高中數(shù)學(xué)基本公式手冊

高中數(shù)學(xué)基本公式手冊

第一章：集合與函數(shù)

1.德摩根公式Cu(AC\B)=CuAUCuB^Cu(A\jB)=CuAnCuB.

2.AnB=Au>AU5=3u>=qC/4==①0。儲配=R

3.card(AU5)=cardA+cardB-card(AAB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(Ar\B)

-card(AC\B)-card(BAC)-c〃「d(CClA)+card(ACl3DC).

4.二次函數(shù)的解析式的三種形式/(x)=4ZX2+&x+c(a0);(g)頂點式

f(x)=a(x-h)2+k(aW0);③零點式/a)=a(x—玉)(x-％2)(。?！?*

5.設(shè)Xj-x2GWX2/口么

U,-x2)[/(xl)-/(x2)]>0?f<￥1，&)>0o〃x)在[。例上是增函數(shù);

(X—々)[/(…)—/(%)]<00四匕9<0=〃x)在[凡句上是減函數(shù).

設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果[(x)>0,則/(x)為增函數(shù)；如果/'(x)<0,則

/(x)為減函數(shù).

6.函數(shù)y=/(x)的圖象的對稱性：①函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

af(a+x)=f(a-x)=f(2a-x)=/(x).②函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=巴?

對稱<=>/(Q+mx)=f(h-mx)<=>f(a+h-mx)=/(mx).

7.兩個函數(shù)圖象的對稱性:①函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)

對稱.②函數(shù)y=f(mx-a)與函數(shù)y=f(b-mx)的圖象關(guān)于直線x=巴心對稱.③函數(shù)

2m

y=/(x)和)，=/-'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

巴1

8.分?jǐn)?shù)指數(shù)塞an-,——■Ca>O.m.ne,J3.?>1).

yjam

-生1

an=—(a>G,m,neN",n>1).

an

9.log.N=N(〃>0,QWl,N>0)

10.對數(shù)的換底公式log“N=g殳且.推論logb"=-log?b.

log,"a"m

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第二章：不等式

）.常用不等式：

1）a,beRa2+b2>2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號）.

2）a,beR+=>>4ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號）.

3）a3+b3+c3>3abc（a>Q,b>0,c>0）.

4）柯西不等式（02+/）（02+"2）?（"+，）2,。,仇￡?,46凡

5）\a\~\b\<\a+b\<k|+

?極值定理已知x,y都是正數(shù)，則有

1）如果積xy是定值p,那么當(dāng)x=y時和x+y有最小值2訪；

2）如果和x+y是定值s,那么當(dāng)x=y時積盯有最大值,52.

4

1.一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）（a0,A=h2—4ac>0）,如果。與

a/+以+c同號，則其解集在兩根之外；如果&與a/+/?x+c異號，則其解集在兩根之

間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

I<X<x2<=>（X-X1）（X-X2）<O（X1<x2）;

<X],或X>x2（x—x,）（x—x2）>O（X]<x2）.

；.含有絕對值的不等式當(dāng)a>0時、有

\<a<=>x2<a'-a<x<a.

?|〉4。》2〉。2=>%>?；颉?lt;-a.

l.無理不等式(1)J/(X)>Jg(x)="g(x)20

_f(x)>g(x)

fM>0

”(x)20

2)J7B>g(x)=■g(x)>0或喘)<。

,fM>[g(x)]2

〃x)20

3)J/(x)<g(x)o,g(x)>0.

J(x)<[g(x)『

i.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)a>1時，

7?>o

/MgM

>a=/(x)>g(x);loga/(x)>logng(x)<=>-g(x)>0

f(x)>g(x)

，)當(dāng)°<a<l時，

7W>o

/“)>a?MQy(x)<g(x)；log,,f(x)>log,,g(x)=<g(x)>0

f(x)<g(x)

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第三章：數(shù)列

S,,rt=1

11.an=<(數(shù)列｛a“｝的前n項的和為s“=%+a,+…+a“).

12.等差數(shù)列的通項公式a“=q+(〃-=+N*)；

fm八一幾(兄+。“)n(n-l),d2/1,、

其刖n項和公式sn=1——-nax+——---d=萬〃~+(%一]d)〃.

13.等比數(shù)列的通項公式%=%/一=%..q"（〃eN*）；

q

…組匕必應(yīng)。1[幺*，叱1

其刖n項的和公式s“=<1-q或s“=，l-q.

14.等比差數(shù)列{4}:a.+]=qa“+d,%=b（q￥0）的通項公式為

b+(n-\~)d,q-1

bqn+(d-b)qn-'-d

,q，i

nb+n(n-1)d,q-1

其前n項和公式為外〃d、l-q"d,

(^—―)―T+；—n,qH1

l-qq-l\-q

15.分期付款（按揭貸款）每次還款x=元（貸款a元,〃次還清，每期利率為b）.

（1+&）"-1

第四章：三角

16.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2^+cos2^=l,tan0=^2

tanO-cotO=1.

COS。

17.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

.產(chǎn)兀、(-l)2sina,a為偶數(shù)

sin(—4-a)=<〃_]

~、(—l)2cosa,a為奇和

(-1戶cosa,a為偶數(shù)

/〃兀、

cos(—+a)=<〃+i

(-1)2sina,a為奇數(shù)

18.和角與差角公式

sin(a±yff)=sinacosft±cosasinp；

cos(a±/?)=cosacos+sinasinft；

/,c、tan(2±tanB

tan(a±4)=-.

1+tantztan(3

sin(a+^)sin(a-)5)=sin2a-sin20(平方正弦公式);

cos(a+4)cos(a-4)=cos2a-sin20.

asina+hcosa=Js?+〃sin(a+0)(輔助角°所在象限由點(a,b)的象限決

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定，tan9=—).

a

積化和差公式

csin(a+￡)+sin(a-￡)

sin<2cos(5匕;——J

C=sin(a+”in(f)

ccos(cr+/?)+cos(a-3)

cosacosp=—

2

sinasin/?=c°s(a-"c°s(a+0(特別注意這里的大小關(guān)系)

19.二倍角公式sin2a=sinacosa.

_2.?21i,2—2tanoc

cos2a=cos*"a-sin-6Z=2cosa-l=l-2snra.tan2a=

1-tana

女育八—?21-cos2a1+cosla

降累公式sin-a-,cos-2a-

22

20.三角函數(shù)的周期公式函數(shù)y=sin(ox+3),x￡R及函數(shù)y=cos(0x+9),x￡R(A,3,(p

為常數(shù)，且AWO,3>0)的周期T=22；函數(shù)y=tan(Gx+°),x^k7T+—.keZ(A,

co"2

jr

s,9為常數(shù)，且AWO,3>0)的周期T=—.

CO

27r

通用周期公式：函數(shù)y=sin"xcoswx的周期T=—

m+n

21.正弦定理——=，一=——=27?.

sinAsinBsinC

22.余弦定理a2=/?2+c2-2hccosA,h2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2ahcosC.

扇+〃_2

余弦定理另一表達形式：cosA=-(通常用來求角)

2bc

23.面積定理(1)S=—ah=—bhh=—ch(6、hh>'分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S=-ahsinC=—hcsinA=Lasin8.

222

⑶S"=^(\OA\\OB\)2-(OAOB)2.

24.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有

A+8+C=;r=C=萬一(A+8)=g=g—o2C=2%一2(A+8).

第五章：向量

25.平面兩點間的距離公式

北,8=IAB|=4ABAB=7（》2—X]）2+（當(dāng)一%）2（A（花,必），B（%,為））?

26.向量的平行與垂直設(shè)a=（X],yJ,b=（X2，y2），且bHO,則

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ab=b=、a<^>xty2-x2y}=0<=>—=—.

M/

a_Lb(aW0)Qa?b=0u>x?々+%%=0="?上■=T(聯(lián)想記憶直線平行與垂直的性質(zhì))?

27.線段的定比分公式設(shè)片a，y),P2(x2,y2),P(x,y)是線段的分點，4是實數(shù)，且

P^P=^PP2,則

玉+AX2

"%Q而=°6+初8Q而.西+(1T)西("-L).

X+沏21+/1I''21+2

y=

1+%

特例：中點坐標(biāo)公式x=土±三,>=江匚旦

22

28.三角形的重心坐標(biāo)公式AABC三個頂點的坐標(biāo)分別為AG”%)、B(x2)y2)>C(x3,y3),

則AABC的重心的坐標(biāo)是G(X|+；+、3,/+：+%)

rI"f

x=x+/zx=x-h,一?,’-

29.點的平移公式，，,o0P'=0P+PP'(圖形F上的任意一點

y=y+k[y=y-k

P(x,y)在平移后圖形聲上的對應(yīng)點為P'(x',y'),且港的坐標(biāo)為(兒口).

第六章：不等式

30.常用不等式：

(1)a,beR=>a2+b2>lab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"="號).

(2)a,beR+n>4ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號).

2

(3)a3+b3+c3>3abe(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式(a2+b2)(c2+d2”(ac+bd)2,a,/7,c,d€R.

(5)|a|-|Z?|<|a+Z?|<|a|+|b|

31.極值定理已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)x=y時和x+y有最小值21；

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)x=y時積盯有最大值一52.

4

32.■—元二次不等式ax2+hx+c>0(或<0)(aH0,△=/—4ac>0),如果a與

aY+bx+c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ai+bx+c異號，則其解集在兩根之

間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

玉<X<X2Q(X_X])(尤一%)V0(尤1〈工2)；

1<不，或不>尤2=(工一七)。?％)>°(玉〈12)?

33.含有絕對值的不等式當(dāng)a>0時，有

\x\<aX2<a"<^>-a<x<a.

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[x|>a<=>F〉/=%>a或％<_a.

[/U)>0

34.無理不等式(1)西a*g(x)20

f(x)>g(x)

7?>o

)(x)20

(2)df(X)>g(x)O.g(x)NO或，

g(x)<0

J(x)>[g(x)?

7(x)>0

⑶V7w<^)?-g(x)>0

,/?<[g(x)]2

35.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)。>1時，

7?>o

〃(x)>asW=f(x)>g(x);log"〃x)>log“g(x)Q-g(x)>0

J(x)>g(x)

(2)當(dāng)Ova<1時，

7U)>0

>qg(x)Q〃x)<g(x)；logj(x)>log〃g(x)=,g(x)>。

f(x)<g(x)

第七章：解析幾何

36.斜率公式女=止匕（片（石,弘）、￡區(qū),為））.

x2-X）

37.直線的四種方程

（1）點斜式=k（x-x1）（直線/過點片（西,口），且斜率為左）.

（2）斜截式y(tǒng)=+b（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點式―—―=—~》（>尸>2）（4（和弘）、8（々,〉2）（玉。》2））.

必一%X2-玉

（4）一般式Ax+By+C=O（其中A、B不同時為0）.

38.兩條直線的平行和垂直（1）若4:y=A]X+優(yōu)，l2:y=k2x+b2

①/14Q占=%2，”1H02；②4，=—L

⑵若:A1X+8j+G=0,2：ax+^y+C2=0,且Al、M、B|、B2都不為零，

ARC

①44=」=」■/*?；②4_1/2=4&+8f2=0；

4B?G

k-k

21

39.夾角公式tana=||.（/1:y=k}x+h],l2:y=k2x+b2,k,k.^-1）

1+女2女1

tana=4^―^-（/）:Ax+gy+G=0,Z2：Ax+B2>+C2=0,AA2+B,52WO）?

44+片層

7T

直線時，直線。與，2的夾角是

2

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40.點到直線的距離4=3±匙^（點尸。0，%），直線/：Ax+By+C=0）.

VA2+52

直線補充：過2條直線h,12的直線系方程：l=l,+k-l2

41.圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

（2）圓的?般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0（D2+￡2-4F>0）.

,x=a+rcos0

（3）圓的參數(shù)方程

y=b+rsinO

（4）圓的直徑式方程*一玉）（X—%）+（）-/）（,一九）=0（圓的直徑的端點是A（X，M）、

B（x2,y2））.

圓的補充知識：

1、相交弦方程：/=1一2

2、圓的切線方程：見本頁49項

22

42.橢圓斗+與=1（。>b>0）的參數(shù)方程是<x-acos3

ab~y=bsin0

-~“2

43.橢圓0+￡=1（〃>b>0）焦半徑公式|尸用=e（x+幺）=a+ex,

2

\PF2\=e（x）=a-ex.

22

44.雙曲線二—4=1（。>0/>0）的焦半徑公式

礦b

22

|「耳|=|e（x+一）|=ex+a,\PF2\=|e（———x）|=ex-a.

2

45.拋物線y2=2px上的動點可設(shè)為P（匕,匕）或P（2p/,2pf）或P（x0,y。），其中

2P

y：=2px。.

46.二次函數(shù)），=以2+云+C="（X+_L）2+±￡立伍。0）的圖象是拋物線：（1）頂點坐標(biāo)

2a4a

h4ac—h~h4cic—+1

為（一二；-）；（2）焦點的坐標(biāo)為（―2,“"『十」）；（3）準(zhǔn)線方程是

2a4a2a4a

4ac-b2-1

v=.

47.直線與圓錐曲線相交的弦長公式用/二）區(qū)一%）2+（必一》2）2或

2222

\AB\=yl（\+k）（x2-xj=|Xj-x21V1+tana=|y}-y2\Vl+c<?ta（弦端點

y=kx+bi

A（X1,y）,B（X2，y2），由方程《消去y得到a/+bx+c=0,A>。，1為直線

F（x,y）=0

AB的傾斜角，攵為直線的斜率）.

48.圓錐曲線的兩類對稱問題：

（1）曲線F（x,y）=0關(guān)于點P（x0,y0）成中心對稱的曲線是F（2x0-x,2yn-y）=0.

Page7of7

（2）曲線F（x,y）=0關(guān)于直線Ax+8），+C=0成軸對稱的曲線是

__2A（Ax4-By4-C）26（Ar+6y+C）、八

F（xz-z,y已9）=0?

A2+B2A2+B2

49.切線方程快速解法：對于一般的二次曲線Ax2+B盯+。2+。、+&+尸=0,用x°x

代爐,用代V，用.代孫,用當(dāng)產(chǎn)代》,用號2代y即得方程

XyXy

Axox+B-°^°+Cyoy+D-^^+E-^^+F^O,這就是曲線的切線方程

50.共線向量定理對空間任意兩個向量a、b（bWO）,a〃bo存在實數(shù)入使a=入b.

51.對空間任一點0和不共線的三點A、B、C,滿足而=xE+y9+z反，

則四點P、A、B、C是共面ox+y+z=l.

52.空間兩個向量的夾角公式cos（a,b）=廣，。14士^2｝妝3,（a=（a1,a2,a3）,

Ja：+a；+a；業(yè)2+此+b；

b=（4也也））.

AR'm—,

53.直線AB與平面所成角/?=awsin（m為平面a的法向量）.

\AB\\m\

YYI?YIm,n->-

54.二面角a-/一￡的平面角。="。（：05二—二「或萬一"ccos"——（tn,n為平面a,

\m\\n\\m\\n\

夕的法向量）.

55.設(shè)AC是a內(nèi)的任一條直線，且BCLAC,垂足為C,又設(shè)A0與AB所成的角為4，AB與AC

所成的角為冬，A0與AC所成的角為6.則cos。=cos4cos名.

56.若夾在平面角為°的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是用，口，與二面角

的棱所成的角是。，則有sin?9sin?。=sir?4+sin?%-2sinasin。2cos8;

\ex-e21<^><180°-（<9,+02）（當(dāng)且僅當(dāng)e=90°時等號成立）.

57.空間兩點間的距離公式若A（X|，x，zJ，B（x2,y2,z2），貝U

“B=1甌=J而.而=J（》2一%>+（乃一%）2+仁2—&）2.

58.點。到直線/距離〃=」-J（|a||bN-（a萬）2（點P在直線/上，直線/的方向向量

1?1

a=PA,向量b=PQ）.

59.異面直線間的距離d=」^（/”/2是兩異面直線，其公垂向量為“，C、。分別是兒'

1?1

上任一點，d為44間的距離）?

60.點B到平面a的距離6=1”相（3為平面a的法向量，A8是經(jīng)過面a的一條斜線，

1?1

Awa）.

61.異面直線上兩點距離公式d=J戶+療+-2mncos6

（兩條異面直線a、b所成的角為0,其公垂線段AA'的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、

F,AE=m,AF=n,EF=d）.

Page8of8

2222

62.I=/；+/；+/；0COS4+COS02+COS。3=1

（長度為/的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為4、4、4，夾角分別為

4、3、4）（立幾中長方體對角線長的公式是其特例）.

S，

63.面積射影（二面角）定理S=——（大型考試如高考時最好先加以證明）

cos6

64.常見幾何體的體積公式：

棱柱：u=M（s:底面積，h：高）圓柱：v=7vr2h

棱錐:v=!s/z,圓錐：v=1;rr2h

33

第八章：排列組合與二項式定理：

66.分類計數(shù)原理（加法原理）'二班+啊+…+加〃.

67,分步計數(shù)原理（乘法原理）N=m1xm2xxm,J.

fi!

68.排列數(shù)公式A："二〃（九一1）???（〃一機+1）=?（〃，mGN*,且加工〃）.

（n-m）l

yi

69.排列恒等式⑴A：=（"_〃?+l）A；i;（2）A；=」一A：'；⑶（4）

n-m

啊=媚一一；⑹A%=A：+mA：T.

70.組合數(shù)公式c："=岔=心_D…（〃一刀+1）=—————（〃，meN",且〃2<〃）.

A：：1x2x???x加！?（〃一〃?）！

71.組合數(shù)的兩個性質(zhì)⑴C；：=C：f;（2）C；+C?-'=C；；）

72.組合恒等式（1）。：=巴""禺"晨2）。，=」一。二1乂3）0巴禺1；⑷

mn—mm

￡C,；=2";（5）C；+C[+C；+2+…+C；=C；；

r=0

73.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：A,：=〃?!?￡：.

74.二項式定理（a+b）"=C：a"+C^-'b+C^a'-2b2+…+。3一夕+…+C?";

nrr

二項展開式的通項公式：Tr+l=C；,a-h（r=0A,2,〃）.

l，qnp<l

式子（以+力+cz）"中的系數(shù)：C；C；,_l,abc--

式子（ax"+苗）"中常數(shù)項的系數(shù)：用比例法

第九章：概率

IT1

75.等可能性事件的概率P（A）=-.

n

76.互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和P（A+B）=P（A）+P（B）.

77.n個互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P（A1+A2+-+An）=P（A1）+P（A2）+-+P（An）.

Page9of9

78.獨立事件A,B同時發(fā)生的概率P(A?B)=P(A)?P(B).

79.n個獨立事件同時發(fā)生的概率P(A]?A2A/=P(Ai)?P(A2)P(An).

80.n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率己(A)=C；尸(1-尸)"*

81.離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)：(1)《20。=1,2,…)；(2)Pl+P2+--=1.

82.數(shù)學(xué)期望石4=/6+々￡+…+七￡+…

83.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：⑴E(a^+b)=aE^)+b；⑵若，?B(〃,p),則Ej=叩.

22

84.方差D&=(再一E&Y-Pi+(x2-E^)-P2+--+(xn-E^)-pn+…

85.標(biāo)準(zhǔn)差喏孑.

86.方差的性質(zhì)⑴。?=轉(zhuǎn)2_(用)2；⑵。(喈+/4=/"；(3)若J?6(〃,p),則

"=np(\-p).

87.正態(tài)分布密度函數(shù)/(x)=7=~e2，，xw(—叫+8)式中的實數(shù)口，(T(0〉0)是參

兀6

數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.

1上

88.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)f[x]--j=^e2,xe.

J246

89.對于N(4，〃)，取值小于x的概率/(力=中(子口.

P[xx<xQ<x2)=P(x<x2)-P(x<xt)=F(x2)—F(xJ

（-?。?刃

￡x,^^y.-nxy

其中）2（尤,-對

f=l

回歸直線方程y=a+bx,

90.登;一欣2.

f=l

a=y-bx

ZU-可(y,—歹)2(占一可(左-歹)

91.相關(guān)系數(shù)r=“汩“=IJT“

22

JZu-%)t(y.-y)xj-加)這y：_n-2)

Vi=li=lV1=11=1

|r|Wl,且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大；r|越接近于0,相關(guān)程度越小.

第十章：極限

0團<1

92.特殊數(shù)列的極限(1)q=i

M—><?

不存在|q|<1或q=-1

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0(k<t)

、一a】〃"+見/"?+…+恁a,八、

(z2)hm-^=\—(k=t).

“f8bM+b.MHkb。bk

不存在(k>t)

q(S無窮等比數(shù)列{a@i}(|q|<l)的和).

i-q

93.limf(x)-aQlimf(x)-limf(x)-a.這是函數(shù)極限存在的一個充要條件.

x~X—XTX0-

94涵數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)f(x),g(x),h(x)在點Xo的附近滿足：

(1)g(x)<f(x)<h(x);(2)limg(x)-a,limh(x)-a(常數(shù))，則limf(x)=a.

XTX。XT*。

本定理對于單側(cè)極限和X-?8的情況仍然成立.

95.兩個重要的極限(1)lim理二=1；(2)limf1+-|=e(e=2.718281845…).

Dxxj

96./(x)在/處的導(dǎo)數(shù)(或變化率或微商)

廣(%)=y[r=lim"=lim/(/玲)二/(一.

°IFATTOAXA—。AX

八，/、..Ns$(，+△，)一“，)

97.瞬時速度v=s(t)=lim一=lim-.

Af->02A/->02

98.瞬時加速度a=v,(r)=lim—=lim+加)-幽

第十一章：導(dǎo)數(shù)

99./(x)在