高中數(shù)學(xué)不等式的解法(習(xí)題課)+必修一復(fù)習(xí)+必修四期末測(cè)試題

高中數(shù)學(xué)不等式的解法

(習(xí)題課)+必修一專題復(fù)習(xí)+必修四期末測(cè)試題

不等式的解法(習(xí)題課)

【復(fù)習(xí)目標(biāo)】

1.能利用解不等式的手段解決含參數(shù)的不等式的綜合問(wèn)題;

2.滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想。

【課前預(yù)習(xí)】

1.下列各組不等式中同解的是

()

B.2-3x+3H——!—>-~-與

A.x>6與X(X-5)2>6(x-5)2x

x-3x—3

—3x+2>0

C.J2x+1(x—2)N0與XN21).————>0與》2—2》一3>0

(X+2)2(X+1)

2.已知關(guān)于X的不等式ax?+bx+c>0的解集為｛x[。<x<，｝其中B>a>0,則

ex2+bx+a>0的解集是_____________________________

3.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式

(a-3b)x+(。-2d)〉0的解集是

4.若不等式的解集為>則a=

5.不等式的解集是

【典型例題】

例1若使不等式同時(shí)成立的x的值使關(guān)于x的不等式

也成立，求a的范圍。

例2設(shè)二次函數(shù)/(x)=o?+法對(duì)一切實(shí)數(shù)都有|/(x)區(qū)1,證明：對(duì)一

切xe[-l,l],^W|2tu+Z>|<4.

例3已知湖.足不等式1x2—4x+p|+|x-3|W5的x的最大值為3.

(1)求P的值；

(2)若/口人口二1,解關(guān)于x的不等式/T(x)>log?匕土

px+1k

【鞏固練習(xí)】

1.若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則k的取值范圍為。

2.若不等式，4x—心的解集為{x|0vxK4},則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

A.a<0B.a>0C.a<4D.a<0

【本課小結(jié)】

【課后作業(yè)】

1.已知|x+y|=4,求xy的最大值。

Q2

2.解關(guān)于x的不等式：可尤―4《胃(”>0)

3.設(shè)a,beR,關(guān)于x的方程/+以+。=()的實(shí)根為a、B，若|a|+1b|<1.求證：

|a|<1,且|戶|<1.

4.設(shè)P=(logzX)2+(t—2)log2X—1+1,若t在區(qū)間［-2,2］上變動(dòng)時(shí),P恒為正值，試求x的變

化范圍.

不等式的解法

6.下列各組不等式中同解的是

()

2cc]X_2,

A.x>6與x(尤—5)2>6(x-5)2B.x-3x+3H------->-------與

x-3x—3

—3x+2>0

C.J2x+1(x—2)20與XN2D.——---------->0與》2-2*—3>0

(X+2)2(X+1)

7.已知關(guān)于x的不等式依2+法+c>0的解集為卜|。<犬<乃｝其中B〉a>0,則

ex?+匕x+a>0的解集是。

8.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式

(a-3b)x+(。-2a)〉0的解集是。

9.若不等式的解集為，則@=。

10.不等式的解集是

【典型題】

1若使不等式同時(shí)成立的x的值使關(guān)于x的不等式

也成立，求a的范圍。

例2設(shè)二次函數(shù)/(x)=??+bx+c對(duì)一切實(shí)數(shù)xe[―1,1],都有|/(x)區(qū)1,證明：對(duì)一

切xe[—1,1],都有12ax+。區(qū)4.

例3已知滿足不等式|x2-4x+p|+|x—3|W5的x的最大值為3.

(3)求p的值；

(4)若/(x)=m,解關(guān)于x的不等式/'TCOAlog.上.

px+1k

【鞏固練習(xí)】

3.若函數(shù)的定義域?yàn)镽,則k的取值范圍為o

4.若不等式,4x—f的解集為｛x|0vxK4｝,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

()

a)?<0B.a>0C.a<4D.a<0

3；已知|x+y|=4,求xy的最大值。

QZ

4.解關(guān)于x的不等式：A(x-a|<—(?>0)

5.設(shè)aSeR關(guān)于x的方程/+公+。=0的實(shí)根為a、p,若|a|+g|<l.求證：

且

6.設(shè)P=(log2X)，(t-2)log2X-t+l,若t在區(qū)間［-2,2］上變動(dòng)時(shí)，P恒為正值，試求x的變化

范圍.

第一章集合與函數(shù)概念

知識(shí)架構(gòu)

第一講集合

★知識(shí)梳理

集合的含義及其關(guān)系

1.集合中的元素具有的三個(gè)性質(zhì):確定性、無(wú)序性和互異性;

2.集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖;

3.集合中元素與集合的關(guān)系：

文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

屬于

不屬于￡

4.常見(jiàn)集合向符號(hào)表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集

符號(hào)

N上或KZQRC

集合間的基本關(guān)系

表示文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

關(guān)系

相等集合A與集合B中的所有元素AqB且Ao

都相同A=B

子集A中任意一元素均為B中的元A=B或B=A

素

真子集A中任意一元素均為B中的元A臬B

素，且B中至少有一元素不是

A的元素

空集空集是任何集合的子集，是任

(/)三A,6展B(Bw°)

何非空集合的真子集

三：集合的基本運(yùn)算

①兩個(gè)集合的交集：AB=｛x|xeAELreB｝;

②兩個(gè)集合的并集：A5=xeA^xe;

③設(shè)全集是U,集合A=U,則CuA=A)

交并補(bǔ)

A=B}CuA=|x|xeU且xeA}

G￡)?o

方法:常用數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)三種運(yùn)算.

★重、難點(diǎn)突破

重點(diǎn)：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補(bǔ)三種運(yùn)算。

難點(diǎn)：正確把握集合元素的特征、進(jìn)行集合的不同表示方法之間的相互轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確進(jìn)行集合

的交、并、補(bǔ)三種運(yùn)算。

重難點(diǎn)：

1.集合的概念

掌握集合的概念的關(guān)鍵是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合中元素的互異性，

在解題過(guò)程中最易被忽視，因此要對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)；

2.集合的表示法

(1)列舉法要注意元素的三個(gè)特性：(2)描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的

性質(zhì)，如｛切=/(乃｝、｛中=/(?｝、｛(x,y)|y=/(%)｝等的差別，如果對(duì)集合中代表元

素認(rèn)識(shí)不清，將導(dǎo)致求解錯(cuò)誤：

'221'I

問(wèn)題：已知集合工+匕=4”=|引已+2=11,貝i」McN=()

194J1*32J

A.①；B.{(3,0),(0,2)}；C.[-3,3]；D.{3,2}

22

［錯(cuò)解］誤以為集合M表示橢圓］+\=l，集合N表示直線;+?1=1，由于這

直線過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，于是錯(cuò)選B

［正解］C；顯然M=M-34XW3},N=R,故〃nN=［—3,3］

（3）Venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關(guān)問(wèn)題和集合的運(yùn)算時(shí)常

用Venn圖。

3.集合間的關(guān)系的幾個(gè)重要結(jié)論

（1）空集是任何集合的子集，即。qA

（2）任何集合都是它本身的子集，即A&A

（3）子集、真子集都有傳遞性，即若AqB,B三C,則AgC

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)

（1）交集：①408=8口4；②AC|A=A；③4（1。=。；④AClBcA,

(2)并集：①AUB=BUA；②AUA=A；③AU0=A；④AU8衛(wèi)A,AU8衛(wèi)8

⑤AUB=A=8=A；

（3）交、并、補(bǔ)集的關(guān)系

①An，A="；AUQA=U

②C°(AClB)=(GA)U(QB)；Q(AU3)=(QA)A(Q,B)

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析

考點(diǎn)一：集合的定義及其關(guān)系

題型1：集合元素的基本特征

［例1］（2008年江西理）定義集合運(yùn)算：A*3={z［z=Ay，尤￡Ay￡3}.設(shè)

A={1,2},3={0,2},則集合A*6的所有元素之和為（）

A.0；B.2；C.3；D.6

［解題思路］根據(jù)A*8的定義，讓x在A中逐一取值，讓y在8中逐一取值，町在值就是

A*3的元素

［解析］:正確解答本題，必需清楚集合中的元素，顯然，根據(jù)題中定義的集合運(yùn)算知

A*6={0,2,4},故應(yīng)選擇D

【名師指引】這類將新定義的運(yùn)算引入集合的問(wèn)題因?yàn)楸尘肮?所以成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，

這時(shí)要充分理解所定義的運(yùn)算即可，但要特別注意集合元素的互異性。

題型2：集合間的基本關(guān)系

［例2］.數(shù)集X={(2〃+1)4,〃€2}與丫={(4左土1)萬(wàn),女eZ}之的關(guān)系是()

A.x展y；B.y^x；c.x=y；D.X^Y

［解題思路］可有兩種思路：一是將x和y的元素列舉出來(lái)，然后進(jìn)行判斷；也可依選擇支之

間的關(guān)系進(jìn)行判斷。

［解析］從題意看，數(shù)集x與y之間必然有關(guān)系，如果A成立，則D就成立，這不可能；

同樣，B也不能成立；而如果D成立，則A、B中必有一個(gè)成立，這也不可能，所以只能是C

【名師指引】新定義問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn),解決這類問(wèn)題的辦法就是嚴(yán)格根據(jù)題中的定義,

逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，不方便進(jìn)行檢驗(yàn)的，就設(shè)法舉反例。

［新題導(dǎo)練］

1.第二十九屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京

奧運(yùn)會(huì)比賽的運(yùn)動(dòng)員},集合B={參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的男運(yùn)動(dòng)員},集合C={參加北京奧運(yùn)

會(huì)比賽的女運(yùn)動(dòng)員},則下列關(guān)系正確的是()

A.B.B=CC.=CD.B\^C=A

［解析］D；因?yàn)槿癁锳,而B(niǎo)UC=全集=A

2.(2006?山東改編)定義集合運(yùn)算：A<8)8=［=%2y+孫2,xwAyW品，設(shè)集合

A={1",8={2,3},則集合A區(qū)>3的所有元素之和為

［解析］18,根據(jù)A(8)3的定義，得到A九8={0,6,12},故A區(qū)>8的所有元素之和為18

3.(2007?湖北改編)設(shè)P和。是兩個(gè)集合，定義集合P—Q={x|xeP,ja_xe。},如果

P=Mlog3x<l},Q=WN<1},那么P-Q等于

［解析］{卻<x<3}；因?yàn)镻=k|log3X<l}=(0,3),Q=WW<1}=(-U),所以

P_Q=(1,3)

4.研究集合4=乜>=/一4},3={"=爐_4},0={(%丁)僅=/一4}之間的關(guān)系

［解析］A與C,8與。都無(wú)包含關(guān)系，而B(niǎo)展A；因?yàn)?=^^=%2一4}表示

了=/一4的定義域，故人=??；8=加丁=尤2一4}表示函數(shù),=/一4的值域，

B=L-4,+oo)；。={(%>0僅=%2-4}表示曲線了=/一4上的點(diǎn)集，可見(jiàn)，B展A,而A

與C,B與。都無(wú)包含關(guān)系

考點(diǎn)二：集合的基本運(yùn)算

［例3］設(shè)集合A={4X2-3X+2=O},B={xjx2+2(a+l)x+(a2-5)=o}

(1)若AD6={2},求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若AU8=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍若Afi6={2},

［解題思路］對(duì)于含參數(shù)的集合的運(yùn)算，首先解出不含參數(shù)的集合，然后根據(jù)已知條件求參數(shù)。

［解析］因?yàn)锳=麻2-3x+2=0}={1,2},

(1)由An8={2}知，2eB,從而得2?+4(a+l)+(/-5)=0,即

。2+4。+3=0,解得.=-1或a=-3

當(dāng)a=-l時(shí)，3={小2一4=。}=|_2,—2」，滿足條件；

當(dāng)。=一3時(shí)，8={小2_4丈+4=。}={2},滿足條件

所以。=-1或a=-3

(2)對(duì)于集合8,由A=4(。+1)2-432-5)=8(。+3)

因?yàn)?UB=4,所以8=A

①當(dāng)A<0,即。<一3時(shí)，8=。，滿足條件；

②當(dāng)△=(),即。=一3時(shí)，B={2},滿足條件；

③當(dāng)△>(),即。>一3時(shí)，B=A={1,2}才能滿足條件，

,(5

l+2=—2(a+l)a=~-

由根與系數(shù)的關(guān)系得，=>2,矛盾

1x2—4/—52r

I［a'=7

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是aW-3

【名師指引】對(duì)于比較抽象的集合，在探究它們的關(guān)系時(shí)，要先對(duì)它們進(jìn)行化簡(jiǎn)。同時(shí)，要

注意集合的子集要考慮空與不空，不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況.

［新題導(dǎo)練］

6.若集合S={y|y=3',x€R},一1,XWR},則507是()

A.S；B.T；C.D.有限集

［解析］A；由題意知，集合5=卜b=3',無(wú)€E}表示函數(shù)、=3',%€/?的值域，故

集合S=(0,+oo)；T=卜b=%2-表示函數(shù)y=--l,xeR的值域，

T=［-1,4-00),故snT=S

7.已知集合用={(羽丁)卜+y=2},N={(x,y)|x—y=4},那么集合用0%為()

A.x=3,y=-1；B.(3,-1)；C.{3,-1}；D.{(3,-1)}

［解析］D；MflN表示直線x+y=2與直線x—y=4的交點(diǎn)組成的集合，A、B、C均不合

題意。

8.集合A={x|av—1=0},5={尤|工2-3九+2=01且AB=8,求實(shí)數(shù)a的值.

［解析］0,1,g；先化簡(jiǎn)B得，3={1,2}.由于AB=BoAqB,故leA或2cA.

因此。-1=0或2a—1=0,解得a=l或a=1.

2

容易漏掉的一種情況是：A=0的情形，此時(shí)a=0.

故所求實(shí)數(shù)a的值為0,1,'.

2

備選例題1：已知M={y?=x+1},N={(x,y)|x2+>2=］},則中的元素個(gè)數(shù)

是()

A.0;B.1；C.2;D.無(wú)窮多個(gè)

［解析］選A；集合M表示函數(shù)y=x+l的值域，是數(shù)集，并且M=R,而集合N表示滿足

/+y2=i的有序?qū)崝?shù)對(duì)的集合，即表示圓/+/=i上的點(diǎn)，是點(diǎn)集。所以，集合知與集

合N中的元素均不相同，因而MCN=0,故其中元素的個(gè)數(shù)為0

［誤區(qū)分析］在解答過(guò)程中易出現(xiàn)直線y=x+l與圓/+：/=1有兩個(gè)交點(diǎn)誤選c；或者誤

認(rèn)為y=x+l中yeR,而/+V=1中一從而MPIN=［—1,1］有無(wú)窮多個(gè)解

而選D。注意，明確集合中元素的屬性(是點(diǎn)集還是數(shù)集)是準(zhǔn)確進(jìn)行有關(guān)集合運(yùn)算的前提

和關(guān)鍵。

備選例題2：已知集合A和集合8各有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下

面兩個(gè)條件的集合。的個(gè)數(shù)：

(I)且C中含有3個(gè)元素；

(H)CnA￥。(。表示空集)

［解法一］因?yàn)?、8各有12個(gè)元素，API3含有4個(gè)元素，

因此，AU3的元素個(gè)數(shù)是12+12—4=2()

故滿足條件(I)的集合。的個(gè)數(shù)是《°

上面集合中，還滿足CCA=。的集合。的個(gè)數(shù)是C；

因此，所求集合C的個(gè)數(shù)是=1084

［解法二］由題目條件可知，屬于B而不屬于A的元素個(gè)數(shù)是12—4=8

因此，在AU6中只含有A中1個(gè)元素的所要求的集合。的個(gè)數(shù)為

含有A中2個(gè)元素的所要求的集合C的個(gè)數(shù)為CjC；

含有A中3個(gè)元素的所要求的集合。的個(gè)數(shù)為G；

所以，所求集合C的個(gè)數(shù)是+G；C；+C：2=1084

★搶分頻道

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：-----------------

1.(09年吳川市川西中學(xué)09屆第四次月考)設(shè)全集

U=R,A={x|x(x+3)<0},6={x|x<—1},則右圖中陰

影部分表示的集合為()

A.{x|x>0}；B.{x|-3<x<。}；C.{x|-3<x<-l}；D.|x|x<-11

［解析］C；圖中陰影部分表示的集合是AD8,而4=同一3<%<0},故

AA^={A］-3<X<-1}

2.(韶關(guān)09屆高三摸底考)已知A={x|x(l-x)>0},B={x|log2x<0}則AB=

A.(0,1)；B.(0,2)；C.(-oo,0)；D.(-oo,0)(0,+oo)

［解析］A；因?yàn)?={和<%<1},3={目0<%<1},所以AU3=k|0<x<l}

3.(蘇州09屆高三調(diào)研考)集合{-1,0,1}的所有子集個(gè)數(shù)為

［解析］8；集合{-1,0,1}的所有子集個(gè)數(shù)為23=8

4.(09年無(wú)錫市高三第一次月考)集合A中的代表元素設(shè)為x,集合8中的代表元素設(shè)為y，

若力;￡3且Dy￡A,則A與8的關(guān)系是

［解析］或Ac3w0；由子集和交集的定義即可得到結(jié)論

5.(2008年天津)設(shè)集合S=kl|x_Z>3},T={x［a<x<a+8},SUT=R，則。的取

值范圍是()

A.-3<a<-l；B.-3<a<-l

C.。工一3或。2—1；D.。<-3或。>一1

［解析］A；5=卜|k一2>3}={小<一1典>5},T={x\a<x<a+S},SUT=R

CL<-1

所以《,從而得一3<。<一1

。+8>5

綜合提高訓(xùn)練：

6.P()),Q=配w+47nx-4<()對(duì)于任意實(shí)數(shù)膽成立}

則下列關(guān)系中立的是()

A.P噎Q;B.。展P;C.尸=Q;D.PCQ=0

m<0

［解析］A；當(dāng)加。0時(shí)，有《，即

A=(4m)-4xmx(-4)<0

Q={me7?|—1<m<()}；當(dāng)加=0時(shí)，"id+4帆龍一4<0也恒成立，故

Q={me7?|-1<m<()},所以P會(huì)。

7.設(shè)/(〃)=2〃+l(〃wN),尸={1,234,5},Q={3,4,5,6,7},記

P={neN\f(n)eP},Q=\neN*\f(n)^Q},則伊n『O)U(On0戶)=()

A.{0,3}；B.{1,2};C.{3,4,5};D.{1,2,6,7}

[解析]A；依題意得戶={0,1,2},0={1,2,3},所以(戶口。八@={0}，

戶)={3},故應(yīng)選A

8.(09屆惠州第一次調(diào)研考)設(shè)A、B是非空集合，定義

AxB={x|xwAcB},已知A={x|y=JZx-x?},B={y|y=2*,x>0},

則AXB等于()

A.[0,+oo)；B.[0,1][2,+00)；C.[0,1)[2,+oo)；D.[0,1](2,+00)

[解析]D：2x-x2>0=>0<x<2,.\A=[0,2],X>0=2*>1,；.B=(1,+8),

...AUB=[0,+8),AAB=(1,2],則AXB=[0,l](2,+00)

第2講函數(shù)與映射的概念

★知識(shí)梳理

1.函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的定義：

設(shè)A、8是兩個(gè)非空的數(shù)集,如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合4中的非一個(gè)數(shù)x,

在集合8中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng),那么這樣的對(duì)應(yīng)叫做從A到8的一個(gè)函數(shù)，通常

記為y=f(x),x&A

(2)函數(shù)的定義域、值域

在函數(shù)y=/(x),xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做y=Ax)的定義域;

與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)|xeA｝稱為函數(shù)y=f(x)的值域。

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則

2.映射的概念

設(shè)A、8是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則/，對(duì)于集合4中的任意元素，在集合8

中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng),那么這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做從A到6的映射，通常記為

心?ATB

★重、難點(diǎn)突破

重點(diǎn)：掌握映射的概念、函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、值域

難點(diǎn)：求函數(shù)的值域和求抽象函數(shù)的定義域

重難點(diǎn)：1.關(guān)于抽象函數(shù)的定義域

求抽象函數(shù)的定義域，如果沒(méi)有弄清所給函數(shù)之間的關(guān)系，求解容易出錯(cuò)誤

問(wèn)題1：已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋踑,b］,求y=/(x+2)的定義域

［誤解］因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的定義域?yàn)椋踑,b］,所以從而a+2Wx+2Wb+2

故。=/(x+2)的定義域是［a+2,b+2］

［正解］因?yàn)閥=/(x)的定義域?yàn)椋?。，勿，所以在函?shù)y=/(x+2)中，a<x+2<h,

從而。一2WxW人一2,故丁=/(x+2)的定義域是［&一2,。一2］

即本題的實(shí)質(zhì)是求a<x+2WZ?中x的范圍

問(wèn)題2：已知y=/(x+2)的定義域是［a,勿，求函數(shù)y=/(幻的定義域

［誤解］因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x+2)的定義域是［a,h},所以得到aWx+24匕，從而

a-2<x<b-2,所以函數(shù)丁=/(x)的定義域是［a-2,2-2］

［正解］因?yàn)楹瘮?shù)丁=f(x+2)的定義域是［a,b］,則aWxW匕，從而a+2Wx+24匕+2

所以函數(shù)丁=的定義域是［a+2/+2］

即本題的實(shí)質(zhì)是由aWxK力求x+2的范圍

即/(x)與/(x+2)中x含義不同

2.求值域的幾種常用方法

(1)配方法：對(duì)于(可化為)''二次函數(shù)型”的函數(shù)常用配方法，如求函數(shù)

y--sin2x-2cosx+4,可變?yōu)閥--sin2x-2cosx+4=(cosx-1)2+2解決

(2)基本函數(shù)法：一些由基本函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)可以利用基本函數(shù)的值域來(lái)求，如函數(shù)

y=log?(-/+2x+3)就是利用函數(shù)y=log?〃和M=-x?+2x+3的值域來(lái)求。

22

2x+1

(3)判別式法：通過(guò)對(duì)二次方程的實(shí)根的判別求值域。如求函數(shù)丁=,的值域

X2-2X+2

由)=一^-----得/2-2(y+l)x+2y—1=0,若y=0,則得x=—所以y=0

x~—2x+22

是函數(shù)值域中的一個(gè)值；若ywO,則由△=［—2（y+l）］2-4y（2y-l）N0得

3—y[l33+V13□n.匕匕卡/古心曰「3—3+VT3

---<y<---且ywO,故所求值域是[—--,---

（4）分離常數(shù)法：常用來(lái)求''分式型〃函數(shù)的值域。如求函數(shù)y=的值域,因?yàn)?/p>

COSX+1

2cosx-3-5-b”5/5n,,

y=--------=2---------，而cosx+1G（0,2］,所以----------e（-00,——］,故

COSX+1cosx+1cosx+12

yG（-00,--］

3Y

（5）利用基本不等式求值域：如求函數(shù)y=的值域

344

當(dāng)尤=0時(shí)，y=0；當(dāng)尤。。時(shí)，y=----若x>0,則％H—N2、x—=4

-4

X4--

X

444從而得所求值域是［-33

若x<0,則xH—=—(—X4---)<2-/(―X),()=4,

X-XV-X44

（6）利用函數(shù)的單調(diào)性求求值域：如求函數(shù)^=2---+2。6［-1,2］）的值域

因y=8/-2x=2x（4/-1）,故函數(shù)y=27—-十2（^［-1,2］）在上遞減、

在（-』,0）上遞增、在（0,』）上遞減、在（，,2）上遞增，從而可得所求值域?yàn)椋邸?30］

2228

（7）圖象法：如果函數(shù)的圖象比較容易作出，則可根據(jù)圖象直觀地得出函數(shù)的值域（求某

些分段函數(shù)的值域常用此法）。

★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析

考點(diǎn)一：判斷兩函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)

［例1］試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？

（1）y（x）=7?,g（x）=V?-；

⑵小)=fXg?)=13x>0,

x<0;

(3)f(x)=2電2〃+l,g(%)=(2必)21

(4)f(x)=4Jx+1,g(x)=Vx2+x；

22

(5)f(x)=x-2x-lfg(t)=t-2t-i

［解題思路］要判斷兩個(gè)函數(shù)是否表示同一個(gè)函數(shù)，就要考查函數(shù)的三要素。

［解析］(1)由于/(%)=而=w,g(x)==》,故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，

所以它們不是同一函數(shù).

|x|,,flx>0,

(2)由于函數(shù)/(x)=U的定義域?yàn)?—OOQ,UB,+OO),而g(x)=《的定

x［-1x<0;

義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù).

(3)由于當(dāng)“GN*時(shí)，2,田為奇數(shù)，：.f(x)=2n\lx2n+i=x,g(x)=(2"祗)2"T=x,

它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).

(4)由于函數(shù)/(x)=4xJx+1的定義域?yàn)椋鹯|x>0).而g(x)=ylx2+x的定義域

為｛乂》20或xW-l｝,它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù).

(5)函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù).

［答案］(1)、(2)、(4)不是；(3)、(5)是同一函數(shù)

【名師指引】構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)

關(guān)系確定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)為同一函

數(shù)。第⑸小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)。原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透，在函數(shù)的定義

域及對(duì)應(yīng)法則/不變的條件下，自變量變換字母對(duì)于函數(shù)本身并無(wú)影響，比如f(x)=x2+\,

/?)=產(chǎn)+1,/(“+1)=(“++1都可視為同一函數(shù).

[新題導(dǎo)練]

1.(2009?佛山)下列函數(shù)中與函數(shù)y=x相同的是()

___2

A.y=(4x)2;B.y=;C.y=y[x^；D.y=—

x

［解析］B；因?yàn)閥=配=t,所以應(yīng)選擇B

2.(09年重慶南開(kāi)中學(xué))與函數(shù)y=0.102*T>的圖象相同的函數(shù)是()

A.y=2x-l(x>―)；B.y=-5—1(%>g)；

C.y=D.y=12x-l1

2x-l

lg-11

［解析］C；根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式得y=0.1聯(lián)21)=1021=」,且函數(shù)y=0.1g(2*T)的定

2x-1

義域?yàn)?L,+8),故應(yīng)選擇C

2

考點(diǎn)二：求函數(shù)的定義域、值域

題型1：求有解析式的函數(shù)的定義域

［例2］.(08年湖北)函數(shù)/(x)=工ln(J。？一3%+2+J——-3x+4)的定義域?yàn)?)

X

A.(-<x),-4)U[2,+8)；B.(-4,0)U(0,1)；C.[,-4,0)U(0,1];D.[,-4,0)U(0,1)

［解題思路］函數(shù)的定義域應(yīng)是使得函數(shù)表達(dá)式的各個(gè)部分都有意義的自變量的取值范圍。

［解析］欲使函數(shù)/(X)有意義，必須并且只需

x~—3x+220

-x-3x+4>0

nxe[-4,0)U(0,D,故應(yīng)選擇。

ylx2-3x+2+」-丁-3X+4>0

XH0

【名師指引】如沒(méi)有標(biāo)明定義域，則認(rèn)為定義域?yàn)槭沟煤瘮?shù)解析式有意義的X的取值范圍,

實(shí)際操作時(shí)要注意：①分母不能為0；②對(duì)數(shù)的真數(shù)必須為正；③偶次根式中被開(kāi)方數(shù)應(yīng)為

非負(fù)數(shù)；④零指數(shù)幕中，底數(shù)不等于0；⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕中，底數(shù)應(yīng)大于0；⑥若解析式由

幾個(gè)部分組成，則定義域?yàn)楦鱾€(gè)部分相應(yīng)集合的交集；⑦(口果涉及實(shí)際問(wèn)題，還應(yīng)使得實(shí)際

問(wèn)題有意義，而且注意：研究函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先原則，實(shí)際問(wèn)題的定義

域不要漏寫(xiě)。

題型2：求抽象函數(shù)的定義域

［例3］(2006?湖北)設(shè)/(X)=lg|B,則+/(l)的定義域?yàn)?)

A.(―4,0)U(0,4)；B.(-4,-l)U(l,4);C.(-2,-l)U(l,2)：D.(一4,—2)U(2,4)

［解題思路］要求復(fù)合函數(shù)/(■1)+的定義域，應(yīng)先求三(X)的定義域。

［解析］由—2+x■>()得，/(幻的定義域?yàn)椤?<x<2,故《

-2<-<2.

解得(1,4).故力的定義域?yàn)?―4,一1)11(1,4).選民

【名師指引】求復(fù)合函數(shù)定義域，即已知函數(shù)/(x)的定義為句，則函數(shù)_/Tg(x)］的定義

域是滿足不等式aWg(x)Wb的x的取值范圍：一般地，若函數(shù)〃g(x)］的定義域是［a,勿，

指的是xe［a,勿，要求/(x)的定義域就是xefa,用時(shí)g(x)的值域。

題型3；求函數(shù)的值域

［例4］己知函數(shù)y=X2-4ax+2a+6(aG/?),若y20恒成立，求/(a)=2—+3|的

值域

［解題思路］應(yīng)先由已知條件確定。取值范圍，然后再將/(a)中的絕對(duì)值化去之后求值域

［解析］依題意，y20恒成立，則△=164-4(2a+6)40,解得

317

所以/(a)=2—a(a+3)=-(a+1)2+—，從而=/(-I)=4，

=/(!)=-所以八。)的值域是［一4］

【名師指引】求函數(shù)的值域也是高考熱點(diǎn)，往往都要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。

［新題導(dǎo)練］

3.(2008安徽文、理)函數(shù)/(x)=Y------的定義域?yàn)開(kāi)________.

log2(x-l)

［解析J［3,+8)；由《123解得x23

x~\>0,x—1x1

4.定義在R上的函數(shù)y=/(x)的值域?yàn)椋踑,句，則函數(shù)y=/(x—l)的值域?yàn)?)

A.［(2—\,h—1］;B.;C.［<2+1,Z?+1］；D.無(wú)法確定

［解析］B；函數(shù)y=/(x-1)的圖象可以視為函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移一個(gè)單位而得到,

所以，它們的值域是一樣的

5.(2008江西改)若函數(shù)y=/(x)的定義域是［1,3］,則函數(shù)g(x)=T?的定義域是

x-\

13

［解析］［-,1)U(1,1］;因?yàn)?(X)的定義域?yàn)閡,3］，所以對(duì)g(x),142143但不。1故

13

xwf-J)U(1,—1

22

21

6.(2008江西理改)若函數(shù)y=/(x)的值域是［—,3］,則函數(shù)尸(x)=/(尤的值域

3f\x)

是__________

［解析］⑵學(xué)；F(x)可以視為以/(X)為變量的函數(shù)，令f=/(x),MF=r+y(|<r<3)

戶'=1-4=二4=處萼二2,所以，E=r+［在［2,1］上是減函數(shù)，在［1,3］上是增

rrrt3

函數(shù)，故尸(X)的最大值是與，最小值是2

考點(diǎn)三：映射的概念

［例5］(06陜西)為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文f密文(加密)，接收

方由密文—明文(解密)，已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文

a+2仇功+c,2c+3d,4d.例如,明文1,2,3,，對(duì)應(yīng)密文5,7,18,L當(dāng)接收方收到密文

14,9,23,28時(shí)，則解密得到的明文為()

A.7,6,1,4；B.6,4,1,7；C.4,6,1,7；I).1,6,4,7

［解題思路］密文與明文之間是有對(duì)應(yīng)規(guī)則的，只要按照對(duì)應(yīng)規(guī)則進(jìn)行對(duì)應(yīng)即可。

［解析］當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí)，

。+2。=14a=6

2b+c-9h—4

解得4,解密得到的明文為c.

2c+3d=23c=1

4d=28d=~l

【名師指引】理解映射的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)集合A、B及對(duì)應(yīng)法則/是確定的，是一個(gè)整體系統(tǒng)；

(2)對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合8的對(duì)應(yīng)，它與從集合B到集合4

的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；

(3)集合A中每一個(gè)元素，在集合8中都有象，并且象是唯廠的，這是映射區(qū)別于一

般對(duì)應(yīng)的本質(zhì)特征；

(4)集合A中不同元素，在集合8中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；

(5)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象.

［新題導(dǎo)練］

7.集合A={3,4},8={5,6,7),那么可建立從A到8的映射個(gè)數(shù)是,從B至UA

的映射個(gè)數(shù)是.

［解析］9,8；從4到8可分兩步進(jìn)行：第一步4中的元素3可有3種對(duì)應(yīng)方法(可對(duì)應(yīng)

5或6或7),第二步A中的元素4也有這3種對(duì)應(yīng)方法.由乘法原理，不同的映射種數(shù)從=

3x3=9.反之從8到A,道理相同，有M=2x2x2=8種不同映射.

8.若廣)=3x+l是從集合A={1,2,3,眉到集合8={4,7,a4,“2+3”}的一個(gè)映射，求自然

數(shù)。、女的值及集合A、B.

［解析］a=2,k=5,A={1,2,3,5},8={4,7,10,16)；

V/(l)=3xl+l=4,/(2)=3x2+1=7,/(3)=3x3+1=10,/(fc)=3&+l,由映射的定義知(1)

?4=10,一［a2+3a=10,

〈，或⑵〈_

a~+3a-3k+1,a=3Z+1.

?.ZGN,.?.方程組(1)無(wú)解.

解方程組(2),得a=2或。=一5(舍)，3k+l=16,3k=15,k=5.

：.A=[1,2,3,5},B={4,7,10,16).

備選例題：(03年上海)已知集合”是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)/(X)的全體：存在非零常數(shù)T,

對(duì)任意XGH,有/(x+T)=7/(x)成立。

(1)函數(shù)/(x)=x是否屬于集合M?說(shuō)明理由;

(2)設(shè)函數(shù)/(x)=a'(a>0,aHl)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn)，證明:

/(%)=axGM

［解析］(1)對(duì)于非零常數(shù)T,/(x+T)=x+TT/(x)=Tx.因?yàn)閷?duì)任意xCR,x+T=Tx不能恒成立,

所以/(x)=x/M.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=o*(a>0且aWl)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn)，

y=ax

所以方程組：f有解，消去y得a*=x,

y=x

顯然x=0不是方程o*=x的解，所以存在非零常數(shù)T,使蘇=工

于是對(duì)于/(x)=(/有/(x+T)=a"T=aTax^T-ax=V1)故

★搶分頻道

基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：

1.（2007,廣東改編）已知函數(shù)/（%）="=的定義域?yàn)镹,g（x）=ln（l+x）的定義域?yàn)?/p>

x

M,則MUN=

［解析］（8,+00）；因?yàn)镸=（-I,+oo）,N=（-oo,l）,故A/UN=R

2.函數(shù)y=Jlog：（3x—2）的定義域是

9

［解析］信1］；由0<3%-2<1得到

2V-1

3.函數(shù)y=----的值域是

-2*+1

［解析］（一1,1）；由>=己」知從而得2*=2里，而2'>0,所以工里>0,即

-2"+11-y1-y

-1<y<