2024年中考數(shù)學壓軸題型（安徽專用）專題05 解答題壓軸題二次函數(shù)（一）（含解析）

PAGE專題05解答題壓軸題（二次函數(shù)（一））通用的解題思路：一、二次函數(shù)的區(qū)間最值問題二次函數(shù)求取值范圍之動軸定區(qū)間或者定軸動區(qū)間的分類方法：分對稱軸在區(qū)間的左邊、右邊、中間三種情況。若自變量SKIPIF1<0的取值范圍為全體實數(shù)，如圖①，函數(shù)在頂點處SKIPIF1<0時，取到最值.若SKIPIF1<0，如圖②，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，如圖③，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖④，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.二、利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決線段最值問題（1）豎直（鉛錘）線段的最值問題=1\*GB3①求拋物線及支線AC的解析式；=2\*GB3②設點，表示出點P、Q的坐標；=3\*GB3③表示線段PQ的長度；=4\*GB3④利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值。（2）斜（垂）線段的最值問題=1\*GB3①過點P作x軸垂線；=2\*GB3②利用相似得到PHPQ=AOAC三、動點產(chǎn)生的面積問題（1）利用鉛錘法求三角形面積；（2）動三角形面積最大值：=1\*GB3①利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值（利用鉛錘法把動三角形的面積用含參數(shù)的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值，如圖1）；=2\*GB3②利用定底平行線法求最大值（平移直線值與拋物線只有一個交點時，動三角形的面積最大，如圖2）四、特殊圖形存在問題（1）等腰三角形=1\*GB3①利用幾何法或代數(shù)法表示出三角形三邊對應的函數(shù)式；=2\*GB3②根據(jù)條件分情況進行討論，排除不可能的情況；=3\*GB3③列出方程進行求解，保留可能的值。（2）直角三角形=1\*GB3①按三個角分別可能是直角的情況進行討論；=2\*GB3②計算出相應的邊長；=3\*GB3③根據(jù)邊長與己知點的坐標，計算出相應的點的坐標。（3）等腰直角三角形既要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，又要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)。需要分類討論哪個角是直角。（4）平行四邊形=1\*GB3①直接計算法根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等,按這條線段為邊或為對角線兩大類，分別計算(適用于已知兩點的連線就在坐標軸上或平行于坐標軸)=2\*GB3②構(gòu)造全等法過頂點作坐標軸的垂線，利用對邊所在的兩個三角形全等,把平行且相等的對邊轉(zhuǎn)化為水平或者垂直方向的兩條對應邊相等(適用于已知兩點的連線，不與坐標軸平行，容易畫出草圖)=3\*GB3③平移坐標法利用平移的意義，根據(jù)已知兩點間橫、縱坐標的距離關(guān)系，得待定兩點也有同樣的數(shù)量關(guān)系。(適用于直接寫出答案的題)（5）菱形由于菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，因此解決菱形存在性問題需要綜合運用平行四邊形和等腰三角形存在性問題的方法。（6）矩形由于矩形是含90度角的平行四邊形，因此解決矩形存在性問題需要綜合運用平行四邊形和直角三角形存在性問題的方法。（7）正方形由于正方形即是矩形又是菱形，因此解決正方形存在性問題需要靈活選用所有存在性問題的方法。1．（2021·安徽·中考真題）已知拋物線y=ax2?2x+1(a≠0)（1）求a的值；（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且?1<x1<0，1<x2<2．比較（3）設直線y=m(m>0)與拋物線y=ax2?2x+1交于點A、B，與拋物線SKIPIF1<0交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．【答案】（1）a=1；（2）y1>y2，見解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)對稱軸x=?b（2）根據(jù)二次函數(shù)的增減性分析即可得出結(jié)果（3）先根據(jù)求根公式計算出x=1±m(xù)，再表示出AB=|m+1?(?m+1)|【詳解】解：（1）由題意得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）∵拋物線對稱軸為直線x=1，且a=1>0∴當x<1時，y隨x的增大而減小，當x>1時，y隨x的增大而增大．∴當?1<x1<1時，y1隨∵x=?1時，y=4，x=0時，y=1∴1<同理：1<x2<2時，y2隨SKIPIF1<0時，y=0．

SKIPIF1<0時，y=1∴0<ySKIPIF1<0（3）令xxΔ=(?2=4m∴x=∴x1∴AB=|=2令3(x?1∴(x?1∴x1∴CD=∴∴AB與CD的比值為SKIPIF1<0【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)、二次函數(shù)的解析式、對稱軸、函數(shù)的交點、正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，利用交點的特點解題是重點2．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線l與x軸交于點A6,0，與y軸交于點B0,?6，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線

(1)求直線l的解析式；(2)求拋物線的解析式；(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作PC⊥x軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作SKIPIF1<0，垂足為M．求PM的最大值及此時P點的坐標．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)PM的最大值是928，此時的P【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意可設拋物線的解析式為y=a(x?1)（3）由題意易證△PDM為等腰直角三角形，即得出PM=22PD．設點P的坐標為t,14t2?12t?6，則D【詳解】（1）解：設直線l的解析式為y=mx+nm≠0把A，B兩點的坐標代入解析式，得6m+n=0n=?6解得：m=1n=?6∴直線l的解析式為SKIPIF1<0；（2）解：設拋物線的解析式為y=ax??∵拋物線的對稱軸為直線x=1，∴y=a(x?1)把A，B兩點坐標代入解析式，得25a+k=0a+k=?6解得：a=1∴拋物線的解析式為y=1（3）解：∵A6,0

B0,?6∴OA=OB=6．∵在△AOB中∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°．∵PC⊥x軸，SKIPIF1<0，∴∠PCA=∠PMD=90°．在SKIPIF1<0中，∠PCA=90°，∠OAB=45°，∴∠ADC=45∴∠PDM=∠ADC=45°．在Rt△PMD中，∠PMD=90°，∴sin45°=∴PM=2設點P的坐標為t,14t∴PD=t?6?1∵SKIPIF1<0，∴當t=3時，PD有最大值是94，此時PM∴PM當t=3時，14t∴P3,?∴PM的最大值是928，此時的P點坐標是【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識．掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．3．（2023·浙江湖州·中考真題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=x2?4x+c的圖象與y軸的交點坐標為0,5，圖象的頂點為M．矩形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B

(1)求c的值及頂點M的坐標，(2)如圖2，將矩形ABCD沿x軸正方向平移t個單位0<t<3得到對應的矩形A'B'C'D'．已知邊C'D'，A'B'分別與函數(shù)y=x2?4x+c的圖象交于點①當t=2時，求QG的長；②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得△PGQ的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)c=5，頂點M的坐標是2,1(2)①1；②存在，t=12【分析】（1）把0,5代入拋物線的解析式即可求出c，把拋物線轉(zhuǎn)化為頂點式即可求出頂點坐標；（2）①先判斷當t=2時，D'，A'的坐標分別是2,0，3,0，再求出x=3，SKIPIF1<0時點Q的縱坐標與點P的縱坐標，進而求解；②先求出QG=2，易得P，Q的坐標分別是t,t2?4t+5，t+1,t2?2t+2，然后分點G在點【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=x2?4x+c的圖象與y∴c=5，

∴y=x∴頂點M的坐標是2,1．（2）①∵A在x軸上，B的坐標為1,5，∴點A的坐標是1,0．當t=2時，D'，A'的坐標分別是2,0，當x=3時，y=3?22+1=2當SKIPIF1<0時，y=2?22+1=1，即點P的縱坐標是1．∵PG⊥A∴點G的縱坐標是1，

∴QG=2?1=1．

②存在．理由如下：∵△PGQ的面積為1，PG=1，∴QG=2．根據(jù)題意，得P，Q的坐標分別是t,t2?4t+5如圖1，當點G在點Q的上方時，QG=t此時t=12（在

如圖2，當點G在點Q的下方時，QG=t此時t=52（在0<t<3∴t=12或【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特點、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．1．（2024·安徽黃山·一模）已知拋物線y=ax2＋bx+c???(a≠0)與x軸交于A?1,0，B(4,0)兩點，經(jīng)過點D?2,?3(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若點M是x軸上位于點A與點B之間的一個動點（含點A與點B），過點M作x軸的垂線分別交拋物線和直線BC于點E、點F．求線段EF的最大值．【答案】(1)拋物線的函數(shù)解析式為y=?(2)線段EF的最大值為5【分析】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，以及兩點之間的距離公式．（1）利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式即可；（2）先求出BC的解析式，設Mm,0，?1≤m≤4則E（m,?12m2+32m+2),【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(?1??,???0)∴可設拋物線的函數(shù)解析式為y=a(x?4)(x+1)．

∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點D(?2，?3)解得a=?12∴拋物線的函數(shù)解析式為y=?（2）當x=0時，y=2，∴C（0,2）設直線BC的解析式為y=kx+2，把B(4,0)代入，得4k+2=0??,???解得：k=?1∴直線BC的解析式為y=?1設Mm,0，?1≤m≤4則E（m,?12m∴EF=?當0≤m≤4時，EF=?1∴當m=2時，EF有最大值2．當?1≤m<0時，F(xiàn)=1當m=?1時，EF有最大值52綜上所述，EF的最大值為2．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線L:y=ax2?4x+c(a>0)與直線y=ax?c都經(jīng)過點A(?1,m)，直線y=ax?c與拋物線(1)求m的值；(2)求證：a2(3)當a=1時，將拋物線L向左平移SKIPIF1<0個單位得到拋物線P，拋物線P與拋物線L的對稱軸交于點M，且點M在點B的下方．過點A作x軸的平行線交拋物線P于點N，且點N在點A的右側(cè)，求BM?AN的最大值，并求出此時n的值．【答案】(1)m=2(2)詳見解析(3)當n=12時，BM?AN【分析】（1）把A(?1,m)代入L:y=ax2?4x+c(a>0)與y=ax?c中，得m=a+4+c①，m=?a?c②（2）由a+c=m=?2得a2+2ac+c2=4，由a+c=?2，a>0（3）由a=1得拋物線L為y=（x?2）2?7，得M2,n2?7【詳解】（1）把A(?1,m)代入L:y=ax2?4x+c(a>0)m=a+4+c①，m=?a?c②，①+②得m=2．（2）∵a+c=?m=?2，∴a+c2∴a2∴a2∵a+c=?2，又a>0，∴c<0，∴SKIPIF1<0，∴?2ac>0，∴4?2ac>4，∴a2（3）如圖：

∵a=1，∴c=?3，∴將拋物線L為y=x2?4x?3=∵拋物線L向左平移，∴拋物線P為y=x?2+n∵拋物線L的對稱軸為直線SKIPIF1<0，∵拋物線P與拋物線L的對稱軸交于點M，∴M2,∵直線與拋物線L的對稱軸交于點B，∴B2，5∵點M在點B的下方，∴BM=5?n∵拋物線L的對稱軸為直線SKIPIF1<0，A(?1,2)，∴AD=6，∴AN=6?n，∴BM?AM=12?n∴當x=12時，BM?AM取得最大值【點睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，完全平方公式，不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，以及二次函數(shù)與幾何綜合，掌握二次函數(shù)最值的求法是解題關(guān)鍵．3．（2024·安徽馬鞍山·一模）在平面直角坐標系中，拋物線y=14x+3x?a與x軸交于A,B兩點，點B4,0．點C在y軸正半軸上，且OC=OB，D,E分別是線段AC，AB上的動點（點D不與點A,C(1)求此拋物線的表達式；(2)連接BD．①將△BCD沿x軸翻折得到△BFG，點C,D的對應點分別是點F和點G，當點G在拋物線上時，求點G的坐標；②連接CE，當CD=AE時，求BD+CE的最小值．【答案】(1)y=(2)①G?43【分析】（1）拋物線y=14x+3x?a與x軸交于（2）①如圖，連接DG交AB于點M，根據(jù)折疊的性質(zhì)，設OM=mm>0，用含m的式子表示點G?m,43m?3，根據(jù)點G?m,43m?3在拋物線上即可求解；②如下圖，過點C作SKIPIF1<0軸，可證△MCD≌△CAESAS，M、D、【詳解】（1）解：∵拋物線y=14x+3x?a與x軸交于∴y=144+3∴y=1∴拋物線的表達式為y=1（2）解：已知拋物線y=14x2?14∴令y=0，則14x2?14x?3=0，解得，SKIPIF1<0∴A(?3,0)，①如圖，連接DG交AB于點M，∵△BCD與△BFG關(guān)于x軸對稱，∴DG⊥AB，DM=GM，設OM=mm>0，則AM=OA?OM=3?m，且C(0,4)在Rt△OAB中，∴tan∠∴在Rt△AMD中，MG=MD=AM∴G?m,∵點G?m,43∴14?m+3?m?4=∴G?②如下圖，過點C作SKIPIF1<0軸，使得CM=AC，作BN⊥MC延長線于點N，∴∠MCA=∠CAE，又∵CD=AE，CM=AC，∴△MCD≌△CAESAS∴MD=CE，SKIPIF1<0、D、B三點共線時，CE+BD=MD+BD=BM取到最小值，∵AC=5，C0,4，B∴MC=5，SKIPIF1<0，在Rt△MNB中，BN=4，∴BM=5+4【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑的計算方法是解題的關(guān)鍵．4．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線y=a2x2?2a2x?3a2a≠0與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y(1)求A、B兩點的坐標;(2)若直線SKIPIF1<0與拋物線y=a2x2?2a2①若點E為拋物線的頂點，求a的值；②若點E在第四象限并且在拋物線的上方，記△ACE的面積為S1，記△ABE的面積為SKIPIF1<0，S=S2?S1，求S與x的函數(shù)表達式，并求出【答案】(1)A?1,0，(2)①?12；②S=?3a+56【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，數(shù)形結(jié)合，靈活運用分類討論的思想是正確解答此類題的關(guān)鍵．（1）令y=0，解方程a2（2）①先求得直線解析式為：y=ax+a，頂點坐標為1,?4a2，根據(jù)直線y=ax+a過點②根據(jù)題意畫出示意圖，利用三角形面積公式列式得到S1=a+3a2，【詳解】（1）解：令y=0，則有：a2即x2x1=3，∴A?1,0，B（2）解：∵直線SKIPIF1<0經(jīng)過A?1,0，∴?a+b=0，∴a=b，∴直線解析式為：y=ax+a，拋物線y=a2x∴其頂點坐標為1,?4a①當E為頂點時：即y=ax+a過1,?4a∴2a=?4aa1=?1∴a=?1②根據(jù)題意可畫出示意圖，設直線y=ax+a交y軸于F，交拋物線對稱軸于E點，且點E在第四象限并且在拋物線的上方，則F0,a，E1,2a，又∵C0,?3∴CF=y∴SS2∴S==?3=?3a+∵?3<0，∴當a=?56，S的最大值為5．（2024·安徽合肥·一模）已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，與y軸的負半軸交于點C，且OB=OC，連接BC．(1)求拋物線的解析式．(2)P是拋物線上位于BC下方的一動點，且點P的橫坐標為t．①求△AOP的最大面積．②是否存在一點P，使S四邊形ACPB=3【答案】(1)y=(2)①2；②存在，1或2【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）①根據(jù)三角形面積公式和二次函數(shù)最值進行求解即可；②過點P作PQ⊥x軸，根據(jù)S四邊形ACPB=S△OAC+本題主要考查二次函數(shù)的綜合運用，掌握待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵點SKIPIF1<0，OB=OC，且點C在y軸負半軸，∴點C(0,?3)．設拋物線的解析式為y=ax將點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入y=ax2+bx?3，得a?b?3=0,9a+3b?3=0,解得∴拋物線的解析式為y=x（2）①∵點P的橫坐標為t，∴點P的縱坐標為t2∴S當t=1時，S△MOP②存在．如圖，過點P作PQ⊥x軸，則PQ=?t2+2t+3，OQ=tSSKIPIF1<0===?3∵S四邊形ACPB=∴?32t2?3t?4∴t的值為1或2．6．（2024·安徽合肥·一模）已知二次函數(shù)y=x2?2ax+a2(1)求二次函數(shù)的頂點坐標（用含a的式子表示）；(2)若拋物線與x軸交于Ax1，0，、Bx①求拋物線的解析式；②若拋物線頂點為C，其對稱軸與x軸交于點D，直線SKIPIF1<0與x軸交于點E．點M為拋物線對稱軸上一動點，過點M作MN⊥CE，垂足N在線段CE上．試問是否存在點M，使S△MNE=1750S△CDE？若存在，求出點【答案】(1)a,a?6(2)①y=x2+8x+6；②存在，【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等：（1）把拋物線解析式化為頂點式即可得到答案；（2）①根據(jù)題意可得x1?x2=a2+a?6，進而得到a2+a?6=6，解方程即可得到答案；②先求出C?4，?10，D?4，0，E6，0，則CD=10，DE=10，可得S△CDE=12CD?DE=50，則S△MNE=17；證明【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)解析式為y=x∴二次函數(shù)頂點坐標為a,a?6；（2）解：①∵拋物線與x軸交于Ax1，0∴x1∵x1∴a2解得a=?4或a=3（舍去），∴拋物線解析式為y=x②由（2）①可得C?4，?10，則D∵直線SKIPIF1<0與x軸交于點E，∴E6，0∴CD=10，DE=10，∴S△CDE∵S△MNE∴S△MNE∵CD=DE=10，∠CDE=90°，∴∠DCE=45°，∵MN⊥CE，∴△CMN是等腰直角三角形，∴CM=2設M?4，m如圖所示，當點M在x軸下方時，∴DM=?m，CM=m+10，∴MN=CN=2∵S△MNE∴12∴10m+10∴m+102∴m2解得m=?42∴M?4，?4

同理當點M在x軸上方時，可求得M?4，4綜上所述，M?4，42或

7．（2024·安徽六安·一模）如圖，二次函數(shù)y=x2?4x+3與一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象交于A，B兩點，點A在y軸上，點B在x軸上，一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的對稱軸交于點P．(1)求點P的坐標；(2)當a?2≤x≤2時，二次函數(shù)y=x2?4x+3(3)點C是該二次函數(shù)圖象上A，B兩點之間的一動點，點C的坐標為（t,n），SKIPIF1<0，求當n取何值時，m的值最小，最小值是多少？【答案】(1)2,1(2)a=0(3)n=12【分析】（1）根據(jù)已知條件得到直線x=??42×1=2，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到二次函數(shù)y=x（3）根據(jù)Ct,n在拋物線上，求得n=t2?4t+3,【詳解】（1）∵二次函數(shù)y=x2?4x+3把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得y=?2+3=1，∴點P的坐標為(2,1)，故答案為：(2,1)；（2）∵二次函數(shù)的對稱軸為SKIPIF1<0，在對稱軸左側(cè)二次函數(shù)y的值隨x的增大而減小∴二次函數(shù)y=x2?4x+3的最大值是15，即a?2解得a1∵a?2≤x≤2，∴a≤4，∴a=0；（3）∵Ct,n∴n=t2?4t+3,∴m=P=t2?4t+3+1+n2?2n+1=n+1+n2?2n+1=n2?n+2=∵1>0，當n=12時，m的值最小，最小值是【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·安徽合肥·一模）如圖，直線y=x?3與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點，拋物線與x(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)直接寫出當x?3>x2+bx+c(3)點P是位于直線BC下方拋物線上的一個動點，過點P作PE⊥BC于點E，連接OE．求△BOE面積的最大值及此時點P的坐標．【答案】(1)y=(2)0<x<3(3)7516；【分析】（1）令直線解析式y(tǒng)=0，即可求得點B的坐標，令x=0，即可求得點C的坐標，利用待定系數(shù)法直接代入求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可解答；（3）過點P作PH⊥x軸于點H，交直線BC于點G，過點E作EF⊥PH于點F，設點Pa,a2?2a?3，則點Ga,a?3，PG=a?3?【詳解】（1）解：y=0時，x?3=0，x=3，∴B3,0x=0時，y=?3，∴C0,?3，將B3,0，C0,?3代入9+3b+c=0c=?3解得b=?2∴y=x（2）解：∵B3,0，C∴x?3>x由函數(shù)圖象可得：0<x<3；（3）解：如圖，過點P作PH⊥x軸于點H，交直線BC于點G，過點E作EF⊥PH于點F，設點Pa,則點Ga,a?3，PG=a?3?∵OC=OB=3，∴∠OCB=180°?∠BOC∵PE⊥BC，PH∥y軸，∴△EGP是等腰直角三角形，PF=GD∴FH=PH?PF=?aSKIPIF1<0S△BOE=BO?HF∵P在直線BC下方，∴0<a<3，∵?12<0∴當a=12時，此時點P坐標為12【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，圖像法解不等式，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．9．（2024·安徽安慶·一模）如圖，拋物線SKIPIF1<0與x軸交于點A1,0、B3,0兩點，與y軸交于點C．(1)求此拋物線對應的函數(shù)表達式；(2)點E為直線BC上的任意一點，過點E作x軸的垂線與此拋物線交于點F．①若點E在第一象限，連接CF、BF，求△CFB面積的最大值；②此拋物線對稱軸與直線BC交于點D，連接DF，若△DEF為直角三角形，請直接寫出E點坐標．【答案】(1)y=(2)①278；②E1,2或4,?1或E【分析】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解是解題的關(guān)鍵．（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）①先求出BC的解析式，設Em,?m+3②分點D為直角頂點，點F為直角頂點，兩種情況進行討論求解即可．【詳解】（1）解：把點A1,0、B&a+b+3=0&9a+3b+3=0，解得：&a=1∴y=x（2）①∵y=x∴當x=0時，SKIPIF1<0，∴C0,3設BC的解析式為y=kx+3，把B3,0代入，得：k=?1∴SKIPIF1<0，設點Em,?m+3，則：F∴EF=?m+3?m∴S△∴當m=32時，△CFB面積的最大值為②∵y=x∴對稱軸為直線SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，y=?2+3=1，∴D設點Em,?m+3，則：F∴EF當點D為直角頂點時，則：EF∴?m解得：m=2（舍去），m=4或m=1；∴E1,2或當點F為直角頂點時：DE∴2m?2解得：m=3（舍），m=0（舍），m=2+2或m=2?∴E2?2,1+綜上：E1,2或4,?1或E2?210．（2024·安徽·一模）在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx?3與x軸分別交于點A?1,0，B3,0(1)求拋物線的表達式；(2)如圖，點D、F分別是拋物線上第四象限、第二象限上的點，其中點F的橫坐標為t，連接SKIPIF1<0交y軸于點E，連接DC、DE，設△CDE的面積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求點D的坐標．【答案】(1)y=(2)點D坐標為3【分析】本題考查拋物線與x軸的交點，拋物線與三角形面積綜合，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．（1）將A、B兩點坐標代入解析式即可得到拋物線解析式；（2）根據(jù)點F是拋物線上第二象限上的點，其橫坐標為t，點F坐標為SKIPIF1<0，然后用待定系數(shù)法求直線SKIPIF1<0的解析式，從而求出點E坐標，再根據(jù)三角形的面積公式以及SKIPIF1<0，求出點D的橫坐標，然后再代入二次函數(shù)解析式，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將A、B點的坐標代入拋物線y=ax得0=a?b?30=9a+3b?3解得a=1b=?2∴拋物線的解析式為y=x（2）∵點F是拋物線上第二象限上的點，其橫坐標為t(t<0)，∴點F坐標為SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的解析式為y=kx+m，把B，F(xiàn)坐標代入y=kx+m得：3k+m=0tk+m=解得k=t+1m=?3(t+1)∴直線SKIPIF1<0與y軸的交點E的坐標為(0,?3t?3)∵C(0,?3)，∴EC=?3t?3+3=?3t，∴△CDE的面積為s=1∵4s+9t=0，?9t=4×1解得xD把x=32代入y=x∴點D坐標為3211．（2024·安徽·一模）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)SKIPIF1<0的圖象經(jīng)過點A(2,4)，與x軸交于點B6,0，一次函數(shù)y=kx+n(k≠0)的圖象經(jīng)過A，B兩點.(1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)表達式；(2)若點P是二次函數(shù)圖象的對稱軸上的點，且PA=PB，如圖2，求點P的坐標；(3)點M是二次函數(shù)的圖像位于第一象限部分上的一動點，過點M作x軸的垂線交直線AB于點N，若點M的橫坐標為m.試探免：是否存在常數(shù)m，使得MN的長為4？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)y=?12(2)P(3)4?2【分析】（1）把點A、B的坐標代入拋物線和直線表達式，即可求解；（2）先求出二次函數(shù)的對稱軸，設P3,t（3）先得點M坐標為(m,?12m2+3m)，0<m<6【詳解】（1）把點A(2,4)，B(6,0)代入拋物線SKIPIF1<0得：4a+2b=436a+6b=0，解得：a=?故二次函數(shù)的表達式為：SKIPIF1<0，把A(2,4)，B(6,0)代入一次函數(shù)表達式y(tǒng)=kx+n(k≠0)得：2k+n=46k+n=0，解得：k=?1故一次函數(shù)的表達式為：y=?x+6；（2）二次函數(shù)的SKIPIF1<0的對稱軸為直線x=?32×?12由點P是二次函數(shù)圖象的對稱軸上的點，可設P3,t∵PA=PB，SKIPIF1<0，∴3?2解得：t=1，∴P3,1（3）∵第一象限點M的模坐標為m.∴點M坐標為(m,?12∴點N坐標為(m,?m+6)，∵MN的長為4，∴∴?12SKIPIF1<0m3=4?23，m4=4+2∴m的值為4?23【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，兩點間距離公式是解題的關(guān)鍵．12．（2024·安徽合肥·一模）如圖．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=?x2+2x+c與x軸交于A，B兩點，它的對稱軸交拋物線于點M，交x軸于點N，過點M作MD⊥y軸于點D，連接BD交對稱軸于點E．已知點A(1)求此拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)求△DME與△BNE的面積之比；(3)動點P，Q在此拋物線上，其橫坐標分別為m，m+1．其中?1<m<1．設此拋物線在點A和點P之間的部分（包含點A和點P）的最高點與最低點的縱坐標之差為?1﹐在點A和點Q之間的部分（包含點A和點Q）的最高點與最低點的縱坐標之差為?2，當?2【答案】(1)函數(shù)的解析式為：y=?x2+2x+3(2)1:4；(3)m=1?2【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求解析式、兩點之間的距離和分類討論思想，（1）根據(jù)題意采取待定系數(shù)法即可求得解析式；（2）根據(jù)題意求得點B和點D的坐標即可得到直線BD得解析式，再結(jié)合兩點之間的距離即可求得面積之比；（3）采取分類討論：當?1<m<0時，0<m+1<1，可得?1=?m2+2m+3，?2=?m2+4；當0≤m<1時，1≤m+1<2，得【詳解】（1）解：∵拋物線y=?x2+2x+c與x軸交于∴??12+2×則函數(shù)的解析式為：y=?x即函數(shù)的解析式為：y=?x2+2x+3（2）令y=0，得?x2+2x+3=0，解得x1=?1由（1）得點M1,4，則點D設直線BD得解析式為SKIPIF1<0，3k+b=0b=4，解得k=?則直線BD得解析式為y=?4∵點E為對稱軸和直線BD，∴E1,則S△DME（3）①當?1<m<0時，0<m+1<1，∵點P，Q在此拋物線上，且其橫坐標分別為m，m+1∴?1=?m∵?2∴?m2+4?②當0≤m<1時，1≤m+1<2，同理得?1=?m2+2m+3，SKIPIF1<0則4??m2+2m+3=12，解得m=1?故m=1?213．（2024·安徽·一模）已知拋物線SKIPIF1<0為常數(shù)，且SKIPIF1<0與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y=12x+b與拋物線的另一交點為點D，與y軸的交點為點E．(1)如圖1，若點D的橫坐標為3，試求拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖2，若DE=BE，試確定a的值；(3)如圖3，在（1）的情形下，連接AC，BC，點P為拋物線在第一象限內(nèi)的點，連接BP交AC于點Q，當S△APQ?S【答案】(1)y=?(2)a=?(3)1,【分析】（1）令y=0，則SKIPIF1<0，求出A(4,0)，B(?2,0)，將B(?2,0)代入一次函數(shù)求出b=1，從而得出點D的坐標，再將D的坐標代入二次函數(shù)即可得解；（2）由（1）得：B(?2,0)，y=12x+1，設點D的坐標為SKIPIF1<0，由DE=BE得出點D的橫坐標為2，代入一次函數(shù)解析式得出點D的坐標，再將D的坐標代入二次函數(shù)即可得解；（3）由（1）知：y=?12x2+x+4，A(4,0)，B(?2,0)，得出AB=6，求出點C【詳解】（1）解：在y=a(x+2)(x?4)中，令y=0，則SKIPIF1<0，解得：x1=?2，∴A(4,0)，B(?2,0)，將B(?2,0)代入y=12x+b得：SKIPIF1<0，解得：b=1，∴y=1∵點D的橫坐標為3，∴當x=3時，SKIPIF1<0，∴D3,將D3,52代入拋物線解析式得：SKIPIF1<0，解得：a=?1∴y=?1（2）解：由（1）得：B(?2,0)，y=1設點D的坐標為SKIPIF1<0，∵BE=DE，SKIPIF1<0為BD的中點，∵E在y軸上，∴SKIPIF1<0，∴m=2，在y=12x+1中，當SKIPIF1<0時，y=12∴D(2,2)，將SKIPIF1<0代入拋物線解析式得：SKIPIF1<0，解得：a=?1（3）解：由（1）知：y=?12x2+x+4∴AB=4?(?2)=6，在y=?12x2+x+4∴C(0,4)，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，∴=(====?=?=?=?3∵SKIPIF1<0，∴當p=1時，S△APQ?S【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點問題、二次函數(shù)綜合—面積問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)．熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．14．（2024·安徽池州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=?14x2+bx+c與x

(1)求該拋物線的解析式；(2)點D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點，過點D作x軸的垂線交BC于點E，交x軸于點F．①求DE+BF的最大值；②若G是AC的中點，以點C，D，E為頂點的三角形與△AOG相似，求點D的坐標．【答案】(1)y=?(2)①9；②4,6或3,【分析】（1）運用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）①設點D的坐標為m,?14m2+32②根據(jù)點的坐標得到∠ACB=90°，根據(jù)勾股定理求出AG長，由①知DE=?14m2+2m，Em,?12m+4【詳解】（1）將A?2,0，B8,0代入拋物線得?1解得b=3∴該拋物線的解析式為y=?1（2）①由拋物線的解析式為y=?14x設直線BC的解析式為y=kx+t，將B8,0，C得8k+t=0,t=4,解得∴直線BC的解析式為y=?1設第一象限內(nèi)的點D的坐標為m,?14m∴DE=?14∴DE+BF=?∵?1∴當m=2時，DE+BF有最大值，為9．②∵A?2,0，B8,0，∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10，∴AC2=OA2∴ACSKIPIF1<0，∴∠CAB+∠CBA=90°．∵DF⊥x軸于點F，∴∠FEB+∠CBA=90°，∴∠CAB=∠FEB=∠DEC．以點C，D，E為頂點的三角形與△AOG相似，只需OADE=AGSKIPIF1<0是AC的中點，A?2,0，C0,4，∴G?1,2，OA=2，AG=由①知DE=?14m∴CE=m當OADE=AG解得m=4或m=0（舍去），∴D4,6當OACE=AG解得m=3或m=0（舍去），∴D3,綜上所述，以點C，D，E為頂點的三角形與△AOG相似，點D的坐標為4,6或3,25【點睛】此題考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的最值問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．15．（2024·安徽·一模）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于A(?4,0)，B(2,0)兩點，與y(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)已知直線y=?2x與AC交于點D，在第二象限與拋物線交于點P，求PDOD(3)平移拋物線y=ax2+bx+4，如圖2，使新拋物線的頂點E是直線AC在第一象限部分上的一動點，過E作EF⊥x軸于點F，過原拋物線的頂點M作MN⊥x軸交新拋物線于點N，若MN=EF【答案】(1)SKIPIF1<0(2)PD(3)點E的坐標為SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AC于點G，則PQ∥y軸，可得△PDG∽△ODC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，由直線y=?2x與在第二象限與拋物線交于點P得SKIPIF1<0，G(?2,2)，可得PG=2，即可求解；（3）設點E的坐標為(n，n+4)(n>0)，則SKIPIF1<0，平移后的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，求出點M?1,92，可得點N的坐標為?1,?12n2+72，MN=92??12n2+【詳解】（1）解：將A(?4,0)，B(2,0)代入函數(shù)解析式得，16a?4b+4=04a+2b+4=0解得a=?1∴此二次函數(shù)的解析式為SKIPIF1<0；（2）解：∵二次函數(shù)SKIPIF1<0與y軸交于點C，∴C(0,4)，SKIPIF1<0，∴直線AC的解析式為y=x+4，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AC于點G，∴PQ∥y軸，∴△PDG∽△ODC，∴SKIPIF1<0，∵直線y=?2x與在第二象限與拋物線交于點P，SKIPIF1<0，解得x1=?2，x2∴P(?2,4)，SKIPIF1<0，∴PG=2，∴SKIPIF1<0；（3）解：設點E的坐標為(n，n+4)(n>0)，則SKIPIF1<0，∴平移后的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，∵y=?1∴點SKIPIF1<0，把x=?1代入SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，∴點N的坐標為?1,?1∴MN=9∵MN=EF，∴SKIPIF1<0，解得n1=1?7<0（舍去），SKIPIF1<0，∴點E的坐標為1+7【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線的平移，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法以及二次函數(shù)的性質(zhì)．16．（2024·安徽合肥·一模）如圖1，點A的坐標為（4，0），拋物線M1:y=ax2+bxa≠0過點A，點(1)求拋物線M1(2)點C為直線AB下方的拋物線上一動點，過點C作CD∥x交直線AB于點D，設點C的橫坐標為h，當CD取最大值時，求h的值；(3)如圖2，點E0，?4，連接AE，將拋物線M1的圖象向上平移m（m>1）個單位得到拋物線M2，當32≤x≤52【答案】(1)y=2(2)?=(3)6≤m<【分析】（1）設AB交y軸于點M，由tan∠OAB＝2，先求出點M的坐標，再求AM的解析式，把點B的解析式代入求出點B的坐標，最后把點A、B（2）由點C(?,2?2?8?)，CD∥x軸，得點D的縱坐標為2?2?8?，把點D縱坐標代入直線AB解析式求出點D的橫坐標，用參數(shù)SKIPIF1<0表示出（3）設平移后的拋物線解析式為y=2x2?8x+m，求出直線AE上橫坐標為32和52的兩點P和點Q的坐標，當平移后的拋物線過點Q時有兩個公共點，求出m的最小值，當平移后的拋物線與直線AB【詳解】（1）解：設AB交y軸于點M，∵點A坐標為(4,0)，∴OA=4∵tan∴OMOA∴OM=2OA=8∴點M的坐標為(0,?8)設AB的解析式為SKIPIF1<0，∴4k+b=0解得k=2∴AB的解析式為y=2x?8，∵點B的縱坐標為?6，∴把y=?6代入y=2x?8得x=1∴點B的坐標為(1,?6)∵M1:y=ax2∴a+b=?6解之得a=2∴拋物線M1的表達式為y=2（2）∵點C在拋物線y=2x2?8x上，點∴C(?,2∵CD∥x軸，∴點D的縱坐標為2把y=2?2得x=∴點D(∴CD=??(=?=?∵點C為直線AB下方的拋物線上一動點∴1≤?≤4∴當?=52時，CD的最大值為（3）設AE的解析式為y=∵直線AE過點A、E∴b解之得k∴直線AE的解析式為y=x?4當x=32時，y=?52，直線當x=52時，y=?32，直線設拋物線M1的圖象向上平移m（m>1）個單位得到拋物線M2當拋物線M2經(jīng)過點P32,?52時，拋物線M2當拋物線M2經(jīng)過點Q52,?32時，有拋物線M2當拋物線M2與直線AEy=222Δ=(?9解之得m=∴當32≤x≤52時，若拋物線M2與直線AE【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、一次函數(shù)圖象和性質(zhì)、解直角三角形、銳角三角函數(shù)等知識，數(shù)形結(jié)合，通過構(gòu)建方程組，利用根的判別式解決問題．17．（2024·安徽滁州·一模）已知拋物線y=?x2+2n+1x+3n+1交x軸于點A?1，0和點(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，已知點P是位于BC上方的拋物線上的一點，作PM⊥BC，垂足為M，求線段PM長度的最大值；(3)如圖2，已知點Q是第四象限拋物線上一點，∠ACQ=45°，求點Q的坐標．【答案】(1)y=?x(2)PM的最大值為22(3)點Q的坐標為143【分析】（1）將點A?1，0代入y=?x2（2）求得點B和C的坐標，推出∠OAB=∠OBC=45°，作PF⊥x軸于點F，交BC于點E，得到△PEM是等腰直角三角形，PM=22PE，設Pm，?m（3）作BG⊥CQ軸于點G，作GH⊥x軸于點SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，證明∠ACO=∠GCB，利用正切函數(shù)的定義求得BG=2，證明△HBG是等腰直角三角形，求得G3，?1，再求得直線SKIPIF1<0的解析式，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=?x2+2n+1x+3n+1∴?1?2n+1解得n=1，∴拋物線的函數(shù)解析式為y=?x（2）解：當x=0時，y=4；當y=0時，?x解得x=4或x=?1；∴B4，0，C∴OA=OB=4，∴∠OCB=∠OBC=45°，作PF⊥x軸于點F，交BC于點E，∴∠PEM=∠BEF=90°?∠OBC=45°，∴△PEM是等腰直角三角形，∴PM=2設直線BC的解析式為y=kx+4，把B4，0代入得SKIPIF1<0，解得k=?1，∴直線BC的解析式為y=?x+4，設Pm，?m2∴PM=2∵?2∴PM有最大值，最大值為22（3）解：作BG⊥CQ軸于點G，作GH⊥x軸于點SKIPIF1<0，∵A?1，0，B4，0，∴OA=1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵∠ACQ=45°，∠OCB=45°，∴∠ACO=∠GCB，∴tan∠ACO=tan∴14∴BG=2∵∠OBC=45°，∴∠HBG=45°，∴△HBG是等腰直角三角形，∴BH=GH=1，∴OH=4?1=3，∴G3，?1同理直線SKIPIF1<0的解析式為y=?53x+4，聯(lián)立得?5解得x=0或x=14當x=143時，∴點Q的坐標為143【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理等知識，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2024·山西晉城·一模）綜合與探究如圖，拋物線y=?13x2?43x+4與x軸交于A，B兩點（點B在點A的左側(cè)），與(1)求A，B，C三點的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)表達式．(2)連接PB，PC，求△PBC面積的最大值及此時點P(3)在（2）的條件下，若F是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在點Q，使以B，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A2，0，B?6，0，C0，4，SKIPIF1<0(2)△PBC的面積最大值為9，此時點P的坐標為(3)1，73或?5，【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式分別求出自變量和函數(shù)值為0時自變量或函數(shù)值即可求出A、B、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式即可；（2）過點P作PD∥y軸交BC于D，設Pm，?13m2?43m+4，則Dm，23m+4，則（3）設F?2，n，Qs，t，再分當BP為對角線時，當SKIPIF1<0為對角線時，當BQ為對角線時，由平行四邊形對角線中點坐標相同建立方程求解即可?！驹斀狻浚?）解：在y=?13x2?∴C0，4在y=?13x2?43x+4中，當y=?1∴A2，0設直線BC的解析式為SKIPIF1<0，∴?6k+b=0b=4∴k=2∴直線BC的解析式為SKIPIF1<0；（2）解：如圖所示