需證2(x4＋y4)≥xy(x＋y)2，即證2(x4＋y4)≥x3y＋xy3＋2x2y2.只需x4＋y4≥x3y＋xy3與x4＋y4≥2x2y2同時(shí)成馬上可．又知x4＋y4－2x2y2＝(x2－y2)2≥0明顯成立，即x4＋y4≥2x2y2成立，只需再證x4＋y4≥x3y＋xy3即可．而x4＋y4－x3y－xy3＝(x－y)(x3－y3)，因?yàn)閤－y與x3－y3同號(hào)，所以(x－y)(x3－y3)≥0，即x4＋y4≥x3y＋xy3成立，所以對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x，y，都有x4＋y4≥eq\f(1,2)xy(x＋y)2.18．(本小題滿分12分)如圖所示，設(shè)SA，SB是圓錐的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)，求證：AC與平面SOB不垂直．證明：連接AB，假設(shè)AC⊥平面SOB.因?yàn)橹本€SO在平面SOB內(nèi)，所以AC⊥SO.因?yàn)镾O⊥底面圓O，所以SO⊥AB，所以SO⊥平面SAB，所以平面SAB∥底面圓O.這明顯出現(xiàn)沖突，故假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直．19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(bx＋1,（x＋1）2)(x≠－1)，且f(1)＝log162.(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式．(2)已知數(shù)列{xn}的項(xiàng)滿意xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，試求x3，x4的值．解：(1)由題設(shè)，得f(1)＝log162＝eq\f(1,4)，又f(1)＝eq\f(b＋1,4)，所以eq\f(b＋1,4)＝eq\f(1,4)，則b＝0.從而f(x)＝eq\f(1,（x＋1）2)(x≠－1)．(2)由(1)知，f(1)＝eq\f(1,4)，f(2)＝eq\f(1,9)，f(3)＝eq\f(1,16)，f(4)＝eq\f(1,25).所以x3＝(1－f(1))(1－f(2))(1－f(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,16)))＝eq\f(5,8).x4＝eq\f(5,8)×(1－f(4))＝eq\f(5,8)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,25)))＝eq\f(3,5).20．(本題滿分12分)已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3.求證：eq\f(a,b)＝eq\f(a＋b,a＋b＋c).證明：要證eq\f(a,b)＝eq\f(a＋b,a＋b＋c)，只需證a2＋ab＋ac＝ab＋b2，即證a(a＋c)＝b2.由正弦定理，只需證sinA(sinA＋sinC)＝sin2B.因?yàn)锳∶B∶C＝1∶2∶3，所以A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,2)，所以sinA(sinA＋sinC)＝sineq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)＋sin\f(π,2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))＝eq\f(3,4).又sin2B＝sin2eq\f(π,3)＝eq\f(3,4)，所以sinA(sinA＋sinC)＝sin2B成立．所以eq\f(a,b)＝eq\f(a＋b,a＋b＋c)成立．21．(本小題滿分12分)設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，Sn是其前n項(xiàng)的和．記bn＝eq\f(nSn,n2＋c)，n∈N*，其中c為實(shí)數(shù)．若c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．證明：由題意得，Sn＝na＋eq\f(n（n－1）,2)d.由c＝0，得bn＝eq\f(Sn,n)＝a＋eq\f(n－1,2)d.又因?yàn)閎1，b2，b4成等比數(shù)列，所以beq\o\al(2,2)＝b1b4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(d,2)))eq\s\up12(2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,2)d))，化簡得d2－2ad＝0.因?yàn)閐≠0，所以d＝2a.因此，對(duì)于全部的m∈N*，有Sm＝m