2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步綜合測(cè)試訓(xùn)練含解析新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE1-第六章綜合測(cè)試(時(shí)間：120分鐘滿分150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m等于(C)A．－eq\r(2) B．eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0[解析]由a∥b知1×2＝m2，解得m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2)．2．如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，且E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則(C)A．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c＋d) B．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a－b＋c－d)C．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c＋d－a－b) D．eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c－d)[解析]連接OE，OF.因?yàn)閑q\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c＋d)－eq\f(1,2)(a＋b)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c＋d－a－b)．3．已知M，P，Q三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿意8eq\o(OM,\s\up6(→))－3eq\o(OP,\s\up6(→))－4eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，則下列結(jié)論正確的是(D)A．eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→)) B．eq\o(OM,\s\up6(→))＝－3eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))C．eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))－4eq\o(MQ,\s\up6(→)) D．eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(MP,\s\up6(→))＋4eq\o(MQ,\s\up6(→))[解析]由8eq\o(OM,\s\up6(→))－3eq\o(OP,\s\up6(→))－4eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OM,\s\up6(→))＋3(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→)))＝0，則eq\o(OM,\s\up6(→))＋3eq\o(PM,\s\up6(→))＋4eq\o(QM,\s\up6(→))＝0，即eq\o(OM,\s\up6(→))＝3eq\o(MP,\s\up6(→))＋4eq\o(MQ,\s\up6(→)).故選D．4．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝(4,3)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(1,5)，則eq\o(BC,\s\up6(→))等于(B)A．(－2,7) B．(－6,21)C．(2，－7) D．(6，－21)[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AQ,\s\up6(→))＝2(eq\o(PQ,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))＝2(－3,2)＝(－6,4)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(PC,\s\up6(→))＝3(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝3(－2,7)＝(－6,21)．5．設(shè)D，E，F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝2eq\o(EA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))(A)A．反向平行 B．同向平行C．相互垂直 D．既不平行也不垂直[解析]eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))．6．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，下列結(jié)論中正確的是(D)A．P在△ABC的內(nèi)部 B．P在△ABC的邊AB上C．P在AB邊所在直線上 D．P在△ABC的外部[解析]由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))可得eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴四邊形PBCA為平行四邊形．可知點(diǎn)P在△ABC的外部．故選D．7．已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb，λ，μ∈R，若A，B，C三點(diǎn)共線，則(D)A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1[解析]∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴存在m∈R，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m,1＝mμ))，∴λμ＝1，故選D．8．設(shè)M是△ABC所在平面上一點(diǎn)，且eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，D是AC的中點(diǎn)，則eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(BM,\s\up6(→))|)))的值為(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．1 D．2[解析]因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以eq\o(MB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)(eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)×2eq\o(MD,\s\up6(→))＝－3eq\o(MD,\s\up6(→))，故eq\f(|\o(MD,\s\up6(→))|,\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(MB,\s\up6(→))|)))＝eq\f(1,3)，故選A．二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9．下列命題不正確的是(AB)A．單位向量都相等B．若a與b是共線向量，b與c是共線向量，則a與c是共線向量C．|a＋b|＝|a－b|，則a⊥bD．若a與b是單位向量，則|a|＝|b|[解析]單位向量?jī)H僅長(zhǎng)度相等而已，方向或許不同；當(dāng)b＝0時(shí)，a與c可以為隨意向量；|a＋b|＝|a－b|，即對(duì)角線相等，此時(shí)為矩形，鄰邊垂直．10．下列命題中正確的是(ABD)A．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0C．0·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))[解析]起點(diǎn)相同的向量相減，則取終點(diǎn)，并指向被減向量，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))是一對(duì)相反向量，它們的和應(yīng)當(dāng)為零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0；0·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，故選ABD．11．若e是直線l上的一個(gè)單位向量，這條直線上的向量a＝－eq\f(3,2)e，b＝eq\f(2,3)e，則下列說(shuō)法正確的是(BD)A．a(chǎn)＝－b B．b＝－eq\f(4,9)aC．a(chǎn)＋b的坐標(biāo)為0 D．|a||b|＝1[解析]因?yàn)閍＝－eq\f(3,2)e，b＝eq\f(2,3)e，所以|a|＝eq\f(3,2)，|b|＝eq\f(2,3)，|a||b|＝1，b＝－eq\f(4,9)×(－eq\f(3,2)e)＝－eq\f(4,9)a，a＋b＝(－eq\f(3,2)＋eq\f(2,3))e＝－eq\f(5,6)e.a＋b的坐標(biāo)為－eq\f(5,6)．12．假如e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是(BC)A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的全部向量B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)C．若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0[解析]由平面對(duì)量基本定理可知，A，D是正確的．對(duì)于B，由平面對(duì)量基本定理可知，若一個(gè)平面的基底確定，那么該平面內(nèi)的隨意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的．對(duì)于C，當(dāng)兩個(gè)向量均為零向量時(shí)，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，這樣的λ有多數(shù)個(gè)，或當(dāng)λ1e1＋μ1e2為非零向量，而λ2e1＋μ2e2為零向量(λ2＝μ2＝0)，此時(shí)λ不存在．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上)13．若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,8)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－7,2)，則eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝__(－3，－2)__．[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－9，－6)，所以eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2)．14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝__－1__．[解析]∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)，∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1．15．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則a＋b＋c的模等于__2eq\r(2)__．[解析]|a＋b＋c|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|2eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)．16．如圖所示，已知△OAB，由射線OA和射線OB及線段AB構(gòu)成如圖所示的陰影區(qū)(不含邊界)．(1)若D為AB中點(diǎn)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝__eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))__(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)；(2)已知下列四個(gè)向量：①eq\o(OM1,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))；②eq\o(OM2,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))；③eq\o(OM3,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))；④eq\o(OM4,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))．對(duì)于點(diǎn)M1，M2，M3，M4，落在陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)的點(diǎn)有__M1，M2__(把全部符合條件點(diǎn)都填上)．[解析](1)若D為AB中點(diǎn)，則由向量的加法法則可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(2)設(shè)M在陰影區(qū)域內(nèi)，則射線OM與線段AB有公共點(diǎn)，記為N，則存在實(shí)數(shù)t∈(0,1]，使得eq\o(ON,\s\up6(→))＝teq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))，且存在實(shí)數(shù)r≥1，使得eq\o(OM,\s\up6(→))＝req\o(ON,\s\up6(→))，從而eq\o(OM,\s\up6(→))＝rteq\o(OA,\s\up6(→))＋r(1－t)eq\o(OB,\s\up6(→))，且rt＋r(1－t)＝r≥1.又由于0＜t≤1，故r(1－t)≥0.對(duì)于①中rt＝1，r(1－t)＝2，解得r＝3，t＝eq\f(1,3)，滿意r≥1也滿意r(1－t)≥0，故①滿意條件．對(duì)于②中rt＝eq\f(3,4)，r(1－t)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(13,12)，t＝eq\f(9,13)，滿意r≥1也滿意r(1－t)≥0.故①滿意條件．對(duì)于③中rt＝eq\f(1,2)，r(1－t)＝eq\f(1,3)，解得r＝eq\f(5,6)，t＝eq\f(3,5)，不滿意r≥1，故③不滿意條件．對(duì)于④中rt＝eq\f(3,4)，r(1－t)＝eq\f(1,5)，解得r＝eq\f(19,20)，t＝eq\f(15,19)，不滿意r≥1，故④不滿意條件．四、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知點(diǎn)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))，t為何值時(shí)，點(diǎn)P在x軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在其次象限？[解析]因?yàn)閑q\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，所以t＝－eq\f(2,3)．若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，所以t＝－eq\f(1,3)．若點(diǎn)P在其次象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0.))所以－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3)．18．(本小題滿分12分)在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝B．(1)如圖①，假如E，F(xiàn)分別是BC，DC的中點(diǎn)，試用a，b分別表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))；(2)如圖②，假如O是AC與BD的交點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→))．[解析](1)eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋B．eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)B．(2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－A．因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，G是DO的中點(diǎn)，所以eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(b－a)，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝a＋eq\f(3,4)(b－a)＝eq\f(1,4)a＋eq\f(3,4)B．19．(本小題滿分12分)設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(m,3)．(1)當(dāng)m＝8時(shí)，將eq\o(OC,\s\up6(→))用eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))表示．(2)若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿意的條件．[解析](1)m＝8時(shí)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(8,3)，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1＋3λ2＝8，,－λ1＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝\f(14,3).))所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝－3eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(14,3)eq\o(OB,\s\up6(→))．(2)若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則有eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，則有1×4－(m－2)×1≠0，所以m≠6．20．(本小題滿分12分)已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up6(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up6(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三點(diǎn)共線．(1)求實(shí)數(shù)λ的值；(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up6(→))的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)D(3,5)，在(2)的條件下，若A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針依次構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．[解析](1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2．因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(EC,\s\up6(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2．因?yàn)閑1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,λ＝k－1))解得k＝－eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(3,2)．(2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針依次構(gòu)成平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))．設(shè)A(x，y)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3－x,5－y)，因?yàn)閑q\o(BC,\s\up6(→))＝(－7，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7.))即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,7)．21．(本小題滿分12分)用向量法證明：三角形的三條中線交于一點(diǎn)．[解析]如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊上的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，AD∩BE＝G.設(shè)eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BG,\s\up6(→))＝μeq\o(BE,\s\up6(→))．則eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝(b－a)＋μeq\o(BE,\s\up6(→))＝(b－a)＋μ(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→)))＝b－a＋μ(eq\f(1,2)a－b)＝eq\f(1,2)(μ－2)a＋(1－μ)b，又eq\o(AG,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝λ(－a＋eq\f(1,2)b)＝－λa＋eq\f(1,2)λb，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＝\f(1,2)μ－2，,\f(1,2)λ＝1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3).))則eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(2,3)(－a＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，所以eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CF,\s\up6(→))，所以G在中線CF上，所以三角形三條中線交于一點(diǎn)．22．(本小題滿分12分)在△ABC中，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)e