2021年上半年教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》(初級(jí)中學(xué))真題及答案

2021年上半年教師資格證考試《數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)與教學(xué)能力》(初級(jí)中學(xué))真題及答案1.【單項(xiàng)選擇題】單選題在空間直角坐標(biāo)系下，直線與平面3x-2y-z+15=0的位置關(guān)系是()A.相交且垂直B.相交不垂直C.平行D.直線在平面上正確答案：D參考解析：2.【單項(xiàng)選擇題】使得函數(shù)一致連續(xù)的x取值范圍是()A.(0.1)B.(0.1]C.D.(-∞,+∞)正確答案：C參考解析：3.【單項(xiàng)選擇題】單選題方程的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3正確答案：C參考解析：4.【單項(xiàng)選擇題】A.B.C.D.正確答案：A參考解析：5.【單項(xiàng)選擇題】拋擲兩粒正方體骰子(每個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,....6)，假定每個(gè)面朝上的可能性相同,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率為()A.5/36B.1/9C.1/12D.1/18正確答案：B參考解析：6.【單項(xiàng)選擇題】A.B.C.D.正確答案：A參考解析：7.【單項(xiàng)選擇題】一個(gè)五邊形與其經(jīng)過位似變換后的對(duì)應(yīng)圖形之間不滿足下列關(guān)系的是()。A.對(duì)應(yīng)線段成比例B.對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線共點(diǎn)C.對(duì)應(yīng)角不相等D.面積的比等于對(duì)應(yīng)線段的比的平方正確答案：C參考解析：本題考查位似圖形的性質(zhì)。兩個(gè)圖形位似，那么任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于位似比，任意一組對(duì)應(yīng)邊都互相平行(或在一條直線上)。位似圖形面積的比等于相似比的平方。位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是位似中心，位似圖形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比。位似圖形高、周長的比都等于相似比。位似圖形的對(duì)應(yīng)角都相等。C選項(xiàng)不正確，故本題選C。8.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)求當(dāng)時(shí)，T的值”。主要考查學(xué)生的()A.空間觀念B.運(yùn)算能力C.數(shù)據(jù)分析觀念D.應(yīng)用意識(shí)正確答案：B參考解析：本題考查數(shù)學(xué)教學(xué)論的基本概念。帶入具體數(shù)值求解代數(shù)式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力。故本題選B。8.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)求當(dāng)時(shí)，T的值”。主要考查學(xué)生的()A.空間觀念B.運(yùn)算能力C.數(shù)據(jù)分析觀念D.應(yīng)用意識(shí)正確答案：B參考解析：本題考查數(shù)學(xué)教學(xué)論的基本概念。帶入具體數(shù)值求解代數(shù)式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力。故本題選B。9.【簡(jiǎn)答題】已知平面上一橢圓，長半軸長為a，短半軸長為b，0<b<a，求該橢圓繞著長軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積。請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算。由題意知，無論長軸在x軸或y軸旋轉(zhuǎn)體的體積不變；不妨設(shè)長軸在x軸上，將橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為10.【簡(jiǎn)答題】設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(min)的概率密度為用變量Y表示顧客對(duì)銀行服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)值若顧客等待時(shí)間不超過5（min）則評(píng)價(jià)值為Y=1;否則，評(píng)價(jià)值為y=-1，即（1）求X的分布函數(shù)。（2）求Y的分布律。請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：（1）（2）11.【簡(jiǎn)答題】已知方程組：有惟一解當(dāng)且僅當(dāng)行列式不等于零請(qǐng)回答下列問題:（1）行列式②的幾何意義是什么?（2）上述結(jié)論的集合意義是什么？請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：（1）（2）12.【簡(jiǎn)答題】某教師在引領(lǐng)學(xué)生探究"圓周角定理”時(shí)，首先進(jìn)行畫圖、測(cè)量等探究活動(dòng)，獲得對(duì)圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想；進(jìn)一步尋找證明猜想的思路并進(jìn)行嚴(yán)格的證明；最后，教師又通過幾何軟件對(duì)兩類角的大小關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。從推理的角度，請(qǐng)談?wù)勀銓?duì)教師這樣處理的看法。請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：推理是人們思維活動(dòng)的過程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的兩種推理是:合情推理和演繹推理。合情推理是學(xué)生經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類紕，然后提出猜想的推理，這位老師引領(lǐng)學(xué)生探究“圓周角定理”時(shí)，首先進(jìn)行畫圖、測(cè)量等探究活動(dòng)，獲得對(duì)圓周角和圓心角大小關(guān)系的猜想；就是應(yīng)用了合情推理。合情推理融合了學(xué)生的各種思維和活動(dòng)在中，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，開發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力都是非常重要的。演繹推理是從已有的實(shí)(包括定義、公理、定理等)出發(fā)，按照規(guī)定的法則(包括邏輯和運(yùn)算)證明結(jié)論。蓋老師在學(xué)生給出猜想后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步尋找證明猜想的思路并進(jìn)行嚴(yán)格的證明；并通過幾何軟件對(duì)兩類角的大小關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證。應(yīng)用演繹推理體現(xiàn)是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。兩種方式相輔相成，更有利于學(xué)生掌握“圓周角定理"13.【簡(jiǎn)答題】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，為了鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，深入理解問題，教師常常在呈現(xiàn)任務(wù)后，不是立刻講解，而是留給學(xué)生足夠的思考時(shí)間，這種教學(xué)方式可稱之為”課堂留白”請(qǐng)你談?wù)務(wù)n堂留白的必要性及其意義。請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：課堂的精彩不僅要關(guān)注教師講的多么精彩，更加關(guān)注學(xué)生學(xué)得多么主動(dòng)，教師一個(gè)人講解的課堂不是精彩的課堂,只有當(dāng)學(xué)生通過自己的主動(dòng)活動(dòng)去建構(gòu)自己對(duì)知識(shí)的理解，從而展現(xiàn)自己的精彩時(shí)，這樣的課堂提精彩的，因?yàn)檎n堂留白是十分有必要的?！罢n堂留白”的意義:①課堂留白可以激發(fā)學(xué)生的求知欲和潛能;課堂中給學(xué)生留下活動(dòng)的時(shí)間、思維的空間，使學(xué)生有所探索、有所思考，可放飛學(xué)生的思維。學(xué)生在開動(dòng)學(xué)生的腦筋、利肥學(xué)知識(shí)解決留白問題的同時(shí)順利進(jìn)行知識(shí)遷移、主動(dòng)融合和構(gòu)建知識(shí)體系，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效率。②課堂留白能留給學(xué)生獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，有利于發(fā)揮學(xué)生的主體意識(shí)。合理運(yùn)用教學(xué)留白,給學(xué)生留下獨(dú)立思考的時(shí)間，讓學(xué)生積極參與,自主體驗(yàn)，真正成為學(xué)習(xí)的主人。③課堂留白可以促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。④課堂留白激發(fā)學(xué)生的想象力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。在教學(xué)中給學(xué)生留下更多的空間,正如畫家留白的道理一樣，可以讓學(xué)生有足夠的空間去充分地想想，可以自由自在地展開聯(lián)想或創(chuàng)造。14.【解答題】已知非齊次線性方程組（1）a為何值時(shí)，其對(duì)應(yīng)齊次線性方程組解空間的維數(shù)為2?（2）對(duì)于(1)中確定的a值，求該非齊次線性方程組的通解。請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：（1）齊次方程組的解空間維數(shù)為2，可以得出齊次方程組的自由變量個(gè)數(shù)為2，對(duì)應(yīng)的齊次方程組系數(shù)矩陣的秩為2，可得系數(shù)矩陣為（2）當(dāng)a=-7時(shí)得到增廣矩陣為15.【論述題】數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要培養(yǎng)的基本能力。學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力具體表現(xiàn)為哪些方面?請(qǐng)以整式運(yùn)算為例予以說明。請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：16.【案例分析題】案例:下面是初中"三角形的內(nèi)角和定理”的教學(xué)案例片段。教師請(qǐng)學(xué)生回憶小學(xué)學(xué)過的三角形內(nèi)角和是多少度？并讓學(xué)生用提前準(zhǔn)備好的三角形紙片進(jìn)行剪拼并演示。下面是部分學(xué)生演示的圖形(如圖1、圖2):在圖1中，三角形的三個(gè)內(nèi)角拼在一起后，B、C、D在一條直線上，看似構(gòu)成一個(gè)平角。教師質(zhì)疑，看上去是平角就是平角了嗎？學(xué)生的回答是”不一定”。接著，教師利用圖1啟發(fā)學(xué)生思考:①既然不能判定B、C、D是否一定在同一直線上(即組成平角)，可以換個(gè)角度，先構(gòu)造一個(gè)平角，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖1思考如何作輔助線構(gòu)造平角。學(xué)生想到了作BC的延長線BD，如圖3所示。②圖1中，∠1與∠A是什么關(guān)系?啟發(fā)學(xué)生在∠ACD內(nèi)作∠1=∠A，或過點(diǎn)C作CE//AB，如圖4所示。③現(xiàn)在只要證明什么？(證明∠2=∠B）問題：（1）該教師讓學(xué)生回憶并用拼圖的方法感知三角形的內(nèi)角和，請(qǐng)簡(jiǎn)述其教學(xué)意圖。（2）利用圖2設(shè)計(jì)問題串，使得這些問題能夠引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的內(nèi)角和定理的證法。（3）請(qǐng)?jiān)俳o出其他2種三角形紙片的拼法，并畫圖表示請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：（1）從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，利用物拼圖的方式引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐，從而建立知識(shí)聯(lián)系，體現(xiàn)學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體。（2）問題1：有同學(xué)把三角形的兩個(gè)底角撕下來拼到頂角上，你發(fā)現(xiàn)了什么?問題2：我們發(fā)現(xiàn)這樣可以把三角形的三個(gè)內(nèi)角湊到一起，可以湊成看似是一個(gè)平角。怎么確定他就是一個(gè)平角呢?問題3：根據(jù)圖1，想一想如何作輔助線構(gòu)造平角呢?問題4：作出輔助線后，我們根據(jù)平行線的性質(zhì)，你有什么發(fā)現(xiàn)?（3）證明方法一：如圖，過BC的中點(diǎn)D作DF//AC，DE//AB，這時(shí)∠A=∠4，又∠4=∠2，即∠A=∠2，由∠C=∠3,∠B=∠1知，我們將∠A、∠B、∠C轉(zhuǎn)移到了∠BDC,由平角的定義，可以證到三角形的內(nèi)角和180°證明方法二:如圖，過點(diǎn)A作EF//BC，由EF//BC可以得到∠1=∠B，∠2=∠C。那么，我們就可以將∠B、∠C拼到∠A—起，形成—個(gè)平角，從而得出結(jié)論。17.【教學(xué)設(shè)計(jì)題】平方差公式是初中乘法公式的內(nèi)容之一。某教師教學(xué)時(shí)，將引導(dǎo)學(xué)生歸納猜想平方差公式作為教學(xué)過程的環(huán)節(jié)之一，設(shè)計(jì)思路如下:假定b=1。問題簡(jiǎn)化為：a2-1=?(1)教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)述該教師在該環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)意圖。(2)教學(xué)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)述平方差公式在初中數(shù)學(xué)中的地位。(3)教學(xué)設(shè)計(jì)請(qǐng)給出平方差公式的教學(xué)目標(biāo)，并設(shè)計(jì)教學(xué)流程(4)教學(xué)設(shè)計(jì)請(qǐng)通過圖示給出平方差公式的幾何背景請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：（1）課程以學(xué)生為主體，讓學(xué)生不僅得到數(shù)學(xué)結(jié)論，還感受數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程及蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)學(xué)生歸納概括得出猜想和規(guī)律并加以驗(yàn)證可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。（2）平方差公式是習(xí)因式分解等內(nèi)容的基礎(chǔ)。在學(xué)習(xí)過程，學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般得出平方差公式，利用數(shù)形結(jié)合理解平方差公式，有助于學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識(shí)，技能和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。（3）知識(shí)與技能目標(biāo)：理解并掌握平方差公式，能夠正確應(yīng)用平方差公示進(jìn)行計(jì)算。過程與方法目標(biāo)：學(xué)生經(jīng)