注冊(cè)巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共143題）

注冊(cè)巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷1（共4套）（共143題）注冊(cè)巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、單項(xiàng)選擇題(本題共46題，每題1.0分，共46分。)1、設(shè)α、β、γ都是非零向量，若α×β=α×γ，則()。A、β=γB、α∥β且α∥γC、α∥(β一γ)D、α⊥(β一γ)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意可得，α×β一α×γ=α×(β一γ)=0，故α∥(β一γ)。2、設(shè)α=i+2j+3k，β=i一3j一2k，與α、β都垂直的單位向量為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，先將向量表示為點(diǎn)：α=(1，2，3)，β=(1，一3，一2)；設(shè)與它們垂直的單位向量為γ=(x，y，z)，則有解得，。表示成單位向量為：3、已知a、b均為非零向量，而｜a+b｜=｜a—b｜，則()。A、a—b=0B、a+b=0C、a.b=0D、a×b=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由a≠0，b≠0及｜a+b｜=｜a—b｜知，(a+b)*(a+b)=(a—b)*(a—b)。即a*b=一a*b，所以a*b=0。4、設(shè)三向量a，b，c滿足關(guān)系式a*b=a*c，則()。A、必有a=0或b=CB、必有a=b—C=0C、當(dāng)a≠0時(shí)必有b=CD、a與(b—c)均不為0時(shí)必有a⊥(b—c)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因a*b=a*c且a≠0，b—c≠0，故a*b—a*c=0，即a*(b—C)=0，a⊥(b—c)。5、設(shè)a，b，c為非零向量，則與a不垂直的向量是()。A、(a*C)b一(a*b)cB、C、a×bD、a+(a×b)×a標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由兩向量垂直的充要條件：兩向量的數(shù)量積為零，以及由向量的運(yùn)算法則有A項(xiàng)，a*[(a*C)b一(a*b)C]=0；B項(xiàng)，C項(xiàng)，a(a×b)=0；D項(xiàng)，a[a+(a×b)×a]=｜a｜2≠0。6、設(shè)a、b為非零向量，且滿足(a+3b)⊥(7a一5b)，(a一4b)⊥(7a一2b)，則a與b的夾角θ=()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由兩向量垂直的充要條件得：7、已知｜a｜=2，｜b｜=，且ab=2，則｜a×b｜=()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)向量x垂直于向量a=(2，3，一1)和b=(1，一2，3)，且與c=(2，一1，1)的數(shù)量積為一6，則向量x=()。A、(一3，3，3)B、(一3，1，1)C、(0，6，0)D、(0，3，一3)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可得，x∥a×b，而a×b=(2，3，-1)×(1，-2，3)=(7，一7，一7)=7(1，一1，一1)，所以x=(x，一x，一x)。再由一6=x*c=(x，一x，一x)*(2，一1，1)=2x得，x=-3，所以x=(一3，3，3)。9、直線L1：之間的關(guān)系是()。A、L1∥L2B、L1，L2相交但不垂直C、L1⊥L2但不相交D、L1，L2是異面直線標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、已知直線方程中所有系數(shù)都不等于0，且，則該直線()。A、平行于x軸B、與x軸相交C、通過原點(diǎn)D、與x軸重合標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因，故在原直線的方程中可消去x及D，故得原直線在yoz平面上的投影直線方程為，在yoz平面上的投影過原點(diǎn)，故原直線必與x軸相交。11、已知直線L1過點(diǎn)M1(0，0，一1)且平行于x軸，L2過點(diǎn)M2(0，0，1)且垂直于xoz平面，則到兩直線等距離點(diǎn)的軌跡方程為()。A、x2+y2=4zB、x2一y2=2zC、x2一y2=zD、x2一y2=4z標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：兩直線的方程為：。設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x，y，z)，則由點(diǎn)到直線的距離的公式知：(其中l(wèi)i是直線Li的方向向量)，則：。由d1=d2得：d12=d22，故(z+1)2+y2=(z一1)2+x2，即x2一y2=4z。12、在平面x+y+z一2=0和平面x+2y一z一1=0的交線上有一點(diǎn)M，它與平面x+2y+z+1=0和x+2y+z一3=0等距離，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為()。A、(2，0，0)B、(0，0，一1)C、(3，一1，0)D、(0，1，1)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)，點(diǎn)(2，0，0)不在平面x+2y—z—1=0上；B項(xiàng)，點(diǎn)(0，0，一1)不在平面x+y+z一2=0上；D項(xiàng)，點(diǎn)(0，1，1)與兩平面不等距離。13、設(shè)平面α平行于兩直線及2x=y=z，且與曲面z=x2+y2+1相切，則α的方程為()。A、4x+2y—z=0B、4x一2y+z+3=0C、16x+8y一16z+11=0D、16x一8y+8z一1=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、三個(gè)平面x=cy+bz，y=az+cx，z=bx+ay過同一直線的充要條件是()。A、a+b+c+2abc=0B、a+b+c+2abc=1C、a2+b2+c2+2abc=0D、a2+b2+c2+2abc=1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于三個(gè)平面過同一直線←→線性齊次方程組15、通過直線的平面方程為()。A、x一z一2=0B、x+z=0C、x一2y+z=0D、x+y+z=1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因點(diǎn)(一1，2，一3)不在平面x+z=0上，故可排除B項(xiàng)；因點(diǎn)(3，一1，1)不在x一2y+z=0和x+y+z=1這兩個(gè)平面上，故可排除CD兩項(xiàng)，選A項(xiàng)。16、直線L為，平面π為4x一2y+z一2=0，則()。A、L平行于πB、L在π上C、L垂直于πD、L與π斜交標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：直線L的方向向量平面π的法向量n=4i一2j+k，所以s∥n，即直線L垂直于平面π。17、設(shè)有直線L1：x=一1+t，y=5—2t，z=一8+t，L2：，則兩線的夾角為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：兩直線的夾角即為兩直線的方向向量的夾角，而L1的方向向量為s1=(1，一2，1)，L2的方向向量為s2=(1，一1，0)×(0，2，1)=(一1，一1，2)。s1，s2夾角α的余弦為：18、過點(diǎn)(一1，2，3)垂直于直線且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直線是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：直線的方向向量為s=(4，5，6)，平面7x+8y+9z+10=0的法向量為n=(7，8，9)。顯然A、B、C中的直線均過點(diǎn)(一1，2，3)。對(duì)于A中直線的方向向量為s1=(1，一2，1)，有s1⊥s，s1⊥n，可見A中直線與已知直線垂直，與平面7x+8y+9z+10=0平行。19、若直線相交，則必有()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如果兩直線相交，則這兩條直線的方向向量與這兩條直線上兩點(diǎn)連線構(gòu)成的向量應(yīng)在同一平面上，由此來確定入。點(diǎn)A(1，一1，1)，B(一1，1，0)分別為兩條直線上的一點(diǎn)，則AB=(一2，2，一1)，兩條直線的方向向量分別為s1=(1，2，λ)，s2=(1，1，1)，這三個(gè)向量應(yīng)在同一個(gè)平面上，即：。20、過點(diǎn)P(1，0，1)且與兩條直線都相交的直線的方向向量可取為()。A、(一1，1，2)B、(一1，1，一2)C、(1，1，一2)D、(1，1，2)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)過點(diǎn)P(1，0，1)的直線L分別與直線L1與L2交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，由L1和L2的方程知，存在常數(shù)λ使點(diǎn)A的坐標(biāo)為(λ，λ一1，一1)，存在常數(shù)μ使點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1+μ，2，3+μ)，由此可求得λ=0，μ=2，即點(diǎn)A為(0，一1，一1)，點(diǎn)B為(3，2，5)。從而，直線L的方向向量可取任一平行于AB=(3，3，6)的非零向量。21、下列方程中代表錐面的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：錐面方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：22、已知曲面z=4一x2一y2上點(diǎn)P處的切平面平行于平面2x+2y+z-1=0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()。A、(1，一1，2)B、(一1，1，2)C、(1，l，2)D、(一1，一1，2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：即求曲面S：F(x，y，z)=0，其中F(x，y，z)=z+x2+y2一4上點(diǎn)P使S在該點(diǎn)處的法向量n與平面π：2x+2y+z-1=0的法向量，n0=(2，2，1)平行。S在P(x，y，z)處的法向量，n==(2x，2y，1)。n∥n0←→n=λn0，λ為常數(shù)，即2x=2λ，2y=2λ，1=λA。即x=l，y=1，又點(diǎn)P(x，y，z)∈S→z=4一x2一y2｜(x，y)=2，求得P(1，1，2)(P不在給定的平面上)。23、母線平行于ax軸且通過曲線的柱面方程為()。A、3x2+2z2=16B、x2+2y2=16C、3y2一z2=16D、3y2一z=16標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因柱面的母線平行于x軸，故其準(zhǔn)線在yoz平面上，且為曲線在yoz平面上的投影，在方程組中消去x得：，此即為柱面的準(zhǔn)線，故柱面的方程為：3y2一z2=16。24、曲線L：在xoy面上的投影柱面方程是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：投影柱面方程是一個(gè)二元方程，C、D表示的是曲線。而B中的方程中含z，不可能是L在xoy面上的投影柱面方程。25、方程是一旋轉(zhuǎn)曲面方程，它的旋轉(zhuǎn)軸是()。A、x軸B、y軸C、z軸D、直線x=y=z標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故曲面是由直線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。26、在曲線x=t，y=-t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()。A、只有1條B、只有2條C、至少有3條D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：求曲線上的點(diǎn)，使該點(diǎn)處的切向量τ與平面x+2y+z=4的法向量n=(1，2，1)垂直。曲線在切點(diǎn)處的切向量τ=(x’(t))，y’(t)，z’(t))=(1，一2t，3t2)。又n⊥τ←→n.τ=0，即1-4t+3t2=0，解得：t=1，。(對(duì)應(yīng)于曲線上的點(diǎn)均不在給定的平面上)因此，只有兩條這種切線。27、螺旋線p：(a，b為正常數(shù))上任一點(diǎn)處的切線()。A、與z軸成定角B、與x軸成定角C、與yoz平面成定角D、與zox平面成定角標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)M(x，y，z)為曲線p上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M處的切向量為：l=(一asint，acost，b)，而z軸的方向向量為k=(0，0，1)，于是l與k的夾角為：故該曲線上任一點(diǎn)處的切線與z軸成定角θ。28、求極限時(shí)，下列各種解法中正確的是()。A、用洛必達(dá)法則后，求得極限為0B、因?yàn)椴淮嬖?，所以上述極限不存在C、原式D、因?yàn)椴荒苡寐灞剡_(dá)法則，故極限不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)，因?yàn)椴淮嬖冢什荒苡寐灞冗_(dá)法則求極限。29、設(shè)f(x)=2x+3x一2，則當(dāng)x→0時(shí)()。A、f(x)是x等價(jià)無窮小B、f(x)與x是同階但非等價(jià)無窮小C、f(x)是比x高階的無窮小D、f(x)是比x低階的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：利用等價(jià)無窮小代換與極限四則運(yùn)算法則求解。再由極限的四則運(yùn)算法則，得。根據(jù)無窮小的階的定義，可知B正確。30、設(shè)f(x)滿足，當(dāng)x→0時(shí)，lncosx2是比xnf(x)高階的無窮小，而xnf(x)是比esin2x一1高階的無窮小，則正整數(shù)n等于()。A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由知，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)～一x2，于是xnf(x)～一xn+2。又當(dāng)x→0時(shí)，lncosx2=In[1+(cosx2—1)]～cosx2-1～。esin2x一1～sin2x～x2。再根據(jù)題設(shè)有2＜n+2＜4，可見n=1。31、設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，則必有()。A、a=1，b=2B、a=一1，b=2C、a=1，b=0D、a=一1，b=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若函數(shù)f(x)在x=1處可導(dǎo)，則f(x)在x=1處連續(xù)，從而且32、下列命題正確的是()。A、分段函數(shù)必存在間斷點(diǎn)B、單調(diào)有界函數(shù)無第二類間斷點(diǎn)C、在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)間必取得最大值和最小值D、在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù)一定有界標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)，例如分段函數(shù)在定義域內(nèi)沒有間斷點(diǎn)；C項(xiàng)，函數(shù)f(x)=x，0＜x＜1，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)單調(diào)連續(xù)，沒有最大值和最小值；D項(xiàng)，若函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)有第二類間斷點(diǎn)，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不一定有界；B項(xiàng)，若函數(shù)單調(diào)有界，則一定沒有第二類間斷點(diǎn)。33、下列函數(shù)中，在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)的函數(shù)是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)，因A中函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處沒定義，故函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)。B項(xiàng)，因。C項(xiàng)，令y=kx(k≠1)，有不存在。D項(xiàng)，當(dāng)x≠0，于是，取δ=ε，當(dāng)0＜因此，D項(xiàng)中函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)。34、設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在x=0處可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)｜f(x)｜在x=x0處()。A、可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為2f(x0)f’(x0)B、可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為2f(x0)｜f’(x0)｜C、可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為2｜f(x0)｜f’(x0)D、不可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令g(x)=f(x)｜f(x)｜。當(dāng)f(x0)=0時(shí)，當(dāng)f(x0)＞0時(shí)，因?yàn)閒(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，所以，存在x0的一個(gè)鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)，f(x)＞0，有同理可得，當(dāng)f(x0)＜0時(shí)，所以，函數(shù)f(x)｜f(x)｜在x=x0處可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為2｜f(x0)｜f’(x0)。35、設(shè)函數(shù)f(t)連續(xù)，t∈[-a，a]，f(t)＞0，且g(x)=，則在[一a，a]內(nèi)必有()。A、g’(x)=C(常數(shù))B、g’(x)是單調(diào)增加的C、g’(x)是單調(diào)減少的D、g’(x)是函數(shù)，但不單調(diào)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)一a＜x＜a時(shí)，有36、設(shè)函數(shù)y=f(x)在(0，+∞)內(nèi)有界且可導(dǎo)，則()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：37、函數(shù)在x處的導(dǎo)數(shù)是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：將函數(shù)y看作一個(gè)復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)如下：38、已知f(x)是二階可導(dǎo)的函數(shù)，為()。A、e2f(x)B、e2f(x)f"(x)C、e2f(x)(2f’(x))D、2e2f(x)[2(f’(x))2+f"(x)]標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：將y看作一個(gè)復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得：39、設(shè)α是實(shí)數(shù)，f(x)=，f(x)在x=1處可導(dǎo)，則α的取值為()。A、α＜一1B、一1≤α＜0C、0≤α＜1D、α≥1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由導(dǎo)數(shù)定義顯然f’(1)=0，因此α+1＜0，即α＜一1時(shí)，f’(1)=0，即可導(dǎo)。40、設(shè)函數(shù)y=f(x)有，則當(dāng)△x→0時(shí)，該函數(shù)在x=x0處的微分dy是()。A、與△x等價(jià)的無窮小B、與△x同階的無窮小，但不等價(jià)C、比△x低階的無窮小D、比△x高階的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)微分概念及同階無窮小的定義，因，故。即dy與△x為同階無窮小，但不等價(jià)。41、已知xy=kz(k為正常數(shù))，則等于()。A、1B、一1C、kD、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：將方程整理為F(x，y，z)=0的形式，即xy一kz=0，則有42、二元函數(shù)，在點(diǎn)(0，0)處()。A、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在B、連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在C、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在D、不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：偏導(dǎo)數(shù)可按定義計(jì)算，而是否連續(xù)，要求先確定其極限，若極限不存在，則必定不連續(xù)。由偏導(dǎo)數(shù)的定義知，。同理，fy’(0，0)=0?？梢娫邳c(diǎn)(0，0)處f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在。而當(dāng)y=kx時(shí)，有。當(dāng)k不同時(shí)，不同，故不存在，因而f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)。43、已知為某函數(shù)的全微分，則a等于()。A、一1B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：P(x，y)dx+Q(x，y)dy為某函數(shù)u(x，y)的全微分du(x，y)，即：du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy的充要條件是：。由題設(shè)為某函數(shù)的全微分的充要條件是：即(a—2)x—ay=一2y，(a-2)(x一y)=0。當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)上式恒成立。44、設(shè)y=f(x)是滿足微分方程y”+y’一esinx=0的解，且f’(x0)=0，則f(x)在()。A、x0的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加B、x0的某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少C、x0處取得極小值D、x0處取得極大值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：將f’(x0)=0代入方程得f"(x0)的符號(hào)，從而由極值的充分條件得正確選項(xiàng)。f(x)滿足方程f"(x)+f’(x)一esinx=0，所以有f"(x0)=esinx0一f’(x0)=esinx0＞0。即f’(x0)=0，f"(x0)＞0。故f(x)在x0處取得極小值。45、在區(qū)間(一∞，+∞)內(nèi)，方程()。A、無實(shí)根B、有且僅有一個(gè)實(shí)根C、有且僅有兩個(gè)實(shí)根D、有無窮多個(gè)實(shí)根標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：將方程根的討論先轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的討論，零點(diǎn)的存在性用介值定理，個(gè)數(shù)或惟一性利用單調(diào)性或極值加以說明。令f(x)=，由于f(-x)=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，因此只需考慮f(x)=0在(0，+∞)內(nèi)的實(shí)根情況。當(dāng)x≥0時(shí)，。可見，當(dāng)x∈時(shí)，f’(x)＞0，f(x)在內(nèi)單調(diào)增加，f(0)=-1，＞1，因此f(x)=0在上有惟一實(shí)根；當(dāng)時(shí)，f(x)＞0，故在(0，+∞)上f(x)僅存在惟一實(shí)根。根據(jù)f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)，f(x)=0在(一∞，+∞)上有且僅有兩個(gè)實(shí)根。46、已知函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)（0，0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且，則()。A、點(diǎn)(0，0)不是f(x，y)的極值點(diǎn)B、點(diǎn)(0，0)是f(x，y)的極大值點(diǎn)C、點(diǎn)(0，0)是f(x，y)的極小值點(diǎn)D、根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)(0，0)是否為f(x，y)的極值點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)，容易推知f(0，0)=0，因此點(diǎn)(0，0)是否為f(x，y)的極值點(diǎn)，關(guān)鍵看在點(diǎn)(0，0)的充分小的鄰域內(nèi)f(x，y)是恒大于零、恒小于零還是變號(hào)。由知，分子的極限必為零，從而有f(0，0)=0，且f(x，y)一xy≈(x2+y2)2(｜x｜，｜y｜充分小時(shí))，于是f(x，y)一f(0，0)≈xy+(x2+y2)2。可見當(dāng)y=x且｜x｜充分小時(shí)，f(x，y)一f(0，0)≈x2+4x4＞0；而當(dāng)y=一x且｜x｜充分小時(shí)，f(x，y)一f(0，0)≈一x2+4x4＜0。故點(diǎn)(0，0)不是f(x，y)的極值點(diǎn)。注冊(cè)巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、單項(xiàng)選擇題(本題共43題，每題1.0分，共43分。)1、等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：分部積分法：。2、若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)有一個(gè)原函數(shù)為()。A、1+sinxB、1一sinxC、1+cosxD、1一cosx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)f’(x)=sinx,于是f(x)=∫f’(x)dx=一cosx+C1。從而f(x)的原函數(shù)為：F(x)=∫f(x)dx=∫(一cosx+C1)dx=一sinx+C1x+C2。令C1=0，C2=1，即得f(x)的一個(gè)原函數(shù)為1一sinx。3、若f(x)的一個(gè)原函數(shù)是，則∫xf’(x)dx=()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：。4、若∫f(x)dx=x2+C,則∫xf(1一x2)dx=()。A、2(1-x2)2+CB、C、一2(1一x2)+CD、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：。5、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，且滿足，則f(x)是()。A、xe-xB、xe-x一ex-1C、ex-1D、(x一1)e-x標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)左右兩邊從0到1對(duì)x積分可得：6、已知，設(shè)F(x)=，則F(x)為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)，則極限等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：先用第一類換元積分法計(jì)算積分得an，再利用求極限。8、廣義積分，則c等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意：9、設(shè)，則有()。A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：三個(gè)均為對(duì)稱區(qū)間上的積分，自然想到奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分性質(zhì)。根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性知，。因此有P＜M＜N。10、設(shè)，則F(x)()。A、為正常數(shù)B、為負(fù)常數(shù)C、恒為零D、不為常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：被積函數(shù)以2π為周期，利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。首先決定F(x)是否為常數(shù)，有兩種方法：①F’(x)=0，則F(x)≡C。②顯然被積函數(shù)esintsint以2π為周期，由周期函數(shù)的性質(zhì)可知：F(x)≡C。由于esintsint是以2π為周期的，因此。11、設(shè)，則()。A、I1＞I2＞1B、1＞I1＞I2C、I2＞I1＞1D、1＞I2＞I1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：直接計(jì)算I1，I2困難，可應(yīng)用不等式tanx＞x(x＞0)和定積分的性質(zhì)判斷。12、下列廣義積分中發(fā)散的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)D是xoy平面上以(1，1)、(一1，1)和(一1，一1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D1是D在第一象限的部分，則等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：三角形D可進(jìn)一步分割為兩個(gè)分別關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱的三角形，從而根據(jù)被積函數(shù)關(guān)于x或y的奇偶性即可得出結(jié)論。設(shè)D’是xoy平面上以(0，0)，(1，1)，(一1，1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，D"是xoy平面上以(0，0)，(一1，1)，(一1，一1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，則D’關(guān)于y軸對(duì)稱，D"關(guān)于x軸對(duì)稱。14、設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：先畫出積分區(qū)域的示意圖，再選擇直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系下化為累次積分，即得正確選項(xiàng)。積分區(qū)域(見圖1—3一1)，在直角坐標(biāo)系下，15、設(shè)，則a為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)，其中Ω是由所圍成的，則I=()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)圓錐側(cè)面，球面上側(cè)所圍區(qū)域?yàn)棣?，球面與平面Z=1，圓錐面所圍區(qū)域?yàn)棣?(見圖1—3—2)，則17、在區(qū)間[0，2π]上，曲線y=sinx與y=cosx之間所圍圖形的面積是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：y=sinx與y=cosx的交點(diǎn)分別在處，只有B項(xiàng)符合。18、設(shè)f(x，y，z)是連續(xù)函數(shù)，I(R)=，則R→0時(shí)，下面說法正確的是()。A、I(R)是R的一階無窮小B、I(R)是R的二階無窮小C、I(R)是R的三階無窮小D、I(R)至少是R的三階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f(x，y，z)為常數(shù)M時(shí)，。對(duì)任意連續(xù)函數(shù)f(x，y，z)，則由積分中值定理得：，其中ξ2+η2+ζ2≤R2。當(dāng)R→0時(shí)，(ξ，η，ζ)→(0，0，0)，則：。當(dāng)f(0，0，0)≠0時(shí)，I(R)是R的三階無窮?。划?dāng)f(0，0，0)=0時(shí)，I(R)是比R3高階的無窮小。19、設(shè)Ω：x2+y2+z2≤1，z≥0，則三重積分等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：如果Ω關(guān)于x，y輪換對(duì)稱即把Ω表達(dá)式中的x，y換為y，x，Ω不變，則而本題的Ω關(guān)于x、y輪換對(duì)稱，關(guān)于x、z(或y、z)不輪換對(duì)稱，故20、設(shè)f(x)、g(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且g(x)＜f(x)＜m(m為常數(shù))，由曲線y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所圍平面圖形繞直線y=m旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閐V={π[m—g(x)]2一π[m一f(x)]2}dx，則：21、設(shè)曲線積分∫t[f(x)一ex]sinydx一f(x)cosydy與路徑無關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，則f(x)等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：22、設(shè)，則R→0時(shí)，下面說法正確的是()。A、IR是R的一階無窮小B、IR是R的二階無窮小C、IR是R的三階無窮小D、IR至少是R的三階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：23、設(shè)平面曲線，y≥0，其所圍成的區(qū)域分別記為D和D1，則有()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：24、曲線r=aebθ(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧長為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用極坐標(biāo)方程表示曲線的弧長公式，有：25、雙紐線(x2+y2)2=x2一y2所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：雙紐線(x2+y2)2=x2一y2所圍成的圖形是關(guān)于y軸對(duì)稱的，因此所求面積S為x≥0部分圖形面積S1的兩倍。對(duì)于x≥0部分雙紐線的極坐標(biāo)方程是：26、設(shè)拋物線y2=2x分圓盤x2+y2≤8為兩部分，則這兩部分面積的比為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：27、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，由曲線y=f(x)在x軸圍成的三塊面積為S1、S2、S3(S1、S2、S3均大于0)如圖1—3—4所示，已知S2+S3=p，S1=2S2一q，且p≠q，則等于()。A、P—qB、q—PC、P+qD、2(P—q)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由定積分幾何意義得：=-S1+S2一S3=一(S1—S2+S3)。又S2+S3=p，S1=2S2一q，則S1一S2+S3=p—q，即=q—P。28、設(shè)f(x)=，則方程f(x)=1在(1，+∞)內(nèi)的實(shí)根個(gè)數(shù)必為()。A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：故x充分大后f(x)會(huì)大于任何數(shù)，因此方程f(x)=1必有一個(gè)實(shí)根。29、設(shè)F(x)=可導(dǎo)，且f’(x)＞0，則()。A、F(0)是極大值B、F(0)是極小值C、F(0)不是極值，但(0，F(xiàn)(0))是曲線F(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)D、F(0)不是極值，(0，F(xiàn)(0))也不是曲線F(x)的拐點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：F(x)=；F’(x)=；F"(x)=f(x)+xf’(x)一f(x)=xf’(x)。F"(0)=0。又由f’(x)＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，F(xiàn)"(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)"(x)＞0；因此(0，F(xiàn)(0))是曲線的拐點(diǎn)。由F"(x)的符號(hào)可得：當(dāng)x＜0時(shí)F’(x)單調(diào)遞減，因此F’(x)＞F’(0)=0；當(dāng)x＞0時(shí)F’(x)單調(diào)遞增，因此F’(x)＞F’(0)=0，從而推得F(x)在(一∞，+∞)單調(diào)增加，F(xiàn)(0)不是極值點(diǎn)。30、已知級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)等于()。A、3B、7C、8D、9標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：31、級(jí)數(shù)(常數(shù)α＞0)()。A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、收斂性與α有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：32、設(shè)常數(shù)λ＞0，且級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)()。A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對(duì)收斂D、收斂性與λ有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：33、設(shè)，則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：34、已知級(jí)數(shù)均收斂，則p的取值范圍是()。A、P＞2B、P＜2C、P＞0D、0＜p＜2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若均收斂，則同時(shí)有P一2＜0且P＞0，綜合得0＜P＜2。35、函數(shù)ex展開成為x一1的冪級(jí)數(shù)是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：ex在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，利用泰勒公式展開如下：36、函數(shù)展開成(x一2)的冪級(jí)數(shù)是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：37、若的收斂域是(一8，8]，則的收斂半徑及的收斂域分別是()。A、8，(一2，2]B、8，[一2，2]C、不定，(一2，2]D、8，[一2，2)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：38、已知的收斂半徑R=1，則的收斂域?yàn)?)。A、(一1，1)B、[一1，1)C、(一1，1]D、(一∞，+∞)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：39、若級(jí)數(shù)在x＞0時(shí)發(fā)散，在x=0時(shí)收斂，則常數(shù)a=()。A、1B、一1C、2D、一2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由已知，若x=0時(shí)收斂，則必有｜a｜≤1。又a=1且x=0時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；僅當(dāng)a=一1且x=0時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，故選B項(xiàng)。40、設(shè)，則f(x)在x=0時(shí)的6階導(dǎo)數(shù)f(6)(0)是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：41、設(shè)α為常數(shù)，則級(jí)數(shù)()。A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、收斂性與α的取值有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：42、設(shè)，其中an=等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，應(yīng)先將f(x)從[0，1)作偶延拓，使之成為區(qū)間[一1，1]上的偶函數(shù)，然后再作周期(周期為2)延拓，進(jìn)一步展開為傅里葉級(jí)數(shù)，根據(jù)收斂定理有：43、設(shè)，要使級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，常數(shù)p應(yīng)當(dāng)()。A、P＞一1B、P＞0C、P＞10D、P≥-1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：注冊(cè)巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、單項(xiàng)選擇題(本題共32題，每題1.0分，共32分。)1、微分方程(3+2y)xdx+(1+x2)dy=0的通解為()。A、1+x2=CyB、(1+x2)(3+2y)=CC、D、(1+x2)2(3+2y)=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、微分方程cosydx+(1+e-x)sinydy=0滿足初始條件的特解是()。A、B、cosy=1+exC、cosy=4(1+ex)D、cos2y=1+ex標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：原方程可整理為：，兩邊取不定積分得：其中C為任意常數(shù)。將初始條件代入，可知C=1／4。3、方程y’sinx=ylny，滿足定值條件的特解是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：4、微分方程y"=y’2的通解是()。A、1nx+CB、In(x+C)C、C2+In｜x+C1｜D、C2一In｜x+C1｜標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、微分方程y"=x+sinx的通解是()。(C1，C2為任意常數(shù))A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：6、微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為()。A、y*=Ax2+Bx+C+x(Asinx+Bcosx)B、y*=x(Ax2+Bx+C+Asinx+Bcosx)C、y*=Ax2+Bx+C+AsinxD、y*=Ax2+Bx+C+Acosx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)應(yīng)齊次方程y"+y=0的特征方程為λ2+1=0，特征根為λ=±i，對(duì)y"+y=x2+1=e0(x2+1)而言，因0不是特征根，從而其特解形式可設(shè)為：y1*=Ax2+Bx+C。y"+y=sinx，因i為特征根，從而其特解形式可設(shè)為：y2*=x(Asinx+Bcosx)。從而y"+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為：y*=Ax2+Bx+C+x(Asinx+Bcosx)。7、函數(shù)y=C1ex+C2e-2x+xex滿足的一個(gè)微分方程是()。A、y"一y’一2y=3xexB、y"一y’一2y=3exC、y"+y’一2y=3xexD、y"+y’一2y=3ex標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：y=C1ex+C2e-2x+xex是某二階線性常系數(shù)非齊次方程的通解，相應(yīng)的齊次方程的特征根λ1=1，λ2=一2，特征方程應(yīng)是(λ一1)(λ+2)=0，于是相應(yīng)的齊次方程是y"+y’一2y=0。CD兩項(xiàng)中，方程y"+y’一2y=3ex，有形如y*=Axex的特解(此處eax中a=1是單特征根)。8、具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是()。A、y"’-y"一y’+y=0B、y"’+y"一y’—y=0C、y"’-6y"+11y’—6y=0D、y"’-2y"一y’+2y=0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由特解知，對(duì)應(yīng)特征方程的根為：λ1=λ2=一1，λ3=1。于是特征方程為：(λ+1)2(λ一1)=λ3+λ2一λ一1=0。故所求線性微分方程為：y"’+y"一y’一y=0。9、設(shè)y=y(x)是二階常系數(shù)微分方程y"+py’+qy=e3x滿足初始條件y(0)=y’(0)=0的特解，則當(dāng)x→0時(shí)，函數(shù)的極限()。A、不存在B、等于1C、等于2D、等于3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由y"+py’+qY=e3x及y(0)=y’(0)=0，知)y"(0)=1，則：10、要使得二次型f(x1，x2，x3)=x12+2tx1x2+x22一2x1x3+2x2x3+2x32為正定的，則t的取值條件是()。[2012年真題]A、一1＜t＜1B、一1＜t＜0C、t＞0D、t＜一1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：該方程對(duì)應(yīng)的二次型的矩陣為：。若二次型為正定，其各階順序主子式均大于零，由二階主子式大于零，有1-t2＞O，求得一1＜t＜1。三階主子式也大于零，得-1＜t＜0。11、已知的值為()。A、2B、一2C、0D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令，觀察矩陣B，容易發(fā)現(xiàn)B正是A的伴隨矩陣，即B=A*，故由AA*=｜A｜E，得：｜A*｜=｜A｜n-1=23-1=4。12、f(x)=是x的多項(xiàng)式，其可能的最高方次是()。A、1次B、2次C、3次D、4次標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：第二行、第三行都減去第一行后，再按第一行展開，知f(x)的可能的最高方次是一次。13、設(shè)A是3階矩陣，矩陣A的第1行的2倍加到第2行，得矩陣B，則下列選項(xiàng)中成立的是()。A、B的第1行的-2倍加到第2行得AB、B的第1列的一2倍加到第2列得AC、B的第2行的一2倍加到第1行得AD、B的第2列的一2倍加到第1列得A標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)矩陣，則：14、設(shè)A，B為n階矩陣，A*，B*分別為A，B對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，分塊矩陣，則C的伴隨矩陣C*=()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若A、B可逆，則C可逆，且C*=｜C｜.C-1，可求得C*。若A、B不全可逆，則對(duì)四個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證：C.C*=｜C｜E。若A、B均可逆，則A*=｜A｜A-1，B*=｜B｜B-1，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)知，只有D項(xiàng)成立。當(dāng)A或B不可逆時(shí)，利用定義可證D項(xiàng)仍成立。15、設(shè)n階矩陣A非奇異(n≥2)，A*是矩陣A的伴隨矩陣，則()。A、(A*)*=｜A｜n-1AB、(A*)*=｜A｜n+1AC、(A*)*=｜A｜n-2AD、(A*)*=｜A｜n+2A標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：涉及伴隨矩陣A*，聯(lián)想到公式AA*=A*A=｜A｜E。A*=｜A｜A-1，于是16、設(shè)向量組α1，α2，α3線性無關(guān)，則下列向量組中，線性無關(guān)的是()。A、α1+α2，α2+α3，α3一α1B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D、α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2一5α3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)，(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α1)=0；B項(xiàng)，(α1+α2)+(α2+α3)一(α1+2α2+α3)=0；可見AB兩項(xiàng)中向量組線性相關(guān)。CD兩項(xiàng)不能直接觀察出，C項(xiàng)，令k1(α1+2α2)+k2(2α2+3α3)+k3(3α3+α1)=0，即(k1+k3)α1+(2k1+2k2)α2+(3k2+3k3)α3=0。由于α1，α2，α3線性無關(guān)，故。因上述齊次線性方程組的系數(shù)行列式，故方程組有惟一零解，即k1=k2=k3=0，故C項(xiàng)中向量組線性無關(guān)。17、設(shè)有向量組α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，則該向量組的極大線性無關(guān)組是()。A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4C、α1，α2，α5D、α1，α2，α4，α5標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)以α1，α2，α3，α4，α5為列向量的矩陣施以初等行變換：由于不同階梯上對(duì)應(yīng)向量組均線性無關(guān)，而含有同一個(gè)階梯上的兩個(gè)以上的向量必線性相關(guān)，對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)知，B項(xiàng)成立。18、設(shè)n維行向量，矩陣A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E為n階單位矩陣，則AB等于()。A、0B、一EC、ED、E+αTα標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：注意利用ααT為一個(gè)數(shù)來簡化計(jì)算。AB=(E—αTα)(E+2αTα)=E+2αTα一αTα一2αTααTα=19、設(shè)齊次線性方程組，當(dāng)方程組有非零解時(shí)，后值為()。A、一2或3B、2或3C、2或一3D、一2或一3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)方程組有非零解時(shí)，系數(shù)矩陣的行列式為0，即，k2一k一6=0，所以k=3或k=一2。20、設(shè)β1，β2是線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，α1，α2是導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1、kα2是任意常數(shù)，則Ax=b的通解是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：非齊次線性方程組Ax=b的通解由導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系與某一特解構(gòu)成。A項(xiàng)，、α1-α2都是導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)解，該選項(xiàng)中不包含特解；B項(xiàng)，β1-β2是導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)解，該選項(xiàng)也不包含特解；C項(xiàng)，是Ax=b的特解，α1-α2與α1線性無關(guān)，可作為導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系；D項(xiàng)，包含特解，但β1-β2與α1未必線性無關(guān)，不能作為導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系。21、設(shè)A是m×n階矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()。A、若Ax=0僅有零解，則Ax=b有惟一解B、若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多個(gè)解C、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解D、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由解的判定定理知，對(duì)Ax=b，若有r(A)==r，則Ax=b一定有解。進(jìn)一步，若r=n，則Ax=b有惟一解；若r＜n，則Ax=b有無窮多解。而對(duì)Ax=0一定有解，且設(shè)r(A)=r，則若r=n，Ax=0僅有零解；若r＜n，Ax=0有非零解。因此，若Ax=b有無窮多解，則必有r(A)==r＜n，Ax=0有非零解，所以D項(xiàng)成立。但反過來，若r(A)=r=n(或＜n)，并不能推導(dǎo)出r(A)=，所以Ax=b可能無解，更談不上有惟一解或無窮多解。22、齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為A。若存在三階矩陣B≠0使得AB=0，則()。A、λ=一2且｜B｜=0B、λ=一2且｜B｜≠0C、λ=1且｜B｜=0D、λ=1且｜B｜≠0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=0，所以r(A)+r(B)≤3，又A≠0，B≠0，所以1≤r(A)＜3，1≤r(B)＜3，故｜B｜=0。又因?yàn)棣?一2時(shí)，，即此時(shí)r(A)=3。事實(shí)上，當(dāng)λ=1時(shí)，。23、已知3維列向量α，β滿足αTβ=3，設(shè)3階矩陣A=βαT，則()。A、β是A的屬于特征值0的特征向量B、α是A的屬于特征值0的特征向量C、β是A的屬于特征值3的特征向量D、α是A的屬于特征值3的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可得Aβ=βαTβ=3β，所以β是A的屬于特征值3的特征向量。24、設(shè)λ1，λ2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，ξ，η是A的分別屬于λ1，λ2的特征向量，則以下選項(xiàng)中正確的是()。A、對(duì)任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都是A的特征向量B、存在常數(shù)k1≠0和k2≠0，使得k1ξ+k2η是A的特征向量C、對(duì)任意的k1≠0和k2≠0，k1ξ+k2η都不是A的特征向量D、僅當(dāng)k1=k2=0時(shí)，k1ξ+k2η是A的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：ξ，η是A的分別屬于λ1，λ2的特征向量，則：Aξ=λ1ξ，Aη=λ2η，A(k1ξ+k2η)=k1Aξ+k2Aη=k1λ1ξ+k2λ2η，當(dāng)λ1≠λ2時(shí)，k1ξ+k2η就不是矩陣A的特征向量。25、下列矩陣中不能對(duì)角化的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：26、設(shè)A是n階矩陣，且Ak=0(k為正整數(shù))，則()。A、A一定是零矩陣B、A有不為0的特征值C、A的特征值全為0D、A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)λ是A的特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為α，則有Aα=λαAkα=λkα=0由α≠0，有λk=0，即λ=0，故A的特征值全為0。令，則A2=0。若A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=0，則必有A=0，與題意矛盾。27、已知二階實(shí)對(duì)稱矩陣A的一個(gè)特征向量為(2，一5)T，并且｜A｜＜0，則以下選項(xiàng)中為A的特征向量的是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)A的特征值為λ1，λ2，因?yàn)椋麬｜＜0，所以λ1λ2＜0，即A有兩個(gè)不同的特征值。又，且在D項(xiàng)中，k1與k2不同時(shí)為零。c項(xiàng)，k1與k2都可以等于0，如當(dāng)k1=0，k2≠0時(shí)，k2(5，2)T也是A的特征向量，所以排除。28、二次型Q(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32的標(biāo)準(zhǔn)形為()。A、y12一y22B、y12+y22+y32C、y12+y22一y32D、y12+y22標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：用配方法，有：Q(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32=(x1+x2)2+(x2+2x3)2｜X=PY=y12+y22。29、n元二次型XTAX是正定的充分必要條件是()。A、｜A｜＞0B、存在n維非零向量X，使得XTAX＞0C、f的正慣性指數(shù)p=nD、f的負(fù)慣性指數(shù)q=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜＞0是A正定的必要條件，不是充分條件，必須保證A的所有順序主子式全大于0，才能推出XTAX是正定的，排除A。二次型XTAX正定的充分必要條件是對(duì)任意的n維非零向量X，均有XTAX＞0，而并非僅僅是存在，排除B。在D中，f的負(fù)慣性指數(shù)等于0，可保證XTAX為非負(fù)定二次型，但不能確保是正定二次型。30、已知A為奇數(shù)階實(shí)矩陣，設(shè)階數(shù)為n，且對(duì)于任一n維列向量X，均有XTAX=0，則有()。A、｜A｜＞0B、｜A｜=0C、｜A｜＜0D、以上三種都有可能標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由于對(duì)任一n維列向量均有XTAX=0，兩邊轉(zhuǎn)置，有XTATX=0，從而XT(A+AT)X=0。顯然有(A+AT)T=A+AT，即A+AT為對(duì)稱矩陣。從而對(duì)任一n維列向量均有：XT(A+AT)X=0，且A+AT為實(shí)對(duì)稱矩陣，從而有A+AT=0。即AT=一A，從而A為實(shí)反對(duì)稱矩陣，且A為奇數(shù)階，故｜A｜=0。31、二次型f(x1，x2，x3)=的秩為()。A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令，則二次型矩陣。故二次型的秩為1。32、已知矩陣，那么與A既相似又合同的矩陣是()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣如果相似必然合同，因?yàn)閮蓚€(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似，則它們有相同的特征值，從而有相同的正、負(fù)慣性指數(shù)，因此它們必然合同。但合同不能推出相似，故本題只要找出與A相似的矩陣即可，也就是求A的特征值。注冊(cè)巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、單項(xiàng)選擇題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)1、設(shè)事件A與B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，則下列結(jié)論正確的是()。A、P(A｜B)=P(A)B、P(A｜B)=0C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(B｜A)＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槭录嗀與B互不相容，所以P(AB)=0，又因?yàn)镻(A)＞0，P(B)＞0，所以P(AB)=P(B)P(A｜B)，由P(AB)=0，P(B)＞0易得P(A｜B)=0。2、將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中，則杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的概率為()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：把3個(gè)球放到4個(gè)杯子，每個(gè)球都有4種方法，共43種放法。杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的放法為：從3個(gè)球中取2球放入其中的一個(gè)杯子，剩下的一個(gè)球放入到另外的一個(gè)杯子中，共有種放法。由古典型概率可得：杯中球的最大個(gè)數(shù)為2的概率。3、離散型隨機(jī)變量X的分布為P(X=k)=cλk(k=0，1，2，…)，則不成立的是()。A、c＞0B、0＜λ＜1C、c=1-λD、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A項(xiàng)，已知概率值P必須大于0，故cλk＞0，從而c＞0，λ＞0；B項(xiàng)，由概率分布函數(shù)的性質(zhì)可得：收斂，已知等比級(jí)數(shù)只有當(dāng)｜λ｜＜1時(shí)收斂，又λ＞0，故0＜λ＜1；C項(xiàng)，4、設(shè)X～P(λ)，且P{X=3}=P{X=4}，則λ為()。A、3B、2C、1D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閄～P(λ)，則P{X=3}=P{X=4}，即，也即λ=4。5、已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且EX=2．4，DX=1．44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，P的值為()。A、n=4；P=0．6B、n=6；P=0．4C、n=8；p=0．3D、n=24；p=0．1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：依題意得X～B(n，P)，于是EX=np，DX=np(1一P)，于是可得方程組：6、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，則P(0≤X≤3)等于()。A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)服從二維正態(tài)分布，其概率密度為f(x，y)=，則E(X2+Y2)等于()。A、2B、1C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：從密度函數(shù)可以看出X、Y是獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以X2+Y2是服從自由度為2的χ2分布，χ2分布的期望值為自由度，故E(X2+Y2)=2。8、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)，且f(一x)=f(x)，F(xiàn)(x)是X的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a有()。