中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（四川專(zhuān)用）專(zhuān)題13 解直角三角形（解析版）

專(zhuān)題13解直角三角形一、選擇題1．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先由兩個(gè)正方形的面積分別得出其邊長(zhǎng)，由趙爽弦圖的特征可得，則，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函數(shù)的定義計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵大正方形的面積是25，小正方形面積是1，∴大正方形的邊長(zhǎng)，小正方形的邊長(zhǎng)，

∵，∴，在中，，∴，解得（負(fù)值舍去）∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、弦圖及正弦函數(shù)的計(jì)算，明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．2.（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，小兵同學(xué)從處出發(fā)向正東方向走米到達(dá)處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)中余弦值的定義即可求出答案.【詳解】解：小兵同學(xué)從處出發(fā)向正東方向走米到達(dá)處，再向正北方向走到處，，米.，米.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中的余弦值，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握余弦值的定義.余弦值就是在直角三角形中，銳角的鄰邊與斜邊之比.3．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)的動(dòng)直線，夾角，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則的最大值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，，得出的軌跡是圓，取點(diǎn)，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，據(jù)此即可求解．【詳解】解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，則的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，∴，取點(diǎn)，則是的中位線，∴，∵，∴點(diǎn)在半徑為的上運(yùn)動(dòng)，∵是的中位線，∴，∴，當(dāng)與相切時(shí)，最大，則正弦值最大，在中，，過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，,則∴∴∴解得：∴∴的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求正弦，等邊三角形的性質(zhì)。圓周角定理，得出點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若，，則CD的長(zhǎng)為（

）

A． B．3 C． D．2【答案】C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)值求出，再由勾股定理求出過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，依據(jù)三角函數(shù)值可得從而得，再由得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=，從而可求出CD．【詳解】解：在中，，，∴∴由勾股定理得,過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，如圖，

∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，由銳角正切值求邊長(zhǎng)，正確作輔助線求出DE的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于點(diǎn)P，則cos∠APC的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，則DE∥AB，由勾股定理逆定理可以證明△DCE為直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【詳解】解：把AB向上平移一個(gè)單位到DE，連接CE，如圖．則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有，，，∴，∴是直角三角形，且，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，作出合適輔助線是解題關(guān)鍵．6．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．sinBB．sinCC．tanBD．sin2B+sin2C＝1【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：由勾股定理得：,∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴，，，，只有A錯(cuò)誤．故選擇：A．【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AB，AC，BC的長(zhǎng)解答．7．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點(diǎn)D在AC上，將BCD沿BD翻折，點(diǎn)C恰好落在OA邊上點(diǎn)E處，則tan∠DBE等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質(zhì)得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長(zhǎng)，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，在直角三角形BEO中：，∴，設(shè)，則在直角三角形ADE中：，∴，解得，∴，∵∠DEB=90°，∴，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.二、填空題8．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____．

【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出，根據(jù)等面積法得出，設(shè)，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，是的角平分線，∴∵∴設(shè)，則，∴解得：或（舍去）∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）一艘輪船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔30海里的處，它沿北偏東方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的北偏東方向上的處，此時(shí)與燈塔的距離約為_(kāi)_______海里．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】50【分析】根據(jù)題意得出∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，由角度得出∠B=37°，?PAB為直角三角形，利用正弦函數(shù)求解即可．【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，根據(jù)題意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，∴∠B=37°，?PAB為直角三角形，∴，∴BP=，故答案為：50．【點(diǎn)睛】題目主要考查方位角及正弦函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，熟練掌握正弦函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．10．（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，測(cè)量船以20海里每小時(shí)的速度沿正東方向航行并對(duì)某海島進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量船在A處測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)D位于北偏東15°方向上，觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏東45°方向上，航行半個(gè)小時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得海島上觀測(cè)點(diǎn)C位于北偏西45°方向上，若CD與AB平行，則CD＝_________海里（計(jì)算結(jié)果不取近似值）．【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE上AB，垂足為E，根據(jù)題意求得，進(jìn)而求得90°，然后在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，設(shè)DE=x海里，再在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，在Rt△DEC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出EC，DC的長(zhǎng)，最后根據(jù)AC=52海里，列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)D作DE上AB，垂足為E，依題意得，，，=90°，在中，，設(shè)海里，在中，海里，，，在中，海里，海里，海里，海里，海里，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)A，B，O在格點(diǎn)上，則cos∠ACB的值是________．【答案】【分析】取AB中點(diǎn)D，由圖可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，由垂徑定理得OD⊥AB，則OB=，cos∠DOB=，再證∠ACB=∠DOB，即可解．【詳解】解：取AB中點(diǎn)D，如圖，由圖可知，AB=6，AD=BD=3，OD=2，∴OD⊥AB，∴∠ODB=90°，∴OB=，cos∠DOB=，∵OA=OB，∴∠BOD=∠AOB，∵∠ACB=∠AOB，∴∠ACB=∠DOB，∴cos∠ACB=cos∠DOB=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，取AB中點(diǎn)D，得Rt△ODB是解題的關(guān)鍵．12．（2021·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）在直角中，，，的角平分線交于點(diǎn)，且，斜邊的值是______．【答案】【分析】CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，由此可證明四邊形CEDF為正方形，再利用，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理得到，求出的值即可．【詳解】解：如圖，CD平分∠ACB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∴DE＝DF，，又，∴四邊形CEDF為正方形，，，在中，，∵，，，，，，即，又，，∵在中，，∴，∵在中，，∴，，，，即（舍負(fù)），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2021·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）在中，．有一個(gè)銳角為，．若點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)、重合），且，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】或或2【分析】依據(jù)題意畫(huà)出圖形，分類(lèi)討論，解直角三角形即可．【詳解】解：情形1：，則，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴；情形2：，則，，，∵，∴，∴，解得；情形3：，則，，，∵，∴；故答案為：或或2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，掌握分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵．14．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向，漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處，測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向，若漁船繼續(xù)向正東方向航行，則漁船與燈塔C的最短距離是____________海里．

【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用特殊角的三角函數(shù)值，列方程即可解答．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

由題意可知,，設(shè)為x，，，根據(jù)，可得方程，解得，漁船與燈塔C的最短距離是海里，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解解直角三角形-方位角問(wèn)題，熟知特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏?ài)的休閑景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛(ài)．如圖所示，秋千鏈子的長(zhǎng)度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度為．【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，利用和的余弦值求出，，然后利用線段的和差和矩形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，

由題意可得，四邊形和四邊形是矩形，∴，，∵秋千鏈子的長(zhǎng)度為，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．∴座板距地面的最大高度為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．16．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量古樹(shù)的高度，采用了如下的方法：先從與古樹(shù)底端在同一水平線上的點(diǎn)A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處測(cè)得古樹(shù)的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹(shù)的高度（參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值）．

【答案】古樹(shù)的高度為【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，根據(jù)斜面的坡度為，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，證明四邊形為矩形，得出，根據(jù)三角函數(shù)求出，，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，如圖所示：

則，∵斜面的坡度為，∴設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，負(fù)值舍去，即，∵為水平方向，為豎直方向，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴在中，，∵，∴在中，，∴．答：古樹(shù)的高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角函數(shù)的定義．17．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園邊上修建一個(gè)四邊形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向170米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)都在點(diǎn)的正北方向，長(zhǎng)為100米，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向．

(1)求步道的長(zhǎng)度．(2)點(diǎn)處有一個(gè)小商店，某人從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去商店購(gòu)物，可以經(jīng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他走哪條路較近．結(jié)果精確到個(gè)位）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)200米(2)這條路較近，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正弦值即可求出答案．（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正切值、余弦值分別求出和的長(zhǎng)度，比較和即可求出答案．【詳解】（1）解：由題意得，過(guò)點(diǎn)作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示，

點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向170米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)都在點(diǎn)的正北方向，，，，，為矩形..米，米.在中，米.故答案為：200米.（2）解：這條路較近，理由如下：，，.米，，在中，米.米.為矩形，米，米.在中，米.米.結(jié)果精確到個(gè)位，米.米..從這條路較近.故答案為：這條路較近.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建直角三角形利用三角函數(shù)求邊長(zhǎng).18．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）某實(shí)踐探究小組想測(cè)得湖邊兩處的距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過(guò)勘測(cè)，得到了如下記錄表：實(shí)踐探究活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容

測(cè)量湖邊A、B兩處的距離成員

組長(zhǎng)：×××

組員：××××××××××××測(cè)量工具

測(cè)角儀，皮尺等測(cè)量示意圖

說(shuō)明：因?yàn)楹匒、B兩處的距離無(wú)法直接測(cè)量，數(shù)據(jù)勘測(cè)組在湖邊找了一處位置C．可測(cè)量C處到A、B兩處的距離．通過(guò)測(cè)角儀可測(cè)得的度數(shù)．測(cè)量數(shù)據(jù)角的度數(shù)邊的長(zhǎng)度米米數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析．他們發(fā)現(xiàn)不需要勘測(cè)組的全部數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出A、B之間的距離．于是數(shù)據(jù)處理組寫(xiě)出了以下過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全內(nèi)容．已知：如圖，在中，．_________．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長(zhǎng)．（為減小結(jié)果的誤差，若有需要，取，取，取進(jìn)行計(jì)算，最后結(jié)果保留整數(shù)．）【答案】米，線段的約長(zhǎng)為77米；米，線段的約長(zhǎng)為77米【分析】填入數(shù)據(jù)米．作于點(diǎn)D，在和中，解直角三角形即可求解．【詳解】（1）當(dāng)填入米時(shí)：已知：如圖，在中，．米．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長(zhǎng)．解：作于點(diǎn)D，

在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴(米)，答：線段的約長(zhǎng)為77米．（2）當(dāng)填入米時(shí)：已知：如圖，在中，．米．（從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線）

求：線段的長(zhǎng)．解：作于點(diǎn)D，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴(米)，答：線段的約長(zhǎng)為77米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-其他問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．19．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過(guò)程如下：

(1)測(cè)量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長(zhǎng)度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。鐖D2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測(cè)量山高同學(xué)們測(cè)得山坡的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫(huà)了一個(gè)含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）(3)測(cè)量改進(jìn)由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角；畫(huà)一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫(huà)一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高M(jìn)N為米，求山高．（結(jié)果用不含的字母表示）【答案】(1)；(2)山高為69米；(3)山高的高為米．．【分析】（1）利用互余的性質(zhì)即可求解；（2）先求得，再分別在、、中，解直角三角形即可求解；（3）先求得，，在和中，分別求得和的長(zhǎng)，得到方程，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，

∴；（2）解：在中，．

∴，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，∴山高(米)，答：山高為69米；（3）解：如圖，由題意得，，

設(shè)山高，則，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，即，解得，山高答：山高的高為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形的問(wèn)題是解答此類(lèi)題的關(guān)鍵．20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）超速容易造成交通事故．高速公路管理部門(mén)在某隧道內(nèi)的兩處安裝了測(cè)速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，且在同一直線上．點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，且，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，小型汽車(chē)從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．

(1)求兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到）；(2)若該隧道限速80千米/小時(shí)，判斷小型汽車(chē)從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)小型汽車(chē)從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒(méi)有超速．【分析】（1）證明四邊形為矩形，可得，結(jié)合，，，可得，，再利用線段的和差關(guān)系可得答案；（2）先計(jì)算小型汽車(chē)的速度，再統(tǒng)一單位后進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，∴，，而，∴，∴四邊形為矩形，∴，由題意可得：，，，∴，，∴（2）∵小型汽車(chē)從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．∴汽車(chē)速度為，∵該隧道限速80千米/小時(shí)，∴，∵，∴小型汽車(chē)從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒(méi)有超速．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解俯角的含義，熟練的運(yùn)用銳角三角函數(shù)解題是關(guān)鍵．21．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷長(zhǎng)為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：）

【答案】米【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

依題意，，（米）在中，（米），（米），則（米）∵（米）∴（米）∵，∴（米）∴（米）．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．22．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)依山而建，校門(mén)A處有一坡角的斜坡，長(zhǎng)度為30米，在坡頂B處測(cè)得教學(xué)樓的樓頂C的仰角，離B點(diǎn)4米遠(yuǎn)的E處有一個(gè)花臺(tái)，在E處測(cè)得C的仰角，的延長(zhǎng)線交水平線于點(diǎn)D，求的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】的長(zhǎng)為米【分析】作于點(diǎn)，首先根據(jù)坡度求出，并通過(guò)矩形的判定確定出，然后通過(guò)解三角形求出，即可相加得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，作于點(diǎn)，則由題意，四邊形為矩形，

∵在中，，，，∴，∵四邊形為矩形，∴，由題意，，，，，∴為等腰直角三角形，，設(shè)，則，在中，，∴，即：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是上述方程的解，且符合題意，∴，∴，∴的長(zhǎng)為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確構(gòu)造出直角三角形并求解是解題關(guān)鍵．23．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬(wàn)戶．某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長(zhǎng)度進(jìn)行了實(shí)地測(cè)量．如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，當(dāng)其中一片風(fēng)葉與塔干疊合時(shí)，在與塔底D水平距離為60米的E處，測(cè)得塔頂部O的仰角，風(fēng)葉的視角．

(1)已知α，β兩角和的余弦公式為：，請(qǐng)利用公式計(jì)算；(2)求風(fēng)葉的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)風(fēng)葉的長(zhǎng)度為米【分析】（1）根據(jù)題中公式計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作，連接，，先根據(jù)題意求出，再根據(jù)等腰對(duì)等邊證明，結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論用三角函數(shù)即可求，再證明四邊形是矩形，即可求出．【詳解】（1）解：由題意可得：，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)A作，連接，，如圖所示，

由題意得：米，，∴米，，∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，∴，∴，又∵，∴，∴，∴米，∵，，∴，由（1）得：，∴米，∴米，∵，，，∴四邊形是矩形，∴米，∵三片風(fēng)葉兩兩所成的角為，且三片風(fēng)葉長(zhǎng)度相等，∴，∴米，∴風(fēng)葉的長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵．24．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）渝昆高速鐵路的建成，將會(huì)顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長(zhǎng)江公鐵兩用大橋（如圖），橋面采用國(guó)內(nèi)首創(chuàng)的公鐵平層設(shè)計(jì)．為測(cè)量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點(diǎn)處，測(cè)得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂?shù)难鼋?，左橋墩底的俯角，求的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，）

【答案】的長(zhǎng)度米【分析】上截取，使得，設(shè)，在中，，，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，上截取，使得，

∴，∵∴，設(shè)，在中，，∴又∴∴即米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．25．（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進(jìn)米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）(1)求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；(2)求隧道的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米(2)隧道的長(zhǎng)為米【分析】（1）根據(jù)方位角圖，易知，，解即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．分別解，求出和，即可求出隧道的長(zhǎng)【詳解】（1）由題意可知：，在中，∴（米）答：點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米．（2）過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．∵是東西走向∴在中，∴在中，∴∴（米）答：隧道的長(zhǎng)為米【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，掌握方向角的概念、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．26．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）八年級(jí)二班學(xué)生到某勞動(dòng)教育實(shí)踐基地開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)天，他們先從基地門(mén)口A處向正北方向走了450米，到達(dá)菜園B處鋤草，再?gòu)腂處沿正西方向到達(dá)果園C處采摘水果，再向南偏東37°方向走了300米，到達(dá)手工坊D處進(jìn)行手工制作，最后從D處回到門(mén)口A處，手工坊在基地門(mén)口北偏西65°方向上．求菜園與果園之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75【答案】菜園與果園之間的距離為630米【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，四邊形是矩形，在中，求得，CF=240，進(jìn)而求得AE=210，在中，利用正切進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，∵∠B=90°，四邊形是矩形，，BC=EF，在中，，∴BE=240，∴AE=AB-BE=210，在中，，，米．∴BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜園與果園之間的距離630米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．27．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，九（1）班數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量河對(duì)岸的古樹(shù)A、B之間的距離，他們?cè)诤舆吪cAB平行的直線l上取相距60m的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．(1)求河的寬度；(2)求古樹(shù)A、B之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)（30+30）米；(2)20米．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l于點(diǎn)E，設(shè)CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通過(guò)解直角三角形ADE求出x即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l，垂足為F，繼而得出CE的長(zhǎng)，在Rt△BCF中，求出CF，繼而可求出AB．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥l，垂足為E，設(shè)CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE+CD＝（x+60）米，∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE?tan45°＝x（米），在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝30+30，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝30+30是原方程的根，∴AE＝（30+30）米，∴河的寬度為（30+30）米；（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥l，垂足為F，則CE＝AE＝BF＝（30+30）米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，在Rt△BCF中，CF＝＝＝（30+10）米，∴AB＝EF＝CE﹣CF＝30+30﹣（30+10）＝20（米），∴古樹(shù)A、B之間的距離為20米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)作高構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形解決問(wèn)題．28．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長(zhǎng)江首城會(huì)客廳、旅游休閑目的地、文化地標(biāo)打卡地．某數(shù)學(xué)小組為測(cè)量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測(cè)得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達(dá)平臺(tái)B處，測(cè)得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：，）【答案】米【分析】根據(jù)，米，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求得，又設(shè)米，則米，米，求出DE，根據(jù)列出方程，解方程進(jìn)而根據(jù)即可求解．【詳解】解：在中，，米，設(shè)，則，由，得，解得：，∴米，米又設(shè)米，則米，米在中，，則，∴（米），在中，，則，∴，∴，解得：，∴（米）．∴東樓的高度約為40米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．29．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，計(jì)劃在山頂A的正下方沿直線CD方向開(kāi)通穿山隧道EF．在點(diǎn)E處測(cè)得山頂A的仰角為45°，在距E點(diǎn)80m的C處測(cè)得山頂A的仰角為30°，從與F點(diǎn)相距10m的D處測(cè)得山頂A的仰角為45°，點(diǎn)C、E、F、D在同一直線上，求隧道EF的長(zhǎng)度．【答案】隧道EF的長(zhǎng)度米．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD于點(diǎn)G，然后根據(jù)題意易得AG=EG=DG，則設(shè)AG=EG=DG=x，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)可得出CG的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差關(guān)系則有，最后問(wèn)題可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD于點(diǎn)G，如圖所示：由題意得：，∴△EAD是等腰直角三角形，∴AG=EG=DG，設(shè)AG=EG=DG=x，∴，∴，解得：，∴，∴；答：隧道EF的長(zhǎng)度米．【點(diǎn)睛】本題主要考查解解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．30．（2022·四川眉山·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組去測(cè)量眉山市某標(biāo)志性建筑物的高．如圖，在樓前平地處測(cè)得樓頂處的仰角為，沿方向前進(jìn)到達(dá)處，測(cè)得樓頂處的仰角為，求此建筑物的高．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，）【答案】82米【分析】設(shè)的長(zhǎng)為，可以得出BD的長(zhǎng)也為，從而表示出AD的長(zhǎng)度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)為，∵，∠CDB=90°，∴，∴，在中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，，即，∴∴．答：此建筑物的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確的找準(zhǔn)每一個(gè)直角三角形中邊的關(guān)系，利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解題的關(guān)鍵．31．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）某老年活動(dòng)中心欲在一房前3m高的前墻（）上安裝一遮陽(yáng)篷，使正午時(shí)刻房前能有2m寬的陰影處（）以供納涼，假設(shè)此地某日正午時(shí)刻太陽(yáng)光與水平地面的夾角為63.4°，遮陽(yáng)篷與水平面的夾角為10°，如圖為側(cè)面示意圖，請(qǐng)你求出此遮陽(yáng)篷的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：，，；，，）【答案】遮陽(yáng)篷的長(zhǎng)度約為3.4米【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，則，設(shè)，則，，解直角三角形求得，進(jìn)而求得，解，求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)即可求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，設(shè)，則，，在中，，，在中，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，x是方程的解，且符合題意，，，．答：遮陽(yáng)篷的長(zhǎng)度約為3.4米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．32．（2022·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）去年，我國(guó)南方某地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災(zāi)影響，被冰雪從C處壓折，塔尖恰好落在坡面上的點(diǎn)B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專(zhuān)業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場(chǎng)進(jìn)行處理，在B處測(cè)得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩點(diǎn)間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】米【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在和中，分別解直角三角形求出的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：米，，，，在中，米，米，在中，米，米，則（米），答：壓折前該輸電鐵塔的高度為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．33．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）2022年6月6日是第27個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)．如圖，當(dāng)張角時(shí)，頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)為，此時(shí)用眼舒適度不太理想．小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想．求此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】約為【分析】在Rt△ACO中，根據(jù)正弦函數(shù)可求OA=20cm，在Rt△中，根據(jù)正弦函數(shù)求得的值．【詳解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm，∴OA=，在Rt△中，，cm，∴cm．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．34．（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，海中有兩小島C，D，某漁船在海中的A處測(cè)得小島C位于東北方向，小島D位于南偏東30°方向，且A，D相距10nmile．該漁船自西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)測(cè)得小島C位于西北方向且與點(diǎn)B相距8nmile．求B，D間的距離（計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值）．【答案】B，D間的距離為14nmile．【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出B，D間的距離．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10nmile，BC=8nmile．在Rt△ABC中，AC=BC=8，∴AB=BC=16(nmile)，在Rt△ADE中，AD=10nmile，∠EAD=60°，∴DE=AD?sin60°=10×=(nmile)，AE=AD=5(nmile)，∴BE=AB-AE=11(nmile)，∴BD=14(nmile)，答：B，D間的距離為14nmile．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握方向角定義．35．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測(cè)量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺(tái)階的剖面在同一平面，在臺(tái)階底部點(diǎn)A處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角，臺(tái)階AB長(zhǎng)26米，臺(tái)階坡面AB的坡度，然后在點(diǎn)B處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米【分析】延長(zhǎng)EF交AG于點(diǎn)H，則，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)P，則四邊形BFHP為矩形，設(shè)，則，根據(jù)解直角三角形建立方程求解即可．【詳解】如圖，延長(zhǎng)EF交AG于點(diǎn)H，則，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)P，則四邊形BFHP為矩形，∴，．由，可設(shè)，則，由可得，解得或（舍去），∴，，設(shè)米，米，在中，即，則①在中，，即②由①②得，．答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．36．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過(guò)程如下：(1)探究原理：制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一段固定在量角器圓心處，另一端系小重物．測(cè)量時(shí)，使支桿、量角器90°刻度線與鉛垂線相互重合（如圖①），繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)與直徑兩端點(diǎn)共線（如圖②），此目標(biāo)的仰角．請(qǐng)說(shuō)明兩個(gè)角相等的理由．(2)實(shí)地測(cè)量：如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹(shù)，為了測(cè)量樹(shù)高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)處測(cè)得頂端的仰角，觀測(cè)點(diǎn)與樹(shù)的距離為5米，點(diǎn)到地面的距離為1.5米；求樹(shù)高．（，結(jié)果精確到0.1米）(3)拓展探究：公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端距離地面高度（如圖④），同學(xué)們討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)（在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)的仰角，再測(cè)得間的距離，點(diǎn)到地面的距離均為1.5米；求（用表示）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)10.2米(3)米【分析】（1）根據(jù)圖形和同角或等角的余角相等可以證明出結(jié)果；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題意，可以計(jì)算出PH的長(zhǎng)，注意最后的結(jié)果；（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)和題目中的數(shù)據(jù)，可以用含、m的式子表示出PH．【詳解】（1）證明：∵∴∴（2）由題意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，，在Rt△POQ中tan∠POQ=∴∴（米）故答案為：10.2米．（3）由題意得：，由圖得：，∴∴∴∴米故答案為：米【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形中的仰角、俯角問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．37．（2021·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）釣魚(yú)島及其附屬島嶼是中國(guó)的固有領(lǐng)土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在維護(hù)國(guó)家主權(quán)、更好履行海警機(jī)構(gòu)職責(zé)的《中華人民共和國(guó)海警法》正式實(shí)施．中國(guó)海警在釣魚(yú)島海域開(kāi)展巡航執(zhí)法活動(dòng)，是中方依法維護(hù)主權(quán)的正當(dāng)舉措．如圖是釣魚(yú)島其中一個(gè)島礁，若某測(cè)量船在海面上的點(diǎn)D處測(cè)得與斜坡AC坡腳點(diǎn)C的距離為140米，測(cè)得島礁頂端A的仰角為30.96°，以及該斜坡AC的坡度i＝，求該島礁的高（即點(diǎn)A到海平面的鉛垂高度）．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）【答案】該島礁的高AB為300米．【分析】根據(jù)斜坡AC的坡度i＝，可設(shè)AB＝5x米，BC＝6x米，繼而表示出BD的長(zhǎng)度，再由tan30.96°≈0.60，可得關(guān)于x的方程，解出即可得出答案．【詳解】解：∵斜坡AC的坡度i＝，∴AB：BC＝5：6，故可設(shè)AB＝5x米，BC＝6x米，在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，∴tan30.96°＝＝0.60，解得：x＝60（米），經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是方程的解，∴5x＝300（米），答：該島礁的高AB為300米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．38．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡的坡度，坡底的長(zhǎng)為8米，在處測(cè)得樹(shù)頂部的仰角為，在處測(cè)得樹(shù)頂部的仰角為，求樹(shù)高．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】米．【分析】作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DF=x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長(zhǎng)，在直角△DCE中表示出CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：作于點(diǎn)，設(shè)米，在中，，則（米，∵，且AE=8∴∴在直角中，米，在直角中，，米．，即．解得：，則米．答：的高度是米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．39．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的四角各有一盞探照燈，其中一盞探照燈B的位置如圖所示，已知坡長(zhǎng)AC＝12m，坡角α為30°，燈光受燈罩的影響，最遠(yuǎn)端的光線與地面的夾角β為27°，最近端的光線恰好與地面交于坡面的底端C處，且與地面的夾角為60°，A、B、C、D在同一平面上．（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50，1.73．）（1）求燈桿AB的高度；（2）求CD的長(zhǎng)度．【答案】（1）12m；（2）25.6m【分析】（1）延長(zhǎng)BA交CG于點(diǎn)E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)正切的定義求出CE，再根據(jù)正切的定義求出BE，計(jì)算即可；（2）根據(jù)正切的定義求出DE，進(jìn)而求出CD．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)BA交CG于點(diǎn)E，則BE⊥CG，在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=12m，∴AE=AC=×12=6（m），CE=AC?cosα=12×=（m），在Rt△BCE中，∠BCE=60°，∴BE=CE?tan∠BCE==18（m），∴AB=BE-AE=18-6=12（m）；（2）在Rt△BDE中，∠BDE=27°，∴DE=≈36（m），∴CD=DE-CE=≈25.6（m）．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．40．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）全國(guó)歷史文化名城宜賓有許多名勝古跡，始建于明朝的白塔是其中之一．如圖，為了測(cè)量白塔的高度AB，在C處測(cè)得塔頂A的仰角為45°，再向白塔方向前進(jìn)15米到達(dá)D處，又測(cè)得塔頂A的仰角為60°，點(diǎn)B、D、C在同一水平線上，求白塔的高度AB．（≈1.7，精確到1米）【答案】35【分析】設(shè)塔高AB=x米，利用仰角定義得到∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，先利用∠C＝45°得到BC＝BA＝x米，再利用正切定義得到BD＝，所以＋15＝x，然后解方程即可．【詳解】解：設(shè)塔高AB＝x米，根據(jù)題意得∠BCA＝45°，∠BAD＝60°，CD＝15米，∵在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴BC＝BA＝x米，∵在Rt△ABD中，tan∠BDA=，∴BD==，∵BD＋CD＝BC，∴＋15＝x，解得x=（米）．答：白塔的高度AB為35米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問(wèn)題：根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．41．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，某無(wú)人機(jī)愛(ài)好者在一小區(qū)外放飛無(wú)人機(jī)，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行到一定高度D點(diǎn)處時(shí)，無(wú)人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為，測(cè)得小區(qū)樓房頂端點(diǎn)C處的俯角為．已知操控者A和小區(qū)樓房之間的距離為45米，小區(qū)樓房的高度為米．（1）求此時(shí)無(wú)人機(jī)的高度；（2）在（1）條件下，若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行．問(wèn)：經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)了操控者的視線？（假定點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面內(nèi)．參考數(shù)據(jù)：，．計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）米；（2）秒【分析】（1）通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，解直角三角形即可求出DE的值，進(jìn)而得到DH的值；（2）先利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠BAC的度數(shù)，接著求出∠GFA的度數(shù)，作輔助線構(gòu)造直角三角形求出DG和GF，進(jìn)而得到DF的值，最后除以無(wú)人機(jī)速度即可．【詳解】解：如圖1，過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB，垂足為點(diǎn)H，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥DH，垂足為點(diǎn)E，可知四邊形EHBC為矩形，∴EH=CB，CE=HB，∵無(wú)人機(jī)測(cè)得小區(qū)樓房頂端點(diǎn)C處的俯角為，測(cè)得操控者A的俯角為，DM∥AB，∴∠ECD=45°，∠DAB=75°，∴∠CDE=∠ECD=45°，∴CE=DE，設(shè)CE=DE=HB=x，∴AH=45-x，DH=DE+EH=x+，在Rt△DAH中，DH=tan75°×AH=，即，解得：x=30，∴DH=∴此時(shí)無(wú)人機(jī)的高度為米；（2）如圖2所示，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行到圖中F點(diǎn)處時(shí)，操控者開(kāi)始看不見(jiàn)無(wú)人機(jī)，此時(shí)AF剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)A點(diǎn)作AG⊥DF，垂足為點(diǎn)G，此時(shí)，由（1）知，AG=（米），∴；∵，∴∵DF∥AB，∴∠DFA=∠CAB=30°，∴,∴,因?yàn)闊o(wú)人機(jī)速度為5米/秒，所以所需時(shí)間為（秒）；所以經(jīng)過(guò)秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開(kāi)了操控者的視線．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及到了等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，能從題意與圖形中找出隱含條件，能構(gòu)造直角三角形求解等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方法等．42．（2021·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）2021年，州河邊新建成了一座美麗的大橋．某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測(cè)橋墩高度的活動(dòng)，如圖，橋墩剛好在坡角為的河床斜坡邊，斜坡長(zhǎng)為48米，在點(diǎn)處測(cè)得橋墩最高點(diǎn)的仰角為，平行于水平線，長(zhǎng)為米，求橋墩的高（結(jié)果保留1位小數(shù)）．（，，，）【答案】橋墩AB的高約為72.4米．【分析】延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E，利用直角三角形BCE計(jì)算出BE，利用直角三角形ADE計(jì)算出AE，從而AB可求．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)DC交AB于點(diǎn)E，則ED∥BM．∴∠AED=∠ABM=90°，∠ECB=∠CBM=30°．在中，∵∠ECB=30°，BC=48米，∴（米）．（米）．∴（米）．在中，∵，∴（米）．∴（米）．答：橋墩AB的高約為72.4米．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟知解直角三角形的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．43．（2021·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖①、圖②分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖．已知跑步機(jī)手柄與地面平行，踏板長(zhǎng)為，與地面的夾角，支架長(zhǎng)為，，求跑步機(jī)手柄所在直線與地面之間的距離．（結(jié)果精確到.參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】1.3m【分析】過(guò)C點(diǎn)作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根據(jù)三角函數(shù)可求CF，在Rt△CDG中，根據(jù)三角函數(shù)可求CG，再根據(jù)FG=FC+CG即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作FG⊥AB于F，交DE于G．∵CD與地面DE的夾角∠CDE為15°，∠ACD為75°，∴∠ACF=∠FCD-∠ACD=∠CGD+∠CDE-∠ACD=90°+15°-75°=30°，∴∠CAF=60°，在Rt△ACF中，CF=AC?sin∠CAF=m，在Rt△CDG中，CG=CD?sin∠CDE=1.5·sin15°，∴FG=FC+CG=+1.5·sin15°≈1.3m．故跑步機(jī)手柄AB所在直線與地面DE之間的距離約為1.3m．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．44．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）“眉山水街”走紅網(wǎng)絡(luò)，成為全國(guó)各地不少游客新的打卡地！游客小何用無(wú)人機(jī)對(duì)該地一標(biāo)志建筑物進(jìn)行拍攝和觀測(cè)，如圖，無(wú)人機(jī)從處測(cè)得該建筑物頂端的俯角為24°，繼續(xù)向該建筑物方向水平飛行20米到達(dá)處，測(cè)得頂端的俯角為45°，已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為60米，則這棟建筑物的高度是多少米？（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】和中有公共直角邊CE，根據(jù)等腰直角三角形以及銳角三角函數(shù)的邊角關(guān)系解出CE的長(zhǎng)度，再用無(wú)人機(jī)的飛行高度減去CE即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，作于點(diǎn)F，如圖所示：在中，，∴，在中，，∴，解得：，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)解直角三角形，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)中邊與角的關(guān)系列出比例是解決本題的關(guān)鍵45．（2021·四川成都·統(tǒng)考中考真題）越來(lái)越多太陽(yáng)能路燈的使用，既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景，也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措．某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量太陽(yáng)能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測(cè)傾器的高度為1.6米，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角，在與點(diǎn)A相距3.5米的測(cè)點(diǎn)D處安置測(cè)傾器，測(cè)得點(diǎn)M的仰角（點(diǎn)A，D與N在一條直線上），求電池板離地面的高度的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：）【答案】8米【分析】過(guò)E作EF⊥MN于F，連接EB，設(shè)MF=x米，可證四邊形FNDE，四邊形FNAB均是矩形，設(shè)MF=EF=x，可求FB=x+3.5，由tan∠MBF=，解得米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米．【詳解】解：過(guò)E作EF⊥MN于F，連接EB，設(shè)MF=x米，∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°，∴四邊形FNDE，四邊形FNAB均是矩形，∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米，∵∠MEF=45°，∠EFM=90°，∴MF=EF=x,∴FB=FE+EB=x+3.5，∴tan∠MBF=，∴解得米，