8.6.2直線與平面垂直（分層練習(xí)8大題型）

直線與平面垂直分層練習(xí)題型一線面垂直的判定與性質(zhì)定理1．下列關(guān)于直線與平面垂直的判斷中，正確的是（

）.A．若直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則直線與平面垂直B．若直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直，則直線與平面垂直C．若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直D．若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線與平面垂直【答案】C【解析】直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直才可得直線與平面垂直，A、B不符，D中的無數(shù)條直線可能為無數(shù)條平行直線，不符，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.2．已知，是兩條直線，是一個(gè)平面，下列關(guān)于直線與平面位置關(guān)系描述正確的是（

）A．，，則 B．，，則C．，，則 D．，，則【答案】C【解析】如圖所示正方體中，對(duì)于A項(xiàng)，假設(shè)分別對(duì)應(yīng)，底面對(duì)應(yīng)，符合A條件但兩直線不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，假設(shè)分別對(duì)應(yīng)，底面對(duì)應(yīng)，符合B條件，但兩直線不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，假設(shè)分別對(duì)應(yīng)，底面對(duì)應(yīng)，符合D條件，但兩直線不平行，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示，設(shè)垂足為G，在平面內(nèi)過G存在，則，所以.故選：C3．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下面命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則、或與相交（不一定垂直），A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則與平行或異面，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則、或與相交（不一定垂直），C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，又因?yàn)椋瑒t，D對(duì).故選：D.4．（多選）設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列說法不正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，如圖，當(dāng)時(shí)，∥，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以C正確，對(duì)于D，如圖，當(dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤，故選：ABD題型二線面垂直的證明1．如圖，在四棱錐中，，，四邊形是菱形，，是棱上的動(dòng)點(diǎn).證明：平面.【答案】證明見解析【解析】因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?因?yàn)?，，平面，且，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，平面，且，所以平?2．如圖，為⊙O的直徑，垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，⊥，N為垂足.求證：⊥平面；【答案】證明見解析【解析】∵為⊙O的直徑，∴⊥.又⊥平面，平面，∴⊥.又∵，平面，∴⊥平面.又平面，∴⊥.又⊥，且，平面，∴⊥平面.3．正四棱柱的底面邊長為1，高為2，點(diǎn)是棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與均不重合）.當(dāng)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線平面；【答案】證明見解析【解析】因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，連接，所以，，，由勾股定理，得，同理可得，，又，、平面，所以直線平面.4．棱臺(tái)中，平面，，且，，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且（）.求證：平面；【答案】證明見解析【解析】∵，且是的中點(diǎn)，則.∵平面，平面，∴.又平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，?①∵，∴，則.∵，∴，∴在平面中.②∵平面，∴由①②知平面.題型三由線面垂直證明線線平行1．如圖，平面，平面，分別為上的點(diǎn)，且.求證：【答案】證明見解析【解析】平面，平面，；平面，平面，，；，平面，平面，又，，平面，平面，，.2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點(diǎn)，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.【答案】證明見解析【解析】因?yàn)锳B⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因?yàn)锳D＝AP，E是PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因?yàn)镸N⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因?yàn)镸N⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.3．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點(diǎn)E，l⊥平面PCD．求證：l∥AE．【答案】證明見解析【解析】證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．又四邊形ABCD是矩形，所以CD⊥AD．=因?yàn)镻A∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AE?平面PAD，所以AE⊥DC．因?yàn)锳E⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因?yàn)閘⊥平面PCD，所以l∥AE．4．圓柱如圖所示，為下底面圓的直徑，為上底面圓的直徑，底面，證明：面【答案】證明見解析【解析】證明：連接，，，可得平面，∵平面，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面題型四由線面垂直證明線線垂直1．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，且．證明：．【答案】證明見解析【解析】由為矩形可知：，又∵，，，平面，∴平面，又，∴面，又面，故．2．如圖；在直三棱柱中，，，．求證；【答案】證明見解析【解析】在中，因?yàn)?，可得，所以為直角三角形，可得，由在直三棱柱中，可得平面，且平面，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?．如圖，在三棱柱中，，．證明：【答案】證明見解析【解析】取的中點(diǎn)，連接，，，，，，又，平面，平面，又因?yàn)槠矫妫?4．如圖，在正方體中，為底面的中心.求證：（1）平面；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn)，再連接，因?yàn)闉榈酌娴闹行?，可得為的中點(diǎn)，在正方體中，，，所以四邊形為平行四邊形，所以,因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）證明：由四邊形為正方形，可得，因?yàn)槠矫妫移矫?，所?又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?題型五求直線與平面所成角1．在正方體中，直線與平面所成角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接交于，連接，因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，所以，又，平面，所以平面，所以為直線和平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為1，則，又平面，故，所以，因?yàn)?，所以，所以直線和平面所成的角為，故選：A2．已知在三棱錐中，，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)在平面的射影是正三角形的中心D,再設(shè)，則，可得，則高，則直線與平面所成的角的正弦值．故選：D.3．如圖，在正三棱柱中，，則與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)，連接，如圖，在正三棱柱中，是正三角形，，底面底面，，又平面，平面，為與平面所成角，平面平面，，由題意，，在中，.故選：A.4．如圖是四棱錐的平面展開圖，四邊形是矩形，，，，，，則在四棱錐中，與平面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，四棱錐中，由題意得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又四邊形是矩形，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，故即為與平面所成角，其中，，，所以，又，，由勾股定理得，所以.故選：D題型六利用線面角求其他問題1．如圖，在正方體中，直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】連接，則，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，在等腰直角三角形中，，所以直線與平面所成的角為.故選：B.2．已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面ABCD所成的角為，則該正四棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，分別為上底面和下底面的中心，連接，則⊥底面，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥底面，因?yàn)樯?、下底面邊長分別為2和4，所以，故，，，由于，故，故該正四棱臺(tái)的體積為.故選：B3．如圖①所示，圓錐繡球是虎耳草科繡球?qū)僦参?，在中國主要分布于西北、華東、華南、西南等地區(qū)，抗蟲害能力強(qiáng)，其花序碩大，類似于圓錐形，因此得名．現(xiàn)將某圓錐繡球近似看作如圖②所示的圓錐模型，已知，直線與圓錐底面所成角的余弦值為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意直線與圓錐底面所成角為，則，得()，所以該圓錐的側(cè)面積為()．故選：C．4．如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)P為正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點(diǎn)P的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】直線BP與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面所成角，連接，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，故為直線BP與上底面所成角，則，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，故軌跡長度為.故選：B題型七求點(diǎn)面距、線面距、面面距1．在正三棱柱中，若，，則點(diǎn)A到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在正三棱柱中，若，，所以，由勾股定理可得，在等腰三角形中，底邊上的高長為，所以等腰三角形的面積為，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，，故選：B2．在三棱錐中，兩兩垂直，，則點(diǎn)到平面的距離等于（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵兩兩垂直，且，∴，，∴，又，，，平面，所以平面，∵，即∴，∴，即點(diǎn)到平面的距離為，故選：D3．正方體的棱長為a，則棱到面的距離為（

）A． B．a(chǎn) C． D．【答案】C【解析】如圖，連接，它們交于點(diǎn)，正方形中，又平面，平面，所以，平面，所以平面，所以的長即為棱到面的距離，而，所以所求距離為．故選：C．4．在長方體中，有一過且與平面平行的平面，棱，，則平面與平面的距離是．【答案】【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以到平面的距離即為平面與平面間的距離，易知平面，從而點(diǎn)A到平面的距離即為所求的距離．如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)．因?yàn)槠矫?，平面所以平面平面，又平面平?所以平面，則即為所求．在中，，，則，因?yàn)?，所以．故平面與平面的距離為．題型八動(dòng)點(diǎn)探究問題1．在棱長為的正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在求出的長；若不存在說明理由．【答案】存在，【解析】取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)M，連接GM，則GMAC，連接AC交EF于點(diǎn)H，連接BD，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)锳C⊥BD，所以EF⊥AC，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以EF，因?yàn)?，平面，所以EF⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，，，，故，，故，又，所以∽，故，故，所以，因?yàn)?，平面，所以⊥平?故存在點(diǎn)，使得平面，此時(shí).2．在如圖所示的四棱錐中，四邊形是等腰梯形，，，平面，，在上是否存在一點(diǎn)，使得面，若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】不存在點(diǎn)，使得面．證明見解析．【解析】不存在點(diǎn)，使得面．假設(shè)存在，使得面，則由于平面，因此，又平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以，這與是等腰梯形且矛盾，假設(shè)不成立．所以不存在點(diǎn)，使得面．3．已知正方體的棱長為，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由；【答案】（1）證明見解析；（2）存在，【解析】（1）連接，，，四邊形為平行四邊形，；分別為中點(diǎn)，，，平面，平面，平面.（2）取中點(diǎn)為，，，，，又，，，又，，，，平面，平面，此時(shí)，則線段上存在點(diǎn)，為中點(diǎn)，使得平面，此時(shí).4．如圖，長方體中，，P為棱中點(diǎn)，E棱中點(diǎn)．線段上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】存在，．【解析】假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得它到平面的距離為，設(shè)，則，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于是的中點(diǎn)，所以，所以平面，由于平面，所以，在直角三角形POE中，，在直角三角形DOE中，，所以，由，即，解得，所以存在點(diǎn)滿足題意，此時(shí)．1．在四棱錐中，平面，，，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以即為點(diǎn)到直線的距離，在等腰直角中，由，可得，在直角中，由，可得，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.2．如圖，在直三棱柱中，，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段（包括端點(diǎn)）上一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】取AB的中點(diǎn)E，連接CE，過Q作，垂足為M，過M作，垂足為N，連接QN，PE，則，且，點(diǎn)E到BC的距離為.由直三棱柱的性質(zhì)知平面ABC，所以平面ABC，MN，平面ABC，則，，且，QM，平面QMN，所以平面QMN，且平面QMN，則，可知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為.故選：A.3．（多選）已知正方體，則（）

A．直線與所成的角為 B．直線與所成的角為C．直線與平面