2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊學(xué)案：第3課時 直線與平面垂直的判定

第3課時直線與平面垂直的判定

課程I.r解直線與平而垂直的定義及幾何表示

標準2.掌握立線。平向垂直的判定定理

【概念認知】

1.直線與平面垂直

⑴定義：如果直線a與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線

a與平面a垂直，記作a，a.直線a叫作平面a的垂線,平面a叫作

直線a的垂面.垂線和平面的交點稱為垂足.

⑵畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如

圖：

2.直線與平面垂直的判定定理

文字如果一條宜線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂

唐肅立.那么該宜線與此平面垂直

a

圖形

唐言

符號語言

【自我小測】

1.直線/J■平面a,直線mua，則/與m不可能（）

A.平行B.相交

C.異面D.垂直

選A.由直線與平面垂直的定義可知，/_Lm,/與m可能相交或異面,

但不可能平行.

2.若三條直線0A,OB,OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面OBCD.平面ABC

選C.因為OA±OB,OA±OC,OBAOC=O,OB,OCu平面OBC,

所以O(shè)A_L平面OBC.

3.如圖，BC是RtABAC的斜邊，PA_L平面ABC,PD±BC于點D,

則圖中直角三角形的個數(shù)是（）

Pi

A.3B.5C.6D.8

選D.由PA_L平面ABC，知△PAC,△PAD,△PAB均為直角三角形,

XPD1BC,PA±BC,PAAPD=P，所以BCJ_平面PAD.所以AD^BC,

易知△ADC,△ADB,△PDC,△PDB均為直角三角形.又^BAC

為直角三角形，所以共有8個直角三角形.

4.空間中直線/和三角形的兩邊AC,BC同時垂直，則這條直線和

三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是________.

因為Z±AC,/±BC,且ACPBC=C,

所以平面ABC,

又因為ABu平面ABC,所以Z±AB.

答案：垂直

5.在四面體P-ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直.設(shè)PA=PB=PC=

3，則點P到平面ABC的距離為.

因為PA,PB,PC兩兩垂直,而PAAPB=P，故PC,平面PAB,

19199

XSAPAB=2X3x3=],VC-PAB=3x3x]=-.

又RtAPAB中，PA=PB=3,故AB=35,同理AC=BC=3-72,

故4ABC為等邊三角形，故SAABC=乎x(3媳￥=竽，

故VP-CAB=|xXd,其中d為點P到平面ABC的距離，

因為VP.CAB=VC.PAB,故;xxd=|，故d=小.

答案：小

6.如圖所示，正方體ABCD-AiBiGDi的棱長為1,線段BQi上有

兩個動點E,F,且EF=；,則下列結(jié)論中正確的序號是________.

①AC_LBE；

②EF〃平面ABCD；

③三棱錐A-BEF的體積為定值；

?△AEF的面積與^BEF的面積相等.

對于①，由題意及圖形知，AC,平面DDiBiB,故可得出AC±BE,

故①正確；

對于②，由于正方體ABCD-AiBiCDi的兩個底面平行，EF在其一面

上，故EF與平面ABCD無公共點，故有EF〃平面ABCD,故②正

確；

對于③，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A

點到平面DD.BiB的距離等于AC的一半，故可得三棱錐A-BEF的

體積為定值，故③正確；

對于④，由圖形可以看出，B到線段EF的距離與A到EF的距離不

相等，故^AEF的面積與^BEF的面積不相等，故④錯誤.

答案：①②③

7如圖,PA_L平面ABCD底面ABCD為矩形AE±PB于EAF_LPC

于F.

P

⑴求證：PC，平面AEF；

(2)設(shè)平面AEF交PD于G,求證：AG_LPD.

【證明】(1)因為PA_L平面ABCD,BCu平面ABCD,所以PA±BC.

又ABJ_BC,PAPAB=A,

所以BC平面PAB，因為AEu平面PAB所以AE_LBC.又AE±PB,

PBABC=B所以AE_L平面PBC，因為PCu平面PBC所以AE_LPC.

又因為PC±AF,AEAAF=A,所以PC_L平面AEF.

(2)由⑴知PC_L平面AEF，所以PC±AG，因為CD，平面PAD,AGu

平面PAD,

所以CD_LAG,PCnCD=C,所以AG，平面PCD,PDu平面PCD,

所以AG±PD.

》學(xué)情診斷?課時測評《

【基礎(chǔ)全面練】

一、單選題

1,已知直線a,b和平面a,下列推理中錯誤的是()

a_La,

=a_Lb

bua

a〃b,

a_La

a±b,

=a〃a或aua

b±a.

a〃a,

na〃b

b〃a

選D.當a〃a,b〃a時，a與b可能平行，也可能相交或異面，即D

推理錯誤.

2.在正方體ABCD-A.BiCjDi中,E為棱CJ的中點，則()

A.AE±CCiB.AE±B,D1

C.AE±BCD.AE±CD

選B.如圖所示.

連接AC,BD,因為ABCD-ABCD是正方體,

所以四邊形ABCD是正方形，AC±BD,CE_L平面ABCD,所以

BD±CE,而ACnCE=C,

故BD_L平面ACE,因為BD〃BQi,故BQi_L平面ACE,故

BiDi±AE.

3.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()

A.垂直B.相交但不垂直

C.平行D.不確定

選A.因為梯形兩腰所在直線為兩條相交直線，所以由線面垂直的判

定定理知，直線與平面垂直.

4.直線/與平面a內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線I與平面a的關(guān)系是

()

A.I和平面a相互平行B.I和平面a相互垂直

C./在平面a內(nèi)D.不能確定

選D.如圖所示，直線/和平面a相互平行，直線/和平面a相互垂直

或直線/在平面a內(nèi)都有可能.故選D.

5.（2021.南京高一檢測）如圖所示，PAJ_平面ABC,NACB=90。,

EF〃PA，且CE與AB不垂直，則圖中直角三角形的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

選D.因為NACB=90。，所以△ACB是直角三角形.

由PA_L平面ABC,得PA_LAB,PA±AC,PA±BC,所以△PAB,

△PAC是直角三角形.

又BC_LAC,ACPPA=A,

所以BC_L平面PAC,所以BC±PC,所以△PCB是直角三角形.

因為EF/7PA,PA_L平面ABC,所以EF_L平面ABC,所以EF1BE,

EF1EC,

所以△BEF,△FEC是直角三角形，

所以△PAB,△PAC,△ACB,△PCB,△FEC,△BEF均為直角三

角形，共6個.

二、多選題

6.ABCD-ABCD為正方體，下列結(jié)論正確的是（）

A.BD〃平面CBQiB.ACilBD

C.A”平面CBiDiD.AC」BDi

選ABC.在正方體中BD/7B1D）,可知選項A正確；由BD±AC,

BDLCG可得BD_L平面ACG,從而BDLAG,即選項B正確；

由以上可得AC]_LBQ],同理ACiLDC,

因此AGJL平面CBD,即選項C正確；

由于四邊形ABCQi不是菱形，所以AG_LBDi不正確.

7.（2021?永州高一檢測）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是

正方形，PA,平面ABCD,PA=AB,點E為PA的中點，則下列判

斷正確的是（）

A.PB與CD所成的角為60°

B.BDJ_平面PAC

C.PC〃平面BDE

D.VBCDE:VPABCD=1：4

選BCD對A,因為底面ABCD是正方形,

所以AB〃CD,則NPBA即為PB與CD所成的角，因為PA，平面

ABCD,

所以PA1AB,因為PA=AB,所以NPBA=45°,故A錯誤；

對B,連接AC,因為底面ABCD是正方形，

所以BD±AC,因為PAd_平面ABCD,BDu平面ABCD,所以

PA1BD,因為PAAAC=A,

所以BD_L平面PAC,故B正確；

對C,設(shè)BDnAC=O,連接OE,則。是AC中點，又點E為PA的

中點，所以PC/7OE，因為OEu平面BDE,PCd平面BDE，所以PC//

平面BDE,故C正確；

對D,因為VBCDE=VEBCD=SABCD,EA,VPABCD

=SABCD-PA=X2SABCDX2EA=4VB-CDE,

所以VBCDE:VPABCD=1：4,故D正確.

三、填空題

8.下列語句中正確的是.（填序號）

①/_Lan/與a相交；

②mua,nua,/±m(xù),/J_nn/J_a；

③/〃m,m〃n,/J_a=n_l_a.

①正確，由線面垂直的定義可知；②不正確，沒有明確直線m,n的

情況；③正確，因為l//m,m〃n,所以///n,又Z±a,所以n±a.

答案：①③

9.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況：

①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩

條邊.

能判定直線與此平面垂直的有.

由線面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中線面可能平行、相交、

還可能線在平面內(nèi)，④中由于正六邊形的兩邊可能平行，所以也無法

判定線面垂直.

答案：①③

四、解答題

10.如圖所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)棱AA」底面ABC,

AB=AC=1,AAi=2,NB|AiG=90。，D為BB］的中點.求證：

AD_L平面AiDCi.

【證明】因為AA」底面ABC,平面A1B1G〃平面ABC,

所以AAi_L平面ABC-顯然AiGu平面A1BC1,所以AC」AAi.

又NB|AQ=90°，所以A￡」AB,而AiB￡AA尸A1，所以A?_L

平面AAiB]B,ADu平面AA[B]B，所以AC】J_AD.由已知計算得AD

=yj2,AiD=V2,AAi=2.所以AD?+AQ2=AA；,

所以A】D_LAD.

因為AiGnAQ=A],

所以AD_L平面AiDG.

11.如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB〃CD,BC±CD，側(cè)面SAB為

等邊三角形，AB=BC=2,CD=SD=1.求證：SD,平面SAB.

【證明】因為AB〃CD,BC±CD,AB=BC=2,CD=1,所以底面

ABCD為直角梯形，

AD=q(2-1)2+22二書.

因為側(cè)面SAB為等邊三角形,

所以SA=SB=AB=2.

又SD=1,所以AD2=SA2+SD2,所以SD±SA.

連接BD,則BD=[22+y=木,

所以BD2=SD2+SB2,

所以SD±SB.

又SAASB=S,

所以SD_L平面SAB.

【綜合突破練】

一、選擇題

1.空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC,BD的關(guān)系

是（）

A.垂直且相交

B.相交但不一定垂直

C.垂直但不相交

D.不垂直也不相交

選C.取BD中點O,連接AO,CO,則BD±AO,BD±CO,所以

BD_L平面AOC,BD1AC，又BD,AC異面，所以選C.

A

2.如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,CD的中點，G是

EF的中點，現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,

使B,C,D三點重合，重合后的點記為H,那么，在這個空間圖形

中必有（）

A.AGJ_z^EFH所在平面

B.AH1AEFH所在平面

C.HFJ_4AEF所在平面

D.HG_LaAEF所在平面

選B.根據(jù)折疊前、后AHJ_HE,AH_LHF不變，所以AH_L平面EFH,

B正確；

因為過A只有一條直線與平面EFH垂直，所以A不正確；

因為AG±EF,EF±AH,所以EF_L平面HAG,所以平面HAG±^

面AEF,過H作直線垂直于平面AEF,一定在平面HAG內(nèi)，所以C

不正確；因為HG不垂直于AG,所以HG,平面AEF不正確，D不

正確.

3.如圖所示是一個正方體的平面展開圖，在這個正方體中①BM〃平

面ADE；②DELBM；③平面BDM〃平面AFN；④AM_L平面BDE.

以上四個命題中，真命題的序號是（）

A.①②③④B.①②③

C.①②④D.②③④

選A.把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCDEFMN如圖1所示；

對于①，平面BCMF〃平面ADNE,BMu平面BCMF,

所以BM〃平面ADNE,①正確；

對于②，如圖2所示，連接AN,則AN/7BM,又ED1AN,所以

DE1BM,②正確；

對于③，如圖2所示，

BD//FN,BDQ平面AFN,FNu平面AFN,所以BD〃平面AFN；

同理BM〃平面AFN,且BDABM=B,所以平面BDM〃平面AFN,

③正確；

對于④，如圖3所示，連接AC,則BD1AC,又MCJ_平面ABCD,

BDu平面ABCD,

所以MC_LBD,XACAMC=C所以BD_L平面ACM所以BD^AM,

同理得ED±AM,EDABD=D,所以AM,平面BDE,所以④正確.

4.（多選）在正方體中ABCDAiBQDi中，點E,F,G分別為棱AD,

DQ,AIBI的中點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.ACilEGB.GC/7ED

—1―7T

C.B1F,平面BGGD.EF和BB1所成角為a

選AD如圖，

對于A,連接BQ】,A1C1,則AQ_LEG,又AA」平面ABCD,

EGu平面AiBiCiDi,

所以AA」EG,又AAinAiG=A_所以EG_L平面AA?,又AiCu

平面AA.Ci,

所以AGLEG,故A正確；

對于B,取BQ的中點M,連接CM,EM,可得四邊形CDEM為平

行四邊形,

所以CM〃ED,又GCACM=C,因此GC//ED不成立，故B錯誤；

對于C，假設(shè)BF_L平面BGCi,則B]F_LGC_連結(jié)BQ-

因為DF_L平面AiBiGDi,GCg平面AiBiGD],

所以D.F1GC,,又B,FAD|F=F,所以GC」平面DBF,又DBu

平面D1B1F,

所以GGLDIBI,顯然不成立，故C錯誤；

對于D,因為D1D//B.B,所以NDFE為異面直線EF和BBi所成的

角，

兀

在等腰直角△D,EF中，ZD,FE=4,所以異面直線EF和BB1所成

的角為彳，故D正確.

二、填空題

5如圖在四棱錐P-ABCD中底面ABCD是矩形PAJ_平面ABCD,

則四個側(cè)面△PAB,△PBC,△PCD,△PAD中，有個直角

三角形.

因為PA_L平面ABCD,

所以PALAB,PA±AD,

所以△PAB,△PAD為直角三角形,

因為BC±PA,BC±AB,所以BC_L平面PAB,

所以BC±PB,所以△PBC為直角三角形，

同理,△PDC為直角三角形，

所以四個側(cè)面三角形均為直角三角形.

答案：4

6.已知正方體ABCD-AIBCQI的棱長為a，則點Ai與面對角線BC1

所在直線間的距離是_______.

如圖所示：

連接BCi,B]C交于點O,連接A|O,

因為BC)±BiC,BCi±AiBi,B1CAA1B1=B1

所以BC」平面ABO,

所以BC.1A.O,

所以A.O的長度即為所求.

因為A]Bi=a,B]O=2a,

所以AO=[AB；+BQ2=乎a.

答案:坐a

7.（2021嘉興高一檢測）如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為

正方形，且SA=SB=SC=SD,其中E,M,N分另（］是BC,CD,SC

的中點，動點P在線段MN上運動時，下列四個結(jié)論：①EP_LAC；

②EP〃BD；③EP〃面SBD；④EP_L面SAC,其中恒成立的有

因為底面ABCD為正方形，且SA=SB=SC=SD,故四棱錐SABCD

為正四棱錐，

設(shè)AC與BD的交點為F,則SFJ_底面ABCD,

又ACu平面ABCD，故SF_LAC，又AC_LBD,SFnBD=F，故AC_L

平面SBD,

又E,M又分別是BC,CD,SC的中點，故EN〃SB.ENU平面SBD,

SBu平面SBD，故EN〃平面SBD同理可證EM〃平面SBD^MHEN

=E，則平面EMN〃平面SBD，則AC_L平面EMN，又EPu平面EMN,

故AC_LEP,①正確；當P與M重合時，才滿足EP〃BD，故②錯誤；

由平面EMN〃平面SBD,EPu平面EMN,可得EP〃面SBD,故③

正確；由BD±AC,BD±SF得BD_L平面SAC,只有當P與M重合

時,滿足EP//BD,EP_L面SAC,故④錯誤.

答案：①③

8.已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為4的正方形，PD_L平

面ABCD,PD=6,E為棱PD上一點，且ED=2PE,過EB作平面

PM

a分別與線段PA,PC交于點M,N,且AC〃a，則的=,

四邊形EMBN的面積為.

如圖，延伸平面a,交平面ABCD于RS,

因為B￡平面an平面ABCD,

所以B￡RS,

即R,S,B三點共線，

又AC〃a,由線面平行的性質(zhì)可得AC〃RS,

TV

則NARB=NABR=4，即AR=AB,

所以A是RD的中點，

過M作MK±PD,垂足為K,

則在△PDA中,6=麗，

.,MKEK

在4EDR中，方=ED，

所以需DA=普DR,

PKPK-2

即-4=—--8,解彳導(dǎo)PK=3,

所以K是PD中點，則M是PA中點，

所以鬻4.

則器=鬻=2，MN〃AC,

因