差分方程模型

差分方程及差分方程模型一、差分的概念及性質(zhì)二、差分方程的概念四、一階常系數(shù)線性差分方程

五、差分方程模型三、線性差分方程解的結(jié)構(gòu)一、差分的概念及性質(zhì)1.差分的定義解解解解（公式）2.差分的四則運(yùn)算法則可參照導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則學(xué)習(xí)證明（3）又證明（3）分析例5借助公式和差分的運(yùn)算法則可求解解例6二、差分方程的基本概念1.差分方程與差分方程的階定義定義：

注：由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同定義形式之間可以相互轉(zhuǎn)換。解解2.差分方程的解含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與差分方程的階數(shù)相同的差分方程的解.差分方程的通解為了反映某一事物在變化過(guò)程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時(shí)刻所處狀態(tài)，對(duì)差分方程所附加的條件.通解中任意常數(shù)被初始條件確定后的解.初始條件差分方程的特解例9證明三、線性差分方程解的結(jié)構(gòu)n階齊次線性差分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階非齊次線性差分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式1.n階齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題:（是任意常數(shù)）

那么稱這些函數(shù)在區(qū)間

I內(nèi)線性相關(guān)；否則稱線性無(wú)關(guān).

注：設(shè)為定義在區(qū)間內(nèi)的個(gè)函數(shù)．如果存在個(gè)不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立定理7：如果是方程(1)的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,那么就是方程(1)的通解.例如線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)由此可見(jiàn)，要求出n階常系數(shù)齊次線性差分方程（1）的通解，只需求出其n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.2.n階常系數(shù)非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)由此可見(jiàn)，要求出n階常系數(shù)非齊次線性差分方程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2）的一個(gè)特解即可.一階常系數(shù)齊次線性差分方程的一般形式一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的一般形式四、一階常系數(shù)線性差分方程1、一階常系數(shù)齊次線性差分方程的求解解特征方程特征根解解2、一階常系數(shù)非齊次線性差分方程的求解1.(1)(2)綜上討論解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為解對(duì)應(yīng)齊次方程通解代入方程,得差分方程是在離散時(shí)段上描述現(xiàn)實(shí)世界中變化過(guò)程的數(shù)學(xué)模型例1、某種貨幣1年期存款的年利率是r，現(xiàn)存入M元，問(wèn)n年后的本金與利息之和是多少？Xk+1=(1+r)Xk,k=0,1,2·····以k=0時(shí)x0=M代入，遞推n次可得n年后本息為五、差分方程模型

一階線性常系數(shù)差分方程瀕危物種的自然演變和人工孵化問(wèn)題：Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好自然環(huán)境下，年均增長(zhǎng)率僅為1.94%，而在中等和較差環(huán)境下年均增長(zhǎng)率分別為-3.24%和-3.82%，如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開(kāi)始有100只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計(jì)算。模型建立記第k年沙丘鶴的數(shù)量為Xk，年均增長(zhǎng)率為r，則第k+1年鶴的數(shù)量為

Xk+1=(1+r)Xkk=0,1,2······已知X0=100,在較好，中等和較差的自然環(huán)境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382,利用Matlab編程，遞推20年后觀察沙丘鶴的數(shù)量變化情況Matlab實(shí)現(xiàn)首先建立一個(gè)關(guān)于變量n，r的函數(shù)functionx=sqh(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end在command窗口里調(diào)用sqh函數(shù)

k=(0:20)';>>y1=sqh(20,0.0194);>>y2=sqh(20,-0.0324);>>y3=sqh(20,-0.0382);>>round([k,y1',y2',y3'])利用plot繪圖觀察數(shù)量變化趨勢(shì)可以用不同線型和顏色繪圖rg

bcmyk

w

分別表示紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色：+o*.Xsd表示不同的線型

plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐標(biāo)系下畫圖

plot(k,y2,':')>>plot(k,y2,'--')>>plot(k,y2,'r')>>plot(k,y2,'y')>>plot(k,y2,'y',k,y1,':')>>plot(k,y2,k,y1,':')>>plot(k,y2,'oy',k,y1,':')用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在圖上做標(biāo)記。人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如果每年孵化5只鶴放入保護(hù)區(qū)，觀察在中等自然條件下沙丘鶴的數(shù)量如何變化Xk+1=aXk

+5，a=1+r如果想考察每年孵化多少只比較合適，可以令Xk+1=aXk

+b，a=1+rMatlab實(shí)現(xiàn)functionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endk=(0:20);

%一個(gè)行向量y1=(20,-0.0324,5);也是一個(gè)行向量round([k’,y1’])對(duì)k,y1四舍五入，但是不改變變量的值

plot(k,y1)ky1是行向量列向量都可以也可以觀察200年的發(fā)展趨勢(shì)，以及在較差條件下的發(fā)展趨勢(shì)，也可以考察每年孵化數(shù)量變化的影響。一階線性常系數(shù)差分方程的解、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

自然環(huán)境下,b=0人工孵化條件下令xk=xk+1=x得差分方程的平衡點(diǎn)k→∞時(shí)，xk→x，稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的高階線性常系數(shù)差分方程

如果第k+1時(shí)段變量Xk+1不僅取決于第k時(shí)段變量Xk，而且與以前時(shí)段變量有關(guān)，就要用高階差分方程來(lái)描述一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開(kāi)花，秋季產(chǎn)種，沒(méi)有腐爛，風(fēng)干，被人為掠取的那些種子可以活過(guò)冬天，其中一部分能在第2年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過(guò)一個(gè)冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開(kāi)花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活1年，近似認(rèn)為，種子最多可以活過(guò)兩個(gè)冬天，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。模型及其求解記一棵植物秋季產(chǎn)種的平均數(shù)為c，種子能活過(guò)一個(gè)冬天的(1歲種子)比例為b，活過(guò)一個(gè)冬天沒(méi)有發(fā)芽又活過(guò)一個(gè)冬天的（2歲種子）比例仍為b，1歲種子發(fā)芽率a1，2歲種子發(fā)芽率a2。設(shè)c,a1,a2固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件記第k年植物數(shù)量為Xk，顯然Xk與Xk-1,Xk-2有關(guān)，由Xk-1決定的部分是a1bcXk-1,由Xk-2決定的部分是

a2b(1-a1)bcXk-2

Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2

Xk=a1bcXk-1

+a2b(1-a1)bcXk-2實(shí)際上，就是Xk=pXk-1+qXk-2我們需要知道X0,a1,a2,c,考察b不同時(shí)，種子繁殖的情況。在這里假設(shè)X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20用matlab計(jì)算function

x=fz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X(1)=x0;X(2)=p*X(1);fork=3:nX(k)=p*X(k-1)+q*X(k-2);endXk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2

K=(0:20)’;Y1=fz(100,21,0.18);Y2=fz(100,21,0.19);Y3=fz(100,21,0,20);round([k,y1’,y2’,y3’])plot(k,y1,k,y2,’:’,k,y3,’o’),gtext(‘b=0.18’),gtext(‘b=0.19’),gtext(‘b=0.20’)對(duì)高階差分方程可以尋求形如的解。Xk=pXk-1

+

qXk-2

(1)X1+pX0=0

(2)

結(jié)果分析代入(1)式得稱為差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程(1)的解可以表為其中c1,c2由初始條件x0,x1確定。本例中，用待定系數(shù)的方法可以求出b=0.18時(shí),c1=95.64,c2=4.36這樣實(shí)際上，植物能一直繁殖下去的條件是b>0.191按年齡分組的種群增長(zhǎng)野生或飼養(yǎng)的動(dòng)物因繁殖而增加，因自然死亡和人為屠殺而減少，不同年齡動(dòng)物的繁殖率，死亡率有較大差別，因此在研究某一種群數(shù)量的變化時(shí)，需要考慮年齡分組的種群增長(zhǎng)。將種群按年齡等間隔的分成若干個(gè)年齡組，時(shí)間也離散化為時(shí)段，給定各年齡組種群的繁殖率和死亡率，建立按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)各年齡組的種群數(shù)量，并討論時(shí)間充分長(zhǎng)以后的變化趨勢(shì)。模型及其求解設(shè)種群按年齡等間隔的分成n個(gè)年齡組，記i=1,2,···，n,時(shí)段記作k=0,1,2···,且年齡組區(qū)間與時(shí)段長(zhǎng)度相等(若5歲為一個(gè)年齡組，則5年為一個(gè)時(shí)段)。以雌性個(gè)體為研究對(duì)象記在時(shí)段k第i年齡組的數(shù)量為xi(k);第i年齡組的繁殖率為bi，表示每個(gè)個(gè)體在一個(gè)時(shí)段內(nèi)繁殖的數(shù)量；第i年齡組死亡率為di，表示一個(gè)時(shí)段內(nèi)死亡數(shù)與總數(shù)的比，si=1-di是存活率。注意：第k時(shí)段的第i年齡組活過(guò)來(lái)的，是第k+1時(shí)段的第i+1年齡組xi+1(k+1)=sixi(k)i=1，2,···,n-1,k=0,1,····各年齡組在第k時(shí)段繁殖的數(shù)量和是第k+1時(shí)段的第1年齡組x1(k+1)=k=0,1,····記在時(shí)段k種群各年齡組的數(shù)量為X(k)=[x1(k),x2(k),····,xn(k)]’這樣，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,····給定在0時(shí)段，各年齡組的初始數(shù)量x(0)就可以預(yù)測(cè)任意時(shí)段k,各年齡組的數(shù)量設(shè)一種群分成5個(gè)年齡組，繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年齡組現(xiàn)有數(shù)量都是100只，用matlab計(jì)算x(k)b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2];s=diag([0.5,0.8,0.8,0.1]);L=[b;s,zeros(4,1)];x(:,1)=100*ones(5,1);>>n=30;>>fork=1:n