高中數(shù)學(xué) 3.2 數(shù)學(xué)證明同步練習(xí) 北師大版選修1-2

§2數(shù)學(xué)證明eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時20分鐘)1．“指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞1)是增函數(shù)，y＝xα(α＞1)是指數(shù)函數(shù)，所以y＝xα(α ＞1)是增函數(shù)”，在以上演繹推理中，下列說法正確的是 ()． A．推理完全正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．推理形式不正確 解析y＝xα(α＞1)并非指數(shù)函數(shù)，犯偷換概念的錯誤，故選C. 答案C2．推理：“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是 ()． A．① B．② C．③ D．①和② 解析①是大前提，②是小前提，③是結(jié)論． 答案B3．“在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，求證∠ADE＝∠ABC”中， 包含了________層三段論推理 ()． A．1 B．2 C．3 D．4 解析三角形的中位線平行于底邊， (大前提) AD＝DB，AE＝CE， (小前提) ∴DE∥AB， (結(jié)論) 兩直線平行，同位角相等， (大前提) ∠ADE與∠ABC為同位角， (小前提) ∴∠ADE＝∠ABC， (結(jié)論) 故含有兩層三段論推理，選B. 答案B4．補(bǔ)充下列推理的三段論： (1)因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個數(shù)的和為0，又因?yàn)閍與b互為相反數(shù)且 ________，所以b＝8. (2)因?yàn)開_______________，又因?yàn)閑＝2.71828…是無限不循環(huán)小數(shù)，所 以e是無理數(shù)． 答案(1)a＝－8(2)無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)5．由“(a2＋a＋1)x＞3，得x＞eq\f(3,a2＋a＋1)”的推理過程中，其大前提是 ________． 解析∵a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0， ∴(a2＋a＋1)x＞3?x＞eq\f(3,a2＋a＋1). 其前提依據(jù)為不等式的乘法法則： a＞0，b＞c?ab＞ac 答案a＞0，b＞c?ab＞ac6．指出下列各演繹推理中的大前提、小前提，并判斷結(jié)論是否正確． (1)a∥b一定有a＝λb(λ∈R)，向量c與向量d平行，所以c＝λd. (2)指數(shù)函數(shù)y＝ax(0＜a＜1)是減函數(shù)，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是指數(shù)函數(shù)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) x是減函數(shù)． 解(1)大前提：a∥b一定有a＝λb(λ∈R)， 小前提：向量c與向量d平行， 結(jié)論是錯誤的，原因是大前提錯誤．因?yàn)楫?dāng)a≠0，b＝0時a∥b，這時 找不到實(shí)數(shù)λ使得a＝λb. (2)大前提：指數(shù)函數(shù)y＝ax(0＜a＜1)是減函數(shù)， 小前提：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是指數(shù)函數(shù)， 結(jié)論是正確的．因?yàn)榇笄疤?、小前提均是正確的．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．“公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的少常數(shù)項(xiàng)的二次函 數(shù)，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋3n.所以{bn}為等差數(shù)列”．上述推理中 ()． A．大前提錯誤 B．小前提錯誤 C．結(jié)論錯誤 D．正確 解析符合三段論的推理，故選D. 答案D8．已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為平面上任一點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足 eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))](λ∈R，且λ≠0)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的 ()． A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．AB邊的中點(diǎn) 解析λ≠0時，設(shè)AB的中點(diǎn)為D. eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)[(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))] ＝eq\f(1,3)[(1－λ)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))] ＝eq\f(1,3)[2(1－λ)eq\o(OD,\s\up6(→))＋(1＋2λ)eq\o(OC,\s\up6(→))]， 因?yàn)閑q\f(2,3)(1－λ)＋eq\f(1,3)(1＋2λ)＝1. ∴P，D，C共線，即P點(diǎn)的軌跡為直線DC，故選D. 答案D9．α＜0，冪函數(shù)y＝xα在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，y＝x－2是冪函數(shù)，由“三段論”可得結(jié)論________． 解析“三段論”的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提下的特殊事實(shí)，結(jié)合大前提，小前提可得答案． 答案y＝x－2在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)10．在△ABC中，A＝105°，C＝45°，AB＝eq\r(2)，求得AC＝1時其大前提為 ________． 解析在△ABC中， eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)(大前提) 在△ABC中，A＝105°，C＝45°， AB＝eq\r(2)，(小前提) ∴eq\f(\r(2),sin45°)＝eq\f(AC,sin180°－105°－45°)， ∴AC＝1.(結(jié)論) 答案eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)11．在梯形ABCD中，如圖，已知AB＝CD＝AD，AC和BD是梯形的對角 線，求證：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA. 解∵等腰三角形兩底角相等，(大前提) △ACD是等腰三角形，∠1和∠2是兩個底角，(小前提) ∴∠1＝∠2.(結(jié)論) ∵兩條平行線被第三條直線截得的內(nèi)錯角相等(大前提) ∠1和∠3是平行線AD、BC被AC截得的內(nèi)錯角(小前提) ∴∠1＝∠3.(結(jié)論) ∵等于同一個角的兩個角相等，(大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3.(結(jié)論) ∴AC平分∠BCD. 同理，DB平分∠CBA.12．(創(chuàng)新拓展)小明是一名高二年級的學(xué)生，17周歲，迷戀上網(wǎng)絡(luò)，沉迷于 虛擬的世界當(dāng)中．由于每月的零花錢不夠用，他便向父母要錢，但這仍 然滿足不了需求，于是就產(chǎn)生了歹念，強(qiáng)行向路人索取錢財．被抓捕后， 小明卻說自己是未成年人，而且就搶了50元，不能構(gòu)成犯罪．如果你是 法官，你會如何判決呢