湖南省衡陽(yáng)市2015-2016學(xué)年高一數(shù)學(xué)下冊(cè)第一次月考試題

衡陽(yáng)八中2016年上期高一年級(jí)第一次月考綜合檢測(cè)數(shù)學(xué)（試題卷）注意事項(xiàng)：1.本卷共22題，滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘。2.考生領(lǐng)取到試卷后，應(yīng)檢查試卷是否有缺頁(yè)漏頁(yè)，重影模糊等妨礙答題現(xiàn)象，如有請(qǐng)立即向監(jiān)考老師通報(bào)。一.選擇題（每題5分，共60分。在每題后面所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的。）1.已知，則sinθ﹣cosθ的值為(

)A．

B．

C．

D．2.如圖，已知l1⊥l2，圓心在l1上，半徑為1m的圓O在t=0時(shí)與l2相切于點(diǎn)A，圓O沿l1以1m/s的速度勻速向上移動(dòng)，圓被直線l2所截上方圓弧長(zhǎng)記為x，令y=，則y與時(shí)間t（0≤t≤1，單位：s）的函數(shù)y=f（t）的圖象大致為（）A．

B．

C．

D．3.已知為銳角，且有，，則的值是（）A.

B.

C.

D.4.設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且對(duì)于任意的都有恒成立.

如果實(shí)數(shù)滿足不等式組，那么的取值范圍是（

）A.(3,7)

B.(9,25)

C.(9,49)

D.(13,49)5.函數(shù)y=﹣x·cosx的部分圖象是(

)A．

B．

C．

D．6.不同直線m，n和不同平面α，β，給出下列命題：①，②，③，④其中假命題有：(

)A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)7.一條光線從點(diǎn)（﹣2，﹣3）射出，經(jīng)y軸反射后與圓（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，則反射光線所在直線的斜率為(

)A．﹣或﹣

B．﹣或﹣

C．﹣或﹣

D．﹣或﹣8.如果扇形圓心角的弧度數(shù)為2，圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也為2，那么這個(gè)扇形的面積是（）A．

B．

C．

D．9.已知角α的終邊與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓交于點(diǎn)P（sin，cos），則角α的最小正值為(

)A．

B．

C．

D．10.設(shè)函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，它的周期是π，則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)(

)（1）f（x）的圖象過點(diǎn)（0，）

（2）f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是（）（3）f（x）在[]上是減函數(shù)（4）將f（x）的圖象向右平移|φ|個(gè)單位得到函數(shù)y=3sinωx的圖象．A．4

B．3

C．2

D．111.已知函數(shù)，則方程（為正實(shí)數(shù)）的實(shí)數(shù)根最多有（）A．6個(gè)

B．4個(gè)

C．7個(gè)

D．8個(gè)12.設(shè)函數(shù)的定義域，如果存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則稱為上的“型增函數(shù)”．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，（）．若為上的“20型增函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．二.填空題（每題5分，共20分）13.若，則的值為

.14.設(shè)函數(shù)y=sinx（0≤x≤π）的圖象為曲線C，動(dòng)點(diǎn)A（x，y）在曲線C上，過A且平行于x軸的直線交曲線C于點(diǎn)B（A、B可以重合），設(shè)線段AB的長(zhǎng)為f（x），則函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間

．15.將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象C，再將圖象C上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變）得到圖象C1，則C1的函數(shù)解析式為

．16.已知x∈R，符號(hào)表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=（x＞0），則給出以下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)f（x）的值域?yàn)?；②函?shù)f（x）的圖象是一條曲線；③函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；④函數(shù)g（x）=f（x）﹣a有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)．其中正確的序號(hào)為

．三.解答題（共6題，共70分）17.（本題滿分10分）如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，（其中A＞0，ω＞0，0≤φ≤）的部分圖象，其圖象與y軸交于點(diǎn)（0，）

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若，求的值．18.（本題滿分10分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=2AB=2，且BC1⊥A1C．（1）求證：平面ABC1⊥平面A1ACC1；（2）設(shè)D是線段BB1的中點(diǎn)，求三棱錐D﹣ABC1的體積．19.（本題滿分11分）已知定點(diǎn)O（0，0），A（3，0），動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)O距離與到定點(diǎn)A的距離的比值是．（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線；（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線D．F，G是曲線D上不同的兩點(diǎn)，對(duì)于定點(diǎn)Q（﹣3，0），有|QF|?|QG|=4．試問無論F，G兩點(diǎn)的位置怎樣，直線FG能恒和一個(gè)定圓相切嗎？若能，求出這個(gè)定圓的方程；若不能，請(qǐng)說明理由．20.（本題滿分12分）函數(shù)f（x）=（cosx﹣sinx）?sin（）﹣2asinx+b（a＞0）．（1）若b=1，且對(duì)任意，恒有f（x）＞0，求a的取值范圍；（2）若f（x）的最大值為1，最小值為﹣4，求實(shí)數(shù)a，b的值．21.（本題滿分13分）函數(shù)f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b（1）若時(shí)，求f（sinθ）的最大值；（2）設(shè)a＞0時(shí)，若對(duì)任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值為2，求f（x）的表達(dá)式．22.（本題滿分14分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有.當(dāng)時(shí)，

（1）求證：是奇函數(shù)；（2）若，試求在區(qū)間上的最值；（3）是否存在，使對(duì)于任意恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

衡陽(yáng)八中2016年上期高一年級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)參考答案選擇題題號(hào)123456789101112答案BBCDDDDADCBB非選擇題13.14.[]15.y=sin（2x﹣3）16.EQ\o\ac(○,4)17.（I）∵0≤φ≤，∴由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得，解得ω=2，φ=，則f（x）=Asin（ωx+φ）=Asin（2x+），∵圖象與y軸交于點(diǎn)（0，），∴f（0）=Asin=，解得A=2，故．（II）∵，∴得，則===．18.（1）證明：在直三棱錐ABC﹣A1B1C1中，有A1A⊥面ABC，而AB?面ABC，∴A1A⊥AB，∵A1A=AC，∴A1C⊥AC1，又BC1⊥A1C，BC1?面ABC1，AC1?面ABC1，BC1∩AC1=C1∴A1C⊥面ABC1，而A1C?面A1ACC1，則面ABC1⊥面A1ACC1

…（2）解：由（1）知A1A⊥AB，A1C⊥面ABC1，A1C⊥AB，故AB⊥面A1ACC1，∴AB⊥AC，則有AC⊥面ABB1A1，∵D是線段BB1的中點(diǎn)，∴．19.（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x﹣3）2+y2，整理得：（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，∵λ＞0，∴當(dāng)λ=1時(shí)，方程可化為：2x﹣3=0，方程表示的曲線是線段OA的垂直平分線；當(dāng)λ≠1時(shí)，則方程可化為，

+y2=，即方程表示的曲線是以（﹣，0）為圓心，為半徑的圓．（Ⅱ）當(dāng)λ=4時(shí)，曲線D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，故曲線D表示圓，圓心是D（﹣1，0），半徑是2．設(shè)點(diǎn)Q到直線FG的距離為d，∠FQG=θ，則由面積相等得到|QF|?|QG|sinθ=d|FG|，且圓的半徑r=2．即d===1．于是頂點(diǎn)Q到動(dòng)直線FG的距離為定值，即動(dòng)直線FG與定圓（x+3）2+y2=1相切．20.（1）當(dāng)b=1時(shí)，函數(shù)式可化簡(jiǎn)如下：f（x）=（cosx﹣sinx）?（cosx+sinx）﹣2asinx+1=（cos2x﹣sin2x）﹣2asinx+1=﹣sin2x﹣2asinx+，令t=sinx（0＜t＜），對(duì)任意x∈（0，），恒有f（x）＞0，即為﹣t2﹣2at+＞0，分離參數(shù)得：﹣2a＞t﹣，由t﹣在（0，）遞增，所以，t﹣＜﹣3=﹣，因此，﹣2a＞﹣，解得，0＜a＜，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，）；（2）f（x）=﹣sin2x﹣2asinx+b+，令t=sinx（﹣1≤t≤1），記g（t）=﹣t2﹣2at+b+，圖象的對(duì)稱軸t=﹣a＜0，且開口向下，①當(dāng)﹣a≤﹣1時(shí)，即a≥1，函數(shù)g（t）在上單調(diào)遞減，則g（t）max=g（﹣1）=﹣1+2a+b+=1，g（t）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，解得a=，b=﹣1；②當(dāng)﹣1＜﹣a＜1時(shí)，即0＜a＜1，函數(shù)g（t）在上先增后減，則g（x）max=g（﹣a）=+b+a2=1，g（x）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，解方程可得a=﹣1，b=2﹣，由于a=﹣1＞1，不合題意，舍去．綜上可得a=，b=﹣1．21.（1）令sinθ=t∈[0，1]，問題等價(jià)于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，∵a＞0，拋物線開口向上，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，則|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]時(shí)，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，結(jié)合f（0）=﹣1可知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1）∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．22.（1）令

則所以

令

則所以

即為奇函數(shù)；（2）任取,且因?yàn)?/p>

所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且

所以即

所以為增函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，（3）因?yàn)楹瘮?shù)

為奇函數(shù)，所以不等式可化為又因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以

令，則問題就轉(zhuǎn)化為在上恒成立

即，令

只需，即可

因?yàn)?/p>

所以當(dāng)時(shí)，

則所以，的取值范圍就為沁