高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第10講函數(shù)模型及其應(yīng)用知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE第10講函數(shù)模型及其應(yīng)用1．某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷(xiāo)售100臺(tái)，第二個(gè)月銷(xiāo)售200臺(tái)，第三個(gè)月銷(xiāo)售400臺(tái)，第四個(gè)月銷(xiāo)售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷(xiāo)量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：選C.根據(jù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)函數(shù)模型．2．某工廠6年來(lái)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來(lái)這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時(shí)間t(年)的函數(shù)關(guān)系圖像正確的是()解析：選A.前3年年產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，說(shuō)明呈高速增長(zhǎng)，只有A、C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.3．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent．若5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，又過(guò)了m分鐘后甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，則m的值為()A．7 B．8C．9 D．10解析：選D.令eq\f(1,8)a＝aent，即eq\f(1,8)＝ent，由已知得eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，比較知t＝15，m＝15－5＝10.4.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開(kāi)源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長(zhǎng)x，y應(yīng)為()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：選A.由三角形相似得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20).得x＝eq\f(5,4)(24－y)，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以當(dāng)y＝12時(shí)，S有最大值，此時(shí)x＝15.5．(2016·長(zhǎng)春聯(lián)合測(cè)試)某位股民購(gòu)進(jìn)某只股票，在接下來(lái)的交易時(shí)間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()A．略有盈利 B．略有虧損C．沒(méi)有盈利也沒(méi)有虧損 D．無(wú)法判斷盈虧情況解析：選B.設(shè)該股民購(gòu)這只股票的價(jià)格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(1＋10%)n＝a×1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故該股民這只股票略有虧損．6．(2016·安陽(yáng)模擬)某類(lèi)產(chǎn)品按工藝共分10個(gè)檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤(rùn)為8元．每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元．用同樣工時(shí)，可以生產(chǎn)最低檔產(chǎn)品60件，每提高一個(gè)檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則獲得利潤(rùn)最大時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是________．解析：由題意，第k檔次時(shí)，每天可獲利潤(rùn)為：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以當(dāng)k＝9時(shí)，獲得利潤(rùn)最大．答案：97.某人根據(jù)經(jīng)驗(yàn)繪制了2016年元旦前后，從12月21日至1月7日自己種植的西紅柿的銷(xiāo)售量y(千克)隨時(shí)間x(天)變化的函數(shù)圖像，如圖所示，則此人在12月26日大約賣(mài)出了西紅柿________千克．解析：前10天滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系式，設(shè)為y＝kx＋b，將點(diǎn)(1，10)和點(diǎn)(10，30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當(dāng)x＝6時(shí)，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)8．某商家一月份至五月份累計(jì)銷(xiāo)售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷(xiāo)售額為500萬(wàn)元，七月份銷(xiāo)售額比六月份遞增x%，八月份銷(xiāo)售額比七月份遞增x%，九、十月份銷(xiāo)售總額與七、八月份銷(xiāo)售總額相等，若一月份至十月份銷(xiāo)售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是__________．解析：七月份：500(1＋x%)，八月份：500(1＋x%)2.所以一至十月份的銷(xiāo)售總額為：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2，所以xmin＝20.答案：209．(2016·中山模擬)圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示．已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為xm，(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最少，并求出最少總費(fèi)用．解：(1)如圖，設(shè)矩形中與舊墻垂直的邊長(zhǎng)為am，則y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360由已知得xa＝360，得a＝eq\f(360,x).所以y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>2)．(2)因?yàn)閤>2，所以225x＋eq\f(3602,x)≥2eq\r(225×3602)＝10800.所以y＝225x＋eq\f(3602,x)－360≥10440.當(dāng)且僅當(dāng)225x＝eq\f(3602,x)時(shí)，等號(hào)成立．即當(dāng)x＝24時(shí)，修建圍墻的總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用是10440元．1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖像是()解析：選D.依題意知當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，f(x)＝8；當(dāng)8<x≤12時(shí)，f(x)＝24－2x，觀察四個(gè)選項(xiàng)知答案為D.2．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某種商品在過(guò)去50天的銷(xiāo)售量和價(jià)格均為銷(xiāo)售時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷(xiāo)售量近似地滿(mǎn)足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天價(jià)格為g(t)＝eq\f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天價(jià)格為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)寫(xiě)出該種商品的日銷(xiāo)售額S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；(2)求日銷(xiāo)售額S的最大值．解：(1)根據(jù)題意，得S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2t＋200）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＋30))，1≤t≤30，t∈N，,45（－2t＋200），31≤t≤50，t∈N))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t2＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N.))(2)①當(dāng)1≤t≤30，t∈N時(shí)，S＝－(t－20)2＋6400，所以當(dāng)t＝20時(shí)，S的最大值為6400.②當(dāng)31≤t≤50，t∈N時(shí)，S＝－90t＋9000為減函數(shù)，所以當(dāng)t＝31時(shí)，S的最大值為6210.因?yàn)?210＜6400，所以當(dāng)t＝20時(shí)，日銷(xiāo)售額S有最大值6400.3．候鳥(niǎo)每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模地遷徙，研究某種鳥(niǎo)類(lèi)的專(zhuān)家發(fā)現(xiàn)，該種鳥(niǎo)類(lèi)的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是實(shí)數(shù))．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥(niǎo)類(lèi)在靜止的時(shí)候其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥(niǎo)類(lèi)為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，解：(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥(niǎo)類(lèi)靜止時(shí)，它的速度為0m/s，此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；①當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1m/s故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.②解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(