專題13 復數(shù)的概念和意義解析版

Page1專題13復數(shù)的概念和意義知識歸納一、復數(shù)的有關(guān)概念1、復數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=-1，實部是a，虛部是b.2、虛數(shù)單位：把平方等于－1的數(shù)用符號i表示，規(guī)定i2＝－1.我們把i叫作虛數(shù)單位．3、表示方法：復數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．4、復數(shù)集：①定義：全體復數(shù)所成的集合．②表示：通常用大寫字母C表示．【注意】復數(shù)概念說明：（1）復數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.（2）復數(shù)的實部是a，虛部是實數(shù)b而非bi.（3）復數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數(shù)的代數(shù)形式，否則不是代數(shù)形式．二、復數(shù)的分類：對于復數(shù)a＋bi，（1）當且僅當b＝0時，它是實數(shù)；（2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數(shù)0；（3）當b≠0時，叫做虛數(shù)；（4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數(shù)．這樣，復數(shù)z＝a＋bi可以分類如下：復數(shù)=實數(shù)b=0虛數(shù)(b≠0)(當a=0時為純虛數(shù)).【注意】復數(shù)集、實數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系三、復數(shù)相等在復數(shù)集C中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.其中若Z=a＋bi=0則：a=0且b=0.解方程組即可四、復數(shù)的幾何意義1、復平面:當用直角坐標平面內(nèi)的點來表示復數(shù)時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．2、復數(shù)的幾何意義（1）任一個復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內(nèi)的點Z(a，b)是一一對應的．（2）一個復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內(nèi)的向量OZ=(a,b)是一一對應的．【注意】實軸、虛軸上的點與復數(shù)的對應關(guān)系實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)，它所確定的復數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實數(shù)．五、復數(shù)的模（1）定義：向量OZ的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值（2）記法：復數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．六、共軛復數(shù)如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)．復數(shù)z的共軛復數(shù)用z表示，即當z＝a＋bi(a，b∈R)時，z＝a－bi.示例：z＝2＋3i的共軛復數(shù)是z＝2－3i.【注意】（1）當復數(shù)z＝a＋bi的虛部b＝0時，有z＝z，也就是，任一實數(shù)的共軛復數(shù)是它本身．（2）在復平面內(nèi)，表示兩個共軛復數(shù)的點關(guān)于實軸對稱，并且它們的模相等．題型歸納【題型01復數(shù)的概念】【題型02復數(shù)相等】【題型03復數(shù)的幾何意義】【題型01復數(shù)的概念】【典例1】給出下列說法：①復數(shù)2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)；③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數(shù)；④若兩個復數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)．其中錯誤說法的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【答案】C解析】復數(shù)2＋3i的虛部是3，①錯；形如a＋bi(b∈R)的數(shù)不一定是虛數(shù)，②錯；只有當a∈R，a＋3≠0時，(a＋3)i是純虛數(shù)，③錯；若兩個復數(shù)能夠比較大小，則它們都是實數(shù)，故④正確，所以有3個錯誤【典例2】(1)復數(shù)的實部為（）A．1 B． C． D．（2）（2021·全國·高一課時練習）若復數(shù)z＝i（a+i）（a∈R，i為虛數(shù)單位）的虛部為2，則a＝（）A．﹣2 B．2C．﹣1 D．1【答案】（1）B（2）B【解析】（1），實部為，故選：B.（2）z＝i（a+i）＝﹣1+ai，由于復數(shù)z＝i（a+i）（a∈R，i為虛數(shù)單位）的虛部為2，∴a＝2，故選：B.【題型02復數(shù)相等】【典例1】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數(shù)x，y的值.【答案】x＝1，y＝1)或x＝－1，y＝－1.)【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴x2－y2＝0，2xy＝2，)解得x＝1，y＝1)或x＝－1，y＝－1.)【典例2】復數(shù)4－3a－a2i與復數(shù)a2＋4ai相等，則實數(shù)a的值為()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4【答案】C【解析】驗證：當a＝0或1時，復數(shù)4－3a－a2i與復數(shù)a2＋4ai不相等，排除A、B、D.【題型03復數(shù)方程有實根問題】【典例1】已知方程有實根，且，則復數(shù)等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是方程的根可得，整理可得：，所以，解得，所以，故選A.【典例2】已知關(guān)于的方程有實數(shù)解，則_______.【答案】2或3【解析】因為關(guān)于的方程有實數(shù)解，所以使得成立.或.【題型04復數(shù)的幾何意義】【典例1】實部為－2，虛部為1的復數(shù)所對應的點位于復平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】由題意可得復數(shù)z＝－2＋i，故在復平面內(nèi)對應的點為(－2，1)，在第二象限.【典例2】實數(shù)a取什么值時，復平面內(nèi)表示復數(shù)z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點（1）位于第二象限；（2）位于直線y＝x上？【答案】（1）(－2，1)（2）a=1【解析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知，復平面內(nèi)表示復數(shù)z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點就是點Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．（1）由點Z位于第二象限得a2＋a－2<0，a2－3a＋2>0，)解得－2<a<1.故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為(－2，1)．（2）由點Z位于直線y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故滿足條件的實數(shù)a的值為1.【典例3】若復數(shù)滿足，則（）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，即，所以，，所以.故選：B同步練習一、單選題1.已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)的虛部是（）A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】的虛部是．故選：A．2.復平面中的下列哪個向量對應的復數(shù)是純虛數(shù)（）A．=(1，2) B．=(-3，0)C． D．=(-1，-2)3.若復數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由為純虛數(shù)，得解得.故選：.4.（多選題）給出下列命題，其中是真命題的是（）A．純虛數(shù)的共軛復數(shù)是B．若，則C．若，則與互為共軛復數(shù)D．若，則與互為共軛復數(shù)【答案】AD【解析】A．根據(jù)共軛復數(shù)的定義，顯然是真命題；B．若，則，當均為實數(shù)時，則有，當，是虛數(shù)時，，所以B是假命題；C．若，則可能均為實數(shù)，但不一定相等，或與的虛部互為相反數(shù)，但實部不一定相等，所以C是假命題；D.若，則，所以與互為共軛復數(shù)，故D是真命題.5.復數(shù)z＝3+4i對應的點Z關(guān)于原點的對稱點為Z1，則對應的向量為（）A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i【答案】A【解析】∵復數(shù)z＝3+4i對應的點Z（3，4）∴Z關(guān)于原點的對稱點為Z1（﹣3，﹣4）對應的向量＝﹣3﹣4i故選：A．6.(多選)有下列四個命題，其中正確的是（）①方程2x－5＝0在自然數(shù)集N中無解；②方程2x2＋9x－5＝0在整數(shù)集Z中有一解，在有理數(shù)集Q中有兩解；③x＝i是方程x2＋1＝0在復數(shù)集C中的一個解；④x4＝1在R中有兩解，在復數(shù)集C中也有兩解.A．① B．②C．③ D．④【答案】ABC【詳解】①方程2x－5＝0根為，故方程在自然數(shù)集N中無解，正確；②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整數(shù)集Z中有一解-5，在有理數(shù)集Q中有兩解-5和，正確；③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在復數(shù)集C中的一個解；④x4＝1在R中有兩解，在復數(shù)集C中也有四解，，故錯誤.故選：ABC.7.(多選)已知i為虛數(shù)單位,下列命題中正確的是A．若,則是純虛數(shù) B．虛部為的虛數(shù)有無數(shù)個C．實數(shù)集是復數(shù)集的真子集 D．兩個復數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等【答案】BCD【詳解】對于A,若,則,不是純虛數(shù),故A錯誤；對于B,虛部為的虛數(shù)可以表示為,有無數(shù)個,故B正確；根據(jù)復數(shù)的分類,判斷C正確；兩個復數(shù)相等一定能推出實部相等,必要性成立,但兩個復數(shù)的實部相等推不出兩個復數(shù)相等,充分性不成立,故D正確.故選:BCD.8.復數(shù)z=(a2-2a)+(a2-a-2)i的共軛復數(shù)對應的點在虛軸上，則實數(shù)a的值為（）A．a(chǎn)=0或a=2 B．a(chǎn)=0C．a(chǎn)≠1，且a≠2 D．a(chǎn)≠1或a≠2【答案】A【解析】∵復數(shù)=(a2-2a)+(a2-a-2)i對應的點在虛軸上，∴a2-2a=0，∴a=0或a=2故選：A.9.在，，，，0.618，這幾個數(shù)中，純虛數(shù)的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】解：為實數(shù)，為純虛數(shù)，為虛數(shù)，為純虛數(shù)，0.618為實數(shù)，為實數(shù)，純虛數(shù)只有2個，故選：．10.關(guān)于復數(shù)z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）A．3+4i B．4+3iC．+3i D．3+i解析:設(shè),則有,于是，解得或因為,故,所以不符合要求,故故選：B11.四邊形ABCD是復平面內(nèi)的平行四邊形，已知A、B、C三點對應的復數(shù)分別是1+3i，-i，2+i，則向量BD對應的復數(shù)是 ()A.1-2iB.2+2iC.2-2iD.3+6i【答案】D【解析】由題意得點A，B，C的坐標分別為(1，3)，(0，-1)，(2，1)，設(shè)點D的坐標為(x，y)，由AD=BC，得(x-1，y-3)=(2，2)，∴x-1=2，y-3=2，解得x=3，y=5，故D(3，5)，∴BD=(3，6)，則BD對應的復數(shù)為3+6i.故選D.12.在復平面內(nèi)，向量AB=(2，-3)對應的復數(shù)為()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.-3-2i13.（1）設(shè)，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限（2）復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】（1）C（2）【解析】（1）由題意知：，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，故在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限.故選：C．（2）因為復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，所以解得．故答案為：14.復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（）A． B．5 C．7 D．25【答案】B【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B.15．在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，該點位于第一象限.故選：A.16．已知，在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于第二象限，則為（）A．-2 B．-1 C．0 D．3【答案】B【詳解】復數(shù)對應的點為，依題意得，而，于是有.故選：B17．已知復數(shù)的虛部為1，且，則可以是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為復數(shù)的虛部為1，可設(shè)復數(shù)，又，所以整理得，故，故選：C18.(多選)下列命題中，正確的是（）A．復數(shù)的?？偸欠秦摂?shù)B．復數(shù)集與復平面內(nèi)以原點為起點的所有向量組成的集合一一對應C．如果復數(shù)對應的點在第一象限，則與該復數(shù)對應的向量的終點也一定在第一象限D(zhuǎn)．相等的向量對應著相等的復數(shù)【答案】ABD【詳解】設(shè)復數(shù)，對于A，，故A正確．對于B，復數(shù)對應的向量為，且對于平面內(nèi)以原點為起點的任一向量，其對應的復數(shù)為，故復數(shù)集與復平面內(nèi)以原點為起點的所有向量組成的集合一一對應，故B正確．對于B，復數(shù)對應的向量為，且對于平面內(nèi)的任一向量，其對應的復數(shù)為，故復數(shù)集中的元素與復平面內(nèi)以原點為起點的所有向量組成的集合中的元素是一一對應，故B正確．對于C，如果復數(shù)對應的點在第一象限，則與該復數(shù)對應的向量的終點不一定在第一象限，故C錯．對于D，相等的向量的坐標一定是相同的，故它們對應的復數(shù)也相等，故D正確．故選：ABD．19.(多選)實數(shù)滿足，設(shè)，則下列說法正確的是（）A．在復平面內(nèi)對應的點在第一象限B．C．的虛部是iD．的實部是1【答案】ABD【詳解】實數(shù)x，y滿足(1+i)x+(1-i)y=2，可化為x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，∴z=x+yi=1+i.對于A，z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(1，1)，位于第一象限，故A正確.對于B，|z|=，故B正確.對于C，z的虛部是1，故C錯誤.對于D，z的實部是1，故D正確.故選：ABD.20.(多選)下列關(guān)于復數(shù)的命題中正確的是（）A．若是虛數(shù)，則不是實數(shù)B．若，且，則C．一個復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復數(shù)的實部等于零D．復數(shù)對應的點在實軸上方【答案】AD【詳解】對于A，根據(jù)虛數(shù)的定義，A正確；對于B，虛數(shù)不能比較大小，B錯誤；對于C，一個復數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個復數(shù)的實部等于零且虛部不等于0，C錯誤；對于D，對應點的坐標為，因為，所以點在軸上方，D正確．故選：AD．21．已知是復數(shù)z的共軛復數(shù)，若在復平面上的對應點位于第一象限，則z的對應點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】設(shè)（）則，，由在復平面上的對應點位于第一象限，所以，所以，所以z的對應點位于第四象限，故選：D.22．當時，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】且，，，因此，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D.23.設(shè)，則“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的()A．充分必要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A詳解：因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以因為“x=1”是“x=1”的充要條件，所以“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的充分必要條件.故答案為A.24.若復數(shù)是純虛數(shù)，則一定有（）A． B．且 C．或 D．【答案】B【詳解】，由純虛數(shù)定義可得且，故選B.25.已知i為虛數(shù)單位，，則（）A．5 B．7 C．9 D．25【詳解】因為，所以，所以,故選：A.26.設(shè)復數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1，1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)【答案】B【解析】因為|z1|＝a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.二、填空題1.給出下列命題：①任意兩個復數(shù)都不能比較大?。虎谌?，則當且僅當且時，；③若，，且，則；④若，則.其中，________是假命題.（填序號）【答案】①③④【詳解】對①，當兩復數(shù)均為實數(shù)時，可比較大小，故①錯；②顯然正確；對③，若，則滿足，但，故C錯；對④，若，則，但，故④錯.故答案為：①③④2.已知，復平面內(nèi)表示復數(shù)的點在虛軸上，則m=_____________．【答案】或6【詳解】復數(shù)對應點的坐標為，，若點在虛軸上，則，解得或．故答案為：或6.3.復數(shù)在復平面上對應的點在第______象限．已知，，實部小于0，虛部大于0，對應點在第二象限．故答案為：二．4.已知復數(shù)在復平面內(nèi)的對應點在第三象限，則實數(shù)的取值范圍是____.【答案】【詳解】由已知得：，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.5.給出下列命題：①若，且，則是純虛數(shù)；②，為復數(shù)，，則；③若，則z一定是純虛數(shù)；④虛數(shù)的平方根仍是虛數(shù)，其中正確的是______.（填序號）【答案】③④【詳解】①：當時，，顯然不是純虛數(shù)，本命題不正確；②：當，時，顯然，但是不成立，本命題不正確；③：設(shè)，由且，當時，有，所以，當時，有，顯然不可能成立，因此z一定是純虛數(shù)，所以本命題正確；④：設(shè)，設(shè)，如果，則有且，這與相矛盾，所以假設(shè)不成立，故不是實數(shù)，是虛數(shù)，因此本命題正確，故答案為：③④6.已知，則實數(shù)的取值分別為______．【答案】1，1或【詳解】因為，所以解得或故答案為：1，1或三.解答題1.在復平面內(nèi)，點A，B，C對應的復數(shù)分別為1+4i，-3i，2，O為坐標原點.（1）求向量OA+OB和AC對應的復數(shù);（2）求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數(shù).【答案】（1）1-4i（2）32，2【解析】（1）由已知得OA，OB，OC所對應的復數(shù)分別為1+4i，-3i，2，則OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，所以O(shè)A+OB=(1，1)，AC=OC-OA=(1，-4)，故OA+OB對應的復數(shù)為1+i，AC對應的復數(shù)為1-4i.（2）解法一:由已知得，點A，B，C的坐標分別為(1，4)，(0，-3)，(2，0)，則AC的中點坐標為32，2，由平行四邊形的性質(zhì)知，BD的中點坐標也是32，2.設(shè)D(x0，y0)，則0+x02=32，-3+y02=2，解得x0=3，y0=7，所以D(3，7)，故D對應的復數(shù)為3+7i.解法二:由已知得，點A，B，C的坐標分別為(1，4)，(0，-3)，(2，0)，設(shè)D(x0，y0)，則AB=(-1，-7)，DC=(2-x0，-y0).因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB=DC，所以-1=2-x0，-7=-y0，解得x0=3，y0=7.故D對應的復數(shù)為3+7i.解法三:由(1)知OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，所以BA=(1，7)，BC=(2，3)，由平行四邊形的性質(zhì)得BD=BA+BC=(3，10)，2.實數(shù)m取什么值時，復數(shù)lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分別是：（1）純虛數(shù)；（2）實數(shù)．【答案】（1）m＝3