2017學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

2016-2017學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理

科）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.）

1.(5分)已知集合知={-1,0,1},N={x|(x+2)(x-l)<0},則MN=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{0}D.{-1）

2.（5分）已知袋中裝有2個紅球和2個白球，隨機抽取2個球，則2球都是紅球的概率為

（）

A.-B.-C.-D.—

36321

3.（5分）點P到直線y=3的距離比到點歹（0,-1）的距離大2,則點P的軌跡方程為（）

A.y1=4xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

4.（5分）已知三個不同的平面P,/,三條不重合的直線相，n,I,有下列四個命

題：

①若加_L/,nLl,則機//〃；

②若a_Ly,B］丫,則。///?；

③若m_Ltz,mlIn則a_L￡；

④若a//a,a/3=n,則機//〃

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（5分）已知。=（x,2）,b=（-2,1）,a-Lb,貝！J|a—》|=（）

A.A/5B.275C.MD.10

6.（5分）下列說法錯誤的是（）

A.在AABC中，若貝！!cosAvcos6

B.若我=ac,則a,c的等比中項為b

C.若命題P與〃人學(xué)為真，則4一定為真

D.若p:Vx￡（0,+oo）,lnx<x-l,則*￡（0,+oo）,lnx..x-l

7.（5分）已知等差數(shù)列｛凡｝的前3項和為4,后3項和為7,所有項和為22,則項數(shù)〃為（

）

A.12B.13C.14D.15

8.（5分）如圖所示，是一個空間幾何體的三視圖,且這個空間幾何體的所有頂點都在同一

個球面上，則這個球的體積是（）

側(cè)視圖

B.22828幣

C.一71D.-------71

92739

9.(5分)已知tan(a+/7)=/,tan/?=g,JT

則tan(a-R=()

6

ABC.-D.

-1-77

10.(5分)已知P是直線fcv+4y-10=0(%>0)上的動點，是圓C:f+y?-2x+4y+4=0的

兩條切線，A,3是切點，C是圓心，若四邊形必CB面積的最小值為2近，則左的值

為（）

A.3B.2C.-D.—

32

y..x

11.（5分）已知z=2x+y,其中實數(shù)％,y滿足2,且z的最大值是最小值的2倍，

x..a

則。的值是（）

22

12.（5分）已知居為曲線C：L+°^=1的左、右焦點，點P為曲線C與

44-m

2

曲線一二二=1在第一象限的交點，直線/為曲線C在點P處的切線，若三角形

m—1

耳尸名的內(nèi)心為點直線月M與直線/交于N點，則點A/,N橫坐標(biāo)之和為（）

A.1B.2

C.3D.隨機的變化而變化

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.）

13.（5分）已知單位圓內(nèi)有一封閉圖形，現(xiàn)向單位圓內(nèi)隨機撒N顆黃豆，恰有〃顆落在該

封閉圖形內(nèi)，則該封閉圖形的面積估計值為.

22

14.（5分）已知雙曲線C的焦點、實軸端點恰好分別是橢圓上+匕=1的長軸端點、焦點，

167

則雙曲線C的漸近線方程是.

15.（5分）已知a=0.2°3,b=log023,c=log024,則〃、b、。從小到大的順序為?

16.（5分）已知過拋物線方程/=2px,過焦點F的直線I斜率為k（k>0）與拋物線交于A,

B兩點,滿足一'一+—L=1,又AF=2FB,則直線/的方程為

|AF|\FB\

三、解答題（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.（12分）在AABC中內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為b,c,已知

2c沅2siffii=?

2

（1）求角C的大??；

（〃）若0=也,4=a,求AABC的面積.

18.（12分）已知正項數(shù)列｛凡｝的前幾項和為S“，滿足a,”[=2信"+1,（〃eN"）,且q=1

（1）求冊；

]

（〃）設(shè)數(shù)列前〃項和為7；,求

a?an+1

19.（12分）如圖，沿等腰直角三角形ABC的中位線DE，將平面ADE折起,使得平面ADEY

平面BCDE,并得到四棱錐A-BCDE.

（I）求證：平面ABC_L平面AGO；

（II）A/是棱CD的中點，過M的與平面ABC平行的平面a,設(shè)平面口截四棱錐A-3CDE

所得截面面積為三角形ABC的面積為S2,試求H：邑的值.

圖1圖2

22

20.（12分）已知橢圓C:二+斗=1（。＞6＞0）的左，右焦點分別為尸1,F2,上頂點為瓦Q

ab

為拋物線丁=24x的焦點，且G8。8=0,2G居+。耳=0

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過定點尸（0,4）的直線/與橢圓C交于M,N兩點（M在尸，N之間），設(shè)直線/的斜

率為k（k＞0）,在x軸上是否存在點A（m,0）,使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為

菱形？若存在，求出實數(shù)機的取值范圍；若不存在，請說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=x/nr+a(aeR)

（I）若/（尤）..0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍;

（II）若。＜玉＜%，求證：對于任意xw（X，為），不等式".一"王）＜.⑴一"馬）成

X—Xxx—x2

立.

請考生在第22、23二題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.［選修4-4：

坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

x=t

22.（10分）平面直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程是「（A為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極

J=J3f

點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為

p1cos20+p1sin26-2/?sind-3=0.

（1）求直線/的極坐標(biāo)方程；

（2）若直線/與曲線C相交于A、3兩點，求|A8］.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知/（x）=|x+l|+|x-2|

（I）已知關(guān)于x的不等式/（x）＜2a-l有實數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍；

（II）解不等式/（x）..x2-2x.

2016-2017學(xué)年黑龍江省哈爾濱三中高三(上)期末數(shù)學(xué)

試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.)

1.(5分)已知集合加={-1,0,1},N={x|(x+2)(x-l)<0},則MN=()

A.{-1,0}B.{0,1}C.{0}D.{-1}

【考點】IE：交集及其運算

【專題】11：計算題；37：集合思想；40：定義法；5J：集合

【分析】先分別求出集合N,由此利用交集定義能求出MN.

【解答】解：集合"={-1,0,1},

N={x|(x+2)(x-1)<0}={x|-2<x<1},

:.MN={-1,0}.

故選：A.

【點評】本題考查交集合的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運用.

2.(5分)已知袋中裝有2個紅球和2個白球，隨機抽取2個球，則2球都是紅球的概率為

()

A.-B.-C.-D.—

36321

【考點】CC：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；40：定義法；51：概率與統(tǒng)計

【分析】先求出基本事件總數(shù)〃==6,再求出2球都是紅球包含的基本事件個數(shù)

m=C；=1,由此能求出2球都是紅球的概率.

【解答】解：袋中裝有2個紅球和2個白球，隨機抽取2個球，

基本事件總數(shù)〃=C；=6,

2球都是紅球包含的基本事件個數(shù)m=Cl=l,

2球都是紅球的概率為「='=上.

n6

故選：B.

【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等可能事件概率計算公

式的合理運用.

3.(5分)點P到直線y=3的距離比到點b(0,-1)的距離大2,則點P的軌跡方程為()

A.y2=4xB.y1=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

【考點】J3：軌跡方程

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；5D；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】由題意得，點P到直線y=l的距離和它到點(0,-1)的距離相等，故點P的軌跡是

以點(0,-1)為焦點，以直線y=l為準(zhǔn)線的拋物線，可得軌跡方程.

【解答】解：點P到直線y=3的距離比到點尸(0,-1)的距離大2,

.?.點P到直線y=1的距離和它到點(0,-1)的距離相等，

故點P的軌跡是以點。-1)為焦點，以直線y=l為準(zhǔn)線的拋物線，方程為d=_4y.

故選：D.

【點評】本題考查拋物線的定義,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,判斷點P的軌跡是以點(0,-1)為焦點，

以直線y=l為準(zhǔn)線的拋物線，是解題的關(guān)鍵.

4.(5分)已知三個不同的平面tz,0,y,三條不重合的直線％,n,I,有下列四個命

題：

①若m_LI,n±/,則力z//”；

②若a_L7,/_L7,則a//；

③若mlIn,nu/3,則a_L尸；

④若mlla,a/3=n,則m///

其中真命題的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；47?：轉(zhuǎn)化法；5F：空間位置關(guān)系與距離

【分析】在①中，加與〃相交、平行或異面；在②中，a與力相交或平行；在③中，由面

面垂直的判斷定理得e_LP；在④中，機與"異面或平行.

【解答】解：由三個不同的平面a,(3,Y,三條不重合的直線機，〃，/,知：

在①中，若〃?,nLl,則與九相交、平行或異面，故①錯誤；

在②中，若a，/,2,則口與，相交或平行，故②錯誤；

在③中，若mla,m//n,nu/3,則由面面垂直的判斷定理得a_L4,故③正確；

在④中，若m"a,a/3=n,則機與〃異面或平行，故④錯誤.

故選：A.

【點評】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、

面面間的位置關(guān)系的合理運用.

5.(5分)已知。=(x,2),b=(-2,1),a±b,則|a-b|=()

A.-J5B.2乖C.屈D.10

【考點】90：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算

【專題】34：方程思想；40：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用

【分析】根據(jù)?！?人時a6=0,求出x的值，再計算a-6的模長.

【解答】解：。=(%2),6=(-2,1),alb,

ab=-2x+2=Q,

解得％=1,

a—b=(1+2,2—1)=(3,1),

:.\a-b\=yj32+12=A/10.

故選：C.

【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

6.(5分)下列說法錯誤的是()

A.在AABC中，若A>3,則cosAvcosB

B.若/=ac,則a,c的等比中項為6

C.若命題夕與°人4為真，則q一定為真

D.若p:Vxe(0,+co),lm<x-\,則-p:*e(0,+oo),lnx..x-l

【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用

【專題】21：閱讀型；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5L：簡易邏輯

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)可判斷A,舉反例a=>=c=0可判斷3,由命題的真假可判斷C,

根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，借助全稱命題寫出命題的否定形式可判斷D.

【解答】解：對于A,根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，若A>3,則8sA<axB,故A正確；

對于5,取a=Z?=c=O,顯然滿足Z?2=ac,但不滿足/是a,c的等比中項，故3錯誤；

對于C,若命題0與2Aq為真，則q一定為真命題，故C正確；

對于￡),特稱命題的否定是全稱命題，，―0*€(0,+<?),lnx..x-l,故￡)正確.

.?.說法錯誤的是：B.

故選：B.

【點評】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)以及特稱命題和全稱命

題，是中檔題.

7.(5分)已知等差數(shù)列｛凡｝的前3項和為4,后3項和為7,所有項和為22,則項數(shù)〃為(

)

A.12B.13C.14D.15

【考點】85：等差數(shù)列的前"項和

【專題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列

【分析1由題思可得:Oj+a2+Oj=4,a“-2+1+a“=],可得3(q+<?”)=4+7,再利用

求和公式即可得出.

【解答】解：由題意可得：+a2+a3=4,an_2+an_t+an=l,

3(q+a,)=4+7,

11

:.ay+an=-,

j(q+4)=22,...業(yè)=22,解得〃=12.

〃26

故選：A.

【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

8.(5分)如圖所示，是一個空間幾何體的三視圖，且這個空間幾何體的所有頂點都在同一

個球面上，則這個球的體積是()

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

2801

------------71

【考點】L7：簡單空間圖形的三視圖；LG：球的體積和表面積

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；5F：空間位置關(guān)系與距離

【分析】由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長

是2,根據(jù)三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，求

出半徑即可求出球的體積.

【解答】解：由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)

棱長是2,

三棱柱的兩個底面的中心的中點與三棱柱的頂點的連線就是外接球的半徑，

Rx后+E球的體積芻叮3=空亙?nèi)f.

V3V3327

故選：B.

【點評】本題考查了由三視圖求三棱柱的外接球的體積，利用棱柱的幾何特征求外接球的半

徑是解題的關(guān)鍵.

9.(5分)已知tan(a+￡)=g,tan￡=g,則tan(a-?)=()

【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；56：三角函數(shù)的求值

【分析】由已知利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tana,進而利用兩角差的正切函數(shù)公式即

可計算得解.

【解答】解：tan（a+￡）=g,tan/?=g,

tana+-

tana+tan0

3解得:

-p「軻a2

tana—tan一

tan(a-￡)=4

1+tanatan—1+—xl

47

故選：B.

【點評】本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了

計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

10.（5分）已知尸是直線Ax+4y-10=0（左>0）上的動點,是圓5:爐+/-2%+4y+4=0的

兩條切線，A,3是切點，C是圓心，若四邊形以CB面積的最小值為2近，則上的值

為（）

A.3B.2C.-D.—

【考點】J9：直線與圓的位置關(guān)系

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；5B：直線與圓

S

【分析】S四邊形詠8=APAC+SAPBC，當(dāng)?PC|取最小值時，|尸川=|尸3|取最小值,即5AMe=S"BC

取最小值，此時，CP，/由此利用四邊形P4CB面積的最小值，即可得出結(jié)論..

【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（X-1）。+（y+2>=1,

則圓心為C（l,-2）,半徑為1,

則直線與圓相離，如圖，S四邊形如虛=5"m+5V蹂

而S”4c=glPA”CA|=g|PA|,

SAPBC=^\PB\\CB\=\PB\,

又IPA1=1/8|=J|PC『一1,

當(dāng)IPCI取最小值時，IB4HPB|取最小值，

即5"m=5仔/取最小值，此時，CP±l,

四邊形PACB面積的最小值為2點,SAPAC=S^BC=A/2,

PA|=20,CP|=3,.I,-8Toi=3,

7^2+16

k>0,.,.左=3.

【點評】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，在解答過程中要合理地運用數(shù)

形結(jié)合思想.

y..x

H.（5分）已知z=2x+y,其中實數(shù)x,y滿足，x+y,,2,且z的最大值是最小值的2倍，

x..a

則a的值是（）

211

A.—B.-C.4D.-

1142

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想

【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,

聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到Z的最值，再由z=2尤+y的最大值是

最小值的2倍列式求得。值.

y..x

【解答】解：由約束條件x+y,,2,作出可行域如圖,

x..a

y

聯(lián)乂｛\x=a,得

聯(lián)立卜得

[x+y=2

化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,

由圖可知z”=2x1+1=3,zmin=2a+a=3a,

由6a=3,得a=」.

2

故選：D.

【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

22

12.（5分）已知1＜加＜4,工,F2為曲線C:上+—匕一=1的左、右焦點，點P為曲線C與

44-m

2

曲線E:f-E=l在第一象限的交點，直線/為曲線C在點P處的切線，若三角形

m-1

的內(nèi)心為點直線與直線/交于N點，則點N橫坐標(biāo)之和為（）

A.1B.2

C.3D.隨加的變化而變化

【考點】KC-.雙曲線的性質(zhì)

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】先求出P的坐標(biāo)，得出切線方程，求出三角形招尸&的內(nèi)切圓的半徑、直線月M的

方程，聯(lián)立求出N的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：聯(lián)立兩曲線方程，消去y可得x=/,

yjm

設(shè)尸（尤0,%）,直線/的方程為出+=叱=1①，

44—m

設(shè)三角形耳尸鳥的內(nèi)切圓的半徑為r,則由等面積可得2J浣%=（4+2，五）r,

直線的方程為了=%（x+瘋）③,

1+Vm

聯(lián)立①②③，化簡可得36力=6^/^?,

XN=2，

=1，

F+xN=3

故選：C.

【點評】本題考查題意、雙曲線方程的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確計算是關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.）

13.（5分）已知單位圓內(nèi)有一封閉圖形，現(xiàn)向單位圓內(nèi)隨機撒N顆黃豆，恰有〃顆落在該

封閉圖形內(nèi)，則該封閉圖形的面積估計值為—.

一N—

【考點】CE：模擬方法估計概率

【專題】11：計算題；34：方程思想；4G：演繹法；5/：概率與統(tǒng)計

【分析】設(shè)陰影部分的面積為S,則?即可得出結(jié)論.

71N

【解答】解：由題意，符合幾何概型，

故設(shè)陰影部分的面積為S,則?=?，

TCN

..o-----?

N

故答案為竺.

N

【點評】本題考查了幾何概型的應(yīng)用及頻率估計概率的思想應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

22

14.(5分)已知雙曲線C的焦點、實軸端點恰好分別是橢圓上+乙=1的長軸端點、焦點，

167

則雙曲線c的漸近線方程是>=±2尤.

一.3―

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；50：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】利用橢圓的性質(zhì)可得其長軸的端點、焦點，進而得到雙曲線的c,6,即可得

到雙曲線的漸近線方程.

【解答】解：橢圓長軸端點為(-4,0),(4,0),焦點為(-3,0),(3,0),

.■.對于雙曲線中，c=4,4=3,得6=,

.??雙曲線的漸近線方程為：y=±J7^x,

3

故答案為y='

【點評】熟練掌握橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.(5分)已知。=0.2°3,b=log023,c=log024,則a、。、c從小到大的順序為_c<b<a_

【考點】4M：對數(shù)值大小的比較

【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；40：定義法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【解答】解：0<。=0.2°3<0.2°=1,

b=log023<log021=0,

c=log024<log023=6，

:.c<b<a.

故答案為：c<b<a.

【點評】本題考查三個數(shù)的大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)、對

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的合理運用.

16.(5分)已知過拋物線方程y2=2px,過焦點F的直線I斜率為k(k>0)與拋物線交于A,

3兩點，滿足二一+」一=1,又AF=2FB,則直線/的方程為y=20(x—l).

|AF|IFBI

【考點】K8：拋物線的性質(zhì)

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；50：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】先求出0的值，再設(shè)A,3兩點的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為E,尸，過3作短

的垂線BC,在三角形ABC中，N班C等于直線AB的傾斜角，其正切值即為K值，利

用在直角三角形A5c中，求出tanNBAC,得出直線相的斜率，即可得出結(jié)論.

【解答】解：—+—=1,

\AF\\FB\

，由拋物線的性質(zhì)，可得已=1,；.p=2.

P

如圖，設(shè)A,3兩點的拋物線的準(zhǔn)線上的射影分別為E,F,

過3作AE1的垂線3C,

在三角形ABC中，NS4c等于直線的傾斜角,

其正切值即為K值，

設(shè)|3用=〃,\AF^2\BF\,：\AF\=2n,

根據(jù)拋物線的定義得：|AE|=2w,\BF\=n,

AC|=n,

L

在直角三角形MC中，tan/BAC=—=2夜,

AC

直線I的方程為y=2A/2(X-1).

故答案為y=20(x-l).

【點評】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)，特別是焦點弦問題,

解題時要善于運用拋物線的定義解決問題.

三、解答題（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.（12分）在AABC中內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知

2岳加_sinC=G

2

(1)求角C的大小；

(〃)若0=也,。=應(yīng)，求AA6C的面積.

【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形

【分析】(/)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得2cos(C+&)=0,由余弦函數(shù)

6

的性質(zhì)，結(jié)合范圍Ce(0,;r),可求C的值.

(〃)由余弦定理可得匕的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解.

【解答】解：(/)2yf3sin2^--smC=y/3,

A/3(1+cosC)-sinC=e,可得：2cos(C+—)=0，

6

:.C+—=k7i+—9左GZ,解得：C=k7i*三,k^Z,

623

Cs(0㈤，

：.c=—.

3

(〃)C=-,c=6,a=也，

3

，由余弦定理可得：3=2+廿一2四xbxL整理可得：〃-恒-1=0,解得：6=0十遍,

22

或，|二田(舍去)，

2

?QA3+n百—括+3

..3A.一一absinC——xV2x----------x——---------.

,22224

【點評】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理，三角形面

積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.(12分)已知正項數(shù)列｛凡｝的前幾項和為S“，滿足4幣=2#；+1,(〃eN*),且q=1

(/)求冊；

]

(〃)設(shè)數(shù)列前〃項和為7；,求

a?an+l

【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4Q：參數(shù)法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

【分析】（1）由4s“=晨|+2%+|+1,當(dāng)加.2時，4si=4+2a,+l,兩式相減得：

（4+%）（4-的-2）=0,則％-a,i=2,由等差數(shù)列通項公式即可求得《；

（2）」一=-------------=-（—-------）,采用裂項法即可求得數(shù)列［」一］前〃項

anan+i（2n-l）（2n+1）22n-l2n+lU%+iJ

和為《.

【解答】解：（1）由。，用=2四+1,貝U4S“=a3+2%+i+l,

當(dāng)加.2時，4S,i=d+2a“+l,

4%=4sli-4S,T=（a；+|+2an+i+1）-（片+2an+1）,

整理得：（%+-an_x-2）=0,

由?！皐0,貝!I%—an_x=2,

則數(shù)列｛%｝是以q=1為首項，d=2為公差的等差數(shù)列，an=l+2（n-1）=2w-1,

an=2〃-1；

⑵數(shù)列」一的通項公式數(shù)列^—=------1------=-(-......—),

[anan+lJanan+\(2〃-1)(2〃+1)22九一12九+1

，二"（」）+..「（」一-一二）

2323522〃-12〃+1

------------------)

2〃-12〃+1

—(1----------)

22〃+1

n

2n+l

即數(shù)列前"項和Tn=」一

［a?a?+1J2〃+1

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，考查“裂項法”求數(shù)列的前"項和，考查計

算能力，屬于中檔題.

19.（12分）如圖，沿等腰直角三角形ABC的中位線DE，將平面ADE折起,使得平面ADEA.

平面3CDE,并得到四棱錐A-3CDE.

(I)求證：平面ABC_L平面ACO；

(II)M是棱CD的中點，過Af的與平面ABC平行的平面c,設(shè)平面e截四棱錐A-3CDE

所得截面面積為S1,三角形ABC的面積為S?,試求S］：S?的值.

圖1圖2

【考點】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；LY：平面與平面垂直

【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；4G：演繹法；5F：空間位置關(guān)系與距離

【分析】(1)ADYDE,平面ADE，平面3CDE,根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理得AD_L平

面BCDE,所以4Z5_L3C,又CDLBC,根據(jù)線面垂直的判定定理3C_L平面ACD,

BCu平面ABC,所以平面ABC_L平面ACD

(2)由于平面a//平面ABC,故平面ACD與平面a的交線M。//AC,M是CD的中點，

故。是AD的中點；同理平面3CDE與平面口的交線A/N//3C,N為鹿的中點；平面

ABE的交線NP//AB,P為AE的中點，連接P。即為平面a與平面AZJE的交線，故平

面a與四棱錐A-3CDE各個面的交線所圍成多邊形就是四邊形MVPQ,進一步觀察可

知四邊形肱VP。是直角梯形，進而由比例關(guān)系可以求得截面面積與AABC的面積之比.

【解答】解：(1)ADYDE,平面AZ)E_L平面3CDE,平面ADEC平面3CDE=DE,

，AD_L平面BCDE,

:.AD±BC,

又CD±BC,ADCD=D,

3C_L平面ACO,

又3Cu平面ABC,

平面ABC_L平面AGO

(2)平面a//平面ABC,設(shè)平面ACD與平面a的交線為MQ,

:.MQ//AC,

又M是CD的中點，

，。是的中點；

同理：設(shè)平面3cDE1與平面"的交線為MV,

:.MN//BC,

又M是CD的中點，

??.N為3E的中點；

同理：平面ABE的交線NP〃鈣，P為AE的中點，

連接PQ即為平面a與平面ADE的交線,故平面c與四棱錐A-BCDE各個面的交線所圍成

多邊形是圖中的四邊形MVPQ,

由于PQ//DE,DEV/M?V,故PQ//MN,根據(jù)（1）3C_LAC,由M2V//3C,MQ//AC,

故即四邊形MNP。'是直角梯形.

設(shè)CM=a,則〃。=缶，MN=3a,PQ=a,BC=4a,AC=2^2a,

故四邊形MN尸的面積是"的＞＜缶=曠,三角形ABC的面積是

2

—x4axs/~0=J~42?

2

故平面a與四棱錐A-33各個面的交線所圍成多邊形的面積與三角形ABC的面積之比

為1:2.

【點評】本小題主要考查空間線面關(guān)系、多邊形的面積計算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與

轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

22

20.（12分）已知橢圓C:「+當(dāng)=1（。＞匕＞0）的左，右焦點分別為月，居，上頂點為3.Q

ab

為拋物線/=24x的焦點，且￡8QB=0,2F[F2+QFX=0

(I)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)過定點尸(0,4)的直線/與橢圓C交于N兩點(M在P,N之間)，設(shè)直線/的斜

率為％(%>0),在無軸上是否存在點A(m,0),使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為

菱形？若存在，求出實數(shù)機的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【考點】K4：橢圓的性質(zhì)

【專題】34：方程思想；49：綜合法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題

【分析】(I)由已知Q(6,0),FtB±QB,|=4c=6+c,解得c=2.在Rf△4中,

\BF2\=2c=a,所以。=4,由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(II)設(shè)/:y=履+4(左>0),M(x1,%),N(X2,%)，取跖V的中點為E(x(),%).假設(shè)

存在點A(m,0),使得以AV,AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，聯(lián)立

y=kx+4

<X2y2=(4左2+3優(yōu)+32履+16=0,由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出實數(shù)"7

——+—=1

[1612

的取值范圍.

【解答】解：(I)由已知。(6,0),KB1.QB,

\QF{|=4c=6+c,所以c=2....(1分)

在及△￡3。中，后為線段片。的中點，

故|B《|=2c=4,所以q=4....(2分)

22

于是橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

1612

(II)設(shè)/:y=Ax+4(%>0),M(±,%),N?,%),取MN的中點為EQ。，%).

假設(shè)存在點A（m,O）,使得以AM,AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則MLMN.

y=履+4

聯(lián)立，/2=(4左2+3)/+32立+16=0

——+—=1

[1612

△>0n左>4,

2

-32k-16k712

X,+X.=)4

---------/.X0E，…。+4=E

勺2442+3

因為AE_LM?V,所以必￡=—1

k

12116k、4k4

——x(z-------------m)=>m=------------

4公+3k4左2+34左2+3T~3

4Z+—

k

k>-,4yt+-..4A—e

k3

2憶4k+-

k

所以相￡,0].

【點評】本題考查橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,考查在X軸上是否存在點A（m,0）,使得以AM,

AN為鄰邊的平行四邊形為菱形的確定與實數(shù)機的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題,

注意函數(shù)與方程思想的合理運用.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=x/nx+a（aeR）

（I）若/（x）..O恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

f

（II）若0＜用＜%,求證：對于任意xeQ,x2）,不等式（'A）＜二尤）一/區(qū)）成

無一王尤一々

立.

【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

【專題】15：綜合題；33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【分析】（I）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問題即可解決，

（II）欲證明不等式/（、-/（尤1）＜/。）7（無2）成立，從圖象分析可先證

X-Xxx-x2

/（%）~/（%1）＜fXx）＜/（%）~/（^-）,分別構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值關(guān)

x-xxx-x2

系即可證明

【解答】解：（I）/（%）=%歷％+4的定義域為（。,+00）,

.,./'(%)=\+lnx,

令廣(x)=0,解得x=L,

e

當(dāng)ra)>。時，即時，函數(shù)/(無)單調(diào)遞增，

e

當(dāng)ra)<o時，即0<*<1時，函數(shù)/(幻單調(diào)遞減，

e

ee

/(x)..O恒成立，

---Fa..0,

e

.1

e

(H)證明：由(i)知，r(%)=i+歷x,

.?.八%)在(。,內(nèi))上為增函數(shù)，

欲證明不