【題型歸類大全】2023年備考一輪復(fù)習學(xué)案（理科數(shù)學(xué)）考點05：函數(shù)的單調(diào)性與最值

【題型歸類大全】2023年高考一復(fù)習學(xué)案（理科數(shù)學(xué)）

考點05：函數(shù)的單調(diào)性與最值

［考綱傳真］

L理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x.

2.會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).

［命題分析］

1.集合作為高考必考內(nèi)容，多年來命題較穩(wěn)定，多以選擇題形式在前3題的位置

進行考查，難度較小.命題的熱點依然會集中在集合的運算方面，常與簡單的一元二

次不等式結(jié)合命題.

2.高考對常用邏輯用語考查的頻率較低，且命題點分散，其中含有量詞的命題的

否定、充分必要條件的判斷需要關(guān)注，多結(jié)合函數(shù)、平面向量、三角函數(shù)、不等式、

數(shù)列等內(nèi)容命題.

［題型歸類］

1.集合的含義與表示

2..集合間的基本關(guān)系

3.集合的基本運算

4.德摩根定律在集合計算的運用

5.韋恩圖在集合與數(shù)量關(guān)系問題中的運用

6.利用集合的運算求參數(shù)

7.集合與其他知識的綜合問題

8.集合的新定義問題

題型一：確定函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

知識與方法

1.增函數(shù)、減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)

定一般地，設(shè)函數(shù)F（x）的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間〃上的任意兩

義個自變量的值①，也

當汨〈總時，都有VfG),那么就當用<用時，都有>八尼),那么

說函數(shù)f(x)在區(qū)間〃上是增函數(shù)就說函數(shù)/'(X)在區(qū)間。上是減函數(shù)

圖y/月㈤

象系”

描0XlX2X

述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

2.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論

(1)對Vxi,〃(為#論)，'*T->Oof(x)在〃上是增函數(shù),

X\—X2

'_1*'<o0/u)在〃上是減函數(shù).

(2)對勾函數(shù)尸x+'(a>0)的增區(qū)間為(一8,一5]和十8),減區(qū)間為[—

X

yfa,0)和(0,y[a].

(3)在區(qū)間〃上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù).

(4)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異

減”.

3.確定函數(shù)單調(diào)性的4種方法

(1)定義法.利用定義判斷.

(2)導(dǎo)數(shù)法.適用于可以求導(dǎo)的函數(shù).

(3)圖象法.由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)

定義域的子集；二是圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用''和"或“，”連接，不能

用“U”連接.

(4)復(fù)合函數(shù)法.對于函數(shù)y=f(g(x)),先確定y=f(v),v=g(x)的單調(diào)性，再

利用“同增異減”的原則確定y=f(g(x))的單調(diào)性.

易錯警示：確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)確定單調(diào)性(區(qū)

間).

4.熟記函數(shù)單調(diào)性的4個常用結(jié)論

(1)若f(x),g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)也是區(qū)間A上的增

(減)函數(shù)；

(2)若k>0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；

(3)函數(shù)y=f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y=-f(x),—的單調(diào)性相

IX

反；

(4)函數(shù)y=f(x)(f(x)20)在公共定義域內(nèi)與y=Vf~x-的單調(diào)性相同.

5.單調(diào)函數(shù)的兩種等價變形

設(shè)任意X”及￡［a,6］且為〈尼，那么

(I)‘-"」—/一x一〉0o/x)在［a,⑸上是增函數(shù)；,一八―一/-X—V0QF(X)

乂一為X\—X2

在［a,6］上是減函數(shù).

⑵(%一論)［F(幻一/1&)］>Oof(x)在［a,6］上是增函數(shù)；(為一刀2)—f(x-2)

.］<0o/(x)在［a,6］上是減函數(shù).

-例1函數(shù)/'3=門(9一2矛一8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—8,-2)B.(—8,1)

C.(1,+°°)D.(4,+°0)

解析：［由，-2x—8〉0,得%>4或點一2.

設(shè)2x—8,則y=ln1在te(0,+8)上為增函數(shù).

欲求函數(shù)/'(*)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)％=V一2*—8的單調(diào)遞增區(qū)間.

?.?函數(shù)。=4—2x—8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+8),

函數(shù)/"(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4,+8).

故選D.］

＞例2已知函數(shù)f(x)=\，—2X—3,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(—8,1]B.[3,+°0)

C.(—8,-1]D.[1,+8)

解析：選B設(shè)￡=，一2x—3,由t，0,得家一2x—320,解得xW—1或*23.

所以函數(shù)f(x)的定義域為(一8,—1］U［3,+°°).因為函數(shù)￡=*—2x—3的圖象

的對稱軸為x=l,所以函數(shù)t在(-8,—1］上單調(diào)遞減，在［3,+8)上單調(diào)遞增.所

以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［3,+8).

＞例3求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：尸一f+2|x|+l；

—x+2^r+1x20

解析：由于y=＜

—x~2x-\-1xVO

x—1'+2x20

即y=<

x+1~+2xVO

畫出函數(shù)圖象如圖所示,單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1］和［0,1］,單調(diào)遞減區(qū)間為

［―1,0］和［1,+°°).

＞例4下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.y=yjx+lB.y=(^―I)2

A

C.y=2-D.y=logo.5(^+l)

解析A項，函數(shù)尸5+1在［-1,+8)上為增函數(shù)，所以函數(shù)在(0,+8)上為增

函數(shù)，故正確；B項，函數(shù)y=(x—1尸在(一8,1)上為減函數(shù)，在［1,+8)上為增

函數(shù)，故錯誤;C項，函數(shù)y=2'=(g)'在R上為減函數(shù)，故錯誤；D項，函數(shù)y=logo,5(x

+1)在(-1,+8)上為減函數(shù)，故錯誤.

題型二：圖像法確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

知識與方法

復(fù)合函數(shù)，應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)

性，再根據(jù)“同則增，異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

＞例1下列函數(shù)中，圖象是軸對稱圖形且在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減的是（B）

1

A.y=~B.y=-7+l

x

x

C.y=2D.y=log2|%|

解析：因為函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，所以排除A,C,又『=一寸+1在（0,4-

8）上單調(diào)遞減，y=log2|x|在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以排除D.故選B.

＞例2函數(shù)變?yōu)槭瑋-/+2x+11的單調(diào)區(qū)間

解析：函數(shù)y=|—f+2萬+11的圖象如圖所示.由圖象可知，函數(shù)y=|一f+2矛

+11的單調(diào)遞增區(qū)間為（1—鏡，1）和（1+啦，+8）；單調(diào)遞減區(qū)間為（一8,1一?。?/p>

和（1,1+啦）.

＞例3已知函數(shù)F（x）=*—2ax—3在區(qū)間［1,2］上具有單調(diào)性，則實數(shù)a的取值范圍為

解析函數(shù)/1（?=f—2且矛―3的圖象開口向上，對稱軸為直線x=a,畫出草圖如圖

所示.

由圖象可知函數(shù)在（-8,目和［a,+8）上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f（x）在區(qū)間

［1,2］上具有單調(diào)性，只需aWl或a22,從而（—8,1］u［2,+°°）.

題型三：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）

＞例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=log1（/-3A+2）.

解析：令u=*—3x+2,則原函數(shù)可以看作y=log|u與"=*—3x+2的復(fù)合函

數(shù).

令u=*-3x+2>0,則xVl或*>2.

，函數(shù)尸log1(x?-.3x+2)的定義域為(一8,1)u(2,+°°).

3

又u=y-3x+2的對稱軸x=5，且開口向上.

.?.”=*2—3*+2在(-8,1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,+8)上是單調(diào)增函數(shù).

而尸lo叼u在(0,+8)上是單調(diào)減函數(shù)，

.,.y=log^(7—3jr+2)的單調(diào)減區(qū)間為(2,+°°),

單調(diào)增區(qū)間為(-8,1).

-例2函數(shù)M=log1(/-4)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,+8)B.(—8,0)

C.(2,+8)D.(—8,-2)

解析：因為y=log|z在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函

數(shù)t=*-4的單調(diào)遞減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域，可知所求區(qū)間為(-8,-2).

題型四：分段函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

x+1,x20,

?例1函數(shù)f(x)=,在R上是()

X—1,A<0

A.減函數(shù)B.增函數(shù)

C.先減后增D.無單調(diào)性

解析：選B作出函數(shù)/'(x)的圖象如圖所示，由圖結(jié)合單調(diào)性的定義可知，此函

數(shù)在R上是增函數(shù).

(a,x>l,

>例2已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值

II4--L+2,xWl

范圍是()

A.(1,+8)B.[4,8)

C.(4,8)D.(1,8)

解析：選B由f(x)在R上是增函數(shù)，

7>1,

a

則有42'解得4Wa<8.

5圄+2Wa,

題型五：解析式含參函數(shù)的單調(diào)性

響1試討論函數(shù)/?3=含("。)在(一1,1)上的單調(diào)性.

X|—lX2—1

由于一1<水&<1,

所以尼—區(qū)>0,X\—1<0?X2—1<0,

故當a>0時,—f(x2)>。，即/'(xj>f(x2)，

函數(shù)f(x)在(一1,1)上遞減；

當水0時，F(xiàn)（xJ—￡（尼）〈0，即/'（X）"（X2）,

函數(shù)f（x）在（一1,1）上遞增.

綜上，當a＞0時，f（x）在上單調(diào)遞減；當水0時，f（x）在（-1,1）上單調(diào)遞增.

響2已知a〉0,函數(shù)f（x）=x+：（x＞。），證明：函數(shù)/V）在（0,5］上是減函數(shù),

在［,，+8）上是增函數(shù).

解析：方法一任意取乂＞涇＞0,則

/（苞）=［%+力一］也+?

aa/\,ax—x

=(崗―即)+=(%—涇)+-----2---x

a

=（蒞一涇）1

a

當/2為＞%＞0時,為一%>0,1—<0,

為及

有F(x])—f1x)<0,即f(xi)<f(x2),

此時'函數(shù)F3=x+?a＞0）在（0,5］上為減函數(shù);

a

當為＞也時，X1—%＞0,1一>0,

有f(xi)-f(xj>0,即F(xi)>f(否)，

此時，函數(shù)f（x）=x+；（a＞0）在+8）上為增函數(shù);

綜上可知，函數(shù)f（x）=x+?（a＞0）在（0,y［a］上為減函數(shù)，在［、-，+8）上為增函數(shù).

方法二/3=14,令，方＞。,則1—令。,

解得x＞、3或矛＜一五（舍）.令/（x）＜0,則1—寧＜0,解得一F（矛《,

Vx＞0,/.0＜x＜.y［~a.

故F（x）在（0,上為減函數(shù)，在［一,+8）上為增函數(shù).

題型六：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值(值域)

知識與方法

一、求函數(shù)值域的幾個常見類型

1若所給函數(shù)能夠判斷單調(diào)性，可直接利用單調(diào)性求解.

2形如求函數(shù)尸蜃行的值域或最值，可先將函數(shù)解析式變?yōu)槟芘_的形

式，再用單調(diào)性求解.

3分段函數(shù)的最值，先求每一個子區(qū)間上的最值，則各個區(qū)間上最大值中的

最大者為分段函數(shù)的最大值，各個區(qū)間上最小值中的最小值作為分段函數(shù)的最小值.

二、函數(shù)最值的有關(guān)結(jié)論

(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值.當函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時最

值一定在端點取到.

(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(最小值).

3Y—1

a例函數(shù)才￡的值域為.

1Ax)x+2[-5,-3]

解析：當時，函數(shù)/為減函數(shù)，所以/"(X)在x=l處取得最大值，為

r(l)=l;當XVI時，易知函數(shù)f(x)=-f+2在x=0處取得最大值，為/'(0)=2.

故函數(shù)M的最大值為2.

1

＞例2函數(shù)尸(習丁+1的值域為(C)

z1

,A

n_

zn

\-

B._

D.±1

_+8

Z0

_-

1

解析：因為第20,所以V+121,即*^(0,1],故人=(；了+1e1).

2019r+l+2017

?例3已知a>0,設(shè)函數(shù)f(x)=—罰一(xe［—a,a］)的最大值為機最

小值為N,那么M+N=(D)

A.2017B.2019

C.4032D.4036

2019v+I+20172

解析：由題意得M=—「ng』］—=2019-,,,,Vy=2019"+1在［一

乙w1.17~I~L乙9Un_iLQyIL

9

a,句上是單調(diào)遞增的，.?.F(x)=2019--在i司上是單調(diào)遞增的，.??物

22

=r(a),N=f(~a),：.M+N=f(a)+f(~a)=4038—036.

乙\zXtzIkCJVXIk

?1例2函數(shù)F(x)在區(qū)間［a,8］上的最大值是1,最小值是1，則a+b.=

x—13

解析：易知/'(x)在［a,6］上為減函數(shù),

a=2,

8=4.

J17!1

a+6=6.

>例4函數(shù)f(x)=J*的最大值為

l—f+2,x<1

解析：當心1時，函數(shù)f(x)W為減函數(shù)，所以f(x)在戶1處取得最大值，為f⑴

=1；當水1時，易知函數(shù)/'(x)=—4+2在x=0處取得最大值，為/'(0)=2.

故函數(shù)f{x)的最大值為2.

題型七：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小

知識與方法

比較大小.比較函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用

函數(shù)的單調(diào)性解決.

??例1已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當房>%>1時,

［/(蒞)一(用一及)V0恒成立，設(shè)(3=(—3),b=/(2),c=f(3),則a,A,c的

大小關(guān)系為()

A.c>a>bB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>c

解析：因為f(x)的圖象關(guān)于直線x=i對稱.由此可得4一曰=4號,由房>凡>1

時，"(就一fUON%—xjvo恒成立,知f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

因為1V2〈|V3,所以/'(2)>，|)>f(3),所以b>a>c

>例2已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=/(n—x),且當xG1一5，5J時，/'(x)=e'+sin

必則()

A.Al)<f(2)<f(3)B.A2)<f(3)<f(l)

c.A3XA2XA1)D./(3XA1XA2)

解析：選D由f(x)=f(n—X),

得f(2)=f(Ji—2),A3)=f(n-3).

(nJTAn

由f(x)=e*+sinx,得函數(shù)f(x)在(一萬，萬J內(nèi)單調(diào)遞增.又一］〈“一3<1〈n

JT

-2〈萬，

.\A"-2)>AD>/("-3)..,.f(2)>/(l)>/(3).

>例3已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2e)=—/(*)(其中e=2.7182…)，

且在區(qū)間［e,2e］上是減函數(shù)，令戶竽仁竽一柴則川)，9，&)的

大小關(guān)系(用不等號連接)為(A)

A.f(b)>f(a)>f(c)B.

C.f(a)〉f(8)>f(c)D.f(a)〉f(c)>f(6)

解析：是R上的奇函數(shù),滿足f(x+2e)=-F(x),，f(x+2e)=f(-x),

...函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=e對稱，在區(qū)間［e,2e］上為減函數(shù)，.?.F(x)在

區(qū)間［0,e］上為增函數(shù)，又易知0<。<水為e,.?./■(，)</>(知<f(b),故選A.

??例4已知函數(shù)f(x)=logzx十一一，若x?(l,2),X2G(2,+°°),則()

1—x

A.A^iXO,f(X2)<0B.f(4)<0,f(&)>0

C.r(%i)>o,f(X2)<0D.f(幻>0,f(出)〉0

答案B

解析?函數(shù)f(x)=log2x+yL在(1,+8)上為增函數(shù)，且/1(2)=0,

.?.當石￡(1,2)時,f(xJ<f(2)=0,

當而￡(2,+8)時，f(藥)〉f(2)=0,

即/■(幻<0,f(X2)>0.

題型八：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式

知識與方法

解不等式.在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“嚴

符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解.此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域.

>例1已知函數(shù)f(x)=x+sinx,x《(-1,1),則滿足/(a2—1)+/(a—1)>0

的a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(1,?

C.(1,2)D.(0,血

解析：由題意知F(—x)=(―x)"+sin(—x)=-A3—sinx=—(/+sinx)=一

f(x),(—1,1)，

在區(qū)間(一1,1)上是奇函數(shù).

又f(x)=3*+cosx>0,

在區(qū)間(—1,1)上單調(diào)遞增,

(才一l)+f(a—1)>0,

—f(a—1)—1),

r-i<i-a<i,

2

{-l<a-l<l,解得IVa<鏡,故選B

>例2已知/l(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是()

A.(—8,1)B.(1,+°°)

C.(一8,o)U(0,1)D.(一8,0)U(1,+8)

1V—1

解析：選D依題意得-VI,即——>0,所以x的取值范圍是x>l或x<0.

XX

?例3F(x)是定義在(0,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f(xy)=f(x)+/(y),f(3)

=1,當/'(x)+f(x—8)W2時，x的取值范圍是()

A.(8,+8)B.(8,9]C.[8,9]D.(0,8)

解析:2=1+1=A3)+A3)=f(9),由f(x)+f(x-8)W2,可得f|>(x—8)]Wf(9),

因為f(x)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，

Z>0,

所以有1x-8>0,解得8<xW9.

*—8W9,

題型九：應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍

知識與方法

利用單調(diào)性求參