2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第33講-空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系【課件】

第33講

空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系第七章

立體幾何1．下列說法正確的是 (

)A．三點(diǎn)確定一個平面

B．一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面C．梯形可確定一個平面

D．圓心和圓上兩點(diǎn)確定一個平面激活思維【解析】C對于A，三個不在同一條直線上的點(diǎn)確定一個平面，故A錯誤．對于B，直線和直線外一點(diǎn)，確定一個平面，故B錯誤．對于C，兩條平行直線確定一個平面，梯形有一組對邊平行，另一組對邊不平行，故梯形可確定一個平面，故C正確．對于D，因?yàn)閳A的一條直徑不能確定一個平面，所以若圓心和圓上的兩點(diǎn)在同一條直徑上，則無法確定一個平面，故D錯誤．2．設(shè)直線a，b分別是長方體相鄰兩個面的對角線所在的直線，則a與b

(

)A．平行 B．相交C．是異面直線 D．可能相交，也可能是異面直線D【解析】如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，當(dāng)A′B所在的直線為a，BC′所在的直線為b時，a與b相交；當(dāng)A′B所在的直線為a，B′C所在的直線為b時，a與b異面．3．(多選)如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，下列說法正確的是 (

)A．直線AB與直線AC

相交B．直線AC與直線A′C′平行C．直線A′B與直線AC相交D．直線A′B與直線C′D異面ABD【解析】由題圖知，直線AB與直線AC相交，直線AC與直線A′C′平行，直線A′B與直線AC異面，直線A′B與直線C′D異面．4．下列說法正確的是 (

)A．若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥αB．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都平行C．如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行D．若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)D【解析】對于A，當(dāng)直線l與平面α相交時，直線l上也有無數(shù)個點(diǎn)不在平面α內(nèi)，故A錯誤．對于B，l與平面α內(nèi)的任意一條直線異面或平行，故B錯誤．對于C，另一條直線也可能在這個平面內(nèi)，故C錯誤．對于D，因?yàn)閘∥α，所以l與α沒有公共點(diǎn)，所以l與α內(nèi)任意一條直線都沒有公共點(diǎn)，故D正確．【解析】45°60°1．平面的基本性質(zhì)基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個點(diǎn)，有且只有一個平面．基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).基本事實(shí)3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．聚焦知識2．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言

符號語言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語言

符號語言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語言

符號語言a，b是異面直線a?α

3．平行直線(1)基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．(2)定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等．4．異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角或夾角．(2)取值范圍：__________．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的

(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件平面的基本事實(shí)及應(yīng)用舉題說法A【解析】空間中不過同一點(diǎn)的三條直線a，b，l，若a，b，l共面，則a，b，l相交，或a，b，l有兩個平行另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行，所以必要性不成立．1-1若a，b，l兩兩相交，則a，b，l共面，充分性成立．故“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的充分不必要條件．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.【解答】1-2(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.【解答】1-2(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC，所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．變式

(多選)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C與平面C1BD交于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是

(

)A．C1，M，O三點(diǎn)共線B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面C．C1，O，A1，M四點(diǎn)共面D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面ABC【解析】如圖，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O.又A1C∩平面C1BD＝M，所以C1，M，O三點(diǎn)在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，所以C1，M，O三點(diǎn)共線，可判斷A，B，C均正確，D錯誤．(1)如圖，N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則

(

)A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線空間兩直線的位置關(guān)系2【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N.因?yàn)椤鰿DE是正三角形，所以EF⊥CD.【答案】B(2)已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則 (

)A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能D2【解析】在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯誤．m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤．變式

(多選)如圖所示是一個正方體的平面展開圖，則在原正方體中，下列說法正確的是

(

)A．AB與CD所在的直線垂直B．CD與EF所在的直線平行C．EF與GH所在的直線異面D．GH與AB所在的直線夾角為60°【解析】把正方體的平面展開圖還原，如圖，連接AF.對于A，因?yàn)锽D∥CF且BD＝CF，所以四邊形BDCF為平行四邊形，所以CD∥BF，故AB與CD所成的角為∠ABF，易知△ABF為等邊三角形，則∠ABF＝60°，故A錯誤．對于B，由A可知CD∥EF，故B正確．對于C，由圖可知，EF與GH所在的直線異面，故C正確．對于D，因?yàn)锳H∥GF且AH＝GF，故四邊形AFGH為平行四邊形，所以GH∥AF，則GH與AB所成的角為∠FAB.因?yàn)椤鰽BF為等邊三角形，所以∠FAB＝60°，即GH與AB所在的直線夾角為60°，故D正確．【答案】BCD在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知P為B1D1的中點(diǎn)，則直線PB與AD1所成的角為(

)異面直線所成角的計(jì)算3【解析】如圖，連接BC1，PC1.因?yàn)锳D1∥BC1，所以∠PBC1或其補(bǔ)角為直線PB與AD1所成的角．因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，PC1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1.又PC1⊥B1D1，BB1，B1D1?平面PBB1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1.又PB?平面PBB1，所以PC1⊥PB.【答案】D60°【解析】如圖，取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE.因?yàn)镈是AC的中點(diǎn)，所以DEBB1，從而四邊形BDEB1是平行四邊形，所以BD∥B1E.從而∠AB1E為異面直線AB1與BD所成的角．變式

(2)如圖，在正四棱錐P-ABCD中，AB＝PA＝2，E為PC的中點(diǎn)，則異面直線AP與DE所成角的余弦值為(

)【解析】如圖，連接AC，BD.設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，則O為AC的中點(diǎn)．【答案】C已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E為棱BB1的中點(diǎn)，則經(jīng)過A1，D，E三點(diǎn)的正方體的截面面積為

(

)截面問題新視角4【解析】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D∥平面CBB1C1，則平面A1DE與平面CBB1C1的唯一交線與A1D平行．如圖，取BC中點(diǎn)F，連接EF，DF，A1E，A1D，則梯形A1DFE即為經(jīng)過A1，D，E三點(diǎn)的正方體的截面．【答案】A變式如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn)，則平面B1CE截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面圖形的周長是____________．【解析】如圖，取AD中點(diǎn)H，連接EH，A1D.【答案】隨堂練習(xí)1．已知點(diǎn)A∈直線l，A∈平面α，則

(

)A．l∥α B．l∩α＝AC．l?α D．l∩α＝A或

l?αD2．下列命題中真命題的個數(shù)是

(

)①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0 B．1C．2 D．3B3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，DD1的中點(diǎn)為Q，過A，Q，B1三點(diǎn)的截面是

(

)A．三角形 B．矩形C．菱形 D．梯形D【解析】如圖，取C1D1的中點(diǎn)P，連接PQ，PB1，AB1，AQ，DC1.4．在三棱錐A-BCD中，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝CD＝4，則AC與BD所成角的余弦值為______．【解析】如圖，取BC，AB，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連接EF，F(xiàn)G，EG，則EF∥AC，F(xiàn)G∥BD，所以∠EFG(或其補(bǔ)角)即為AC與BD所成的角．【答案】配套精練A組夯基精練一、

單項(xiàng)選擇題1．已知互不重合的三個平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A．b與c是異面直線 B．a(chǎn)與c沒有公共點(diǎn)C．b∥c D．b∩c＝PD【解析】因?yàn)閍∩b＝P，所以P∈a，P∈b，因?yàn)閍＝α∩β，b＝β∩γ，所以P∈α，P∈β，P∈γ.因?yàn)棣痢搔茫絚，所以P∈c，所以b∩c＝P，所以a∩c＝P，如圖，故A，B，C錯誤．A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線【解析】【答案】D3．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，則正方體過點(diǎn)E，F(xiàn)，D1的截面面積為

(

)【解析】如圖，連接BE，BF，取BB1的中點(diǎn)G，連接GF，GA1.因?yàn)锳1E∥GB，A1E＝GB，所以四邊形A1EBG為平行四邊形，所以GA1∥BE，GA1＝BE.因?yàn)锳1D1∥GF，A1D1＝GF，所以四邊形A1D1FG為平行四邊形，所以GA1∥FD1，GA1＝FD1，所以BE∥FD1，BE＝FD1，所以四邊形BED1F為平行四邊形，即B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面，所以正方體過點(diǎn)E，F(xiàn)，D1的截面為平行四邊形BED1F.【答案】C4．如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為 (

)【解析】【答案】D如圖，連接BC1，A1C1.易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．二、

多項(xiàng)選擇題5．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC1上(不包含端點(diǎn))運(yùn)動時，下列直線中一定與直線OP異面的是 (

)A．AB1 B．A1CC．A1A D．AD1【解析】【答案】BCD對于A，當(dāng)P為BC1的中點(diǎn)時，OP∥AB1，故A錯誤；對于B，因?yàn)锳1C?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1C，P?平面AA1C1C，所以直線A1C與直線OP一定是異面直線，故B正確；對于C，因?yàn)锳1A?平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O?A1A，P?平面AA1C1C，所以直線A1A與直線OP一定是異面直線，故C正確；對于D，因?yàn)锳D1?平面AD1C，O∈平面AD1C，O?AD1，P?平面AD1C，所以直線AD1與直線OP一定是異面直線，故D正確．6．在通用技術(shù)課上，某小組將一個直三棱柱ABC-A1B1C1展開，得到的平面圖如圖所示，其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的點(diǎn)，則

(

)【解析】如圖(1)，由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，AM與A1C1是異面直線，故A正確；因?yàn)锳A1⊥AC，BA⊥AC，且AA1∩BA＝A，所以AC⊥平面AA1B1B，因?yàn)锳1M?平面AA1B1B，所以AC⊥A1M，故B正確；A．AM與A1C1是異面直線B．AC⊥A1MC．平面AB1C將三棱柱截成兩個四面體圖(1)平面AB1C將三棱柱截成四棱錐B1-ACC1A1和三棱錐B1-ABC，一個五面體和一個四面體，故C錯誤；【答案】ABD圖(2)【解析】如圖，連接AC，則A1C1∥AC，則異面直線A1C1與AE所成的角為∠EAC.8．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______.【解析】如圖，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，則EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG為異面直線AC與BD所成的角．9．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，當(dāng)E，F(xiàn)，G分別是B1C1，C1D1，B1B的中點(diǎn)時，平面EFG截正方體所得截面的周長為_______．【解析】【答案】【解答】【解答】11．如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C