新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第54講 離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差（原卷版）

第54講離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差（精講）題型目錄一覽①離散型隨機(jī)變量②離散型隨機(jī)變量的分布列③離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)④離散型隨機(jī)變量的分布列的均值⑤離散型隨機(jī)變量的分布列的方差一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)點(diǎn)梳理一、離散型隨機(jī)變量的分布列1.隨機(jī)變量的定義在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…表示．注：①有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，SKIPIF1<0表示反面向上，SKIPIF1<0表示正面向上．②隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若SKIPIF1<0是隨機(jī)變量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是常數(shù)，則SKIPIF1<0也是隨機(jī)變量．2.離散型隨機(jī)變量的定義對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．注：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．3.離散型隨機(jī)變量的分布列的表示一般地，若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0可能取的不同值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取每一個(gè)值SKIPIF1<0SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0，以表格的形式表示如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的概率分布列，簡稱為SKIPIF1<0的分布列．有時(shí)為了簡單起見，也用等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的分布列．4.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．注：①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．②隨機(jī)變量SKIPIF1<0所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．二、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.均值若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．2.均值的性質(zhì)（1）SKIPIF1<0（為常數(shù)）．（2）若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)，則SKIPIF1<0也是隨機(jī)變量，且SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0．（4）如果SKIPIF1<0相互獨(dú)立，則SKIPIF1<0．3.方差若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則稱SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的方差，并稱其算術(shù)平方根SKIPIF1<0為隨機(jī)變量SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)差．4.方差的性質(zhì)（1）若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為常數(shù)，則SKIPIF1<0也是隨機(jī)變量，且SKIPIF1<0．（2）方差公式的變形：SKIPIF1<0．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一離散型隨機(jī)變量的概念策略方法離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．【典例1】（單選題）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標(biāo)所需要的次數(shù)D．袋中有SKIPIF1<0個(gè)黑球SKIPIF1<0個(gè)紅球，任取SKIPIF1<0個(gè)，取得一個(gè)紅球的可能性【題型訓(xùn)練】一、單選題1．在下列表述中不是離散型隨機(jī)變量的是（

）①某機(jī)場候機(jī)室中一天的旅客數(shù)量SKIPIF1<0；

②某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)SKIPIF1<0；③某籃球下降過程中離地面的距離SKIPIF1<0；

④某立交橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X．A．①中的SKIPIF1<0 B．②中的SKIPIF1<0 C．③中的SKIPIF1<0 D．④中的SKIPIF1<02．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用SKIPIF1<0表示甲的得分，則SKIPIF1<0表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局二次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次3．①某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)為X；②某通信公司官方客服一天內(nèi)接聽電話的總次數(shù)為X；③一天之內(nèi)的溫度為X；④一射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射擊中的得分.上述問題中的X是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④4．甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用SKIPIF1<0表示甲的得分，則SKIPIF1<0表示（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次5．下面是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．電燈泡的使用壽命SKIPIF1<0B．小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)SKIPIF1<0C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值SKIPIF1<0D．一個(gè)在SKIPIF1<0軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在SKIPIF1<0軸上的位置SKIPIF1<0題型二離散型隨機(jī)變量的分布列策略方法離散型隨機(jī)變量分布列的求解步驟【典例1】（單選題）一袋中裝有4個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)不放回，取出后記下顏色，若為紅色停止，若為白色則繼續(xù)抽取，停止時(shí)從袋中抽取的白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記偶數(shù)點(diǎn)朝上的骰子的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的分布列為（

）A．X12PSKIPIF1<0SKIPIF1<0B．X01PSKIPIF1<0SKIPIF1<0C．

X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0D．

X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0

2．一袋中裝5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從袋中同時(shí)取出3個(gè)，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為（

）A． B．C． D．3．甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃的命中率分別為0.8，0.7，他們各自投籃1次，設(shè)兩人命中總次數(shù)為X，則X的分布列為（

）A．X012P0.080.140.78B．X012P0.060.240.70C．X012P0.060.560.38D．X012P0.060.380.56二、多選題4．已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξ－2－10123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．106．圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為SKIPIF1<0，且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X，則（

）A．乙連勝三場的概率是SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0三、填空題7．?dāng)?shù)字1，2，3，4任意排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個(gè)位置上，則稱有一個(gè)“巧合”，求“巧合”個(gè)數(shù)SKIPIF1<0的分布列．8．從裝有除顏色外其余均相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有SKIPIF1<0個(gè)紅球，隨機(jī)變量SKIPIF1<0的概率分布列如下:SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的值分別為、、.9．設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．10．某社區(qū)為了豐富群眾的業(yè)余活動(dòng)，倡導(dǎo)群眾參加踢毽子、廣場舞、投籃、射門等體育活動(dòng)．在一次“定點(diǎn)投球”的游戲中，游戲共進(jìn)行兩輪，每小組兩位選手，在每輪活動(dòng)中，兩人各投一次，如果兩人都投中，則小組得3分；如果只有一個(gè)人投中，則小組得1分；如果兩人都沒投中，則小組得0分．甲、乙兩人組成一組，甲每輪投中的概率為SKIPIF1<0，乙每輪投中的概率為SKIPIF1<0，且甲、乙兩人每輪是否投中互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響，則該小組在本次活動(dòng)中得分之和不低于3分的概率為．四、解答題11．將SKIPIF1<0個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號(hào)SKIPIF1<0.現(xiàn)從中任取SKIPIF1<0個(gè)球，以SKIPIF1<0表示取出球的最大號(hào)碼.(1)求SKIPIF1<0的分布列；(2)求SKIPIF1<0的概率.12．2022年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2022）是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行?也是繼2002年韓日世界杯之后時(shí)隔二十年第二次在亞洲舉行的界杯足球賽，體育生更是熱愛觀看世界杯，某體育學(xué)院統(tǒng)計(jì)了該校足球系10個(gè)班級(jí)的學(xué)生喜歡觀看世界杯的人數(shù)，統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表所示：班級(jí)12345喜歡觀看世界杯的人數(shù)3935383836班級(jí)678910喜歡觀看世界杯的人數(shù)3940374038(1)該校計(jì)劃從這10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取3個(gè)班級(jí)的學(xué)生，就世界杯各國水平發(fā)揮進(jìn)行交談，求這3個(gè)班級(jí)喜歡觀看世界杯的人數(shù)不全相同的概率；(2)從10個(gè)班級(jí)中隨機(jī)選取一個(gè)班級(jí)，記這個(gè)班級(jí)喜歡觀看世界杯的人數(shù)為X，用上表中的頻率估計(jì)概率，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．13．作為北京副中心，通州區(qū)的建設(shè)不僅成為京津冀協(xié)同發(fā)展戰(zhàn)略的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，也肩負(fù)著醫(yī)治北京市“大城市病”的歷史重任，因此，通州區(qū)的發(fā)展備受矚目．2017年12月25日發(fā)布的《北京市通州區(qū)統(tǒng)計(jì)年鑒（2017）》顯示：2016年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資939.9億元，比上年增長SKIPIF1<0，下面給出的是通州區(qū)2011~2016年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資及增長率，如圖一．又根據(jù)通州區(qū)統(tǒng)計(jì)局2018年1月25日發(fā)布：2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資1054.5億元，比上年增長SKIPIF1<0．(1)在圖二中畫出2017年通州區(qū)全區(qū)完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資（柱狀圖），標(biāo)出增長率并補(bǔ)全折線圖；(2)通過計(jì)算2011~2017這7年的平均增長率約為SKIPIF1<0，現(xiàn)從2011~2017這7年中隨機(jī)選取2個(gè)年份，記X為“選取的2個(gè)年份中，增長率高于SKIPIF1<0的年份的個(gè)數(shù)”，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)設(shè)2011~2017這7年全社會(huì)固定資產(chǎn)投資總額的中位數(shù)為SKIPIF1<0，平均數(shù)為SKIPIF1<0，比較和SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）．14．（1）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的抽取出兩個(gè)數(shù)字，記兩個(gè)數(shù)字的和為X．（i）求X的分布列；（ii）求X的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0．（2）從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)的抽取出三個(gè)數(shù)字，記三個(gè)數(shù)字的和為Y．寫出Y的數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0（只需寫出結(jié)果即可，不需寫出推證過程）．題型三離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)策略方法分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性．(2)隨機(jī)變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率．【典例1】（單選題）若隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．下表是離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列，則常數(shù)SKIPIF1<0的值是（

）X3459PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．若隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為XSKIPIF1<0SKIPIF1<00123P0.10.20.10.30.10.2則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．隨機(jī)變量ξ的分布列如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．若隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．某銀行有一自動(dòng)取款機(jī)，在某時(shí)刻恰有SKIPIF1<0個(gè)人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為SKIPIF1<0，根據(jù)統(tǒng)計(jì)得到SKIPIF1<0，則在該時(shí)刻沒有人正在使用或等待使用該取款機(jī)的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題7．已知隨機(jī)變量X的概率分布如下表（其中a為常數(shù)）：X01234P0.10.20.40.2a則下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A．a(chǎn)＝0.1 B．P（X≤2）＝0.7C．P（X≥3）＝0.4 D．P（X≤1）＝0.38．已知離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<01246SKIPIF1<00.2SKIPIF1<0SKIPIF1<00.1則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．一個(gè)盒子里放著大小、形狀完全相同的1個(gè)黑球、2個(gè)白球、2個(gè)紅球，現(xiàn)不放回地隨機(jī)從盒子中摸球，每次取一個(gè)，直到取到黑球?yàn)橹?，記摸到白球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題10．已知隨機(jī)變量X的分布列為X012P0.1SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．11．離散型隨機(jī)變量X的概率分布中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y代替，其概率分布如下：X123456P0.200.10x0.10y0.20則SKIPIF1<0等于.12．隨機(jī)變量X的分布列如下，其中a，b，c成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是.XSKIPIF1<001Pabc13．離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的概率分布規(guī)律為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是常數(shù)，則SKIPIF1<0.題型四離散型隨機(jī)變量的分布列的均值策略方法求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由均值的定義求E(X)．【典例1】（單選題）一袋中裝有編號(hào)分別為1，2，3，4的4個(gè)球，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，用SKIPIF1<0表示取出球的最大編號(hào)，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（單選題）已知隨機(jī)變量X的分布列為X123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0123SKIPIF1<00.20.5SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的均值是（

）A．2 B．2.1C．2.3 D．隨SKIPIF1<0的變化而變化2．隨機(jī)變量SKIPIF1<0的概率分布為SKIPIF1<0124SKIPIF1<00.40.30.3則SKIPIF1<0等于（

）A．11 B．15 C．35 D．393．現(xiàn)有10張獎(jiǎng)券，8張2元的、2張5元的，某人從中隨機(jī)抽取3張，則此人得獎(jiǎng)金額的均值是（

）A．6 B．7.8C．9 D．124．為了備戰(zhàn)2023斯諾克世錦賽，丁俊暉與趙心童兩人進(jìn)行了熱身賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，熱身進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)丁俊暉在每局中獲勝的概率為SKIPIF1<0，趙心童在每局中獲勝的概率為SKIPIF1<0，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．某品牌飲料正在進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，一盒5瓶裝的飲料中有2瓶有獎(jiǎng)，消費(fèi)者從中隨機(jī)取出2瓶，記X為其中有獎(jiǎng)的瓶數(shù)，則SKIPIF1<0為（

）A．4 B．5 C．6 D．76．元宵節(jié)廟會(huì)上有一種摸球游戲：布袋中有15個(gè)大小和形狀均相同的小球，其中白球10個(gè)，紅球5個(gè)，每次摸出2個(gè)球．若摸出的紅球個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng)，教師把一張寫有成語的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語言把成語的意思傳遞給本組其他同學(xué)．若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對成語的概率是0.4，同學(xué)乙猜對成語的概率是0.5，且規(guī)定猜對得1分，猜錯(cuò)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X的均值（

）A．0.9 B．0.8C．1.2 D．1.1二、多選題8．已知X的分布列為X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0a則下列說法正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．隨機(jī)變量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的分布列如表：X1234PSKIPIF1<0mnSKIPIF1<0則下列正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量SKIPIF1<0為取出白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量SKIPIF1<0為取出黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量SKIPIF1<0為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題11．已知離散型隨機(jī)變量的概率分布如下表，則其數(shù)學(xué)期望SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<012．某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)SKIPIF1<0的概率分布為SKIPIF1<01234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為100元；分2期或3期付款，其利潤為150元；分4期付款，其利潤為200元．若SKIPIF1<0表示經(jīng)銷一件該商品的利潤，則SKIPIF1<0元．13．小青準(zhǔn)備用SKIPIF1<0萬元投資A，B兩種股票，已知兩種股票收益相互獨(dú)立，且這兩種股票的買入都是每股1萬元，每股收益的分布列如下表所示，若投資A種股票SKIPIF1<0萬元，則小青兩種股票的收益期望和為萬元.股票A的每股收益分布列收益SKIPIF1<0/萬元SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0股票B的每股收益分布列收益SKIPIF1<0/萬元SKIPIF1<0SKIPIF1<0概率SKIPIF1<0SKIPIF1<0四、解答題14．某闖關(guān)游戲共設(shè)置4道題，參加比賽的選手從第1題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)選手甲答對第1題的概率為SKIPIF1<0，甲答對題序?yàn)镾KIPIF1<0的題目的概率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)若甲已經(jīng)答對了前3題，求甲答對第4題的概率；(2)求甲停止答題時(shí)答對題目數(shù)量SKIPIF1<0的分布列與數(shù)學(xué)期望．15．2022年北京承辦了第二十四屆冬季奧運(yùn)會(huì)，本屆冬奧會(huì)共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)（滑雪、滑冰、冰球、冰壺、雪車、雪橇、冬季兩項(xiàng)），15個(gè)分項(xiàng)（高山滑雪、自由式滑雪、單板滑雪、跳臺(tái)滑雪、越野滑雪、北歐兩項(xiàng)、短道速滑、速度滑冰、花樣滑冰、冰球、冰壺、雪車、鋼架雪車、雪橇、冬季兩項(xiàng)），共計(jì)109個(gè)小項(xiàng)．某校為了調(diào)查學(xué)生喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與性別的關(guān)系，在高三年級(jí)選取了200名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下的SKIPIF1<0列聯(lián)表（單位：人）．性別是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)合計(jì)喜歡不喜歡男ac女bd合計(jì)已知從這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人不喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的概率為0.2，表格中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)完成SKIPIF1<0列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；(2)從上述喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8人，再從中抽取3人調(diào)查其喜歡的項(xiàng)目，用X表示3人中女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．SKIPIF1<00.1000.0500.0250.0100.0050.001SKIPIF1<02.7063.8415.0246.6357.87910.82816．某梯級(jí)共20級(jí)，某人上梯級(jí)（從0級(jí)梯級(jí)開始向上走）每步可跨一級(jí)或兩級(jí)，每步上一級(jí)的概率為SKIPIF1<0，上兩級(jí)的概率為SKIPIF1<0，設(shè)他上到第n級(jí)的概率為SKIPIF1<0．(1)求他上到第10級(jí)的概率SKIPIF1<0（結(jié)果用指數(shù)形式表示）；(2)若他上到第5級(jí)時(shí)，求他所用的步數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．科普知識(shí)是一種用通俗易懂的語言，來解釋種種科學(xué)現(xiàn)象和理論的知識(shí)文字，以普及科學(xué)知識(shí)為目的.科普知識(shí)涵蓋了科學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)方面，無論是物理?化學(xué)?生物各個(gè)學(xué)科，還是日常生活無不涉及到科普知識(shí).由于其范圍的廣泛性，奠定了科普知識(shí)的重要意義和影響.某校為了普及科普知識(shí)，在全校組織了一次科普知識(shí)競賽.經(jīng)過初賽?復(fù)賽，甲?乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽.決賽規(guī)則為每人回答一個(gè)問題，答對者為本隊(duì)贏得5分，答錯(cuò)或不答者得0分.假設(shè)甲隊(duì)中3人答對的概率分別為SKIPIF1<0，乙隊(duì)中每人答對的概率均為SKIPIF1<0，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.(1)設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0表示甲隊(duì)的總得分，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求甲?乙兩隊(duì)總得分之和等于15分且乙隊(duì)得分高的概率.18．設(shè)有甲?乙?丙三個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外都相同的5個(gè)球，其中甲箱有3個(gè)藍(lán)球和2個(gè)黑球，乙箱有4個(gè)紅球和1個(gè)白球，丙箱有2個(gè)紅球和3個(gè)白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個(gè)球，若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色相同，則從乙箱中摸出1個(gè)球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個(gè)球；若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色不同，則從丙箱中摸出1個(gè)球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個(gè)球.(1)若最后摸出的2個(gè)球顏色不同，求這2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；(2)若摸出每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記1分，用隨機(jī)變量SKIPIF1<0表示最后摸出的2個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和，求SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學(xué)期望.題型五離散型隨機(jī)變量的分布列的方差策略方法求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值．(2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率．(3)寫出X的分布列．(4)由方差的定義求D(X)．【典例1】（單選題）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表，則SKIPIF1<0（

）XSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（單選題）已知SKIPIF1<0的分布列如下表所示，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如下表所示.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）XSKIPIF1<001PaSKIPIF1<0bA．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0的分布列如下表所示，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．某離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）SKIPIF1<0SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知樣本數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平均數(shù)為16，方差為9，則另一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，12的方差為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．77．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負(fù)），且每一局甲贏的概率都是SKIPIF1<0，隨機(jī)變量SKIPIF1<0表示最終的比賽局?jǐn)?shù)，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．設(shè)SKIPIF1<0，隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<0012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0b則當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)增大時(shí)（

）A．SKIPIF1<0增大B．SKIPIF1<0減小C．SKIPIF1<0先減小后增大D．SKIPIF1<0先增大后減小二、多選題9．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．設(shè)離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0的分布列如下表：X12345Pm0.10.2n0.3若離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)成功率是失敗率的2倍，若用隨變量SKIPIF1<0描述一次試驗(yàn)的