遼寧省丹東市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試試題二文含解析

PAGE20-遼寧省丹東市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試試題（二）文（含解析）一、選擇題．1.已知集合或，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合交集的概念干脆運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意或.故選：B.【點睛】本題考查了集合的運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得，再依據(jù)復(fù)數(shù)模的概念即可得解.【詳解】由題意，所以.故選：B.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)模的求解，關(guān)鍵是對于運(yùn)算法則的嫻熟運(yùn)用及概念的識記，屬于基礎(chǔ)題.3.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合特稱的命題的否定是全稱命題正確改寫，即可得解.【詳解】因為命題“，”為特稱命題,所以其否定為“，”.故選：A.【點睛】本題考查了特稱命題的否定，關(guān)鍵是對于特稱命題否定規(guī)則的駕馭，屬于基礎(chǔ)題.4.已知地震釋放出的能量與地震的里氏震級的關(guān)系為，2011年3月11日，日本北部海疆發(fā)生的里氏9．0級地震釋放出的能量設(shè)為，2008年5月12日，我國汶川發(fā)生的里氏8.0級地震釋放出的能量設(shè)為，那么（）A.1．5 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則作差即可得解.詳解】由題意，，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查了對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實力，關(guān)鍵是對于題意的理解和對數(shù)運(yùn)算法則的嫻熟運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.5.在中，，則（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系可得，再利用兩角差的正切公式即可得解.【詳解】，為的一個內(nèi)角，，，，.故選：A.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查了兩角差正切公式的應(yīng)用與運(yùn)算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知平面對量，滿意，那么與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)與的夾角為，由題得，再代入向量的夾角公式化簡即得解.【詳解】由題得，所以.設(shè)與的夾角為，所以.因為，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量的夾角的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.7.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別探討四個函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，可選出答案.【詳解】對于選項A，是上的偶函數(shù)，不符合題意；對于選項B，是非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對于選項C，是奇函數(shù)，又是上增函數(shù)，符合題意；對于選項D，因為函數(shù)在和上都單調(diào)遞減，在其定義域上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題.故選：C．【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理實力，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖是某圓錐的三視圖，其正視圖是一個邊長為1的正三角形，圓錐表面上的點M，N在正視圖上的對應(yīng)點分別是A、B．則在此圓錐的側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知幾何體的直觀圖為圓錐，則圓錐的側(cè)展圖如圖所示，再依據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，即可得答案；【詳解】由三視圖可知幾何體的直觀圖為圓錐，圓錐的底面周長為，圓錐側(cè)展圖的圓心角為，由三視圖可得，點在側(cè)展圖的位置，如圖所示，，，.故選：B.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、圓錐表面上兩點間的最短距離，考查空間想象實力、運(yùn)算求解實力.9.圓心都在直線上的兩圓相交于兩點，，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】的中點在直線上，和直線垂直，聯(lián)立方程得到答案.【詳解】依據(jù)題意：的中點為，則點在直線上，即，且和直線垂直，，解得，，故.故選：A.【點睛】本題考查了依據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算實力和轉(zhuǎn)化實力.10.已知為橢圓的中心，為的一個焦點，點在外，，經(jīng)過的直線與的一個交點為，是有一個內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨取，計算坐標(biāo)，依據(jù)等腰三角形得到點坐標(biāo)，代入橢圓化簡計算得到答案.【詳解】不妨取，，則，易知中只能，是有一個內(nèi)角為的等腰三角形，則，將代入橢圓方程得到：，即，解得或（舍去），故.故選：B【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學(xué)生的計算實力和轉(zhuǎn)化實力，確定點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.11.關(guān)于函數(shù)，有下述四個結(jié)論：①是周期函數(shù)．②在上單調(diào)遞增．③的值域為．④若函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，則．其中全部正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.②③ C.②④ D.③④【答案】C【解析】【分析】先對求導(dǎo)，知其單調(diào)性及最值，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合再結(jié)合選項進(jìn)行推斷即可.【詳解】當(dāng)時，，所以，令得：或，所以當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，且，則的圖象如圖所示：由圖可知：不是周期函數(shù)，故①錯誤；在上單調(diào)遞增，故②正確；的值域為，故③錯誤；若函數(shù)有且僅有兩個不同的零點，即函數(shù)與函數(shù)有兩個交點，所以由圖可知：，故④正確.綜上，②④正確.故選：C.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、零點問題，關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)先得到時，函數(shù)的單調(diào)性及最值，畫出其圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行推斷，屬于中檔題.12.已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個微小值點，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由，可得，因為函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個微小值點，則滿意，解得，即正數(shù)的取值范圍為.故選：D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)極值點的概念及其應(yīng)用，著重考查推理與運(yùn)算實力.二、填空題13.某家庭電話在家中有人時，打進(jìn)的電話響第一聲時被接的概率為，響其次聲時被接的概率為，響第三聲時被接的概率為，響第四聲時被接的概率為，那么電話在響前4聲內(nèi)被接的概率是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式，電話在響前4聲內(nèi)被接的概率等于電話響起第一聲接的概率，加上響其次聲時被接的概率，加上響第三聲時被接的概率，加上響第四聲時被接的概率，得到結(jié)果.【詳解】依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式，電話在響前4聲內(nèi)被接的概率等于電話響起第一聲接的概率，加上響其次聲時被接的概率，加上響第三聲時被接的概率，加上響第四聲時被接的概率，故電話在響前4聲內(nèi)被接的概率是：，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關(guān)互斥事務(wù)有一個發(fā)生的概率的求解問題，涉及到的學(xué)問點有互斥事務(wù)概率加法公式，屬于基礎(chǔ)題目.14.已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換計算化簡得到答案【詳解】依據(jù)正弦定理得到：，即，且，故，即，，故.故答案為：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，意在考查學(xué)生的計算實力和應(yīng)用實力.15.中國古代《九章算術(shù)》將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童．現(xiàn)有一個長寬高分別為4，3，2的長方體，將上底面圍著上、下底面中心連線為對稱軸旋轉(zhuǎn)，得到一個芻童如圖，則該芻童的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】上、下底面中心連接所得線段的中點為該芻童的外接球的球心，設(shè)該芻童的外接球的半徑為，利用勾股定理可得，進(jìn)而得出表面積.【詳解】解：由題意可得：上、下底面中心連接所得線段的中點為該芻童的外接球的球心，

設(shè)該芻童的外接球的半徑為，則，

∴該芻童的外接球的表面積.

故答案為：.【點睛】本題考查了長方體的性質(zhì)、勾股定理、球的表面積，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題.16.經(jīng)過拋物線的焦點，傾斜角為的直線與交于，兩點，若線段的中點的橫坐標(biāo)為7，那么__________．【答案】2【解析】【分析】由已知條件寫出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理及，即可求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意可以得過焦點的傾斜角為直線方程為,設(shè)，聯(lián)立可得：的中點的橫坐標(biāo)為7，,計算得出:,故答案為:2.【點睛】本題考查直線和拋物線的關(guān)系，考查中點問題，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題17.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a3＝5，S7＝49．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，求證：Tn＜3．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）干脆利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式．（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯位相減法求出結(jié)果．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則：，解得：a1＝1，d＝2，故：．（2）由于：an＝2n﹣1，所以，則：①②①﹣②得：．【點睛】本題考查的學(xué)問要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實力和轉(zhuǎn)化實力，屬于基礎(chǔ)題型．18.如圖，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，點在線段上，∥平面．（1）證明：點為線段中點；（2）已知平面，，點到平面的距離為1，四棱錐的體積為，求．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)，與相交于點,由線面平行的性質(zhì)定理即可證得，在中，由為中點，即可證得結(jié)論；（2）平面，，可證得平面平面，由面面垂直的性質(zhì)可證得面，由已知可得，依據(jù)體積公式即可求得.【詳解】解：（1）連結(jié)，與相交于點，連結(jié)，則經(jīng)過的平面與平面交線為．因為平面，所以．因為四邊形是菱形，所以為的中點，所以是中位線，于是為線段中點．（2）因為平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離等于1．因為平面，所以平面，所以平面平面，平面平面．因為，所以面，因此．因為，所以四邊形是邊長為2的菱形，面積為，所以四棱錐的體積為，由，得．【點睛】本題考查線面平行的性質(zhì)，考查線面垂直，面面垂直及錐體的體積公式，考查學(xué)生的邏輯推理實力，屬于中檔題.19.已知雙曲線經(jīng)過點，兩個焦點為，．（1）求的方程；（2）設(shè)是上一點，直線與直線相交于點，與直線相交于點，證明：當(dāng)點在上移動時，為定值，并求此定值．【答案】（1）（2）見解析，為定值．【解析】【分析】（1）由已知可得，點代入方程解方程即可得解，或者利用雙曲線的定義求得，即可得雙曲線方程；（2）由（1）可知，依據(jù)題意求得，,利用兩點間距離公式代入化簡即可證得為定值.【詳解】解：解法1：（1）由題意，所以，的方程可化為．因為的方程經(jīng)過點，所以，解得，或（舍去）．于是的方程為．（2）由（1）知直線的方程為．把，分別代入得：，．又在上，所以．,所以．于是為定值．解法2：（1）由雙曲線定義得．所以，因為，所以，于是的方程為．（2）同解法1．【點睛】本題考查雙曲線方程，考查直線和雙曲線的關(guān)系及定值問題，考查計算實力，屬于中檔題.20.某企業(yè)批量生產(chǎn)了一種汽車配件，總數(shù)為，配件包裝上標(biāo)有從1到的連續(xù)自然數(shù)序號，為對配件總數(shù)進(jìn)行估計，質(zhì)檢員隨機(jī)抽取了個配件，序號從小到大依次為，，…，，這個序號相當(dāng)于從區(qū)間上隨機(jī)抽取了個整數(shù)，這個整數(shù)將區(qū)間分為個小區(qū)間，，…，．由于這個整數(shù)是隨機(jī)抽取的，所以前個區(qū)間的平均長度與全部個區(qū)間的平均長度近似相等，進(jìn)而可以得到的估計值．已知，質(zhì)檢員隨機(jī)抽取的配件序號從小到大依次為83，135，274，…，3104．（1）用上面的方法求的估計值．（2）將（1）中的估計值作為這批汽車配件的總數(shù)，從中隨機(jī)抽取100個配件測量其內(nèi)徑（單位：），繪制出頻率分布直方圖如下：將這100個配件的內(nèi)徑落入各組的頻率視為這個配件內(nèi)徑分布的概率，已知標(biāo)準(zhǔn)配件的內(nèi)徑為200，把這個配件中內(nèi)徑長度最接近標(biāo)準(zhǔn)配件內(nèi)徑長度的800個配件定義為優(yōu)等品，求優(yōu)等品配件內(nèi)徑的取值范圍（結(jié)果保留整數(shù)）．【答案】（1）的估計值為3200．（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，，代入即可求得的估計值；（2）先求得優(yōu)等品的概率為，設(shè)優(yōu)等品的內(nèi)徑范圍為，，計算即可求得，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）抽取的32個配件將區(qū)間劃分為33個區(qū)間，平均長度為，前31個區(qū)間平均長度為，由題設(shè)得，得的估計值為3200．（2）抽取的800件優(yōu)等品占總數(shù)的比為．設(shè)優(yōu)等品的內(nèi)徑范圍為，由題設(shè)知．由直方圖知，故．因此．由，得，?。虼藘?yōu)等品的內(nèi)徑范圍為．【點睛】本題主要考查概率和統(tǒng)計的實際應(yīng)用，考查學(xué)生對頻率分布圖的理解和分析問題的實力，屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若，證明：在區(qū)間內(nèi)，存在唯一的微小值點，且．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)以及零點存在性定理可證得：在區(qū)間內(nèi)，存在唯一的微小值點，依據(jù)和，可證得.【詳解】（1）定義域為，．當(dāng)時，，所以，，所以曲線在點處的切線方程為．（2）因為，所以在內(nèi)單調(diào)遞增．因為，，所以存在，使得．當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一微小值點．由得，于是．因為當(dāng)時，，所以．【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了零點存在性定理，考查了由導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值點，屬于中檔題.22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)