廣東省中山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題含解析

PAGEPAGE18廣東省中山市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）一、選擇題（共8小題）.1．已知0＜x＜1，0＜y＜1，記M＝xy，N＝x+y﹣1，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M與N的大小關(guān)系不確定2．在△ABC中，角A，B，C的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，若a＝2，A＝45°，B＝60°，則b＝（）A． B． C．1 D．23．在等差數(shù)列{an}中，若a4+a5+a6＝15，則a2+a8＝（）A．6 B．10 C．7 4．音樂與數(shù)學(xué)有著親密的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)聞名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健搬纭?；“徵”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“商”；……．依次損益交替改變，獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個(gè)音階．據(jù)此可推得（）A．“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列 B．“宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列 C．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列 D．“徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列5．已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，且經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．6．測(cè)量河對(duì)岸某一高層建筑物AB的高度時(shí)，可以選擇與建筑物的最低點(diǎn)B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C和D，如圖，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為60°，則建筑物ABA．30m B．15m C．5m D．15m7．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中點(diǎn)，則AD與平面AA1A． B． C． D．8．已知平面對(duì)量滿意：，，，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題（共4小題）.9．已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．10．下列式子，可以是x2＜1的一個(gè)充分不必要條件的有（）A．x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x11．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論正確的是（）A．d＜0 B．S6與S7是Sn的最大值 C．S9＞S5 D．a(chǎn)7＝012．下列函數(shù)中，最小值為的有（）A． B． C．y＝ex+2e﹣x D．y＝log2x+2logx2三、填空題（共4小題）.13．命題?x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定為．14．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是．15．已知關(guān)于x的不等式（mx﹣m2﹣6）（x+4）＜0（其中m∈R）的解集為A，若滿意A∩Z＝B（其中Z為整數(shù)集），則使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少時(shí)m取值范圍是．16．把半橢圓：和圓弧：（x﹣1）2+y2＝a2（x＜0）合成的曲線稱為“曲圓”，其中點(diǎn)F（1，0）是半橢圓的右焦點(diǎn)，A1，A2分別是“曲圓”與x軸的左、右交點(diǎn)，B1，B2分別是“曲圓”與y軸的上、下交點(diǎn)，已知∠B1FB2＝120°，過點(diǎn)F的直線與“曲圓”交于P，Q兩點(diǎn)，則半橢圓方程為（x≥0），△A1PQ的周長(zhǎng)的取值范圍是．四、解答題（共6小題）.17．已知函數(shù)f（x）＝mx2﹣mx﹣12．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，解不等式f（x）＞0；（2）若不等式f（x）＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．已知點(diǎn)P（2，m）是拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|＝4，直線l：y＝k（x﹣2）與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求拋物線C的方程；（2）若|AB|＝16，求k的值．19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿意．{bn}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Tn，如圖___，Tn的圖象經(jīng)過A，B兩個(gè)點(diǎn)．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Rn.從圖①，圖②，圖③中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，補(bǔ)充在上面問題中并作答．20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差數(shù)列，求cosB的值；（2）是否存在△ABC滿意B為直角？若存在，求sinA的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．21．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2．（1）若PB＝3BE，求證：AE∥平面PCD；（2）若PC＝4，求二面角A﹣PC﹣B的正弦值．22．已知數(shù)列{an}滿意：anan﹣1+2an﹣an﹣1＝0，（n≥2，n∈N），a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn的數(shù)列{bn}滿意：b1＝1，bn＝（n≥2，n∈N），又cn＝（n≥2，n∈N）．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明：（n≥2，n∈N）．

參考答案一、選擇題（共8小題）.1．已知0＜x＜1，0＜y＜1，記M＝xy，N＝x+y﹣1，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．M與N的大小關(guān)系不確定解：M﹣N＝xy﹣x﹣y+1＝x（y﹣1）﹣（y﹣1）＝（x﹣1）（y﹣1），∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴x﹣1＜0，y﹣1＜0，∴M﹣N＞0，∴M＞N．故選：B．2．在△ABC中，角A，B，C的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，若a＝2，A＝45°，B＝60°，則b＝（）A． B． C．1 D．2解：由正弦定理知：，從而b＝＝＝2．故選：D．3．在等差數(shù)列{an}中，若a4+a5+a6＝15，則a2+a8＝（）A．6 B．10 C．7 解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4+a6＝a2+a8＝2a所以a4+a5+a6＝15，即3a5＝15，a5故a2+a8＝2a5＝2×故選：B．4．音樂與數(shù)學(xué)有著親密的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)聞名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼?，得到“徵”；“徵”?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健吧獭?；……．依次損益交替改變，獲得了“宮、徵、商、羽、角”五個(gè)音階．據(jù)此可推得（）A．“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列 B．“宮、徵、商”的頻率成等比數(shù)列 C．“商、羽、角”的頻率成等比數(shù)列 D．“徵、商、羽”的頻率成等比數(shù)列解：設(shè)“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過一次“損”，可得“羽”頻率為a，最終“羽”經(jīng)過一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，故選：A．5．已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，且經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．解：依據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，則可以設(shè)其方程方程為x2﹣＝m，又由其過點(diǎn)，則有4﹣＝m，解可得m＝﹣1，則其方程為：x2﹣＝﹣1，其標(biāo)準(zhǔn)方程為：﹣x2＝1，故選：B．6．測(cè)量河對(duì)岸某一高層建筑物AB的高度時(shí)，可以選擇與建筑物的最低點(diǎn)B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C和D，如圖，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為60°，則建筑物ABA．30m B．15m C．5m D．15m解：由題意，在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，∴∠CBD＝135°，又CD＝30m由正弦定理得＝，∴BC＝＝15；在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝BCtan60°＝15×＝15；則建筑物高AB為15m．故選：B．7．如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中點(diǎn)，則AD與平面AA1A． B． C． D．解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面ABC中，過C作CB的垂線為x軸，CB為y軸，CC1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B＝1，AA1＝2，則有，故，設(shè)平面AA1C1C則有，取x＝1，則，設(shè)直線AD與平面AA1C1C則．故選：B．8．已知平面對(duì)量滿意：，，，則的最小值為（）A． B． C． D．解：?，所以可建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，使＝﹣＝（﹣1，0），＝＝（1，0），＝＝（0，1），＝＝（x，y），?由橢圓定義知，P點(diǎn)軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，2a＝4?a＝2，c＝1，b＝，所以＝|BP|+|PF2|＝|BP|+4﹣|PF1|＝4﹣（|PF1|﹣|BP|）≥4﹣|BF1|＝4﹣，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P′時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4﹣．故選：A．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9．已知向量，則下列結(jié)論不正確的是（）A． B． C． D．解：∵向量，∴＝（10，﹣5，﹣2），故A正確；＝（﹣2，1，﹣6），故B錯(cuò)誤；＝24+6﹣8＝22，故C錯(cuò)誤；||＝＝6，故D正確．故選：BC．10．下列式子，可以是x2＜1的一個(gè)充分不必要條件的有（）A．x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x解：對(duì)于A，x＜1時(shí)，x2有可能大于1，比如﹣3＜1，（﹣3）2＞1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，0＜x＜1?x2＜1，故B正確；對(duì)于C，﹣1＜x＜1?x2＜1，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，﹣1＜x＜0?x2＜1，故D正確；故選：BD．11．設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論正確的是（）A．d＜0 B．S6與S7是Sn的最大值 C．S9＞S5 D．a(chǎn)7＝0解：設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2+…+a5+a6，即a6＞0，又∵S6＝S7，∴a1+a2+…+a6＝a1+a2+…+a6+a7，∴a7＝0，故D正確；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d＝a7﹣a6＜0，故A正確；而C選項(xiàng)S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由結(jié)論a7＝0，a8＜0，明顯C是錯(cuò)誤的．∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6與S7均為Sn的最大值，故B正確；故選：ABD．12．下列函數(shù)中，最小值為的有（）A． B． C．y＝ex+2e﹣x D．y＝log2x+2logx2【解答】解；對(duì)于A：y＝x+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，即x＝取等號(hào)，此時(shí)取得最小值2，故A成立；對(duì)于B：由0＜x＜π可得0＜sinx≤1，令t＝sinx∈（0，1]，y＝t+在（0，1]上單調(diào)遞減，當(dāng)t＝1時(shí)取得最小值3，故B不成立；對(duì)于C：令t＝ex，則t＞0，則y＝t+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)，即t＝取等號(hào)，此時(shí)取得最小值2，C成立；對(duì)于D，由于log2x∈R，所以設(shè)log2x＝t，當(dāng)t＞0時(shí)，y＝log2x+2logx2＝log2x+＝t+≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)，即t＝取等號(hào)，此時(shí)取得最小值2；當(dāng)t＜0時(shí)，y＝log2x+2logx2＝﹣[﹣t+（﹣）]≤﹣2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)，即t＝﹣取等號(hào)，此時(shí)取得最大值﹣2．綜上述y≤﹣2或y≥2，故D不成立．故選：AC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上.13．命題?x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定為?x∈R，x2﹣2x+4＞0．解：依據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，∴命題?x∈R，x2﹣2x+4≤4的否定是：?x∈R，x2﹣2x+4＞0．故答案是?x∈R，x2﹣2x+4＞4．14．拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是y＝﹣1．解：由題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y，∴p＝2，開口朝上，∴準(zhǔn)線方程為y＝﹣1，故答案為：y＝﹣1．15．已知關(guān)于x的不等式（mx﹣m2﹣6）（x+4）＜0（其中m∈R）的解集為A，若滿意A∩Z＝B（其中Z為整數(shù)集），則使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少時(shí)m取值范圍是[2，3]．解：對(duì)m分類探討：若m＝0，不等式化為：x+4＞0，解得x＞﹣4．∴A＝（﹣4，+∞）．此時(shí)滿意A∩Z＝B的B有多數(shù)個(gè)元素．若m＜0，不等式化為：（x﹣）（x+4）＞0，無論與﹣4的大小關(guān)系如何，此時(shí)滿意A∩Z＝B的B有多數(shù)個(gè)元素．若m＞0，不等式化為：（x﹣）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜，此時(shí)滿意A∩Z＝B的B有有限個(gè)元素．由f（m）＝，f′（m）＝1﹣＝，可得m＝時(shí)，f（m）取得微小值即最小值，此時(shí)B中只含有8個(gè)元素，令＝5，解得m＝2，3．∴2≤m≤3．綜上可得：使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少時(shí)m取值范圍是[2，3]．故答案為：[2，3]．16．把半橢圓：和圓弧：（x﹣1）2+y2＝a2（x＜0）合成的曲線稱為“曲圓”，其中點(diǎn)F（1，0）是半橢圓的右焦點(diǎn)，A1，A2分別是“曲圓”與x軸的左、右交點(diǎn)，B1，B2分別是“曲圓”與y軸的上、下交點(diǎn)，已知∠B1FB2＝120°，過點(diǎn)F的直線與“曲圓”交于P，Q兩點(diǎn)，則半橢圓方程為（x≥0），△A1PQ的周長(zhǎng)的取值范圍是（6，8]．解：由（x﹣1）2+y2＝a2（x＜0），令y＝0，可得x＝1﹣a以及A1（﹣1﹣a，0），再由橢圓的方程及題意可得A2（a，0），B2（0，b），B1（0，﹣b），由∠B1FB2＝120°，可得，由F（1，0）可得，所以a＝2，所以半橢圓及圓弧的方程分別為（x≥0），（x﹣1）2+y2＝4（x＜0），所以，可得A1相當(dāng)于橢圓的左焦點(diǎn)，△A1PQ的周長(zhǎng)為PF+PA1+A1Q+QF，當(dāng)P從A2（不包括A2）向B2運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PF＝2a當(dāng)Q在y軸右側(cè)時(shí)，A1Q+QF＝2a當(dāng)P從B2向A1運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q在第四象限，則A1Q+QF＝2a＝4，PF+PA1≤2r+A1B2＝2+a這時(shí)三角形的周長(zhǎng)小于8，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到A1時(shí)，Q在A2處，不構(gòu)成三角形，三角形的周長(zhǎng)接近2A1由曲圓的對(duì)稱性可得P運(yùn)動(dòng)到x軸下方時(shí)，與前面的一樣，綜上所述，△A1PQ的周長(zhǎng)的取值范圍為（6，8]．故答案為：；（6，8]．四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知函數(shù)f（x）＝mx2﹣mx﹣12．（1）當(dāng)m＝1時(shí)，解不等式f（x）＞0；（2）若不等式f（x）＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）函數(shù)f（x）＝mx2﹣mx﹣12．當(dāng)m＝1時(shí)，解不等式f（x）＞0；即x2﹣x﹣12＞0因式分解得：（x﹣4）（x+3）＞0解得：﹣3＞x或x＞4．∴不等式的解集為{x|﹣3＞x或x＞4}．（2）當(dāng)m＝0時(shí)，此時(shí)f（x）＝﹣12，不等式f（x）＜0的解集為R，恒成立．當(dāng)m≠0時(shí)，要使不等式f（x）＜0的解集為R，則m＜0，△＝b2﹣4ac＝m2+48解得：﹣48＜m＜0．綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣48，0]18．已知點(diǎn)P（2，m）是拋物線C：y2＝2px（p＞0）上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|＝4，直線l：y＝k（x﹣2）與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B．（1）求拋物線C的方程；（2）若|AB|＝16，求k的值．解：（1）由拋物線的定義知，|PF|＝2+＝4，∴p＝4，∴拋物線C的方程為y2＝8x．（2）∵拋物線C的方程為y2＝8x，∴F（2，0），∴直線l過點(diǎn)F，設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，聯(lián)立，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴x1+x2＝＝4+，∴|AB|＝x1+x2+4＝4++4＝16，解得k＝±1．19．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿意．{bn}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Tn，如圖___，Tn的圖象經(jīng)過A，B兩個(gè)點(diǎn)．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Rn.從圖①，圖②，圖③中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，補(bǔ)充在上面問題中并作答．解：（1）由，可得n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣（2n﹣2）＝2n，上式對(duì)n＝1也成立，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，n∈N*；（2）設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，選圖①，可得T1＝1，T3＝﹣3，即有b1＝1，3×1+×3×2d＝﹣3，解得d＝﹣2，則bn＝1﹣2（n﹣1）＝3﹣2n，anbn＝（3﹣2n）?2n，Rn＝1?2+（﹣1）?22+（﹣3）?23+…+（3﹣2n）?2n，2Rn＝1?22+（﹣1）?23+（﹣3）?24+…+（3﹣2n）?2n+1，兩式相減可得﹣Rn＝2﹣2（22+23+…+2n）﹣（3﹣2n）?2n+1＝2﹣2?﹣（3﹣2n）?2n+1，化簡(jiǎn)可得Rn＝（5﹣2n）?2n+1﹣10；選圖②，可得T1＝1，T3＝6，即有b1＝1，3×1+×3×2d＝6，解得d＝1，則bn＝1+（n﹣1）＝n，anbn＝n?2n，Rn＝1?2+2?22+3?23+…+n?2n，2Rn＝1?22+2?23+3?24+…+n?2n+1，兩式相減可得﹣Rn＝2+22+23+…+2n﹣n?2n+1＝﹣n?2n+1，化簡(jiǎn)可得Rn＝（n﹣1）?2n+1+2；選圖③，可得T1＝﹣3，T3＝0，即有b1＝﹣3，3×（﹣3）+×3×2d＝0，解得d＝3，則bn＝﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，anbn＝（3n﹣6）?2n，Rn＝（﹣3）?2+0?22+3?23+…+（3n﹣6）?2n，2Rn＝（﹣3）?22+0?23+3?24+…+（3n﹣6）?2n+1，兩式相減可得﹣Rn＝﹣6+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣6）?2n+1＝﹣6+3?﹣（3n﹣6）?2n+1，化簡(jiǎn)可得Rn＝（3n﹣9）?2n+1+18．20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）若a，b，c成等差數(shù)列，求cosB的值；（2）是否存在△ABC滿意B為直角？若存在，求sinA的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）若a，b，c成等差數(shù)列，所以a+c＝2b，由于．所以cosB＝＝，由于，所以．（2）假設(shè)B為直角，則sinB＝1，sinC＝cosA，由于，依據(jù)正弦定理（sinA+sinC）sinB＝，即sinA+cosA＝，上式兩邊平方得：，所以（9sin2A+5）（4sin2A由于0＜sin2A≤所以9sin2A+5＞0，4sin2A與（9sin2A+5）（4sin2A故不存在△ABC滿意B為直角．21．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2．（1）若PB＝3BE，求證：AE∥平面PCD；（2）若PC＝4，求二面角A﹣PC﹣B的正弦值．【解答】（1）證明：如圖，作EF∥PC，交BC于F，連接AF．因?yàn)镻B＝3BE，所以E是PB的三等分點(diǎn)，可得．因?yàn)锳B＝AD＝