2022年江蘇新高二數(shù)學(xué)暑假教材知識(shí)點(diǎn)講練（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）第12講 橢圓（解析版）

第12講橢圓

分【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型的過程；

2.掌握橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程；

3.能用橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的實(shí)際問題.

4.掌握橢圓的對(duì)稱性、范圍、定點(diǎn)、離心率等簡單性質(zhì).

5.能用橢圓的簡單性質(zhì)求橢圓方程.

6.能用橢圓的簡單性質(zhì)分析解決有關(guān)問題.

皿【基礎(chǔ)知識(shí)】

知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義

平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)可、工的距離之和等于常數(shù)(歸同+|尸閭=2a>|月國)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)尸

的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

若|尸耳|+|尸閭=|耳閭,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為線段久巴;

若|尸耳|+|尸閶<|耳詞,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無圖形.

知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

1.當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：=+=人>0),其中°2=。2—/；

ab

22

2.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：3+二=l(a>b>0),其中。2=〃—

a~b

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

1.這里的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2.在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a>b>0和。之=a1-b~；

3.橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0),(-c,0)；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),

橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c),(0,-c)；4.在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在

哪一個(gè)坐標(biāo)軸上.

知識(shí)點(diǎn)三：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要用到以下幾種方法：

(1)待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點(diǎn)位置，可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題設(shè)確定方程中

的參數(shù)a,b,即：“先定型，再定量”.②由題目中條件不能確定焦點(diǎn)位置，一般需分類討論；有時(shí)也可設(shè)其

方程的一般式：tnx2+ny1=1(m,〃>0且mfn).

(2)定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再

定量”。利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題.

知識(shí)點(diǎn)四：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

22

我們根據(jù)橢圓j+==1(a>b>0)來研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)

ab-

橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線x=±。和y=±b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足|尤|%,\y\<b.

橢圓的對(duì)稱性

22

對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，+==1,把X換成-X,或把y換成-y,或把x、y同時(shí)換成-x、-y,方程都不變，

ab

22

所以橢圓二+4=1是以X軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，且是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，這

ab

個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。

橢圓的頂點(diǎn)

①橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為橢圓的頂點(diǎn)。

22

②橢圓=+;=1(a>b>0)與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為4(/,0),

ab

A2(a,0),Bi(0,-b),B2(0,b)。

③線段44,囪&分別叫做橢圓的長軸和短軸，|AiA2l=2a,\BxB^=2b.a和b分別叫做橢圓的長半軸長

和短半軸長。

橢圓的離心率

①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e=￡

②因?yàn)閍>c>0,所以e的取值范圍是0<e<l。e越接近1,則c就越接近a,從而C-c?越小,

因此橢圓越扁；反之，e越接近于0,c就越接近0,從而b越接近于a,這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)

a=b時(shí)，c=0,這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為r+9=/。

知識(shí)點(diǎn)五：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量“、氏C的幾何意義

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、6、C三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示

橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：4b>0,a>c>0,且序0+已

可借助下圖幫助記憶：

a、b、c恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中。是斜邊，b、c為兩條直角

和a、b、c有關(guān)的橢圓問題常與與焦點(diǎn)三角形APKB有關(guān)，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定

理（或勾股定理）、三角形面積公式3閥IWqsin相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有

關(guān)線段|P制、戶閭、閨用，有關(guān)角/送尸工（/甲線丁/耳3鳥）結(jié)合起來,建立忸耳|+|尸閭、|尸制.忸閭

之間的關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)六：橢圓兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程=+==l（a〉6〉0）=+==l（a〉6〉0）

焦點(diǎn)耳乙

耳(-c,0),F2(C,O)(0,—c),(0,c)

|耳8|=2c(c=，〃—")2

焦距|FXF2|=2c(c=1a—b?)

范圍\x\<a,\y\<b\x\<b,\y\<a

對(duì)稱性關(guān)于X軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱

性質(zhì)

頂點(diǎn)（土。,0）,（0,土份(0,土a),(土仇0)

軸長軸長=2。，短軸長=2。

離心率e=-(0<e<l)

a

2222

知識(shí)點(diǎn)詮釋：橢圓/+:=1,…1…）的相同點(diǎn)為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)

系都有。>6>0和6=￡（0<6<1）,〃=內(nèi)品不同點(diǎn)為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同；

a

橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看f、V的分母的大小，哪個(gè)

分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。

心【考點(diǎn)剖析】

泰二橢圓的定義

住1例1.已知K，B是兩個(gè)定點(diǎn)，且忸閶=2°（。是正常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)尸滿足伊耳|+|尸閶=/+i,則動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡是（）

A.橢圓B.線段C.橢圓或線段D.直線【答案】C

【解析】

【分析】

討論/+1與2a的大小關(guān)系，結(jié)合橢圓定義可知.

【詳解】

解：因?yàn)?+1..2a（當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí)，等號(hào)成立），所以|尸耳|+|尸"I…I月月|,

當(dāng)。>0且4W1時(shí)，|尸片|+|刊">|百入I,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；

當(dāng)。=1時(shí)，\PFl\+\PF2\=\FlF2\,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段耳耳.

故選：C.

考點(diǎn)二：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

例2.(1)求焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,3),(0,-3),且過點(diǎn)尸(g,3)的橢圓的方程.

(2)求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過兩點(diǎn)尸(；,｝、的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

Hi

11(2)丁+了」

【答案】(1)-----1-----=1;

2516

45

【解析】

【分析】

(1)由題意橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，K2a=)2+(3-3)2+)2+(3+3)2,結(jié)合“2=〃+c2即得解;

(2)設(shè)橢圓的方程為g2+外2=1,待定系數(shù)即得解

【詳解】

22

(1)由題意，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓方程為「+鼻=1

a2b2

由橢圓定義，2a=J(?)2+(3-3)2+16+(3+3)

|2=10

5

故a=5,c=3,6=Na1-c1=4

22

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：匕+二=1

2516

(2)不妨設(shè)橢圓的方程為：mx2+ny2=1

11,

—m+—n=1

經(jīng)過兩點(diǎn)尸(；,5、。(0,-5故＜Q9

，解得根=5,〃=4

—n=1

14

即5X2+4/=1

f+工-1

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：T+T-1

45

考點(diǎn)三：橢圓的綜合問題

22

例3.已知橢圓C:￡+1=l的左右焦點(diǎn)分別為月、B，尸是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求儼/訃怛閶的最大值

及最小值.

【答案】最大值25,最小值9.

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦半徑的取值范圍，建立IWIJPEI的函數(shù)關(guān)系，求函數(shù)的最值即可.

【詳解】

22

對(duì)橢圓C:|^+匕=1,a=5,c=4,不妨設(shè)附卜尤

又|Pf；|e[a—CM+c],即xe[l,9],貝1」戶閭=10—%，

|Pf；|-|P^|=x(10-x),xe[l,9],

對(duì)y=x(10-x),其在[1,5]單調(diào)遞增，在[5,9]單調(diào)遞減.

故當(dāng)尤=5時(shí)，ymax=5x5=25,當(dāng)x=l或9時(shí)，=9.

即|尸胤?盧耳|的最大值和最小值分別為25和9.

考點(diǎn)四：坐標(biāo)法的應(yīng)用

4

力^例4.已知△ABC底邊兩端點(diǎn)8(0,6)、C(0,-6),若這個(gè)三角形另外兩邊所在直線的斜率之積為-2,

求點(diǎn)A的軌跡方程.

22

【答案】L+2L=I(X/O)

8136

【解析】【分析】

設(shè)A(x,y),利用斜率的兩點(diǎn)式列方程并整理可得軌跡方程，注意XH0.

【詳解】

36

設(shè)A(x,y)且xwO,plijkABkAC=2z^.Z±^=y-=_1,

xxx9

22

整理得：4的軌跡方程上+乙=l(xwO).

8136''

考點(diǎn)五：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

例5.已知橢圓的方程為91+4/=36.

(1)求它的長軸長、短軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有多少個(gè)？試寫出其中的兩個(gè)橢圓方程.

【答案】(1)該橢圓的長軸長為6,短軸長為4,頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：

(0,3),(0,-3),(2,0),(—2,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,退),(0,-若)；

222

(2)與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有無窮多個(gè)，其中的兩個(gè)橢圓方程為工+/=1和工+上=1.

672

【解析】

【分析】

(1)把橢圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式，根據(jù)長軸長、短軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)橢圓中。力,c之間的關(guān)系進(jìn)行判斷取特例即可.

(1)

由9/+4/=36=1+了=1,

即a=3,6=2=c=一/=回耳=5

所以該橢圓的長軸長為2o=6,短軸長為乃=4,

頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：(0,3),(0,-3),(2,0),(-2,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(0,君),(0,-若).

⑵

由(1)可知：該橢圓的焦點(diǎn)在縱軸，且°=如，

22

設(shè)與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：J+3=l(a'＞b'＞0),所以有儲(chǔ)2-*=5("＞少＞0),該方程

ab

有無窮多組實(shí)數(shù)解，

2

當(dāng)"2=6時(shí)，b'2=l,所以橢圓方程為：匕+尤2=1,

6

22

當(dāng)"2=7時(shí)，b'2=2,所以橢圓方程為：^+―=1,所以與該橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓有無窮多個(gè)，其中的

72

222

兩個(gè)橢圓方程為匕+/=1和工+土=1.

672

考點(diǎn)六：求橢圓的離心率

222

例6.設(shè)斗工是橢圓￡：］+%=1(。＞6＞0)左，右焦點(diǎn)，P為直線尤=?上一點(diǎn)，若△月尸耳是底角

為30。的等腰三角形，則橢圓E的離心率為—.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】

22

由題，先利用幺得出/尸好耳＞90。，故為腰，再利用角度關(guān)系，得出幺與尸工，。工的關(guān)系,

CC

即可變形求解.

【詳解】

2

22

結(jié)合橢圓性質(zhì)得，a>b>c,:.—>a故直線x=上在橢圓右頂點(diǎn)右

cC

，4PFE>90°,又△工尸片是底角為30。的等腰三角形,

ZPRF?=NFiPF2=30°,,/PF2A=60°,

2

PF2=F1F2=2c,F2A=PF??cosNPF2A=c,=OF?+6A=2c,又OA=—,故

c

2

c〃2C126/c、

2c=—,——=—=e,/.e=—(e>0)

ca222

故答案為：變

2

考點(diǎn)七：求橢圓離心率的取值范圍

22

例7.設(shè)橢圓］+方=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為耳耳，如果橢圓上存在點(diǎn)P,使/￡尸乙=90。,

則離心率e的取值范圍.

【答案】旦e<l

2

【解析】

【詳解】

624c2,°2"2,1we<l.

試題分析：以線段可名為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，所以即"一l<e\所以

22

考點(diǎn)：橢圓的離心率.

考點(diǎn)八：由橢圓離心率求參數(shù)的取值范圍

22

例8.設(shè)e是橢圓三+匕=1的離心率，若ee工6,則”的取值范圍是

a42，-2

【答案】［1,3)。與』6

【解析】

【分析】

對(duì)a分。>4和0<“<4兩種情況討論，解不等式得解.

【詳解】

所以一<a<16.

3

當(dāng)0<a<4時(shí)，e=更三,所以工〈更三43,

2222

所以1Wa<3.

所以。的取值范圍是［l，3)u1@,16

【真題演練】

22

1.已知橢圓C：=+匕=l(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為

a4

B.|C.正D.逑

223

【答案】C

【解析】

【詳解】

分析：首先根據(jù)題中所給的條件橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0),從而求得c=2,再根據(jù)題中所給的方程中系數(shù),

可以得到/=4,利用橢圓中對(duì)應(yīng)。，久。的關(guān)系，求得a=2近，最后利用橢圓離心率的公式求得結(jié)果.

詳解：根據(jù)題意，可知c=2,因?yàn)閺?4,

所以a?=+02=&,即a=2A/2，

所以橢圓C的離心率為e=」==",故選C.

2V22

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓的離心率的問題，在求解的過程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要

學(xué)會(huì)從題的條件中判斷與之相關(guān)的量，結(jié)合橢圓中。，6,c的關(guān)系求得結(jié)果.

2.P是橢圓Y+4y2=i6上一點(diǎn)，B是該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且歸司=7,則歸用=()

A.1B.3C.5D.9

【答案】A

【解析】

【分析】

首先將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而得出橢圓長半軸長，再根據(jù)橢圓定義即可求解.

【詳解】

22

解：對(duì)橢圓方程Y+4y2=16變形得匕+匕=1,易知橢圓長半軸的長為4,

164

由橢圓的定義可得|明|+|尸局=2x4=8,

又忸耳|=7,故歸圖=7

故選：A.

尤2v2

3.橢圓C:〉與=l（a>6>0）的兩焦點(diǎn)為月，耳，若橢圓C上存在點(diǎn)尸使為等腰直角三角形，則橢

圓C的離心率為（）

A.9B.A/2-1C.今或向1D.4或第

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)等腰直角三角形，可知有三種情況：尸片，耳工和P鳥，丹尼，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解.

【詳解】

當(dāng)尸々，尸工時(shí)，△尸耳名為等腰直角三角形，則點(diǎn)P位于橢圓的上下頂點(diǎn)，則滿足：b=cne=旦,

一2

當(dāng)尸居或者因居瑪時(shí)，此時(shí)P土C,土貴］,△力譙為等腰直角三角形，則滿足叫=2c,

Ia）a

故/-c2-2ac=0^e2+2e-l=0，丁0<e<1,/.e=0-1

故選：C

4.已知橢圓E：5+《=l（巾>10）的離心率為事，則橢圓E的長軸長為（）.

A.V15B.275C.2A/15D.475

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)離心率的定義列方程求加，根據(jù)長軸長的定義求橢圓E的長軸長.

【詳解】

22

因?yàn)闄E圓E的方程為工+匕=1（?。?0）,

m10V7

2222

所以。2=根，Z?=10,c=a-b=m—10

又橢圓E的離心率為必

3

所以2史=解得機(jī)=15,

m3

所以Q=,

所以橢圓石的長軸長為2A.

故選：C.5.已知橢圓C:j+2=1（。＞八0）的左、右焦點(diǎn)分別為《匕尸為橢圓C上一點(diǎn)，若△尸耳耳的周

ab

長為54,且橢圓。的短軸長為18,則橢圓。的離心率為（）

A.-B,-C,-D,述

4535

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長2a+2c=54,26=18,以及。,仇。的關(guān)系片=從十,2即可解出名。，從而解

出離心率.

【詳解】

設(shè)橢圓C的焦距為2c,因?yàn)椤魇用闹荛L為54,所以2a+2c=54,即a+c=27.

因?yàn)闄E圓C的短軸長為18,所以6=9,因?yàn)樨?/_。2=（q+c）（a-c）=81,所以。-。=3,所以a=15,c=12.

c124

故橢圓c的離心率為

a155

故選：B.

一3

6.焦點(diǎn)在y軸上，長軸長為io,離心率為1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（)

A.二+匚1B-急+言=1

10064

=1D

0149各

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)長軸長算出。后，由離心率可得。的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

c3

因?yàn)殚L軸長為10,故長半軸長a=5,因?yàn)閑=9=3,所以半焦距。=3,

a5

故。=a?一/=25-9=16,

22

又焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+土=1,

2516

故選：D

（多選題）7.點(diǎn)耳，B為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P,使得/居P8=90。，則橢圓C方程可

以是（）

B.3=1

A.——+—=1

2592516

C4一1D.J匚1

189169

【答案】AC

【解析】

【分析】

設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為B,由題滿足/片3鳥290。，即忸片「+忸用2w耳閭2,可得即可得出答案.

【詳解】

22

設(shè)橢圓方程為鼻+當(dāng)=1（。＞人＞0）,

ab

設(shè)橢圓上頂點(diǎn)為橢圓C上存在點(diǎn)尸，使得/可產(chǎn)工=90。,

則需/43&290。，

.?』如『+|肛『<山就，

BPa2+a2<4c2,-.-c2=a2-b1,2<z2<4a2-4b2,

則片2262,所以選項(xiàng)AC滿足.

故選：AC.

/2

8.設(shè)橢圓C：^+V方=l(q>b>0)的左右焦點(diǎn)為M，&作總作X軸的垂線與c交于43兩點(diǎn)，與y軸

交于點(diǎn)。，若月B,則橢圓C的離心率等于.

【答案】3

3

【解析】

【詳解】

試題分析：因?yàn)?。平行于F/,所以。為耳B中點(diǎn)，又4。，耳8,所以4居=AB=2A&,設(shè)=m,則

明=2人月名=6私因止匕'=：=||二與%=給，=￥

考點(diǎn)：橢圓的離心率

9.設(shè)AB是橢圓「的長軸，點(diǎn)C在:T上，且NCB4=5,若AB=4,BC=。則=的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離

為【答案】迤

3

【解析】

【詳解】

不妨設(shè)橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+^=1,于是可算得C(l,l),得從=*,2c=述.

4b233

【考點(diǎn)定位】考查橢圓的定義及運(yùn)算，屬容易題.

10.已知明、鳥是橢圓C：W+4.l(4>。>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且函成?

(rb9

若岬鳥的面積為9,則&=.

【答案】3

【解析】

【詳解】

設(shè)橢圓的焦距為2c,則02="-或由橢圓定義知?dú)v|+|/=2a,

由題意知附］+|*2=4/，白西|唱=9「則附H叫=18,

貝“閡2十|圖2=(|閡+|叫/_2|閡］圖=4/_36=而，

gp4a2-4c2=36=4/72,所以6=3.

22

11.已知橢圓斗+與=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(-c,O),4(c,O),若橢圓上存在一點(diǎn)尸使

ab

=

-ZPFF?ZPFF>則該橢圓的離心率的取值范圍為___________.

sinZ.PFlF2sinZPF2F1

【答案】(V2-l,l)

【解析】

【詳解】

試題分析：在△PFF2中，由正弦定理得：.%尸=.%.，則由已知得：巴=凹,

sm/尸;但sin/Pf迷ac

即：a|PFi|=|cPF2|

設(shè)點(diǎn)(xo,yo)由焦點(diǎn)半徑公式,

得：|PFi|=a+exo,|PF2|=a-exo,則a(a+exo)=c(a-exo)

2

解得：xo=半”,由橢圓的幾何性質(zhì)知：xo>-a則半=1>出整理得e+2e-l>0,解得：e4也八

e(-a+c)e(e+l)e(e+l)

或e>0-l,又ed(0,1),

故橢圓的離心率：ed(夜-1,1),故答案為(血-1,1).

考點(diǎn)：本題主要考查了橢圓的定義，性質(zhì)及焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用，特別是離心率應(yīng)是橢圓考查的一個(gè)亮點(diǎn),

多數(shù)是用a,b,c轉(zhuǎn)化，用橢圓的范圍來求解離心率的范圍.

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能通過橢圓的定義以及焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，進(jìn)而得到

離心率的范圍.

12.橢圓「=1(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為片，用,焦距為左，若直線y=<75(r+c)與橢圓的一個(gè)

交點(diǎn)滿足ZMF[F2=，則該橢圓的離心率等于

【答案】5/3-1

【解析】

【詳解】

注意到直線過點(diǎn)(-C,O)即為左焦點(diǎn)耳，又斜率為了，所以傾斜角為60°,即片乙=60°.又

.\IF\F.=2Z1/A\F,故ZMF2Ft=30°,那么"串耳=90°.MFt=片0cos60°=24=c,

巧2c2c2cI-

MF,=FF,-sin60°=2c*P-=>/3c,e=^T=-----=13-1.

212

22aMF、+MF213c+c

【考點(diǎn)定位】考查離心率的算法，要求學(xué)生要有敏銳的觀察力，比如直線的特征.屬于難題.

13.已知定點(diǎn)耳(T,。)、鳥(4,0)和動(dòng)點(diǎn)M(尤,y).

(1)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡及其方程.

條件①：|町I+W胤=12

條件②：|4閨+|叫|=8

(,2)\MFl\+\MF2\=2a(a>0),求:動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡及其方程.

【答案】(1)答案見解析；

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)不同的選擇，結(jié)合橢圓的定義，即可求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡及其方程；

(2)對(duì)。的取值范圍進(jìn)行分類討論，結(jié)合不同情況求得對(duì)應(yīng)的軌跡及方程即可.(1)

選擇條件①：陷|+|%|=12,因?yàn)?2>陽司=8,

22

故點(diǎn)〃的軌跡是以斗鳥為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為J+斗=l(a>6>0),

ab

22

則c=4,a=6,/二/一/二？。，故其方程為：土+匕=1.

3620

22

即選擇條件①，點(diǎn)M的軌跡是橢圓，其方程為工+匕=1;

3620

選擇條件②：|崢|+|峭|=8,因?yàn)?=|耳詞,

故點(diǎn)M的軌跡是線段用耳，其方程為y=0,(TWxW4).

(2)

因?yàn)閨町|+|M|=2a(a>0),

當(dāng)0<a<4時(shí)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)〃不存在，沒有軌跡和方程；

當(dāng)a=4時(shí)，此時(shí)2a=|百閭，

由(1)可知，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段百耳，其方程為y=0,(-4WxW4)；

當(dāng)a>4時(shí),此時(shí)2a>|耳閭，

22

此時(shí)點(diǎn)加的軌跡是以月,8為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為二+"—=1.

ClCL—16

綜上所述：當(dāng)0<a<4時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M沒有軌跡和方程；

當(dāng)a=4時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段可工，其方程為y=0,(TWx(4)；

22

當(dāng)a>4時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以耳，&為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為鼻+Y—=1.

14.已知點(diǎn)M到定點(diǎn)尸。,0）的距離和它到定直線/:x=4的距離的比是常數(shù)《，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,求

曲線C的方程，并說明軌跡是什么圖形.

22

【答案】三+匕=1,橢圓.

43

【解析】

【分析】

設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出滿足的等量關(guān)系，整理化簡即可求得軌跡方程，再根據(jù)方程即可判斷軌跡

對(duì)應(yīng)的圖形.

【詳解】設(shè)點(diǎn)加的坐標(biāo)為（％y）,根據(jù)題意‘m=2，

即?。ㄓ权D1）+9=j_,整理得：r+￡=1,

|4-x|243

22

即曲線C的方程為：上+匕=1,其表示一個(gè)橢圓.

43

15.設(shè)①離心率e=g,②橢圓C過點(diǎn)H）,③△「可耳面積的最大值為G，在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

充在下面（橫線處）問題中，并作答.

22

問題：設(shè)橢圓C:'+方=1>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，尸2，已知橢圓c的短軸長為2百，

求橢圓C的方程.

【答案】土+匕=1

43

【解析】

【分析】

由題設(shè)易知6=6,根據(jù)所選的條件，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求參數(shù)。，即可得橢圓C的方程.

【詳解】

由題設(shè)，2b=20即6=6，

c1

1-=-fy2

①離心率e=q：貝ija2,可得a=2,則橢圓方程為土+匕=1；

2

h2_2243

②橢圓C過點(diǎn)?：則3+之=±+。=1,可得“2=4,則橢圓方程為工+父=1；

I2>a4ba443

③△尸與B面積的最大值為石：貝『：=嚴(yán)=產(chǎn)，可得“2=4,則橢圓方程為工+J1.

b=a-c43

22

綜上：橢圓C的方程為上+匕=1

43

【過關(guān)檢測(cè)】

22

1.已知月,月分別是橢圓3+2=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且尸々，尸與，若

Clb

P居1=5/§怛用，則橢圓的離心率為（）A.卡-8B.2-A/3C.73-1D.與

【答案】C

【解析】

【分析】

利用橢圓定義和勾股定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.

【詳解】

設(shè)|尸巴卜加，則|P娟=6"，由橢圓定義知：（指+1）%=2〃；

?.?尸耳_LPK，.?.閥『+歸引2=|耳聞2,即4療=4c?,.?.加=c,

（G+I）c=2a,.,.橢圓的離心率e=；=^^=^-l.

故選：C.

22

2.己知橢圓C:f+/=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月、F2,點(diǎn)尸為C上一點(diǎn)，若尸耳，月耳,且

ab

N尸耳B=30。，則橢圓。的離心率為（）

A.-B.—C,-D.—

6g33

【答案】D

【解析】

【分析】

94

先根據(jù)尸入耳，且/尸片鳥=30。求得”=、4,「片=§。，再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于a，c的方程，解出e

即可

【詳解】

,尸點(diǎn)橢圓C上的點(diǎn),

，|「耳|+|尸閭=2。/"\PFDRFZ，且/W隹=30。

.?.尸8=+，3=全在4尸6鳥中，閨閶氣|產(chǎn)用2=閥「

即（2c）2+ga）2=ga）2,整理得：02=92

即e2=Le="

33

故選：D

3.已知橢圓三+21=1的左、右焦點(diǎn)分別為0B，點(diǎn)M在橢圓上，若1函|=4,貝|N甲*=（）

92

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓方程求得忸可=2占，由橢圓的定義，得|叫|+|叫|=2。=6,求得|町|=4,所以|M局=2,

在△片”中，再由余弦定理列出方程，求得cosNG〃g=-；,即可求解.

【詳解】

解：由題意，橢圓方程3"+5=1,可彳導(dǎo)a=3,b=①,cuyla2-及=不，

所以焦點(diǎn)耳（-刀,0）,月（萬,0）,

又由橢圓的定義，可得莊|+|Mg|=2a=6,因?yàn)閨嗎|=4,所以|M閶=2,

在△邛I明中，由余弦定理可得閨閶2=|九％「+附用2一2慳團(tuán)慳國8$/甲鶴，

所以（2近了=42+22-2X4X2COSZ7=；A/F；,解得cos/呼叫=-1，

又由N耳外e（0。,180。）,所以/邛明=120".

故選:C.

4.已知￡,B是橢圓C:二+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，貝||班訃|知周的最大值為（）.

A.13B.12C.25D.16

【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)橢圓定義可得|嗎|+W*|=10,利用基本不等式可得結(jié)果.

【詳解】

由橢圓方程知：a=5-,根據(jù)橢圓定義知：|岬|+|加段=2a=10,

.?.|崢卜陽用（［MG9gl=25（當(dāng)且僅當(dāng)|M|=|崢|時(shí)取等號(hào)），

.,.|八陽?|“國的最大值為25.

故選：C.

22

5.已知橢圓匕+二=1的焦點(diǎn)為耳、F2,P為橢圓上的一點(diǎn)，若N耳呼=60。，則△耳尸只的面積為（

259

A.3B.9C.3A/3D.9石

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)橢圓定義和焦點(diǎn)三角形，利用余弦定理和面積公式即可求解.

【詳解】

根據(jù)橢圓的定義有|