2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 4.5.2 用二分法求方程的近似解教案 新人教A版必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一冊(cè)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一冊(cè)教材分析本節(jié)課選自《2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一冊(cè)》，在學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討方程的近似解法。本節(jié)內(nèi)容通過(guò)二分法這一算法，將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)際操作，既鞏固了學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力。二分法的教學(xué)與實(shí)踐相結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，加深對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)識(shí)，符合高中生的認(rèn)知發(fā)展需求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的實(shí)用性和工具性。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過(guò)用二分法求解方程近似解的過(guò)程，學(xué)生將掌握從具體問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，培養(yǎng)邏輯思維和推理能力，進(jìn)而提高解決問(wèn)題的效率。學(xué)生能夠理解算法思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確表達(dá)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的熟練度和準(zhǔn)確性，體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)科的綜合素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：理解二分法的基本原理，掌握運(yùn)用二分法求解方程近似解的方法。

難點(diǎn)：如何正確確定初始區(qū)間，以及如何精確判斷區(qū)間端點(diǎn)的取舍。

解決辦法：通過(guò)具體案例和圖示，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受二分法的原理，明確其步驟和條件。針對(duì)難點(diǎn)，采用以下策略：

1.通過(guò)分析函數(shù)性質(zhì)，教授學(xué)生如何選擇合適的初始區(qū)間，確保包含方程的根。

2.利用數(shù)軸和具體示例，講解區(qū)間端點(diǎn)的取舍規(guī)則，強(qiáng)調(diào)精確度與效率的平衡。

3.設(shè)計(jì)互動(dòng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，互相討論，教師巡回指導(dǎo)，及時(shí)解答學(xué)生疑惑，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

(1)講授法：通過(guò)生動(dòng)的語(yǔ)言和直觀的圖示，向?qū)W生講解二分法的原理和步驟，確保學(xué)生理解算法的基本概念。

(2)討論法：在講解完二分法的基本原理后，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生通過(guò)互相交流，探討如何選擇初始區(qū)間和判斷區(qū)間端點(diǎn)的取舍，促進(jìn)學(xué)生的思維碰撞和知識(shí)內(nèi)化。

(3)實(shí)驗(yàn)法：安排學(xué)生在計(jì)算機(jī)上使用數(shù)學(xué)軟件（如幾何畫板、Mathematica等）進(jìn)行二分法實(shí)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)際操作體驗(yàn)算法的執(zhí)行過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力和直觀感受。

2.教學(xué)手段：

(1)多媒體設(shè)備：利用PPT展示二分法的步驟、案例和關(guān)鍵公式，通過(guò)動(dòng)態(tài)圖示和視頻演示，幫助學(xué)生更直觀地理解算法的執(zhí)行過(guò)程。

(2)教學(xué)軟件：使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)演示，通過(guò)實(shí)時(shí)調(diào)整參數(shù)和觀察結(jié)果，讓學(xué)生清晰地看到二分法的每一步變化，提高學(xué)生對(duì)算法過(guò)程的理解。

(3)網(wǎng)絡(luò)資源：提供在線數(shù)學(xué)資源和自主學(xué)習(xí)平臺(tái)，鼓勵(lì)學(xué)生在課后使用這些資源進(jìn)行復(fù)習(xí)和拓展學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)課堂學(xué)習(xí)與自主學(xué)習(xí)的有效結(jié)合。教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)學(xué)校在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括二分法的概念和基本步驟的PPT，要求學(xué)生提前了解二分法的原理。

設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞二分法的應(yīng)用，設(shè)計(jì)問(wèn)題，如“如何確定初始區(qū)間？”“二分法的基本步驟有哪些？”引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過(guò)學(xué)習(xí)平臺(tái)的數(shù)據(jù)反饋，了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)計(jì)劃。

學(xué)生活動(dòng)：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照要求，自主學(xué)習(xí)二分法的相關(guān)知識(shí)。

思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問(wèn)題，記錄自己的理解和不解之處。

提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記和問(wèn)題通過(guò)平臺(tái)提交，以便教師了解預(yù)習(xí)效果。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和對(duì)知識(shí)的初步感知。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)資源的快速共享和預(yù)習(xí)進(jìn)度的監(jiān)控。

作用與目的：

讓學(xué)生提前接觸二分法，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和自主學(xué)習(xí)的能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

導(dǎo)入新課：通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引入二分法，如尋找某數(shù)的平方根。

講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解二分法的步驟，如何選擇初始區(qū)間，以及如何進(jìn)行區(qū)間的劃分。

組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生合作解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如用二分法求方程的近似解。

解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生在討論中產(chǎn)生的疑問(wèn)，進(jìn)行個(gè)別或集體解答。

學(xué)生活動(dòng)：

聽(tīng)講并思考：學(xué)生專心聽(tīng)講，積極參與教師提出的問(wèn)題。

參與課堂活動(dòng)：在小組討論中，學(xué)生共同探討問(wèn)題，應(yīng)用二分法解決實(shí)際問(wèn)題。

提問(wèn)與討論：學(xué)生針對(duì)不懂的問(wèn)題提出疑問(wèn)，與同學(xué)和老師共同討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過(guò)講解，幫助學(xué)生理解二分法的理論知識(shí)。

實(shí)踐活動(dòng)法：通過(guò)小組討論，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握二分法的應(yīng)用。

合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作能力。

作用與目的：

加深學(xué)生對(duì)二分法理論知識(shí)的理解，并通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容，布置相關(guān)習(xí)題，要求學(xué)生在課后完成。

提供拓展資源：向?qū)W生推薦相關(guān)的學(xué)習(xí)資料，如高級(jí)算法書籍和網(wǎng)絡(luò)資源。

反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋，指導(dǎo)學(xué)生改進(jìn)。

學(xué)生活動(dòng)：

完成作業(yè)：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)知識(shí)。

拓展學(xué)習(xí)：利用教師提供的資源，進(jìn)一步探索二分法的高級(jí)應(yīng)用。

反思總結(jié)：學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，提出改進(jìn)措施。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主完成作業(yè)，進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反思，不斷提升學(xué)習(xí)能力。

作用與目的：

鞏固學(xué)生對(duì)二分法的理解和應(yīng)用能力。

拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，提高學(xué)生的自我反思和自我提升能力。知識(shí)點(diǎn)梳理1.二分法的基本概念

-二分法的定義：二分法是一種在有序數(shù)組中查找特定元素或在連續(xù)函數(shù)上尋找根的算法。

-二分法的應(yīng)用場(chǎng)景：適用于求解單調(diào)連續(xù)函數(shù)的根、查找有序數(shù)組中的元素等。

2.二分法的執(zhí)行步驟

-確定初始區(qū)間：選擇一個(gè)包含目標(biāo)根的區(qū)間，確保函數(shù)在該區(qū)間的兩端點(diǎn)取值異號(hào)。

-縮小區(qū)間：根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)，不斷將區(qū)間一分為二，逐步逼近目標(biāo)根。

-判斷停止條件：當(dāng)區(qū)間足夠小，或者函數(shù)值足夠接近0時(shí)，停止迭代。

3.二分法的算法分析

-時(shí)間復(fù)雜度：二分法的時(shí)間復(fù)雜度為O(logn)，其中n為迭代次數(shù)。

-空間復(fù)雜度：二分法只需常數(shù)級(jí)別的額外空間，空間復(fù)雜度為O(1)。

4.二分法的注意事項(xiàng)

-初始區(qū)間的選擇：應(yīng)確保區(qū)間端點(diǎn)異號(hào)，避免函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有根。

-精度控制：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，設(shè)定合適的精度要求，以確定迭代停止的條件。

-邊界處理：在編寫代碼時(shí)，注意處理邊界條件，避免出現(xiàn)死循環(huán)或遺漏根。

5.二分法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

-求解方程的近似解：利用二分法求解一元二次方程、對(duì)數(shù)方程等連續(xù)函數(shù)的近似根。

-查找有序數(shù)組中的元素：在有序數(shù)組中查找特定元素或滿足條件的元素位置。

6.二分法的數(shù)學(xué)原理

-中值定理：連續(xù)函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)異號(hào)時(shí)，至少存在一個(gè)根。

-二分法的遞推關(guān)系：通過(guò)不斷二分，區(qū)間長(zhǎng)度以2的負(fù)指數(shù)冪遞減，逼近根。

7.二分法的教學(xué)策略

-結(jié)合實(shí)際案例：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入二分法，使學(xué)生理解算法的實(shí)用性和價(jià)值。

-動(dòng)手實(shí)踐：鼓勵(lì)學(xué)生編寫代碼或使用數(shù)學(xué)軟件，親身體驗(yàn)二分法的執(zhí)行過(guò)程。

-理論與實(shí)踐相結(jié)合：在講解算法原理的同時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力。

本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)梳理涵蓋了二分法的基本概念、執(zhí)行步驟、算法分析、注意事項(xiàng)、實(shí)際應(yīng)用、數(shù)學(xué)原理和教學(xué)策略。這些知識(shí)點(diǎn)與教材緊密相關(guān)，旨在幫助學(xué)生全面理解和掌握二分法，為解決實(shí)際問(wèn)題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。板書設(shè)計(jì)1.標(biāo)題：用二分法求方程的近似解

-二分法原理與應(yīng)用

2.二分法步驟

-確定初始區(qū)間

-縮小區(qū)間

-判斷停止條件

3.注意事項(xiàng)

-初始區(qū)間選擇

-精度控制

-邊界處理

4.算法分析

-時(shí)間復(fù)雜度：O(logn)

-空間復(fù)雜度：O(1)

5.實(shí)際應(yīng)用案例

-求解方程近似解

-有序數(shù)組元素查找

6.數(shù)學(xué)原理

-中值定理

-二分法遞推關(guān)系

7.教學(xué)策略

-結(jié)合實(shí)際案例

-動(dòng)手實(shí)踐

-理論與實(shí)踐相結(jié)合

板書設(shè)計(jì)以清晰的結(jié)構(gòu)和簡(jiǎn)潔明了的方式呈現(xiàn)二分法的核心知識(shí)點(diǎn)，突出重點(diǎn)，使學(xué)生能夠直觀地把握二分法的基本原理和步驟。同時(shí)，板書設(shè)計(jì)注重藝術(shù)性和趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.實(shí)踐性強(qiáng)：本節(jié)課通過(guò)數(shù)學(xué)軟件的現(xiàn)場(chǎng)演示和學(xué)生的動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生在實(shí)踐中掌握二分法的應(yīng)用，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的體驗(yàn)感和實(shí)用性。

2.互動(dòng)性高：課堂中組織了小組討論和問(wèn)題解答環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)和分享，提高了學(xué)生的參與度和思考深度。

（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生參與度不均：在小組討論中，部分學(xué)生參與度不高，可能是因?yàn)閱?wèn)題難度不適宜或?qū)W生準(zhǔn)備不足。

2.教學(xué)評(píng)價(jià)單一：目前對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)主要依賴課后作業(yè)和課堂問(wèn)答，缺乏過(guò)程性評(píng)價(jià)和多元化評(píng)價(jià)手段。

（三）改進(jìn)措施

針對(duì)學(xué)生的參與度問(wèn)題，我計(jì)劃在今后的教學(xué)中：

1.分層次設(shè)計(jì)問(wèn)題，確保問(wèn)題難度適中，既能激發(fā)學(xué)生的思考，又不會(huì)讓學(xué)生感到過(guò)于困難。

2.增加課堂互動(dòng)，通過(guò)抽問(wèn)、小組競(jìng)賽等方式，鼓勵(lì)更多學(xué)生參與到課堂討論中來(lái)。

針對(duì)教學(xué)評(píng)價(jià)單一的問(wèn)題，我將：

1.引入課堂觀察表，對(duì)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)進(jìn)行記錄，作為過(guò)程性評(píng)價(jià)的一部分。

2.結(jié)合線上平臺(tái)的使用，設(shè)置在線測(cè)試和討論區(qū)，鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行知識(shí)鞏固和問(wèn)題探討，豐富評(píng)價(jià)方式。課后作業(yè)1.求方程$e^x-2=0$的近似解，要求精度為$10^{-6}$。

2.用二分法求函數(shù)$f(x)=\ln(x)-1$在區(qū)間$[2,3]$內(nèi)的根，并說(shuō)明你的初始區(qū)間選擇。

3.給定有序數(shù)組$[1,3,5,7,9,11,13,15]$，用二分法查找元素$9$的位置。

4.求解方程$x^3-6x+9=0$的近似解，要求精度為$10^{-4}$。

5.用二分法求函數(shù)$f(x)=x^2-4$在區(qū)間$[1,2]$內(nèi)的根，并說(shuō)明你的初始區(qū)間選擇。

答案：

1.近似解為$x\approx0