2022-2023學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝2+i，則z?iA．1 B．2 C．i D．2i2．（5分）某中學(xué)高一年級(jí)有20個(gè)班，每班50人；高二年級(jí)有24個(gè)班，每班45人．甲就讀于高一，乙就讀于高二．學(xué)校計(jì)劃從這兩個(gè)年級(jí)中共抽取208人進(jìn)行視力調(diào)查，若采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣，則下列說法：①甲乙兩人可能同時(shí)被抽??；②高一、高二年級(jí)分別抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大．其中正確的有（）A．① B．①③ C．①② D．①②③3．（5分）已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，下列說法正確的是（）A．若m∥β，則α∥β B．若l?β，m∥l，則m∥β C．若α⊥β，則m⊥β D．若m⊥β，則α⊥β4．（5分）已知向量a→，b→滿足|b→|=1，aA．2 B．2a→ C．-25．（5分）已知α，β，γ是三個(gè)平面，α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線l2與直線l3可能是異面直線 B．若l1∩l2＝O，則直線l1與直線l3可能平行 C．若l1∩l2＝O，則直線l2與直線l3不可能相交于O點(diǎn) D．若l1∥l2，則l1∥l36．（5分）已知平面向量a→，b→，c→滿足|a→|=1，|b→|=2且對(duì)?tA．2π3 B．π2 C．π37．（5分）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，則A′到平面EFD的距離為（）A．1 B．23 C．438．（5分）已知一組樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12，將這組樣本數(shù)據(jù)增加兩個(gè)未知的數(shù)據(jù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，已知新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差最小值為（）A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）學(xué)校“未來杯”足球比賽中，甲班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.9，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3；乙班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.3，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2，你認(rèn)為下列說法中正確的是（）A．平均來說乙班比甲班防守技術(shù)好 B．乙班比甲班防守技術(shù)更穩(wěn)定 C．乙班在防守中有時(shí)表現(xiàn)非常好，有時(shí)表現(xiàn)比較差 D．甲班很少不失球（多選）10．（5分）已知x∈C（全體復(fù)數(shù)集），關(guān)于x的方程x2+tx+2＝0（t∈R）的兩根分別為x1，x2，若|x1-A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4（多選）11．（5分）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜0)A．f（0）＝﹣1，A＝2 B．x1=πC．x2＝2x1 D．x2＝4x1（多選）12．（5分）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)及表面上一點(diǎn)，且AP→=mAB→+nADA．當(dāng)n＝1時(shí)，對(duì)任意m∈[0，1]，CP∥平面ABB1A1恒成立 B．當(dāng)m＝0，n=12時(shí)，B1P與平面ABC1D1所成的線面角的余弦值為C．當(dāng)m+n＝1時(shí)，A1C1⊥B1P恒成立 D．當(dāng)m+n＝1時(shí)，PA+PC的最小值為3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（2﹣i）z＝6+2i，則|z|＝．14．（5分）如圖△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，其中O′A′＝6，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，則△OAB的周長(zhǎng)為．15．（5分）半徑為R的球的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，已知△ABC為等邊三角形且其面積為93，三棱錐D﹣ABC體積的最大值為183，則球的半徑R等于16．（5分）已知直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊三角形ABC的邊AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，則S△DEFS△ABC四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知θ為三角形的一個(gè)內(nèi)角，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝cosθ+isinθ，且z2﹣z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上．（1）求θ；（2）設(shè)2z，z，1+z+z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足2c+b﹣2acosB＝0．（1）求角A；（2）若a＝23，BA→?AC→=32，AD19．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，（1）求證：點(diǎn)F在平面AED1內(nèi)；（2）用平面AED1截正方體ABCD﹣A1B1C1D1，將正方體分成兩個(gè)幾何體，兩個(gè)幾何體的體積分別為V1，V2（V1＜V2），求V1：V2的值．20．（12分）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿完成，為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國(guó)航天精神，某市隨機(jī)抽取1000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并記錄得分，將學(xué)生的成績(jī)整理后分成五組，從左到右依次記為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和計(jì)算80%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為72分和1，第四組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為87分和2，求這200人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，90）的學(xué)生成績(jī)的方差．21．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，BC1=14，∠ABC=2π3，A1C（1）證明：平面A1AC⊥平面ABC；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．22．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且邊BC上的高h(yuǎn)=3（1）若A=π2，求（2）已知△ABC中角B和C是銳角，求tanB+4tanC的最小值．

2022-2023學(xué)年湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝2+i，則z?iA．1 B．2 C．i D．2i【解答】解：z?i=(2-i)?i=1+2i故選：B．2．（5分）某中學(xué)高一年級(jí)有20個(gè)班，每班50人；高二年級(jí)有24個(gè)班，每班45人．甲就讀于高一，乙就讀于高二．學(xué)校計(jì)劃從這兩個(gè)年級(jí)中共抽取208人進(jìn)行視力調(diào)查，若采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣，則下列說法：①甲乙兩人可能同時(shí)被抽??；②高一、高二年級(jí)分別抽取100人和108人；③乙被抽到的可能性比甲的大．其中正確的有（）A．① B．①③ C．①② D．①②③【解答】解：對(duì)于①，采用分層抽樣的方式進(jìn)行抽樣，甲乙兩人可能同時(shí)被抽取，故①正確；對(duì)于②，高一共有20×50＝1000人，高二共有24×45＝1080人，從這兩個(gè)年級(jí)2080人中共抽取208人進(jìn)行視力調(diào)查，高一應(yīng)抽取10002080×208=100人，高二應(yīng)抽取10802080對(duì)于③，甲被抽到的可能性為1001000=110，乙被抽到的可能性為故選：C．3．（5分）已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，下列說法正確的是（）A．若m∥β，則α∥β B．若l?β，m∥l，則m∥β C．若α⊥β，則m⊥β D．若m⊥β，則α⊥β【解答】解：對(duì)于A，由面面平行判定定理可知，在平面α內(nèi)需要兩條相交直線與平面β平行才能得出兩平面平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，選項(xiàng)缺少m不在平面β內(nèi)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面α內(nèi)的直線m與α，β兩個(gè)平面的交線垂直，才能得出m⊥β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，已知m⊥β，m為平面α內(nèi)的一條直線，由面面垂直判定定理可知D正確，故D正確．故選：D．4．（5分）已知向量a→，b→滿足|b→|=1，aA．2 B．2a→ C．-2【解答】解：由a→⊥b根據(jù)投影向量的定義可知：a→-2b→在故選：C．5．（5分）已知α，β，γ是三個(gè)平面，α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線l2與直線l3可能是異面直線 B．若l1∩l2＝O，則直線l1與直線l3可能平行 C．若l1∩l2＝O，則直線l2與直線l3不可能相交于O點(diǎn) D．若l1∥l2，則l1∥l3【解答】解：對(duì)于A，由α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，得l2?γ，l3?γ，則直線l2與直線l3是共面直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、C，∵α∩β＝l1，α∩γ＝l2，l1∩l2＝O，∴O∈α，O∈β，O∈γ，∵β∩γ＝l3，∴O∈l3，可知直線l1，l2，l3必然交于一點(diǎn)（即三線共點(diǎn)），故B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若l1∥l2，l1?γ，l2?γ，∴l(xiāng)1∥γ，又l1?β，β∩γ＝l3，∴l(xiāng)1∥l3，故D正確．故選：D．6．（5分）已知平面向量a→，b→，c→滿足|a→|=1，|b→|=2且對(duì)?tA．2π3 B．π2 C．π3【解答】解：因?yàn)閷?duì)?t∈R，有|b所以對(duì)?t∈R，(b所以對(duì)?t∈R，t2所以Δ=4(a→?所以a→解得cos?a所以?a→，所以|2a所以cos＜2a所以2a→-b→故選：A．7．（5分）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)A′，則A′到平面EFD的距離為（）A．1 B．23 C．43【解答】解：由折疊不變可知，三棱錐A′﹣EFD中A′E，A′F，A′D兩兩相互垂直，所以VA′-EFD△EFD的三邊長(zhǎng)分別為2，5，5，所以S△EFD因?yàn)閂A′﹣EFD＝VD﹣A′EF，設(shè)A′到平面EFD的距離為d，所以13S△EFD故選：B．8．（5分）已知一組樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12，將這組樣本數(shù)據(jù)增加兩個(gè)未知的數(shù)據(jù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，已知新的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則新的樣本數(shù)據(jù)的方差最小值為（）A．10 B．10.6 C．12.6 D．13.6【解答】解：設(shè)增加的數(shù)為x，y，原來的8個(gè)數(shù)分別為a1，a2，?，a8，則a1+a2+?+a8＝64，a1+a2+?+a8+x+y＝90，所以x+y＝26，一組樣本數(shù)據(jù)共有8個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為8，方差為12，則18i=18新的樣本數(shù)據(jù)的方差為1=1因?yàn)閤2+y22≥x+y所以方差的最小值為13.6（當(dāng)x＝y(tǒng)＝8時(shí)取到最小值）．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（5分）學(xué)校“未來杯”足球比賽中，甲班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.9，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3；乙班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)是1.3，失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.2，你認(rèn)為下列說法中正確的是（）A．平均來說乙班比甲班防守技術(shù)好 B．乙班比甲班防守技術(shù)更穩(wěn)定 C．乙班在防守中有時(shí)表現(xiàn)非常好，有時(shí)表現(xiàn)比較差 D．甲班很少不失球【解答】解：對(duì)于A，從平均數(shù)角度考慮是對(duì)的，甲班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)大于乙班每場(chǎng)比賽平均失球數(shù)，故A正確；對(duì)于B，從標(biāo)準(zhǔn)差角度考慮是錯(cuò)的，甲失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差小，防守技術(shù)更穩(wěn)定；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，乙失球個(gè)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差大，防守中的表現(xiàn)不穩(wěn)定，故C正確；對(duì)于D，從平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差角度考慮是對(duì)的，故D正確．故選：ACD．（多選）10．（5分）已知x∈C（全體復(fù)數(shù)集），關(guān)于x的方程x2+tx+2＝0（t∈R）的兩根分別為x1，x2，若|x1-A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4【解答】解：因?yàn)榉匠蘹2+tx+2＝0（t∈R）的兩根分別為x1，x2，所以x1+x2＝﹣t，x1x2＝2，所以(x當(dāng)t2﹣8≥0時(shí)，有|x1-當(dāng)t2﹣8＜0時(shí)，有x1-x2=±故選：ACD．（多選）11．（5分）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，-π2＜φ＜0)A．f（0）＝﹣1，A＝2 B．x1=πC．x2＝2x1 D．x2＝4x1【解答】解：A項(xiàng)：當(dāng)f（0）＝﹣1，A＝2時(shí)得sinφ=-12，-π2＜φ＜0B項(xiàng)：當(dāng)x1=π12，x2=5π∴π4?3+φ=πC項(xiàng)：由圖像可得ωx1+φ＝0，ωx2+φ＝π，∴π-φ又因?yàn)?π2＜φ＜0，∴πφ＜-2?故選：ABD．（多選）12．（5分）已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為正方體內(nèi)及表面上一點(diǎn)，且AP→=mAB→+nADA．當(dāng)n＝1時(shí)，對(duì)任意m∈[0，1]，CP∥平面ABB1A1恒成立 B．當(dāng)m＝0，n=12時(shí)，B1P與平面ABC1D1所成的線面角的余弦值為C．當(dāng)m+n＝1時(shí)，A1C1⊥B1P恒成立 D．當(dāng)m+n＝1時(shí)，PA+PC的最小值為3【解答】解：對(duì)于A：如圖1，當(dāng)n＝1時(shí)，P點(diǎn)在線段C1D1上，CP?平面CDD1C1，又因?yàn)槠矫鍯DD1C1∥平面ABB1A1，CP?平面CDD1C1，所以CP∥平面ABB1A1，故A正確；對(duì)于B：如圖2，當(dāng)m＝0，n=12時(shí)，P是AD因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，所以AB⊥B1C，又B1C⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1D1內(nèi)，所以B1C⊥平面ABC1D1，H是垂足，所以∠B1PH為B1P與平面ABC1D1所成的角，在Rt△B1PH中，tan∠B所以B1P與平面ABC1D1所成的線面角的余弦值為63，故B對(duì)于C：如圖3，當(dāng)m+n＝1時(shí)，點(diǎn)P在線段BD1上，由選項(xiàng)C同理可證A1C1⊥面BB1D1，B1P?面BB1D1，A1C1⊥B1P，故C正確；對(duì)于D：如圖4，當(dāng)m+n＝1時(shí)，點(diǎn)P在線段BD1上，將平面ABD1和平面BCD1展開成平面圖后，線段AC為所求，此時(shí)AC⊥BD1，PA=PC=AB×A所以PA+PC的最小值為236，故故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（2﹣i）z＝6+2i，則|z|＝22【解答】解：因?yàn)閦=6+2i所以|z|=2故答案為：2214．（5分）如圖△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，其中O′A′＝6，O′B′＝4，∠A′O′B′＝45°，則△OAB的周長(zhǎng)為24．【解答】解：如圖，根據(jù)直觀圖復(fù)原原圖，則OA=6，OB=8，AB=6故△OAB的周長(zhǎng)為6+8+10＝24．故答案為：24．15．（5分）半徑為R的球的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，已知△ABC為等邊三角形且其面積為93，三棱錐D﹣ABC體積的最大值為183，則球的半徑R等于【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)△ABC的中心為O′，三棱錐D﹣ABC外接球的球心為O，則當(dāng)體積最大時(shí)，點(diǎn)D，O′，O在同一直線上，且垂直于底面ABC，如圖，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形且其面積為93，所以△ABC的邊長(zhǎng)x滿足34x所以AO′=23，DO＝AO＝R，故OO′=故三棱錐的高DO′=DO+OO′=R+R所以V=13×9故答案為：4．16．（5分）已知直角三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等邊三角形ABC的邊AB，BC，CA上，且∠DEF＝90°，∠EDF＝30°，則S△DEFS△ABC的最小值為【解答】解：設(shè)∠BDE=α(π6＜α＜5π6則在△BDE中，∠DEB=π-(α+π3)由正弦定理得：DEsin∴BD=sin(α+在△ADF中DF＝2x，∠A=π3，同理可得AD=sin(α-因此可得AB=AD+BD=2sin(α+πS△DEF因?yàn)?sinα+33cosα=221由于π6＜α＜5π所以當(dāng)α+φ=π2時(shí)，sin（α+所以(3sinα+3則S△DEFS△ABC故答案為：314四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知θ為三角形的一個(gè)內(nèi)角，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝cosθ+isinθ，且z2﹣z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上．（1）求θ；（2）設(shè)2z，z，1+z+z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，求△ABC的面積．【解答】解：（1）∵z2﹣z＝（cos2θ﹣cosθ）+i（sin2θ﹣sinθ），∴cos2θ﹣cosθ＝2cos2θ﹣cosθ﹣1＝0，θ∈（0，π），∴cosθ=-1（2）由（1）知：sinθ=32，∴z2=1∴1+z+z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A(-1，3)，B(-1∴CA＝2，CB＝1，AB=7由余弦定理可得cos∠ACB=CA2+CB2∴sin∠ACB=3∴S△ABC18．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足2c+b﹣2acosB＝0．（1）求角A；（2）若a＝23，BA→?AC→=32，AD【解答】解：（1）因?yàn)?c+b﹣2acosB＝0，由正弦定理可知：2sinC+sinB﹣2sinAcosB＝0，由C＝π﹣A﹣B，故sinC＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B），所以2sin（A+B）+sinB﹣2sinAcosB＝0，2cosAsinB+sinB＝0（B∈（0，π），sinB≠0），所以cosA=-12，又A∈（0，π），所以（2）根據(jù)數(shù)量積的定義，由BA→得cbcosπ3=在△ABC中，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA?b2+c2＝9，因?yàn)锳D→所以|AD所以AD=619．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，（1）求證：點(diǎn)F在平面AED1內(nèi)；（2）用平面AED1截正方體ABCD﹣A1B1C1D1，將正方體分成兩個(gè)幾何體，兩個(gè)幾何體的體積分別為V1，V2（V1＜V2），求V1：V2的值．【解答】解：（1）證明：如圖，連接EF，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以AD1∥BC1，又E，F(xiàn)分別是棱BB1，B1C1的中點(diǎn)，則EF∥BC1，所以EF∥AD1，所以E、F、D1、A四點(diǎn)共面，即點(diǎn)F在平面AED1內(nèi)；（2）連接FD1，所以平面AED1截正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面是四邊形AEFD1，所以V1是幾何體三棱臺(tái)A1AD1﹣B1EF的體積，則S△A1所以V1且V2因此V1：V2＝7：17．20．（12分）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成功著陸，航天員翟志剛，王亞平，葉光富順利出艙，神舟十三號(hào)載人飛行任務(wù)圓滿完成，為紀(jì)念中國(guó)航天事業(yè)所取得的成就，發(fā)掘并傳承中國(guó)航天精神，某市隨機(jī)抽取1000名學(xué)生進(jìn)行了航天知識(shí)競(jìng)賽并記錄得分，將學(xué)生的成績(jī)整理后分成五組，從左到右依次記為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖并估計(jì)這1000名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)和計(jì)算80%分位數(shù)（求平均值時(shí)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層抽樣的方法抽取200人，若第三組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為72分和1，第四組中被抽取的學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為87分和2，求這200人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，90）的學(xué)生成績(jī)的方差．【解答】解：（1）成績(jī)落在[60，70）的頻率為1﹣（0.30+0.15+0.10+0.05）＝0.40，補(bǔ)全的頻率分布直方圖，如下圖：樣本的平均數(shù)x=55×0.30+65×0.40+75×0.15+85×0.10+95×0.05=67設(shè)80%分位數(shù)為x，則0.03×10+0.04×10+（x﹣70）×0.015＝0.8，解得x=230（2）由分層抽樣可知，第三組和第四組分別抽取30人和20人，分層抽樣的平均值：x1分層抽樣的方差：s2所以這200人中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[70，90）所有人的成績(jī)的方差為55.4．21．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝AA1＝2，BC1=14，∠ABC=2π3，A1C（1）證明：平面A1AC⊥平面ABC；（2）求二面角A﹣A1B﹣C的平面角的余弦值．【解答】解：（1）證明：如圖，設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接OA1，OB，因?yàn)锳B＝BC，所以AC⊥OB，又因?yàn)锳C∥A1C1，且A1C1⊥A1B，所以AC⊥A1B，因?yàn)锳1B，OB?平面OBA1，且A1B∩OB＝B，所以AC⊥平面OBA1，因?yàn)镺A1?平面OBA1，所以AC⊥OA1，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC=2π由余弦定理求得AC=A則A1C1因?yàn)锳1C1⊥A1B，所以A1C1在Rt△AOA1，AA1＝2，AO=3，可知A1O＝1，又OB在△OBA1中，OA12+OB2=由（1）知，AC⊥OA1，且AC，OB?平面ABC，且AC∩OB＝O，所以A1O⊥平面ABC，∵A1O?平面A1AC，因此平面A1AC⊥平面ABC．（2）由第一問證明易得A1A＝A1C，△AA1B≌△CA1B，且AB＝BC＝AA1＝CA1．取A1B的中點(diǎn)P，∠APC為二面角A﹣A1B﹣C的平面角，且AC=23，cos∠APC=AP2+CP2-AC22AP?CP=-22．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且邊BC上的高h(yuǎn)=3（1）若A=π2，求（2）已知△ABC中角B和C是銳角，求tanB+4tanC的最小值．【解答】解：（1）因?yàn)椤鰽BC邊BC上的高h(yuǎn)=34a由正弦定理得sinBsinCsinA=34sin2當(dāng)A=π2時(shí)，sinC＝sin（π2-B）＝cosB，即有顯然cosB＞0，即0＜B＜π2，有0＜2B＜π，于是2B=π所以B=π6或（2）在△ABC中，由sinBsinC=34sinA，得sinBsinC=34即sinBsinC=34(sinBcosC+cosBsinC)顯然tanB，tanC＞0，從而1tanB因此tanB+4tanC=≥34(5+2所以當(dāng)tanB=343，tanC=3832022-2023學(xué)年湖南省邵陽二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，z（1+i3）＝1+i，則z＝（）A．﹣1 B．i C．1﹣i D．﹣i2．（5分）在銳角三角形ABC中，a＝2bsinA，則B＝（）A．π6 B．π4 C．π33．（5分）已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若m∥n，m∥α，則n∥α B．若m⊥α，α⊥β，則m∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若m∥n，α∥β，m⊥α，則n⊥β4．（5分）甲、乙兩人獨(dú)立地解決某個(gè)數(shù)學(xué)難題，甲解決出該難題的概率為0.4，乙解決出該難題的概率為0.5，則該難題被解決出的概率為（）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.25．（5分）已知a=22(cos1°-sin1°)，b=1-tan222.5°1+tanA．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a6．（5分）在△ABC中，BD→=2DA→，若A．-23 B．-32 C．7．（5分）在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱為“芻童”．已知棱臺(tái)ABCD﹣A′B′C′D′是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中AB＝2A′B′＝2，BC=2B′C′=23A．20π B．203π C．2058．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝f（x），當(dāng)x1，x2∈[0，+∞）時(shí)都有f(x1)-f(不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣2，0] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，1]二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）下列說法正確的是（）A．命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2≤0” B．若x∈R，則“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分條件 C．若事件A，B滿足P（A）+P（B）＝1，則A，B是對(duì)立事件 D．若事件A，B滿足P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立（多選）10．（5分）復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為OZA．|zB．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，則z1?z2＝0 C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|恒成立 D．若(OZ1→+O（多選）11．（5分）已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，以下結(jié)論中正確的是（）A．若A＞B，則sinA＞sinB B．若a＝2，b=5，B=πC．若acosA＝bcosB，則△ABC一定為等腰三角形 D．若sin2C＞sin2A+sin2B，則△ABC一定為鈍角三角形（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，H為棱AA1（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（）A．CH⊥BD B．二面角D1﹣AB1﹣C的大小為π3C．點(diǎn)H到平面B1CD1距離的取值范圍是[3D．若CH⊥平面β，則直線CD與平面β所成角的正弦值的取值范圍為[三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知x＞0，則x+4x的最小值為14．（5分）若cos(π6-α)=315．（5分）一組數(shù)據(jù)由6個(gè)數(shù)組成，將其中一個(gè)數(shù)由4改為1，另一個(gè)數(shù)由6改為9，其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)的方差相比原一組數(shù)的方差的增加值為．16．（5分）已知平面向量a→，b→，c→，e→滿足|a→|=3，|e→|=1，|b四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知向量a→，b→，若|a→|=1，|（1）求|a（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，向量λa→-18．（12分）2022年，是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動(dòng)青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程，某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：（1）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（3）現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80，90）和[90，100]兩組中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人參加這次競(jìng)賽的交流會(huì)，求兩人都在[90，100]的概率．19．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，PD＝27，M是PC的中點(diǎn)．（1）證明：BM∥面PAD；（2）證明：平面ABM⊥平面PCD；（3）求三棱錐M﹣PAB的體積．20．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知bsin(A+π（1）求角A；（2）若D為邊BC上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足∠ADB＝2∠ACB，求BDCD21．（12分）如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，AB＝BB1，AA1⊥平面ABC，平面AB1C⊥平面ABB1A1．（1）求證：AC⊥BB1；（2）若AB＝2A1B1＝2，△AB1C的面積為4，求二面角A﹣B1C﹣A1的余弦值．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝log4（4x+1）﹣mx是偶函數(shù)．（1）求m的值；（2）若g（x）＝4f（x），a＞0，b∈R，不等式b?g2（x）﹣|a?g（x）﹣b|+a≥0對(duì)任意x∈[-12，1]

2022-2023學(xué)年湖南省邵陽二中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知i為虛數(shù)單位，z（1+i3）＝1+i，則z＝（）A．﹣1 B．i C．1﹣i D．﹣i【解答】解：z（1+i3）＝1+i，則z（1﹣i）＝1+i，故z=1+i故選：B．2．（5分）在銳角三角形ABC中，a＝2bsinA，則B＝（）A．π6 B．π4 C．π3【解答】解：∵a＝2bsinA，由正弦定理可得：sinA＝2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB=1∵△ABC為銳角三角形，∴B=π故選：A．3．（5分）已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．若m∥n，m∥α，則n∥α B．若m⊥α，α⊥β，則m∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若m∥n，α∥β，m⊥α，則n⊥β【解答】解：A：m∥n，m∥α，則n∥α或n?α，錯(cuò)誤；B：m⊥α，α⊥β，則m∥β或m?β，錯(cuò)誤；C：α⊥γ，β⊥γ，則α，β相交或平行，錯(cuò)誤；D：m∥n，m⊥α，則n⊥α，又α∥β，故n⊥β，正確．故選：D．4．（5分）甲、乙兩人獨(dú)立地解決某個(gè)數(shù)學(xué)難題，甲解決出該難題的概率為0.4，乙解決出該難題的概率為0.5，則該難題被解決出的概率為（）A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2【解答】解：該難題沒被解出的概率為p＝（1﹣0.4）（1﹣0.5）＝0.3，所以該難題被解決出的概率為1﹣p＝0.7．故選：C．5．（5分）已知a=22(cos1°-sin1°)，b=1-tan222.5°1+tanA．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a【解答】解：∵a=2b=1-c＝sin22°cos24°+cos22°sin24°＝sin（22°+24°）＝sin46°＝cos44°，∵函數(shù)y＝cosx在（0°，90°）上單調(diào)遞減，46°＞45°＞44°，∴cos46°＜cos45°＜cos44°，即a＜b＜c，故選：B．6．（5分）在△ABC中，BD→=2DA→，若A．-23 B．-32 C．【解答】解：∵BD→∴CB→=CD∴CB→=3CD→-2∴λ＝﹣2，μ＝3，∴λμ故選：A．7．（5分）在《九章算術(shù)》中，底面為矩形的棱臺(tái)被稱為“芻童”．已知棱臺(tái)ABCD﹣A′B′C′D′是一個(gè)側(cè)棱相等、高為1的“芻童”，其中AB＝2A′B′＝2，BC=2B′C′=23A．20π B．203π C．205【解答】解：如圖，連接AC、BD、A′C′、B′D′，設(shè)AC∩BD＝M，A′C′∩B′D′＝N，連接MN．∵棱臺(tái)ABCD﹣A′B′C′D′側(cè)棱相等，∴易知其外接球球心在線段MN所在直線上，設(shè)外接球球心為O，如圖當(dāng)球心在線段MN延長(zhǎng)線上時(shí)，易得AC=AB2A′C′=A′B′2+B′C′由OC＝OC′得，NC′2+ON2＝OM2+MC2，即1+（OM+MN）2＝OM2+4?1+（OM+1）2＝OM2+4?OM＝1，故OC=OC=1∴外接球表面積為4π?(如圖當(dāng)球心在線段MN上時(shí)，由OC＝OC′得，NC′2+ON2＝OM2+MC2，即1+（MN﹣OM）2＝OM2+4?1+（1﹣OM）2＝OM2+4?OM＝﹣1（舍）．故選：A．8．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）＝f（x），當(dāng)x1，x2∈[0，+∞）時(shí)都有f(x1)-f(不等式f（ax+1）≤f（x﹣2）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[﹣2，0] B．[﹣5，0] C．[﹣5，1] D．[﹣2，1]【解答】解：由題意得：f（x）是偶函數(shù)且f（x）在（0，+∞）遞增，故f（x）在（﹣∞，0）遞減，x∈[12，1]時(shí)，x﹣2∈故f（x﹣2）≥f（1），若任意的x∈[12，1]，不等式f（ax+1）≤f則x∈[12，1]故﹣1≤ax+1≤1，x∈[12故﹣2≤ax≤0，x∈[12故-2x≤a≤0，x∈而a≥（-2x）故﹣2≤a≤0，故選：A．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）下列說法正確的是（）A．命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2≤0” B．若x∈R，則“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分條件 C．若事件A，B滿足P（A）+P（B）＝1，則A，B是對(duì)立事件 D．若事件A，B滿足P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立【解答】解：對(duì)于A，命題“?x∈R，x2≥0”的否定是“?x∈R，x2＜0”，所以A不正確．對(duì)于B，若x∈R，則“x2＝1”推不出“x＝1”，反之成立，所以若x∈R，則“x2＝1”是“x＝1”的必要不充分條件．所以B正確．對(duì)于C，舉例說明：投擲兩個(gè)骰子，記事件A：第一個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，舉例說明：記事件A：投擲一個(gè)骰子，骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件B：投擲一枚硬幣，正面朝上，則P（A）＝P（B）=12，滿足P（A）+P（B）＝1，但A，B不是對(duì)立事件，對(duì)于D，若事件A，B相互獨(dú)立，則滿足P（AB）＝P（A）P（B），D說法正確．故選：BD．（多選）10．（5分）復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為OZA．|zB．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，則z1?z2＝0 C．|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|恒成立 D．若(OZ1→+O【解答】解：對(duì)于A，設(shè)z1＝i，z2＝﹣i，則|z1﹣z2|2＝|2i|2＝4，而（z1+z2）2﹣4z1z2＝﹣4，顯然不相等，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取z1＝1，z2＝i，則有|z1+z2|＝|z1﹣z2|，但z1．z2≠0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，|z1﹣z2|≤|z1|+|z2|即|OZ1→-O由向量減法的運(yùn)算法則可知，當(dāng)OZ1→故此不等式恒成立，C正確；對(duì)于D，由(OZ1即|OZ1→|＝|OZ2→|，不一定有z1故選：ABD．（多選）11．（5分）已知△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，以下結(jié)論中正確的是（）A．若A＞B，則sinA＞sinB B．若a＝2，b=5，B=πC．若acosA＝bcosB，則△ABC一定為等腰三角形 D．若sin2C＞sin2A+sin2B，則△ABC一定為鈍角三角形【解答】解：A中，在三角形中，由大邊對(duì)大角，因?yàn)锳＞B，所以a＞b，再由正弦定理可得sinA＞sinB，所以A正確；B中，若a＝2，b=5，B=π3，因?yàn)閍?sinπ3=2×32=C中，acosA＝bcosB，由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，可得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以可得A＝B或A+B=π2，即可得三角形為等腰三角形或直角三角形，故D中，sin2C＞sin2A+sin2B，由正弦定理c2＞a2+b2，可得cosC=a2+b2故選：AD．（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，H為棱AA1（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（）A．CH⊥BD B．二面角D1﹣AB1﹣C的大小為π3C．點(diǎn)H到平面B1CD1距離的取值范圍是[3D．若CH⊥平面β，則直線CD與平面β所成角的正弦值的取值范圍為[【解答】解：對(duì)于A，如圖1，易得DB⊥面A1ACC1，由CH?面A1ACC1，可得CH⊥BD，故A正確；對(duì)于B，如圖2，易得D1B1＝D1A＝B1C＝AC＝D1C=2取AB1中點(diǎn)O，連接D1O，OC，可得D1O⊥AB1，CO⊥AB1，∴∠D1OC為二面角D1﹣AB1﹣C的平面角，在△D1OC中，∵D1O＝CO=2×32=6∴cos∠D1OC=64+對(duì)于C，∵H在A處時(shí)距離最大，在A1距離最小，當(dāng)H在A處時(shí)，此時(shí)A﹣B1CD1為正四面體，且邊長(zhǎng)為2，設(shè)B1CD1的中心為O，則CO=2×32當(dāng)H在A1處時(shí)，由VA1-B1D解得h=3∴點(diǎn)H到平面B1CD1距離的取值范圍是[33，對(duì)于D，如圖3建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，1，0），設(shè)H（1，0，t），0≤t≤1，∵CH⊥平面β，∴平面β的法向量為CH→=（1，﹣1，則直線CD與平面β所成角的正弦值為|CH→?DC→||CH故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知x＞0，則x+4x的最小值為【解答】解：∵x＞0，則x+4x≥24=故答案為4．14．（5分）若cos(π6-α)=35，則【解答】解：sin(2α+=sin(π=2cos故答案為：-715．（5分）一組數(shù)據(jù)由6個(gè)數(shù)組成，將其中一個(gè)數(shù)由4改為1，另一個(gè)數(shù)由6改為9，其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新的一組數(shù)的方差相比原一組數(shù)的方差的增加值為5．【解答】解：設(shè)這組數(shù)據(jù)為x1，x2，?，x6，均值為x=不妨設(shè)x1＝4，x2＝6，方差為(4-x一個(gè)數(shù)由4改為1，另一個(gè)數(shù)由6改為9，其余數(shù)不變，得到新的一組數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)為1，9，?，x6，顯然新數(shù)據(jù)的均值與原數(shù)據(jù)的均值相等，其方差為(1-x即新數(shù)據(jù)的方差比原數(shù)據(jù)的方差增加了5．故答案為：5．16．（5分）已知平面向量a→，b→，c→，e→滿足|a→|=3，|e→|=1，|b→-【解答】解：作OA→=a→，OE→因?yàn)閨a→|=3，|e→|=1，＜a→，作OB→=b→，設(shè)點(diǎn)B（x，y），因?yàn)閨AB→|＝|OB所以（x﹣3）3+y2＝1，所以點(diǎn)B在以（3，0）為圓心，以1為半徑的圓上；因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)t，均有|c→-te→所以t2﹣2e→?c→t+4e→?c﹣4≥0恒成立，所以(2e→所以(e→?c→-2)2≤0，即e→?c→=2，作OC→=c→，設(shè)點(diǎn)C（x′，y′），則-12因?yàn)閨c→-b→|=|OC→-OB→|＝|BC→|，且點(diǎn)B在圓（x﹣3）2所以點(diǎn)B到點(diǎn)C的最小距離是圓心A到最新的距離減去圓的半徑，即|BC→|≥|AC→|﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B為線段因?yàn)辄c(diǎn)A（3，0）到直線x′-3y′+4＝0的距離為d=所以點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離大于或等于72，即|AC→|所以|BC→|≥|AC→|﹣1≥52，當(dāng)且僅當(dāng)AC垂直于直線x′-3y所以|c→-b故答案為：52四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知向量a→，b→，若|a→|=1，|（1）求|a（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，向量λa→-【解答】解：（1）由已知可得，a→2=|a所以|a所以|a（2）由已知可得(λa即λa所以有λ+3λ﹣1﹣12＝0，解得λ=1318．（12分）2022年，是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動(dòng)青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程，某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、...、[90，100]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：（1）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（2）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的中位數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；（3）現(xiàn)在按分層抽樣的方法在[80，90）和[90，100]兩組中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人參加這次競(jìng)賽的交流會(huì)，求兩人都在[90，100]的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)x=(45×0.01+55×0.015+65×0.02+75×0.03+85×0.015+95×0.01)×10=70.5（2）因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱40，70）的頻率為0.45，成績(jī)?cè)赱70，80）的頻率為0.3，所以中位數(shù)為70+10×0.05（3）在[80，90）和[90，100]兩組中的人數(shù)分別為100×（0.015×10）＝15和100×（0.01×10）＝10人，故在[80，90）分組中抽取的人數(shù)為5×1510+15=319．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥平面PAD，PA＝AD＝DC＝2AB＝4，PD＝27，M是PC的中點(diǎn)．（1）證明：BM∥面PAD；（