應(yīng)用多元統(tǒng)計分析（第六版）課件-第四章多元正態(tài)總體的統(tǒng)計推斷

第四章多元正態(tài)總體的統(tǒng)計推斷§4.1一元情形的回顧§4.2單個總體均值的推斷§4.3兩個總體均值的比較推斷§4.4輪廓分析§4.5多個總體均值的比較檢驗（多元方差分析）§4.6協(xié)方差矩陣相等性的檢驗§4.7總體相關(guān)系數(shù)的檢驗1§4.2單個總體均值的推斷一、均值向量的檢驗二、置信區(qū)域三、聯(lián)合置信區(qū)間*四、均值向量的大樣本推斷2一、均值向量的檢驗設(shè)x1,x2,?,xn是取自總體Np(μ,Σ)的一個樣本，這里Σ>0，欲檢驗H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0（一）Σ已知時的檢驗*（二）霍特林T2分布（三）Σ未知時的檢驗3（一）Σ已知時的檢驗檢驗統(tǒng)計量拒絕規(guī)則為：若，則拒絕H0

是總體

中到μ0的平方馬氏距離。4*（二）霍特林T2分布設(shè)x~Np(0,Σ)，W~Wp(n,Σ)，x和W相互獨立，則的分布稱為自由度為n的霍特林（Hotelling）T2分

布，記為T2(p,n)，這里n為自由度。5設(shè)x~N(0,1)，W~χ2(n)[=W1(n,1)]，x和W相互獨立，則分別依t分布和T2分布的定義，有即有T2(1,n)=t2(n)[=F(1,n)]由此可見，T2分布實際上是t分布在多元情形下的一種推廣。6（三）Σ未知時的檢驗檢驗統(tǒng)計量為稱之為霍特林T2統(tǒng)計量。

對給定的α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0

等價于若

，則拒絕H0其中

。7例4.2.1對某地區(qū)農(nóng)村的6名2周歲男嬰的身高、胸圍、上半臂圍進(jìn)行測量（單位：cm），得樣本數(shù)據(jù)如表4.2.1所示。根據(jù)以往資料，該地區(qū)城市2周歲男嬰的這三個指標(biāo)的均值μ0=(90,58,16)′，現(xiàn)欲在多元正態(tài)性假定下檢驗該地區(qū)農(nóng)村男嬰是否與城市男嬰有相同的均值。這是假設(shè)檢驗問題：H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0表4.2.1 某地區(qū)農(nóng)村男嬰的體格測量數(shù)據(jù)編

號身高（x1）胸圍（x2）上半臂圍（x3）17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.08

故在α=0.01下，拒絕H0（p=0.002）。9二、置信區(qū)域其中

。10μ的置信度為1?α的置信區(qū)域為當(dāng)p=1時，它是一個區(qū)間；當(dāng)p=2時，它是一個實心橢圓，這時可將其在坐標(biāo)平面上畫出；當(dāng)p=3時，它是一個橢球體；當(dāng)p＞3時，它是一個超橢球體；它們均以為中心。置信區(qū)域與假設(shè)檢驗之間有著密切的關(guān)系。一般來說，μ0包含在上述1?α置信區(qū)域內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)

H0：μ=μ0在α下被接受。可以通過構(gòu)造的置信區(qū)域的方法來進(jìn)行假設(shè)檢驗。實踐中，該方法通常用于p=2時的情形，并借助于平面置信區(qū)域圖形。11三、聯(lián)合置信區(qū)間設(shè)x1,x2,?,xn是來自總體Np(μ,Σ)的一個樣本，對任一a≠0，令yi=a′xi(i=1,2,?,n)，則y1,y2,?,yn是來自總體N(a′μ,a′Σa)的一個樣本，其樣本均值和方差為12故a′μ的1?α置信區(qū)間為a1′μ和a2′μ的1?α置信區(qū)間分別為P(E1)=1?α，P(E2)=1?α，但P(E1E2)≤min{P(E1),P(E2)}=1?α要使得總置信度達(dá)到1?α，就必須將tα/2(n?1)增大到某個值。13如果希望有更多線性組合參數(shù)a1′μ,a2′μ,?,ak′μ的置信區(qū)間同時成立的概率達(dá)到1?α，則需進(jìn)一步加大每個置信區(qū)間中的分位數(shù)值。置信區(qū)間的個數(shù)k越大，所需的分位數(shù)值也就越大。上述分位數(shù)值如增大到Tα(p,n?1)，則有

即

以1?α的概率對一切a∈Rp成立，稱它為一切線性組合

{a′μ，a∈Rp}的置信度為1?α的聯(lián)合置信區(qū)間。對k個線性組合{ai′μ，i=1,2,?,k}，有14當(dāng)k很小時，T2聯(lián)合置信區(qū)間

的置信度一般會明顯地大于1?α，因而上述區(qū)間會顯得過寬，即精確度明顯偏低。這時，我們可以考慮采用邦弗倫尼

（Bonferroni）聯(lián)合置信區(qū)間：

它的置信度至少為1?α。若tα/2k(n?1)<Tα(p,n?1)，則邦弗倫尼區(qū)間比T2區(qū)間要窄，這時宜采用前者作為聯(lián)合置信區(qū)間；反之，若tα/2k(n?1)>Tα(p,n?1)，則邦弗倫尼區(qū)間比T2

區(qū)間寬，宜采用后者作為聯(lián)合置信區(qū)間。當(dāng)k≤p時，邦弗倫尼區(qū)間要比T2

區(qū)間窄。故在求μ的所有p個分量μ1,μ2,?,μp的聯(lián)合置信區(qū)間時，一般應(yīng)采用邦弗倫尼區(qū)間，此時也不必考慮多維變量協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)。15例4.2.2為評估某職業(yè)培訓(xùn)中心的教學(xué)效果，隨機抽取8名受訓(xùn)者，進(jìn)行甲和乙兩個項目的測試，其數(shù)據(jù)列于表4.2.2。假定x=(x1,x2)′服從二元正態(tài)分布。n=8，p=2，取1?α=0.90，查表得F0.10(2,6)=3.46，于是，T0.10(2,7)=2.841。表4.2.2 兩個項目的測試成績編

號12345678甲項成績（x1）6280668475805479乙項成績（x2）707775878791618416μ的0.90置信區(qū)域為

即 0.0436×(μ1?72.5)2?0.0812×(μ1?72.5)(μ2?79) +0.0475×(μ2?79)2≤1.009

這是一個橢圓區(qū)域。μ1和μ2的0.90T2聯(lián)合置信區(qū)間為

這兩個區(qū)間分別正是橢圓在μ1軸和μ2軸上的投影。17μ1和μ2的0.90邦弗倫尼聯(lián)合置信區(qū)間為（t0.025(7)= 2.3646）

這個聯(lián)合置信區(qū)間在精確度方面要好于T2聯(lián)合置信區(qū)間。由該聯(lián)合置信區(qū)間可得到置信度至少為0.90的矩形置信區(qū)域（見圖4.2.1中的實線矩形），但其矩形面積要大于橢圓面積。18圖4.2.1置信橢圓和聯(lián)合置信區(qū)間19利用置信區(qū)域進(jìn)行假設(shè)檢驗在例4.2.2中，如果在α=0.10下檢驗假設(shè)

H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0其中μ=(μ1,μ2)′，μ0=(μ01,μ02)′，則可利用圖4.2.1中的橢圓得出檢驗的結(jié)果。若μ0位于橢圓外，則拒絕；反之，則接受。圖4.2.1中的虛線矩形在μ1和μ2軸上的區(qū)間范圍分別是μ1和μ2的0.90置信區(qū)間。當(dāng)μ0位于橢圓外虛線矩形內(nèi)的位置（如A點）時，檢驗雖拒絕H0，但如在α=0.10下分別檢驗H01：μ1=μ01，H11：μ1≠μ01H02：μ2=μ02，H12：μ2≠μ02

則檢驗都將接受H0；當(dāng)μ0位于橢圓內(nèi)虛線矩形外的位置（如B點）時，檢驗雖接受H0，但H01：μ1=μ01和H02：μ2=μ02至少有其一將會被拒絕。20例4.2.3

設(shè)x1,x2,?,xn是來自總體Np(μ,Σ)的一個樣本，其中μ=(μ1,μ2,?,μp)′，Σ=diag(σ11,σ22,?,σpp)。μ1,μ2,?,μp的置信度至少為1?α的邦弗倫尼聯(lián)合置信區(qū)間為該區(qū)間雖好于T2區(qū)間，但仍不理想。我們可利用Σ的特殊結(jié)構(gòu)信息，只需各自求得μi的置信度為(1?α)1/p的置信區(qū)間i=1,2,?,p，因獨立性，故它們同時成立的概率為[(1?α)1/p]p=1?α，從而是μ1,μ2,?,μp的置信度恰為1?α的聯(lián)合置信區(qū)間。21*四、均值向量的大樣本推斷設(shè)x1,x2,?,xn是來自均值為μ，協(xié)差陣為Σ(>0)的總體的一個樣本。當(dāng)n很大且n相對于p也很大時，用S替代Σ也有檢驗H0:μ=μ0的拒絕規(guī)則為：μ的1?α近似置信區(qū)域為22

的1?α近似聯(lián)合置信區(qū)間為

的1?α近似邦弗倫尼聯(lián)合置信區(qū)間：tα/2k(n?1)隨n的增大而遞減，并以uα/2k為極限。類似地，

也隨n的增大而遞減，并以

為極限，當(dāng)n相對于p較大時，

可用

近似。23§4.3兩個總體均值的比較推斷一、兩個獨立樣本的情形二、成對試驗的T2統(tǒng)計量24一、兩個獨立樣本的情形設(shè)從兩個總體Np(μ1,Σ)和Np(μ2,Σ)中各自獨立地抽取一個樣本

和

，Σ>0，欲檢驗H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2μ1,μ2的無偏估計Σ的聯(lián)合無偏估計

其中25霍特林T2檢驗統(tǒng)計量當(dāng)H0為真時，對給定的α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0

其中26H0：μ1=μ2是否被拒絕與H0i：μ1i=μ2i是否被拒絕雖有一定聯(lián)系，但并沒有必然關(guān)系。在圖4.3.1中，似乎會拒絕H0：μ1=μ2，而接受H0i：μ1i=μ2i，i=1,2。27圖4.3.1兩個橢圓點群在實際應(yīng)用中，一旦H0：μ1=μ2被拒絕了，則可以考慮對所有的i(1≤i≤p)，在相同的顯著性水平下再進(jìn)一步檢驗H0i：μ1i=μ2i，以判斷是否有分量及（若有）具體是哪些分量對拒絕H0：μ1=μ2起了較大作用。{a′(μ1?μ2)，a∈Rp}的1?α聯(lián)合置信區(qū)間為當(dāng)k很小時，可采用｛ai′(μ1?μ2)，i=1,2,?,k｝的1?α邦弗倫尼聯(lián)合置信區(qū)間28例4.3.1（例4.2.1續(xù)）

表4.3.1給出了相應(yīng)于表4.2.1的9名2周歲女嬰的數(shù)據(jù)。我們欲在多元正態(tài)性假定下檢驗2周歲的男嬰與女嬰的均值向量有無顯著差異。表4.3.1 某地區(qū)農(nóng)村女嬰的體格測量數(shù)據(jù)編

號身高（y1）胸圍（y2）上半臂圍（y3）18058.414.027559.215.037860.315.047557.413.057959.514.067858.114.577558.012.586455.511.098059.212.529從例4.2.1得

從表4.3.1計算得30

所以

因

，故不能拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為兩個均值向量無顯著差異（p=0.269）。31二、成對試驗的T2統(tǒng)計量設(shè)(xi,yi)，i=1,2,?,n(n>p)是成對試驗的數(shù)據(jù)，令di=xi?yi，i=1,2,?,n

又設(shè)d1,d2,?,dn獨立同分布于Np(δ,Σ)，其中Σ>0，δ=μ1?μ2，μ1和μ2分別是總體x和總體y的均值向量。希望檢驗H0：μ1=μ2，H1：μ1≠μ2

這等價于H0：δ=0，H1：δ≠0

檢驗統(tǒng)計量為32

其中當(dāng)原假設(shè)H0：δ=0為真時，統(tǒng)計量對給定的α，拒絕規(guī)則為：若

，則拒絕H0

其中33§4.4輪廓分析設(shè)對同一個單元（個人、商店、小塊土地等）施加p種處理（如測驗，問卷調(diào)查等）或在相繼p個時間段內(nèi)重復(fù)測量，依次得到測量值x1,x2,?,xp，其相應(yīng)的均值依次為μ1,μ2,?,μp。一、單總體的輪廓分析二、兩總體的輪廓分析34圖4.4.1是將點(1,μ1)，(2,μ2)，?，(p,μp)用直線連接起來的折線圖，稱為總體的輪廓。輪廓分析是輪廓的分析或多個輪廓的比較，它常用于分析比較相繼一連串的心理測試或其他測試中。35圖4.4.1總體輪廓（p=4）一、單總體的輪廓分析基本假設(shè)：輪廓是水平的，即

等價于

其中

稱為對比矩陣，rank(C)=p?1。36設(shè)x=(x1,x2,?,xp)′~Np(μ,Σ)，則檢驗統(tǒng)計量為對給定的α，拒絕規(guī)則為：

其中

37例4.4.1當(dāng)施加的處理數(shù)p=2時，單總體的輪廓分析就退化為基于成對數(shù)據(jù)的兩個一元總體均值的比較檢驗。檢驗的假設(shè)為在x=(x1,x2)′~N2(μ,Σ)的假定下，檢驗統(tǒng)計量為

38對給定的α，拒絕規(guī)則為：或等價為：

其中39二、兩總體的輪廓分析設(shè)對兩個總體的單元施加相同的p種處理，

，

分別為總體1和總體2的p種處理的均值向量。三個感興趣的假設(shè)：(1)兩輪廓外表上是相似的嗎？或更精確地說它們是平行的嗎？(2)假如兩輪廓是平行的，那么它們是否重合？(3)假如兩輪廓重合，它們是水平的嗎？40假設(shè)1的原假設(shè)：

或 H01：Cμ1=Cμ2，H11：Cμ1≠Cμ2

其中

rank(C)=p?1。41設(shè)兩個獨立樣本

分別來自Np(μ1,Σ)和Np(μ2,Σ)，則檢驗統(tǒng)計量為其中Sp是Σ的聯(lián)合無偏估計。對于給定的α，拒絕規(guī)則為：

其中

42在兩總體輪廓平行時，假設(shè)2的原假設(shè)可寫成或檢驗統(tǒng)計量為43或?qū)τ诮o定的α，拒絕規(guī)則為：

或44若兩總體的輪廓重合，即μ1=μ2=μ，則

均來自同一Np(μ,Σ)，此時可將這兩個樣本合并成一個容量為n1+n2的新樣本，其新樣本均值為

并將其新樣本協(xié)方差矩陣記為S。假設(shè)3的原假設(shè)為 H03:μ1=μ2=?=μp

故假設(shè)檢驗問題可表達(dá)為45

其中檢驗統(tǒng)計量為對給定的α，拒絕規(guī)則為：其中46例4.4.2作為愛情與婚姻問題某項研究的一部分，對一個由若干名丈夫和妻子組成的樣本進(jìn)行了問卷調(diào)查，請他們回答下列問題： (1)您對伴侶的愛情的“熱度”水平感覺如何？ (2)伴侶對您的愛情的“熱度”水平感覺如何？ (3)您對伴侶的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？ (4)伴侶對您的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？

回答均采用如下5級計分制：1——沒有，2——很小，3——有些4——較大，5——非常大

4730名丈夫和30名妻子的回答列于表4.4.1，其中：x1：對問題1的5級分制回答x2：對問題2的5級分制回答x3：對問題3的5級分制回答x4：對問題4的5級分制回答兩個總體的定義：總體1：丈夫?qū)ζ拮涌傮w2：妻子對丈夫48丈夫?qū)ζ拮悠拮訉φ煞騲1x2x3x4y1y2y3y423554455554445554555445543444555335544553345334434444354445534554555445444333444445545555544555544444455435544444455445533453444454455555555454455443444444453444444534444444544345525555355345555334355334444444444445533553444443344544455445549表4.4.1 配偶數(shù)據(jù)50圖4.4.2愛情與婚姻問題的兩樣本輪廓51在α=0.05下，以下作輪廓分析的三個檢驗：(1)檢驗輪廓的平行性52

因

，所以不能拒絕兩總體的輪廓是平行的假設(shè)（p=0.063）。(2)在接受平行輪廓的假設(shè)后，再檢驗兩輪廓是否重合。故接受H02，即丈夫?qū)ζ拮雍推拮訉φ煞虻幕卮饹]有顯著差異（p=0.221）。53(3)在接受兩個輪廓是重合的前提下，現(xiàn)來檢驗共同輪廓是水平的。54由于

，故拒絕H03，即共同輪廓是水平的說法被否定，從而對四個問題回答的得分水平有顯著差異

（p=0.0002）。55§4.5多個總體均值的比較檢驗

（多元方差分析）設(shè)有k個總體π1,π2,?,πk，它們的分布分別是Np(μ1,Σ),Np(μ2,Σ), ?,Np(μk,Σ)，今從這k個總體中各自獨立地抽取一個樣本，取自總體πi的樣本為

，i=1,2,?,k?，F(xiàn)欲檢驗H0：μ1=μ2=?=μk，H1：μi≠μj,至少存在一對i≠j

記56總平方和及叉積和矩陣誤差（或組內(nèi)）平方和及叉積和矩陣處理（或組間）平方和及叉積和矩陣則T=E+H

相應(yīng)的自由度

n?1=(n?k)+(k?1)

采用似然比方法可以得到威爾克斯（Wilks）Λ統(tǒng)計量對給定的α，拒絕規(guī)則為：若Λ≤Λ1?α(p,k?1,n?k)，則拒絕H0

其中Λ1?α(p,k?1,n?k)滿足：當(dāng)H0為真時，P[Λ≤Λ1?α(p,k?1,n?k)]=αΛ分布的分位數(shù)值常通過查F分布（或卡方分布）表得到（或近似得到）。57例4.5.1為了研究銷售方式對商品銷售額的影響，選擇四種商品（甲、乙、丙和?。┌慈N不同的銷售方式（Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ）進(jìn)行銷售。這四種商品的銷售額分別為x1,x2,x3,x4,其數(shù)據(jù)見表4.5.1。表4.5.1 銷售額數(shù)據(jù)編

號銷售方式Ⅰ銷售方式Ⅱ銷售方式Ⅲx1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4112560338210665445531065334802602119802333308245403210100344682953635126020365653122806563416265465514291504051477280117484682505130654032056754481293114633953806694535019038504682105530546235746605852004245351190645150732058814666273250113403903101109044222598754585240805552020060624402481011077507270766050718911069377260111076036420094332602808878299360121306139120060514291907363390320138045429270554039029511455494240146050442190654848117710354416310158154260280694844222510033273312161358750726012563312270140613123451757484002851205641628080362862501875525202607045468370135544683451976654032506266416224130693253602055424111706960377280605727326059欲檢驗H0：μ1=μ2=μ3，H1：μ1,μ2,μ3中至少有兩個不相等

假定這三個總體均為多元正態(tài)總體，且它們的協(xié)差陣相同。p=4，k=3，n1=n2=n3=20，n=n1+n2+n3=60

6061

于是

由附錄4-3中的(4-3.4)式可得

因F0.01(8,108)=2.68＜3.039，從而在α=0.01下拒絕H0，故可認(rèn)為三種銷售方式的銷售額有十分顯著的差異（p=0.004）。62為了解這三種銷售方式的顯著差異究竟是由哪些商品引起的，我們對這四種商品分別用一元方差分析方法進(jìn)行檢驗分析。利用H和E這兩個矩陣對角線上的元素有

查表得，F(xiàn)0.05(2,57)=3.16，F(xiàn)0.01(2,57)=5.01，故甲商品有顯著差異（p=0.041），丁商品有十分顯著的差異（p=0.001），而乙和丙商品都無顯著差異（p=0.208和p=0.848）。63首先得出丁商品對原假設(shè)H0的拒絕起到了很大的作用。剔除丁商品后再對其他三種商品進(jìn)行三元方差分析檢驗，則有

F0.05(6,110)=2.18>1.328，不顯著，因此說明對甲、乙、丙這三種商品，銷售方式Ⅰ,Ⅱ和Ⅲ的總體均值向量之間無顯著差異（p=0.251）?？烧J(rèn)為甲商品對三種銷售方式的差異無明顯影響。64例4.5.2試證當(dāng)k=2時，(4.5.6)式的檢驗統(tǒng)計量Λ等價于(4.3.2)式的檢驗統(tǒng)計量T2，且有65§4.6協(xié)方差矩陣相等性的檢驗該齊性檢驗的主要用途：(1)希望對多個總體均值向量進(jìn)行比較檢驗；(2)考慮是否采用聯(lián)合協(xié)方差矩陣。設(shè)k個總體π1,π2,?,πk的分布分別是Np

(μ1,Σ1),Np

(μ2,Σ2),?,Np

(μk,Σk)，從這k個總體中各自獨立地抽取一個樣本，取自總體πi的樣本是

。希望檢驗66博克斯（Box）的M檢驗一個（修正的）似然比統(tǒng)計量為

其中67博克斯M統(tǒng)計量為當(dāng)H0為真時，

其中68當(dāng)ni全相等時，上式簡化為對于給定的α，拒絕規(guī)則為：當(dāng)ni都超過20，且p和k都不超過5時，博克斯的卡方近似效果較好。69需要指出：(1)對足夠大的樣本容量，多元方差分析檢驗對于非正態(tài)性來說還是相當(dāng)穩(wěn)健的。(2)M檢驗對某些非正態(tài)情形非常敏感。(3)當(dāng)各總體的樣本容量大且相等時，協(xié)方差矩陣的一些差別對多元方差分析檢驗幾乎沒有影響。即使M檢驗拒絕了H0，我們?nèi)钥衫^續(xù)使用通常的多元方差分析檢驗。70例4.6.1在例4.5.1中，檢驗 H0：Σ1=Σ2=Σ3，H1：Σ1,Σ2,Σ3中至少有兩個不相等

經(jīng)計算 |S1|=1.0048×1012，|S2|=4.8289×1011 |S3|=2.0339×1012，|Sp|=1.5597×1012ln