2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習4.1二項式定理的推導

2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

§4二項式定理

4.1二項式定理的推導

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一對二項式定理的理解

1.(a+b)2n(n￡N+)的展開式的項數(shù)是()

A.2nB.2n+l

C.2n-lD.2(n+l)

2.設(shè)S=(x-l)3+3(x-l)2+3(x-l)+l,則S等于()

A.(x-1)3B.(x-2)3

C.x3D.(x+1)3

3.設(shè)A=37+C^X35+第X3，。X3,B=GX3,+廢X3,+俏X32+l,則A-B的值為

()

A.128B.129C.47D.0

4.用二項式定理展開(1.

題組二求二項展開式的特定項、項的系數(shù)及二項式系數(shù)

5.(2021北京順義二模)在(x-或T的展開式中,Y的系數(shù)為()

A.-40V2B.40V2C.-40D.40

6.(2020湖南岳陽期末)若(x-盤/的展開式的常數(shù)項為60,則實數(shù)a的值為(

A.4B.2C.8D.6

7.(2020四川綿陽中學線上學習評估)(2x+a)5(其中a#0)的展開式中,x?的系數(shù)

與x3的系數(shù)相同,則實數(shù)a的值為()

A.±-1B.1iC.-2D.2

22

8.（2021天津河西期末乂x-》n的展開式中,第3項的二項式系數(shù)比第2項的二項

式系數(shù)大9,則該展開式中的常數(shù)項為（）

A.-160B.-80C.80D.160

9.（2020遼寧大連一模*x+2y7的展開式中x2y4的系數(shù)為.

10.（2021福建泉州十一中等六校期末）已知（x+由）n的展開式中，前三項的二項

式系數(shù)之和為37.

⑴求n的值；

⑵求展開式中用勺系數(shù).

X

題組三賦值法求系數(shù)和

11.（2020山東濟寧質(zhì)檢）若（xJ）n（n￡N+）的展開式的第3項的二項式系數(shù)是15,

則展開式的所有項系數(shù)之和為（

12.（2020山東煙臺棲霞一中月考）設(shè)（1-3x）9=a°+aix+a2x2+…+a9X*則

Ia。|+1ai|+1a?|+…+1a（）|的值為（）

A.29B.49C.39D.59

13.（2020陜西寶雞模擬）若?-3yy（n￡N+）的展開式的各項系數(shù)之和為32,則

展開式中x的系數(shù)為.

能力提升練

題組一多項式展開式中的特定項及項的系數(shù)

1.（2020湖南師大附中月考）3+2乂Ml7的展開式的常數(shù)項是（）

A.-3B.-2

C.2D.3

2.（2020山東棗莊第三中學月考）在（1+x+篇）1°的展開式中,X?的系數(shù)為

（）

A.30B.45C.60D.90

3.（2020陜西榆林二中月考）若+1）8（ax-l）的展開式中含4的項的系數(shù)為

21,則實數(shù)a的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

829

4.（2020遼寧沈陽二中月考）已知x（x-2）=a0+ai（x-1）+a2（x-1）+,?,+a9（x-1）,貝

26=（）

A.-28B.-448C.112D.448

題組二賦值法求與系數(shù)有關(guān)的問題

67

5.(2020山東濟南一中月考)已知(1+x)(a-x)=a0+aix+---+a7x,若ao+ai+---+a7=O,

則a3=()

A.-5B.-20C.15D.35

io210

6.(多選)(2020山東濟南期末)若(2x-l)=ao+aix+a2x+---+aiox,xwR,則()

A.a2=180

10

B.|a01+II+I&21+,■,+Iai01=3

C.@[+@2+°??+@10=1

D匣+也+匣+…+%=-1

*22223210

8

7.(2020湖南長沙長郡中學月考)設(shè)0+1)?(4x-2)=ao+ai(2x-l)+a2(2x-

10

]尸+…+aio.(2x-l),貝I]ai+a2+--+aio=.

3528

8.(x-3)(2x+l)=a0+aix+a2X+---+a8x,貝I]a0=,ao+a2+---+a8=.

9.(2020廣東鹽田深圳外國語學校月考《-4y+2了的展開式中,不含x的各項

系數(shù)之和為.

_n23n

10.已知然二56。二，H(l2x)=ao+aix+a2x+a3x+---+anx.

(1)求n的值；

題組三二項式定理的應用

11.（2020湖南衡陽期末）1.95,的計算結(jié)果精確到個位的近似值為（）

A.106B.107

C.108D.109

12.1-90盤0+9（）2弓）-903仃0+-+901°盤（?除以88的余數(shù)是（）

A.2B.1C.86D.87

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B根據(jù)二項式定理可知,展開式共有(2n+l)項.

2.CS=(x-l)3+3(x-l)2+3(x-1)+1

=Cg(x-l)3+C^(x-l)2+C^(x-l)+C1

=[(x-D+l]3=x3.

3.AA-B=C?X3-C^X36+C^X35-C^X34+第X3-?X3Z+C^X3-C5X3-(3-

1)7=27=128.

4.答案1+*+持+2+3

XX5X4

44641

解析解法一:。+Ac哨°+禺G）*xG）=1+-+—.

XX2X3%4

解法二：(1+1)4=G)4(X+1)4

=Q)4(Cjx^Cjx^Ci^+C^x^Clx0)

=1+-+—.

XX2X3X4

5.A(%-魚)6的展開式的通項為Tr+kCNx'F?(-V2)r,令6-r=3,解得r=3,貝ljx3的

系數(shù)為髭(-魚)二-40VI故選A.

6.A(%-察)6的展開式的通項為J尸禺1)「祓瑪令6-3r=0,解得

r=2,則常數(shù)項為(T)2a髭=60,解得a=4.故選A.

5r5-r

7.D(2x+a)5的展開式的通項為Tr+1=C^(2x)^a=2^aC^x.

因為x2的系數(shù)與r的系數(shù)相同,所以22a3ct23a2釐，即4a3=8a2,又a#0,所以a=2.

故選D.

8.A由第3項的二項式系數(shù)比第2項的二項式系數(shù)大9,得鬣-禺=9,1122,n￡N+,

6rr

解得n=6.(%-/的展開式的通項為Tr+1=C^x^-|)=(-2)-CQ,令6-2r=0,解

3

得r=3.當r=3時,取得常數(shù)項T4=(-2)Ci=-160.故選A.

9.答案60

解析Qx+2y7的展開式的通項為0尸品-Qx)6-r(2y)r=22r-6C^x6-y.

2424

令r=4,得T5=60xy.故xy的系數(shù)為60.

1。.解析(1)由題意得Cg+C3鬣=37,n22,n￡N,

即l+n+*2=37,所以n=8.

⑵當n=8時,(％+全『的展開式的通項為幾+1=慧婷(泰小魔Q)\84,

令*一竽解得k=6,

故展開式中1的系數(shù)為心6)6噂

11.B由題意知髭=智衛(wèi)=15,解得n=6或n=-

得所有項系數(shù)之和為念

12.B易得（「3x）9的展開式的通項為L+-Cr（_3）Y,.-.a0）a2,a4,a6,as為正

數(shù),3i,a3,as,a7,ag為負數(shù),

?.|ao|+|ail+|a2|+'"+|a9

二a。一@3+?**+@8一a9，

令x=-l,得（］+3）9=a（）_ai+a2_a3+…+28_29=4:

|ao|+|ail+，"+|a9l=49.

13.答案2025

解析依題意,令x=l,得（5-3）三32,解得n=5,則該式為停-3⑸1其展開式的通

?5-r13r

（-3%2）^55r?（-3）r-

令,-5=1,得r=4,所以x的系數(shù)為55-4X（-3）4XCf=2025.

能力提升練

皿（：+2啰-1）。（妥一1）%&一1）二

kk2k10

（妥-17的展開式的通項為Tk+1=Cg?（2廣匚（-l）=（-l）Cgx-,令2k-10=0,得

k=5,所以（2-1了的展開式的常數(shù)項為令2k-10=-2,得k=4,所以

的展開式中含1項系數(shù)為（-1”禺=5,所以

（X2+2）RR'（妥-1）+2（2-1）的展開式的常數(shù)項是5+2X（-1）=3,故選D.

易錯警示（1）二項式定理的核心是通項，求解此類問題可以分兩步完成：第一步,

根據(jù)所給出的條件（特定項）和通項，建立方程來確定指數(shù)（求解時要注意二項式

系數(shù)中n和r的隱含條件，即n,r均為非負整數(shù),且n^r）;第二步，根據(jù)所求的指

數(shù)求所求解的項.

(2)求兩個多項式的積的特定項，可通過化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論

求解.

2.B(1+%+而的展開式的通項為Tr+1=C[0?(%+康)1rW10,rWN.

(%+的展開式的通項為Tk+尸邙x"加,女★心k￡N,令r-2021k=2,可得

r=2+2021k,只有k=0,r=2滿足題意,故x?的系數(shù)為釐°XC戶45,故選B.

3.A+/)8的展開式的通項為尸最(?產(chǎn)?OO卡?

令等三,得r=3;令手W得「擲,舍去，

乙乙乙乙。

所以+3%xT)的展開式中含小的項的系數(shù)為GY喘a=7a,所以7a=21,得

a=3.故選A.

4.A由x(x-2)8=[(x-l)+l][(x-l)-1廠知,

當?shù)谝粋€因式取(x-1)時,第二個因式取/(xT),(-1)3,其系數(shù)為-56,

當?shù)谝粋€因式取1時，第二個因式取第(x-?(TV,其系數(shù)為28,

故a6=-56+28=-28.故選A.

5.A由題意，令x=l,可得a()+ai+…+a7=(l+l)(aT)6=2X(aT)6=0,.?.a=l,

/.(1+x)(a-x)6=(l+x)(1-x)6=(1-x)6+x(1-x)6,

???展開式中x3的系數(shù)為髭(-1)3+C2(-1)2=-20+15=-5,故選A.

6.ABD因為Qx-l)"的展開式的通項為kq。?(2x).所以

2

T9=Cf0(2x)X(一1)J180X2,所以a2=180,故A正

10210

(2x+l)=|a01+1ai|x+1a21x+---+1ai01x,令x=l,得|a。|+1a1|+1a?|+…+1a”|=31°,

故B正確.令x=0,得a0=l,令x=l,得a0+ai+a2+---+ai0=l,所以ai+a2+---+ai0=0,故C

錯誤.令xj,得如+?+導詈+…+翳=0,所以？+導詈+.??+翳故D正確.

222，2±u22/2，2±u

7.答案512

28210

解析V(x+l)(4x-2)=a0+ai(2xT)+a2(2x-l)+---+ai0(2x-l),

89

.?.令x=l,得(1+1)X(4Xl-2)=a0+a1+a2+-+a10=2,令x=1,得g+1)X(4X

1、8

--2J=a()=0,

ai+a2+,?,+aio=29-O=512.

8.答案-27;-940

3

解析令x=0,得(-3)=a0,所以a0=-27.

令x=l,得(-2)3><35=ao+ai+a2+…+酶①

5

令x=_],得(_4”X(-1)=a0-ai+a2—+a8,②

,,

①+②得2(ao+a2+'+a8)=-1880,

a()+a2+…+28=-940.

9.答案256

解析(：-4y+2)=1+(―4y+2)]的展開式的通項為Tr+i=C&0>(_4y+2)\

?8—8