高中數(shù)學(xué)《成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系》教案

【教材分析】

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布

列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系

本章主要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)方面知識(shí)，在之前學(xué)生已經(jīng)對(duì)統(tǒng)計(jì)相關(guān)的知識(shí)做了大概的了解，本節(jié)學(xué)

生要繼續(xù)探討的是變量之間的相關(guān)關(guān)系，變量之間有兩類關(guān)系；函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系，它

們的聯(lián)系與區(qū)別；并了解線性相關(guān)及相關(guān)系數(shù)，為了解線性回歸的基本思想和方法以及求

回歸直線的方程和相關(guān)性檢驗(yàn)做準(zhǔn)備。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念；1.數(shù)學(xué)抽象：相關(guān)關(guān)系

B.會(huì)作散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是2.邏輯推理：相關(guān)系數(shù)公式推導(dǎo)

否具有相關(guān)關(guān)系；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求相關(guān)系數(shù)

D.會(huì)根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度.4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：相關(guān)關(guān)系的概念及利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系

難點(diǎn)：根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

我們知道,如果變量y是變量工的函數(shù),那么由X就可以唯一確定y.

然而，現(xiàn)實(shí)世界中還存在這樣的情況:兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但密切程

度又達(dá)不到函數(shù)關(guān)系的程度.例如，人的體重與身高存在關(guān)系,但由一

個(gè)人的身高值并不能確定他的體重值,那么，該如何刻畫(huà)這兩個(gè)變量通過(guò)具體的問(wèn)題情

之間的關(guān)系呢?下面我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.境，引發(fā)學(xué)生思考

二、探究新知積極參與互動(dòng)，說(shuō)

我們知道,一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系，一般而言,個(gè)子高的人往出自己見(jiàn)解。從而

往體重值較大,個(gè)子矮的人往往體重值較小，但身高并不是決定體重引入相關(guān)關(guān)系的概

的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時(shí)間以及遺傳念，發(fā)展學(xué)生邏輯

因素等也是影響體重的重要因素，像這樣,兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、

確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,這種關(guān)系稱為相數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建

關(guān)關(guān)系(correlation).模的核心素養(yǎng)。

兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在，例如：

1.子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系,一般來(lái)說(shuō),父親的個(gè)子高,其

子女的個(gè)子也會(huì)比較高;父親個(gè)子矮，其子女的個(gè)子也會(huì)比較矮，但影

響子女身高的因素,除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲

食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等,因此父親身高又不能完全決定子女身高.

2.商品銷售收人y與廣告支出x之間的關(guān)系，一般來(lái)說(shuō),廣告支出越

多，商品銷售收入越高，但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一

因素，商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān)。

3.空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)，汽車保有

量增加,空氣污染指數(shù)會(huì)上升，但汽車保有量并不是造成空氣污染的

唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等

都是影響空氣污染指數(shù)的因素。

4.糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系,在一定范圍內(nèi)，施肥量越大,

糧食畝產(chǎn)量就越高，但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因索,糧

食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影

響。

變量的相關(guān)關(guān)系

相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系;相關(guān)關(guān)系是相對(duì)于函數(shù)關(guān)系而言的.

像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確

地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)美系、

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)

關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系

項(xiàng)目

相同點(diǎn)都是兩個(gè)變量間的關(guān)系

不同點(diǎn)是一種確定關(guān)系是一種非確定關(guān)系

是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴

隨關(guān)系

1.下列關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是_______.（填序號(hào)）

①曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；

②蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；

③森林中同一種樹(shù)木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系；

④學(xué)生與其學(xué)號(hào)之間的關(guān)系.

②③解析：利用相關(guān)關(guān)系的概念進(jìn)行判斷.①④中兩個(gè)變量之間

的關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而②③中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不確

定的，所以它們具有相關(guān)關(guān)系.

探窕1:在對(duì)人體的脂肪的含量和年齡之間關(guān)系的研究中,科研人員

獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單P逍機(jī)樣本數(shù)據(jù),如表所示,表中每

個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)體的觀測(cè)結(jié)果,它們構(gòu)

成了成對(duì)數(shù)據(jù)。

編號(hào)1234567

年齡23273941454950

脂肪9.517.821.225.927.526.328.2

編號(hào)891011121314

年齡53545657586061

脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推新人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系通過(guò)問(wèn)題分析，讓

嗎？學(xué)生掌握判斷相關(guān)

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的

統(tǒng)計(jì)圖.我們我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖區(qū)別與聯(lián)系。發(fā)展

學(xué)生邏輯推理，直

40

35

觀想象、數(shù)學(xué)抽象

30

25

和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

20

15

10素養(yǎng)。

5

O

1

由散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直

線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢(shì).

這樣，由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和

年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.

變量相關(guān)關(guān)系的分類

(1)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也

呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，

我們就稱這兩個(gè)變量正棉關(guān)、當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，

另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，稱這兩個(gè)變量線棚關(guān)、

正相關(guān)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左下角到右

上角的區(qū)域。對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱之為正相關(guān)。

負(fù)相關(guān)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左上角到右

下角的區(qū)域。對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱之為負(fù)相關(guān)。

①線性相關(guān):散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法.一般

地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一一

條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān);

O

5

O

1

年齡/歲

②非線性相關(guān):一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相

關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

X兄

1212

1010

8」?8.

6,

6??,.

4.???4*:.

22,

°0246810121,4i002468101214X

(2)(3)

探究2.通過(guò)觀察散點(diǎn)圖中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們可以大致

推斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相

關(guān)還是非線性相關(guān)等,散點(diǎn)圖雖然直觀,但無(wú)法確切地反映成對(duì)樣本

數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無(wú)法量化兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的大小.能否

像引入平均值、方差等數(shù)字特征對(duì)單個(gè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣，引入

一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析

呢？通過(guò)具體的問(wèn)題情

境中的分析，深化

對(duì)于變量X和變量y,設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)數(shù)據(jù)為對(duì)相關(guān)系數(shù)的理

(x,y),(x,y),(x,y),解。發(fā)展學(xué)生邏輯

1122nn

推理，直觀想象、

?eq,-_尤1+&+…+Xn__月+丫2+…+%

Xn/n

數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)

將數(shù)據(jù)以(元力為零點(diǎn)進(jìn)行平移,得到平移后的成對(duì)數(shù)據(jù)為：

算的核心素養(yǎng)。

(%1-元月-y),(x2-x,y2-y)，…，(xn-x,yn-y)

繪制散點(diǎn)圖為

40f脂肪含量/%>

35

30

25

20

15

10

5

O

1

20253035404550556065年齡/歲

這時(shí)的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱

坐標(biāo)同號(hào),顯然,這樣的規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定

的。

探究3：根據(jù)上述分析，你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣

本數(shù)據(jù)平移后星現(xiàn)的規(guī)律,構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是

負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎？

根據(jù)散點(diǎn)圖特征，初步構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量.利用散點(diǎn)（%-元-y）,。=

1,2,...n）的

橫縱坐標(biāo)是否同號(hào),可以構(gòu)造一個(gè)量

4=：［（x「x）（x-小12-x）（%-y）+…+（x“-X）（y“-y）］

一般情形下,L>0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；L<0表明成對(duì)樣本數(shù)

xyxy

據(jù)負(fù)相關(guān).

問(wèn)題1:L的大小一定能度量出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？

xy

我們發(fā)現(xiàn)，L的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不能直接用它度

xy

量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.

“以叫-叫（3-州嶺-叫（左肛”由叭-叫值班t嗎

在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時(shí),如果體重的單位不變,把身高

單位由米改為厘米,單位的改變不會(huì)改變體重與身高之間的相關(guān)程

度.

為了消除單位的影響，進(jìn)一步做“標(biāo)準(zhǔn)化”處理為簡(jiǎn)單起見(jiàn),把上述

“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為

（xJ%'），（X2','），…，（Xn'，yn'）

仿照L的構(gòu)造，可以得到

xy

4KI；）（弘切+12：）（%切+…+（%-，（以切］

分別除%-元和%-雙i=1,2,3，…,n）得

（石一文。］一3、（%2一％力一g）一%Pn一歹］

f1

ISN，SyXS%SySxSy）

rin

用Sx='W?_三）2,Sy=，W（%_^2

Ji=l［i=l

樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，

它的正負(fù)和絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征:

當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另

一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變小;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)

的值通常也變大。

當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另

一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變大:當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)通過(guò)典型例題的分

的值通常會(huì)變小。析解決，提升學(xué)生

樣本相關(guān)系數(shù)對(duì)相關(guān)系數(shù)的理解

和運(yùn)用。發(fā)展

ExiVi-n^y

j=l_學(xué)生邏輯推理，直

*x「-nx*y「-ny觀想象、數(shù)學(xué)抽象

i=lYi=l

和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).

素養(yǎng)。

樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[T,1],樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大

小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：

當(dāng)Ir越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

當(dāng)Ir越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，|r|刻畫(huà)了樣本點(diǎn)集中

于某條直線的程度.當(dāng)r=0

時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間

有其他相關(guān)關(guān)系.

3

2

E-0.05

(4)

二、典例解析

例1.根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個(gè)變量是否線

性相關(guān),計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù),并推斷它們的相關(guān)程度.

年齡23273941454950

脂肪9.517.821.225.927.26.28.

532

年齡53545657586061

脂肪29.30.231.430.833.35.34.

6526

參考數(shù)據(jù)：

_141414

x?48.07,SX27.26,Z天為=19403.2,2=34181,^y,2=11051.77

i=li=li=l

解：先畫(huà)出散點(diǎn)圖，如右圖所示觀察散點(diǎn)圖，

可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，

由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).

40

35

30

25

20

15

10

5

0

1

1414

E(xi-^)(yi-y)^XjYi-Uxy

??f—i=l—

請(qǐng)(力同摩行辱2

-14y2

圖xE

19403.2-14x48.07X27.26

?0.97

V34181-14x48.072XV11051.77-14x27.262

由樣本相關(guān)系數(shù)r^O.97,可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線

性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)。脂肪含量與年齡變化趨勢(shì)相同

歸納總結(jié)

1.線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來(lái)判斷變量間的線性相關(guān)程月乏，是定量

的方法.與散點(diǎn)圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的

是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，但不一

定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān).

2.利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時(shí)，通常匕30.75作

比較，若＞0.75,則線性相關(guān)較為顯著，否則不顯著.

例2.有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收:入的總

和）與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如表所示.畫(huà)出散點(diǎn)圖，判斷成對(duì)

樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A

商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的異同.

第n1

123456789

年0

居民

年收3132353734444

32.238

入/億.1.9.8.193.66

元

A商445

品銷303437394124481

25.0

售額/.0.0.0.0.0.0

萬(wàn)元000

解：從散點(diǎn)圖看，A商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性

相關(guān)關(guān)系.

x=38,y=39,

101010

Zxj2=14665,=15835,2xjj=15170,

例3.在某校高一年級(jí)中隨機(jī)抽取25名男生,測(cè)得他們的身高、體

重、臂展等數(shù)據(jù),如下表所示.

解:通過(guò)計(jì)算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為

0.34和0.78,都為正相關(guān).其中，臂展與身高的相關(guān)程度更高.

■■■■E■?on?號(hào)E?>?H

161

1171l?9U1"

217971170ISI7?IM

317517216I7S145

4179ITf17ITS173

IC?82mIBl?91?2

6173IM19IM189

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8170811?9182l70

9l*?S4IM]7t164

10177M17<1”173

11in69170173ICS

1217B?7inI1731<9

13174170

體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？

跟蹤訓(xùn)練1.由于往屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方式大都是“刷題一

一講題一一再刷題”的模式，效果不理想.某市一中的數(shù)學(xué)課堂教

改采用了“記題型一一刷題一一檢測(cè)效果”的模式，并記錄了某學(xué)

生的記題型時(shí)間1（單位：h）與檢測(cè)效果y的數(shù)據(jù)如表所示.

t123456r

r93.33.64.44.85.2j.9

據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與t之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r加以

說(shuō)明（若|r|20.75,則認(rèn)為y與t有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，否則認(rèn)

為沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）.

參考公式及數(shù)據(jù)：相關(guān)系數(shù)==

n______

Z(ti-t)(yi-y)

3—y尸

=7.08,Z(ti-t)(yi-y)=14,[198.24^14.08.

i=l

1+2+3+4+5+6+7

解：由題得t==4,

7

X(t.-t產(chǎn)=9+4+1+0+1+4+9=28,

i=l

3060

2550

40

1530

102葉??

510p,

01234567%01234567〃

圖1圖2

A.x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B.x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C解析：由題圖1可知，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，各點(diǎn)

整體呈遞減趨勢(shì)，故x與y負(fù)相關(guān)；

由題圖2可知，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞

增趨勢(shì)，故u與v正相關(guān).

4.在建立兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模

型，它們的相關(guān)系數(shù)r有如下四個(gè)選項(xiàng)，其中擬合得最好的模型為

()

A.模型1的相關(guān)系數(shù)r為0.75

B.模型2的相關(guān)系數(shù)r為0.55

C.模型3的相關(guān)系數(shù)r為。.25

D.模型4的相關(guān)系數(shù)r為0.90

D解析：D中相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值最接近1,相關(guān)性最強(qiáng)，故選D.

5.假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x(單位：年)與所支出的維修費(fèi)用

y(單位：萬(wàn)元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

已知?；=90,23弋140.8,2＞佻=112.3,乖七8.9,小

比1.4.

⑴求x,y；

(2)對(duì)x,y進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn).

2+3+4+5+6

解：⑴x

—2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

y-5f

5______

(2)Xxiyi-5-7=112.3—5X4X5=12.3,

i=l

5_

Zx：-5x2=90—5X42=10,

i=j

5_

Xy?~5y2=140.8-125=15.8,

i=l

12.312.312.3八…

所以rt1—i—I—?0.987.

^/10X15.8寸158

所以有把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，去求回歸直線方程

是有意義的.

四、小結(jié)

判斷變量的相關(guān)性通常有兩種方式：通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生

1.散點(diǎn)圖；

進(jìn)一步鞏固本節(jié)所

2.相關(guān)系數(shù)r,

學(xué)內(nèi)容，提高概括

前者只能粗略地說(shuō)明變量間具有相關(guān)性，而后者可以從定量的角度

能力。

分析變量相關(guān)性的強(qiáng)弱.

【教學(xué)反思】

課后通過(guò)對(duì)教學(xué)過(guò)程的反思與研究，才能不斷完善教學(xué)設(shè)計(jì)中的不足，才能提升教材分析

的能力和課堂教學(xué)實(shí)效.

1.多元展示，多方評(píng)價(jià).在教學(xué)過(guò)程中我借問(wèn)題牽引，保證了課堂教學(xué)的順利實(shí)施；而在

整個(gè)過(guò)程中，我對(duì)學(xué)生所作練習(xí)、疑問(wèn)及時(shí)解析評(píng)價(jià)；學(xué)生之間、小組之間的互相評(píng)價(jià)補(bǔ)

充，使學(xué)生共享成果分享喜悅，堅(jiān)定了學(xué)好數(shù)學(xué)的信念，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目標(biāo).

2.創(chuàng)造性的使用教材.有別于教材，我在教學(xué)中，讓學(xué)生考察了分別考察了兩類題型之后

再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，這樣更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)生課后反饋，效果較為理想.

<8.1成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系的概念；

2.會(huì)作散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系；

3.會(huì)根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度.

【重點(diǎn)與難點(diǎn)】

重點(diǎn)：相關(guān)關(guān)系的概念及利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系

難點(diǎn)：根據(jù)相關(guān)系數(shù)判斷兩個(gè)變量的相關(guān)程度

【知識(shí)梳理】

1.變量的相關(guān)關(guān)系

相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系;相關(guān)關(guān)系是相對(duì)于函數(shù)關(guān)系而言的.

像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度,

這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系、

相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)

關(guān)系函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系

項(xiàng)目

相同點(diǎn)都是兩個(gè)變量間的關(guān)系

不同點(diǎn)是一種確定關(guān)系是一種非確定關(guān)系

是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系

2.散點(diǎn)圖：成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖.我們

我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖。

3.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)

(1)正相關(guān)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域。對(duì)于

兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱之為正相關(guān)。

(2)負(fù)相關(guān)：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)所作得散點(diǎn)圖中，若點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域。對(duì)于

兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們稱之為負(fù)相關(guān)。

3.線性相關(guān)與非線性相關(guān)

①線性相關(guān):散點(diǎn)圖是描述成對(duì)數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法.一般地，如果兩個(gè)變量的取

值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān);

但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)

變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).

y

12

1010

88?,.

66??,.

44':.

22,

002468101214x002468101214x

(2)(3)

4.樣本相關(guān)系數(shù)

我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).

1.下列關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是.(填序號(hào))

①曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系；

②蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；

③森林中同一種樹(shù)木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系;

④學(xué)生與其學(xué)號(hào)之間的關(guān)系.

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、問(wèn)題探究

我們知道,如果變量y是變量工的函數(shù),那么由x就可以唯一確定y.然而，現(xiàn)實(shí)世界中還存

在這樣的情況:兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但密切程度又達(dá)不到函數(shù)關(guān)系的程度.例如,人的體重

與身高存在關(guān)系，但由一個(gè)人的身高值并不能確定他的體重值,那么，該如何刻畫(huà)這兩個(gè)變量

之間的關(guān)系呢?下面我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題.

我們知道,一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系,一般而言,個(gè)子高的人往往體重值較大,個(gè)子矮

的人往往體重值較小，但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛

煉、睡眠時(shí)間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素，像這樣,兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有

確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系(correlation).

兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在，例如：

1.子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系,一般來(lái)說(shuō),父親的個(gè)子高,其子女的個(gè)子也會(huì)比較

高;父親個(gè)子矮,其子女的個(gè)子也會(huì)比較矮，但影響子女身高的因素,除父親身高外還有其他

因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等,因此父親身高又不能完全決定子女身高.

2.商品銷售收人y與廣告支出x之間的關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)，廣告支出越多，商品銷售收入越高，

但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素,商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等

因素有關(guān)。

3.空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系，一般來(lái)說(shuō),汽車保有量增加,空氣污染指數(shù)會(huì)

上升，但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活

和取曖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素。

4.糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系,在一定范圍內(nèi)，施肥量越大,糧食畝產(chǎn)量就越高，但

施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因索，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管

理水平等因素的影響。

探究1:在對(duì)人體的脂肪的含量和年齡之間關(guān)系的研究中,科研人員獲得了一些年齡和脂肪

含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù),如表所示,表中每個(gè)編號(hào)下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對(duì)同一個(gè)

體的觀測(cè)結(jié)果,它們構(gòu)成了成對(duì)數(shù)據(jù)。

編號(hào)1234567

年齡23273941454950

脂肪9.517.821.225.927.526.328.2

編號(hào)891011121314

年齡53545657586061

脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推新人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？

成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖.我們我們把這樣

的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)檄

40

35

30

25

20

15

10

5

O

1

20253035404550556065年齡/歲

由散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值

的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增高的趨勢(shì).這樣，由成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以

推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.

變量相關(guān)關(guān)系的分類

(D正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，

我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)、當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，

另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)，稱這兩個(gè)變量徽相美?.

探究2.通過(guò)觀察散點(diǎn)圖中成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們可以大致推斷兩個(gè)變量是否存在

相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等，散點(diǎn)圖雖然直觀,但無(wú)法

確切地反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度,也就無(wú)法量化兩個(gè)變量之間相關(guān)程度的大小.能否像

引入平均值、方差等數(shù)字特征對(duì)單個(gè)變量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析那樣，引入一個(gè)適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特

征”，對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？

對(duì)于變量x和變量y,設(shè)經(jīng)過(guò)隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)數(shù)據(jù)為(x,y),(x,y),…，(x,y),

1122nn

甘木一X1+X2+…+Xn_y+y+-+y

具中x=------------2,y=2------n-------

nn

將數(shù)據(jù)以區(qū)刃為零點(diǎn)進(jìn)行平移,得到平移后的成對(duì)數(shù)據(jù)為：

X

(1-x,yi-y),(x2-X,y2-y),..(xn-x,yn-y)

繪制散點(diǎn)圖為

40

35

30

25

20

15

10

5

O

1

平移

這時(shí)的散點(diǎn)大多數(shù)分布在第一象限、第三象限，大多數(shù)散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)同號(hào)，顯然，這樣的

規(guī)律是由人體脂肪含量與年齡正相關(guān)所決定的。

探究3：根據(jù)上述分析，你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)平移后星現(xiàn)的規(guī)

律，構(gòu)造一個(gè)度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎？

根據(jù)散點(diǎn)圖特征，初步構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量.利用散點(diǎn)(方-又)物-刃,。=L2,...n)的

橫縱坐標(biāo)是否同號(hào),可以構(gòu)造一個(gè)量

4=：[(*「司(弘5)+12-,(%…+(X"G)(y.J)]

一般情形下,L>0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；L〈0表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

xyxy

問(wèn)題1:L的大小一定能度量出成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎？

xy

我們發(fā)現(xiàn)，L的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不能直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程

xy

度的大小.

451啊網(wǎng)伉一。中叫10虱(程-Ji心叫一叫(瑪->?)]=叫

在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時(shí),如果體重的單位不變,把身高單位由米改為厘米,單位

的改變不會(huì)改變體重與身高之間的相關(guān)程度.為了消除單位的影響，進(jìn)一步做“標(biāo)準(zhǔn)化”處

理為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為

(Xi',yi'),(X2',y2'),...,(Xn',yn')

仿照L的構(gòu)造，可以得到

xy

4=：［（*「今（弘~）+127）（%7）+?+（07）（人7）］

分別除x「天和％—y（i=1,2,3…,n）得（號(hào)，號(hào)），（軍，號(hào)），…,（甘，號(hào)）

1..................￡（xi-x）（yi-y）國(guó)尸酉

1-11_1

r=；XJ+x2y2+…+X"￡,）=In_2In_2=下=_2In-----------

酊-x）臥T唇"nx"ny

樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，

它的正負(fù)和絕對(duì)值的大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征：

當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變

小;當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常也變大。

當(dāng)「〈0時(shí)?，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變小時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變

大:當(dāng)其中一個(gè)數(shù)據(jù)的值變大時(shí)，另一個(gè)數(shù)據(jù)的值通常會(huì)變小。

樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為［T,1］,樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)

據(jù)之間線性相關(guān)的程度：

當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

當(dāng)S越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

樣本相關(guān)系數(shù)r有時(shí)也稱樣本線性相關(guān)系數(shù)，|r|刻畫(huà)了樣本點(diǎn)集中于某條直線的程度.當(dāng)

r=0

時(shí)，只表明成對(duì)樣本數(shù)據(jù)間沒(méi)有線性相關(guān)關(guān)系，但不排除它們之間有其他相關(guān)關(guān)系.

-3?--------------??一

-4-2024x

n=0.24

(3)

二、典例解析

例1.根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù),推斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān),計(jì)算樣本相關(guān)系

數(shù),并推斷它們的相關(guān)程度.

年齡23273941454950

脂肪9.517.821.225.927.526.328.2

年齡53545657586061

脂肪29.630.231.430.833.535.234.6

參考數(shù)據(jù):

__141414

2

x?48.07,y?27.26,￡xiyi=19403.2,=34181,=11051.77

/=!/=1i=l

1.線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來(lái)判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法.與散點(diǎn)圖相比

較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值小，只是說(shuō)明線性

相關(guān)程度低，但不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān).

2.利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時(shí)，通常與0.75作比較，若［r|>0.75,則

線性相關(guān)較為顯著，否則不顯著.

例2.有人收集了某城市居民年收入（所有居民在一年內(nèi)收入的總和）與A商品銷售額的10

年數(shù)據(jù)，如表所示.畫(huà)出散點(diǎn)圖，判斷成對(duì)樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)推

斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢(shì)的異同.

第n年12345678910

居民年收入/億

32.231.132.935.837.138394344.646

元

A商品銷售額/萬(wàn)

25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

元

例3.在某校高一年級(jí)中隨機(jī)抽取25名男生,測(cè)得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù),如下表

所示

［體重/kg曾展/cm

90-----------190

85-----------185

180

175

170

165

160

155

165170175180185

185身高/cm

(1)

體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性？

跟蹤訓(xùn)練1.由于往屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)方式大都是“刷題一一講題一一再刷題”的

模式，效果不理想.某市一中的數(shù)學(xué)課堂教改采用了“記題型一一刷題——檢測(cè)效果”的

模式，并記錄了某學(xué)生的記題型時(shí)間t（單位：h）與檢測(cè)效果y的數(shù)據(jù)如表所示.

t1234567

y2.93.33.64.44.85.25.9

據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與t之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r加以說(shuō)明（若Irl'O.75,則

認(rèn)為y與t有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，否則認(rèn)為沒(méi)有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系）.

E(ti-t)(yi-y)

i=1——

參考公式及數(shù)據(jù):相關(guān)系數(shù)r=/，y=4.3,工

A/E(tLt)、/(y.-y)2i=l

(yi—y)'=7.08,g(ti—t)(yi—y)=14,4198.24=14.08.

i=l

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.判斷（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）.

（1）變量之間只有函數(shù)關(guān)系，不存在相關(guān)關(guān)系.（）

（2）兩個(gè)變量之間產(chǎn)生相關(guān)關(guān)系的原因受許多不確定的隨機(jī)因素的影響.（）

（3）兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強(qiáng).（）

（4）若相關(guān)系數(shù)r=0,則兩變量x,y之間沒(méi)有關(guān)系.（）

2.下列各圖中所示的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的是（）

3.對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)（xi,yj（i=l,2,3,…，10）,得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u,v有觀測(cè)

數(shù)據(jù)（u、，v）（i=l,2,3,…，10）,得散點(diǎn)圖2,由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以斷定（）

30

25

20

15

10

5

01234567%

圖1圖2

A.x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B.x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

C.x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)

4.在建立兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)系數(shù)r有

如下四個(gè)選項(xiàng)，其中擬合得最好的模型為（）

A,模型1的相關(guān)系數(shù)r為0.75

B.模型2的相關(guān)系數(shù)r為0.55

C.模型3的相關(guān)系數(shù)r為0.25

D.模型4的相關(guān)系數(shù)r為0.90

5.假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限x（單位：年）與所支出的維修費(fèi)用y（單位：萬(wàn)元）有如下統(tǒng)

計(jì)資料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

5

已知Zx：=90,〉'沁140.8,Zx,y；=112.3,乖48.9,正%1.4.

⑴求x,y；

(2)對(duì)x,y進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn).

【課堂小結(jié)】

判斷變量的相關(guān)性通常有兩種方式：

1.散點(diǎn)圖；

2.相關(guān)系數(shù)r,

前者只能粗略地說(shuō)明變量間具有相關(guān)性，而后者可以從定量的角度分析變量相關(guān)性的強(qiáng)

弱.

【參考答案】

知識(shí)梳理

1.②③解析：利用相關(guān)關(guān)系的概念進(jìn)行判斷.①④中兩個(gè)變量之間的關(guān)系是一種確定性

關(guān)系，而②③中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不確定的，所以它們具有相關(guān)關(guān)系.

學(xué)習(xí)過(guò)程

一、問(wèn)題探究

探究1：成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖.我們我

們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖

40

35

30

25

20

15

10

5

O

1

問(wèn)題1：我們發(fā)現(xiàn)，Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不能直接用它度量成對(duì)樣本數(shù)據(jù)

相關(guān)程度的大小.

1a1a

4=口。映磯K必-i叫仙J)+TGTA磯匕->)]1嗎

二、典例解析

例1.解：先畫(huà)出散點(diǎn)圖，如右圖所示觀察散點(diǎn)圖,

可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，

由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).

40

35

30

25

20

15

10

5

0

1

14__14―

斗^XjYi-Uxy

必;;4胃崗1時(shí)

Vi=lVi=l

19403.2-14x48.07x27.26

'?V34181-14X48.072XV11051.77-14x27.262?'

由樣本相關(guān)系數(shù)r^O.97,可以推斷脂肪含量和年齡這兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很

強(qiáng)。脂肪含量與年齡變化趨勢(shì)相同.

歸納總結(jié)

例2.解：從散點(diǎn)圖看，A商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系.

x=38,y=39,

101010

Zxi?=14665，捷2=15835,=15170,

i=li=1i=1

x0.95

例3.解:通過(guò)計(jì)算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為0.34和0.78,都

為正相關(guān).其中，臂展與身高的相關(guān)程度更高.

普展/cm

190