新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第32講 空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系（原卷版）

第32講空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系（精講）題型目錄一覽①共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明②異面直線③平面的基本性質(zhì)④等角定理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．二、直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號(hào)SKIPIF1<0a∥bSKIPIF1<0公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號(hào)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形SKIPIF1<0SKIPIF1<0符號(hào)SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上【常用結(jié)論】等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．二、題型分類(lèi)精講二、題型分類(lèi)精講題型一共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明策略方法共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明【典例1】如圖，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面；(2)對(duì)角線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求證：點(diǎn)SKIPIF1<0共線；(3)證明：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三線共點(diǎn)．【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知空間四個(gè)點(diǎn)，則“這四個(gè)點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”是“這四個(gè)點(diǎn)在同一平面內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．正方體ABCD--A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面C．平行 D．垂直3．在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P（

）A．一定在直線BD上 B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上 D．既不在直線AC上也不在直線BD上4．在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0三點(diǎn)共線 B．SKIPIF1<0四點(diǎn)異不共面C．SKIPIF1<0四點(diǎn)共面 D．SKIPIF1<0四點(diǎn)共面5．下面幾個(gè)命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)6．在正方體中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．7．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（）①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EF與GH異面；③EF與GH的交點(diǎn)M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上；④EF與GH的交點(diǎn)M一定在直線AC上．A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．如圖，已知SKIPIF1<0分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線SKIPIF1<0相交的是（

）．A．直線SKIPIF1<0 B．直線SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0 D．直線SKIPIF1<0．二、多選題9．如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，直線SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點(diǎn)共面10．在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0四點(diǎn)共面D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三條直線交于同一點(diǎn)三、填空題11．如圖，正方體SKIPIF1<0中，O是SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0與截面SKIPIF1<0交于P，那么SKIPIF1<0、P、O三點(diǎn)共線，其理由是．

12．如圖，在正方體中，A、B、C、D分別是頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則A、B、C、D四點(diǎn)共面的圖形（填上所有正確答案的序號(hào)）．13．如圖，已知四棱錐SKIPIF1<0的底面ABCD為平行四邊形，M是棱SKIPIF1<0上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，N是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，平面AMN交SKIPIF1<0于點(diǎn)H，則，SKIPIF1<0.14．如圖所示，在直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P為棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)），直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0相交于點(diǎn)Q．則線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為．題型二異面直線策略方法1．平移法求異面直線所成角的一般步驟2．坐標(biāo)法求異面直線所成的角當(dāng)題設(shè)中含有兩兩垂直的三邊關(guān)系或比較容易建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，常采用坐標(biāo)法．注：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．【典例1】如圖所示，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的大小為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．如圖，在四棱臺(tái)SKIPIF1<0中，正方形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的正切值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為PB的中點(diǎn)，則異面直線AD與PC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．鐘鼓樓是中國(guó)傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報(bào)時(shí)的建筑.中國(guó)古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常常看見(jiàn)附有鐘樓的建筑.如圖，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級(jí)收攏的四面鐘樓，四個(gè)大鐘對(duì)稱分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面中心上），在整點(diǎn)時(shí)刻（在0點(diǎn)至12點(diǎn)中取整數(shù)點(diǎn)，含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），已知在3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線相互垂直，則在2點(diǎn)時(shí)和8點(diǎn)時(shí)，相鄰兩鐘面上的時(shí)針?biāo)诘膬蓷l直線所成的角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題12．在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的夾角為.13．在正四棱柱SKIPIF1<0中，底面邊長(zhǎng)為1，高為3，則異面直線SKIPIF1<0與AD所成角的余弦值是.14．如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，D，E，F(xiàn)分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是.15．如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D、E分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角的余弦值為.16．在直四棱柱SKIPIF1<0中，底面四邊形ABCD是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，O為底面菱形ABCD的中心，則異面直線EO和AD所成角的余弦值為．17．已知四面體ABCD滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且該四面體的體積為SKIPIF1<0，則異面直線AD與BC所成的角的大小為．題型三平面的基本性質(zhì)【典例1】下列命題不正確的個(gè)數(shù)是（

）①三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②圓心和圓上兩個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；③如果兩個(gè)平面相交有一個(gè)交點(diǎn)，則必有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；④如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)，則這兩條直線平行．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知直線l和平面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線（

）．A．只有一條，不在平面SKIPIF1<0內(nèi) B．只有一條，且在平面SKIPIF1<0內(nèi)C．有無(wú)數(shù)條，一定在平面SKIPIF1<0內(nèi) D．有無(wú)數(shù)條，不一定在平面SKIPIF1<0內(nèi)2．在空間四邊形SKIPIF1<0中，在SKIPIF1<0上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果SKIPIF1<0交于一點(diǎn)P，則（

）A．P一定在直線SKIPIF1<0上B．P一定在直線SKIPIF1<0上C．P在直線SKIPIF1<0或SKIPIF1<0上D．P既不在直線SKIPIF1<0上，也不在直線SKIPIF1<0上3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是三條不同的直線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個(gè)不同的平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交“是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件4．若平面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0內(nèi)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的所有直線中（

）．A．存在唯一一條與SKIPIF1<0平行的直線B．只有兩條與SKIPIF1<0平行的直線C．不一定存在與SKIPIF1<0平行的直線D．存在無(wú)數(shù)條與SKIPIF1<0平行的直線5．如圖所示，正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則在平面SKIPIF1<0內(nèi)與平面SKIPIF1<0平行的直線

A．不存在 B．有1條 C．有2條 D．有無(wú)數(shù)條6．下列命題正確的是A．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行二、填空題7．已知SKIPIF1<0是不共面的四個(gè)點(diǎn)，且這四個(gè)點(diǎn)到平面SKIPIF1<0的距離都相等，則這樣的平面SKIPIF1<0有個(gè)．8．在直四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0的平面交SKIPIF1<0于G，則截面SKIPIF1<0的面積為．題型四等角定理策略方法空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．【典例1】已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上答案都不對(duì)【題型訓(xùn)練】一、單選題1．如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中不正確的是（

）

A．M，N，P，Q四點(diǎn)共面 B．SKIPIF1<0C．S