高考數(shù)學一輪復習第2章基本初等函數(shù)導數(shù)及其應用第10講函數(shù)模型及其應用知能訓練輕松闖關文北師大版

PAGE第10講函數(shù)模型及其應用1．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：選C.根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應為指數(shù)函數(shù)模型．2．某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系圖像正確的是()解析：選A.前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A、C圖像符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A.3．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent．若5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，又過了m分鐘后甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，則m的值為()A．7 B．8C．9 D．10解析：選D.令eq\f(1,8)a＝aent，即eq\f(1,8)＝ent，由已知得eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，比較知t＝15，m＝15－5＝10.4.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應為()A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14解析：選A.由三角形相似得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20).得x＝eq\f(5,4)(24－y)，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以當y＝12時，S有最大值，此時x＝15.5．(2016·長春聯(lián)合測試)某位股民購進某只股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這只股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為()A．略有盈利 B．略有虧損C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況解析：選B.設該股民購這只股票的價格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a×1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故該股民這只股票略有虧損．6．(2016·安陽模擬)某類產(chǎn)品按工藝共分10個檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時，可以生產(chǎn)最低檔產(chǎn)品60件，每提高一個檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則獲得利潤最大時生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是________．解析：由題意，第k檔次時，每天可獲利潤為：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以當k＝9時，獲得利潤最大．答案：97.某人根據(jù)經(jīng)驗繪制了2016年元旦前后，從12月21日至1月7日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時間x(天)變化的函數(shù)圖像，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克．解析：前10天滿足一次函數(shù)關系式，設為y＝kx＋b，將點(1，10)和點(10，30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當x＝6時，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)8．某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達7000萬元，則x的最小值是__________．解析：七月份：500(1＋x%)，八月份：500(1＋x%)2.所以一至十月份的銷售總額為：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2，所以xmin＝20.答案：209．(2016·中山模擬)圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示．已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設利用的舊墻長度為xm，(1)將y表示為x的函數(shù)；(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最少，并求出最少總費用．解：(1)如圖，設矩形中與舊墻垂直的邊長為am，則y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360由已知得xa＝360，得a＝eq\f(360,x).所以y＝225x＋eq\f(3602,x)－360(x>2)．(2)因為x>2，所以225x＋eq\f(3602,x)≥2eq\r(225×3602)＝10800.所以y＝225x＋eq\f(3602,x)－360≥10440.當且僅當225x＝eq\f(3602,x)時，等號成立．即當x＝24時，修建圍墻的總費用最少，最少總費用是10440元．1．已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動．設點P運動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖像是()解析：選D.依題意知當0≤x≤4時，f(x)＝2x；當4<x≤8時，f(x)＝8；當8<x≤12時，f(x)＝24－2x，觀察四個選項知答案為D.2．經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在過去50天的銷售量和價格均為銷售時間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似地滿足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天價格為g(t)＝eq\f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天價格為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)寫出該種商品的日銷售額S與時間t的函數(shù)關系；(2)求日銷售額S的最大值．解：(1)根據(jù)題意，得S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2t＋200）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＋30))，1≤t≤30，t∈N，,45（－2t＋200），31≤t≤50，t∈N))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t2＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N.))(2)①當1≤t≤30，t∈N時，S＝－(t－20)2＋6400，所以當t＝20時，S的最大值為6400.②當31≤t≤50，t∈N時，S＝－90t＋9000為減函數(shù)，所以當t＝31時，S的最大值為6210.因為6210＜6400，所以當t＝20時，日銷售額S有最大值6400.3．候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模地遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關系為：v＝a＋blog3eq\f(Q,10)(其中a，b是實數(shù))．據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時候其耗氧量為30個單位，而其耗氧量為90個單位時，其飛行速度為1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，解：(1)由題意可知，當這種鳥類靜止時，它的速度為0m/s，此時耗氧量為30個單位，故有a＋blog3eq\f(30,10)＝0，即a＋b＝0；①當耗氧量為90個單位時，速度為1m/s故a＋blog3eq\f(90,10)＝1，整理得a＋2b＝1.②解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,a＋2b＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(