山東省煙臺(tái)市2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE1-山東省煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得到結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】在復(fù)平面上，點(diǎn)和復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上的點(diǎn)來(lái)表示，這就是復(fù)數(shù)的幾何意義．復(fù)數(shù)幾何化后就可以進(jìn)一步把復(fù)數(shù)與向量溝通起來(lái)，從而使復(fù)數(shù)問(wèn)題可通過(guò)畫(huà)圖來(lái)解決，即實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化．由此將抽象問(wèn)題變成了直觀(guān)的幾何圖形，更干脆明白，屬于基礎(chǔ)題．2.若向量，，與共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合平面對(duì)量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得、，再由平面對(duì)量共線(xiàn)的性質(zhì)即可得解.【詳解】向量，，，，又與共線(xiàn)，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及平面對(duì)量共線(xiàn)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知正三角形的邊長(zhǎng)為，那么的直觀(guān)圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】作出原圖和直觀(guān)圖，然后求面積.【詳解】如圖，直觀(guān)圖的底邊長(zhǎng)度為原圖形的底邊長(zhǎng)，高為原圖形的高的一半乘以，故其直觀(guān)圖面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了斜二測(cè)畫(huà)法及平面直觀(guān)圖的面積，熟記作圖原則是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.在中，，，，則此三角形（）A.無(wú)解 B.兩解 C.一解 D.解的個(gè)數(shù)不確定【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，b，的值代入求出的值，即可做出推斷．【詳解】∵在中，，，，∴由正弦定理得：，又∵，∴此三角形有兩解．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理推斷三角形解的狀況，解題關(guān)鍵是能夠嫻熟駕馭正弦定理，考查邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，屬于?？碱}.5.已知圓柱的高為2，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為的同一個(gè)球的球面上，則圓柱的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圓柱的底面圓的半徑，再求圓柱的表面積.【詳解】由題得圓柱的底面圓的半徑為，所以圓柱的側(cè)面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查球的內(nèi)接圓柱問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和空間想象視察實(shí)力，關(guān)鍵在于求出圓柱的底面圓的半徑，屬于中檔題.6.在平行四邊形中，點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形相像推出，再利用邊的比例關(guān)系及平行四邊形法則即可求解.【詳解】，，，，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查用基底表示向量、平面對(duì)量線(xiàn)性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周十尺，高六尺，問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為10尺，米堆的高為6尺，問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算堆放的米約為（）A.17斛 B.25斛 C.41斛 D.58斛【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算出對(duì)應(yīng)的體積即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，故米堆的體積為，斛米的體積約為1.62立方尺，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查錐體的體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8.如圖，為了測(cè)量B，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上A，D兩點(diǎn)，已知，，，，，則的長(zhǎng)為（）A. B.5 C. D.7【答案】A【解析】【分析】在中，由正弦定理求出，再依據(jù)誘導(dǎo)公式求出，最終在中，由余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：在中，由正弦定理可得，即所以，又因?yàn)椋栽谥?，由余弦定理可得即所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選項(xiàng)題9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則B.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意，則C.若復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是D.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓【答案】AD【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相關(guān)概念一一推斷可得；【詳解】解：對(duì)于A(yíng)：，，，所以，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，，所以，若，則，則或或，當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)，則z為純虛數(shù)的充要條件是且，故C錯(cuò)誤；若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相關(guān)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.10.下列敘述錯(cuò)誤的是（）A.已知直線(xiàn)和平面，若點(diǎn)，點(diǎn)且，，則B.若三條直線(xiàn)兩兩相交，則三條直線(xiàn)確定一個(gè)平面C.若直線(xiàn)不平行于平面，且，則內(nèi)的全部直線(xiàn)與都不相交D.若直線(xiàn)和不平行，且，，，則l至少與，中的一條相交【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系、線(xiàn)面關(guān)系的性質(zhì)定理及判定定理推斷可得；【詳解】解：由公理一，可知A正確；若三條直線(xiàn)相交于一點(diǎn)，則三條直線(xiàn)不能唯一確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；若直線(xiàn)不平行于平面，且，則與平面相交，設(shè)交點(diǎn)為，則平面中全部過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)均與直線(xiàn)相交，故C錯(cuò)誤；若直線(xiàn)和不平行，且，，，所以直線(xiàn)和異面與共面，與共面，可以與平行或相交，可以與平行或相交，但是肯定不能同時(shí)平行，若兩條直線(xiàn)與同時(shí)平行，則和平行，與兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)沖突，至少與和中的一條相交，故D正確；故選：BC．【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是理解兩條直線(xiàn)在空間中全部的關(guān)系就只有三種，屬于中檔題．11.下列結(jié)論正確的是（）A.在中，若，則B.在銳角三角形中，不等式恒成立C.在中，若，，則為等腰直角三角形D.在中，若，，三角形面積，則三角形外接圓半徑為【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，利用三角形“大角對(duì)長(zhǎng)邊”和正弦定理即可推斷A正確；對(duì)選項(xiàng)B，利用余弦定理，即可推斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，首先依據(jù)余弦定理得到，利用正弦定理邊化角公式得到，再化簡(jiǎn)即可推斷選項(xiàng)C正確.對(duì)選項(xiàng)D，首先利用面積公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可推斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，在中，由，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，若，則，又因?yàn)?，所以為銳角，符合為銳角三角形，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，整理得：.因?yàn)椋?，?所以，即，，即，又，所以.故，則為等腰直角三角形，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，，解得，所以.又因?yàn)?，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，嫻熟駕馭公式為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12.在中，D，E，F(xiàn)分別是邊，，中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.若，則是在的投影向量D.若點(diǎn)P是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)意，則的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，B，利用平面對(duì)量的加減法即可推斷A錯(cuò)誤，B正確.對(duì)選項(xiàng)C，首先依據(jù)已知得到為的平分線(xiàn)，即，再利用平面對(duì)量的投影概念即可推斷C正確.對(duì)選項(xiàng)D，首先依據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，，再依據(jù)已知得到，從而得到，即可推斷選項(xiàng)D正確.【詳解】如圖所示：對(duì)選項(xiàng)A，，故A錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)B，，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，，，分別表示平行于，，的單位向量，由平面對(duì)量加法可知：為的平分線(xiàn)表示的向量.因?yàn)椋詾榈钠椒志€(xiàn)，又因?yàn)闉榈闹芯€(xiàn)，所以，如圖所示：在的投影為，所以是在的投影向量，故選項(xiàng)C正確.對(duì)選項(xiàng)D，如圖所示：因?yàn)樵谏?，即三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，.又因?yàn)椋?因?yàn)?，則，.令，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量的加法，減法的幾何意義，數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.三、填空題13.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則______【答案】【解析】【分析】首先化簡(jiǎn)，求出的共軛復(fù)數(shù)，再求模長(zhǎng)即可.【詳解】，，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)，同時(shí)考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)，屬于簡(jiǎn)潔題.14.已知向量夾角為，，，則______.【答案】【解析】【分析】首先依據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算，再開(kāi)根即可.【詳解】因?yàn)橄蛄繆A角為，，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，涉及向量數(shù)量積的運(yùn)算律、向量的模，屬于基礎(chǔ)題.15.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，且，則的值為_(kāi)_____【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合正弦定理、余弦定理可轉(zhuǎn)化條件為、，求得后代入運(yùn)算即可得解.【詳解】，，，由可得，又，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力與轉(zhuǎn)化化歸思想，熟記公式，合理運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16.已知一個(gè)高為的三棱錐，各側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則三棱錐的表面積為_(kāi)_____，若三棱錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則V的最大值為_(kāi)_____.【答案】(1).(2).【解析】分析】畫(huà)出圖形，取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)的中心為，連接，由題意結(jié)合正三棱錐的幾何特征可得、，進(jìn)而可求得的三棱錐的表面積和體積，由等體積法即可求得三棱錐內(nèi)切球的半徑，即可得解.【詳解】由題意，三棱錐如圖所示：取的中點(diǎn)，連接、，由正三角形的性質(zhì)可得的中心在線(xiàn)段上，且，連接，則即為該三棱錐的高，即，所以，又，所以，所以，又，所以三棱錐的表面積；所以該三棱錐的體積,當(dāng)球與三棱錐內(nèi)切時(shí)，體積最大，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，則，解得，則.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了正三棱錐幾何特征的應(yīng)用以及幾何體內(nèi)切球半徑的求解，考查了空間思維實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.四、解答題17.如圖，正方體中，E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn).（1）求證：E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面；（2）若，，與平面交于點(diǎn)R，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；【解析】【分析】（1）連接，由正方體的幾何特征及平面幾何的學(xué)問(wèn)可得，由平面的基本性質(zhì)即可得證；（2）由題意可得是平面與平面的交線(xiàn)，由平面的基本性質(zhì)即可得證.【詳解】（1）證明：連接，如圖：在正方體中，分別為的中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，，又因?yàn)椋?，四點(diǎn)共面；（2）證明：在正方體中，，，是平面與平面的交線(xiàn)，又因?yàn)榻黄矫嬗邳c(diǎn)，是平面與平面的一個(gè)公共點(diǎn).兩平面相交的全部公共點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上，三點(diǎn)共線(xiàn).【點(diǎn)睛】本題考查了利用平面的基本性質(zhì)證明點(diǎn)共面及點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，考查了空間思維實(shí)力與邏輯推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，和b是關(guān)于x的方程的兩個(gè)根.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)意，說(shuō)明在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？并求該圖形的面積【答案】（1），（2）點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，以和為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，包括邊界；面積為【解析】【分析】（1）依據(jù)復(fù)數(shù)的分類(lèi)求解，然后由韋達(dá)定理可求得；（2）依據(jù)模的幾何意義說(shuō)明結(jié)論．【詳解】解：（1）因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，即，解得，此時(shí)，由韋達(dá)定理得，.（2）復(fù)數(shù)滿(mǎn)意，即，不等式的解集是圓的外部（包括邊界）全部點(diǎn)組成的集合，不等式的解集是圓的內(nèi)部（包括邊界）全部點(diǎn)組成的集合，所以所求點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，以和為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，包括邊界..【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類(lèi)、韋達(dá)定理，考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．19.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求C；（2）若，，求a.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得；（2）由正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和正弦公式變形可求得，然后由正弦定理求得邊．【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?；?）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，故，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理可得?【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、正弦定理，駕馭正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵．20.如圖，在三棱錐中，是高，，，.（1）求三棱錐的體積；（2）求三棱錐的表面積.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由體積公式干脆計(jì)算；（2）題中有兩兩垂直，面積易得，然后求出三邊長(zhǎng)，得等腰三角形，求出底邊上的高可得面積．【詳解】解：（1）因?yàn)槭歉?，，，，所以；?）因?yàn)槭歉?，平面，平面，所以，同理，，，，所以，，等腰三角形，，，所以，所以三棱錐的表面積為.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的體積與表面積，依據(jù)體積公式干脆計(jì)算體積，依據(jù)表面積的定義計(jì)算出各個(gè)面的面積后相加即得表面積．屬于基礎(chǔ)題．21.如圖，四邊形中，.（1）用表示；（2）若，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以作為基底，結(jié)合向量的加法運(yùn)算即可得解；（2）由、推出，再求出PE、CP，即可求得，再由計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）由已知：，，得：，，在中，，，∴，，在中，，，∴，，∴，又∵，∴，，在中，，，，∴，∴，∵，∴.【點(diǎn)睛】本題用基底表示向量、向量的線(xiàn)性