2021年全國(guó)中考數(shù)學(xué)壓軸題精練

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題選編

1.(2021?北京市)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，。。的半徑為1.對(duì)于點(diǎn)A和線段8C,給出如下定義：假設(shè)將

線段8C繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦分別是B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，那么稱線段8C是。。的以

點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點(diǎn)A,當(dāng)，皂,B2,C2,B3,C3的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).在線段BiG，B2c2,83c3中，。。的

以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是;

(2)△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)4(0,t),其中t力0.假設(shè)BC是。。的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)

線段”，求/的值；

(3)在△48C中，AB=1,4c=2.假設(shè)3c是。0的以點(diǎn)A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫出。4的最

小值和最大值，以及相應(yīng)的BC長(zhǎng).

2.(2021?天津市)拋物線y=a/—2ax+c(a,c為常數(shù)，a40)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-1),頂點(diǎn)為D

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(口)當(dāng)(1>0時(shí)，點(diǎn)后(0,1+61),假設(shè)DE=2&DC,求該拋物線的解析式；

(HI)當(dāng)a<-l時(shí)，點(diǎn)F(O,l-a),過(guò)點(diǎn)C作直線/平行于u軸,是x軸上的動(dòng)點(diǎn),N(m+3,-l)

是直線/上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)。為何值時(shí)，F(xiàn)M+CN的最小值為2同，并求此時(shí)點(diǎn)M,N的坐標(biāo).

3.(2021.河北省)在一平面內(nèi)，線段4B=20,線段BC=CD=ZM=10,將這四條線段順次首尾相接.把

A8固定，讓繞點(diǎn)A從A8開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a(a>0。)到某一位置時(shí)，BC,CO將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相

應(yīng)的位置.

論證：如圖1,當(dāng)AD//BC時(shí)，設(shè)AB與交于點(diǎn)O,求證：4。=10；

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=60。時(shí)，乙4DC的度數(shù)可能是多少？

嘗試：取線段C。的中點(diǎn)M,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)8距離最大時(shí)，求點(diǎn)例到A8的距離；

拓展：①如圖2,設(shè)點(diǎn)Q與3的距離為d,假設(shè)NBCD的平分線所在直線交AB于點(diǎn)尸，直接寫出2P

的長(zhǎng)(用含d的式子表示)；

②當(dāng)點(diǎn)C在AB下方，且與C。垂直時(shí)，直接寫出a的余弦值.

B

備用圖2

4.(2021?山西省)如圖，拋物線y=12+2工一6與犬軸交于43兩點(diǎn)(點(diǎn)A在

點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,BC.\|/.

(1)求A、B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線4C,BC的函數(shù)表達(dá)式./

(2)點(diǎn)尸是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作BC的平行線/,交\

線段AC于點(diǎn)。.\/C

①試探究：在直線/上是否存在點(diǎn)E,使得以點(diǎn)。，C,B,E為頂點(diǎn)的四

邊形為菱形，假設(shè)存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線/交于點(diǎn)M,與直線AC交于點(diǎn)N.當(dāng)SADMN=S-oc時(shí)，請(qǐng)直接寫出DM的

長(zhǎng).

5.(2021?遼寧省遼陽(yáng)市)如圖,拋物線y=-32+以+。與》軸交于點(diǎn)4和點(diǎn)(?(一1,0),與丫軸交于點(diǎn)8(0,3),

連接AB,BC,點(diǎn)尸是拋物線第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PDLx軸于點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,作PF1PZ)于點(diǎn)尸，使PF=IOA,以PE,P尸為鄰邊作矩形PEGF,當(dāng)矩形PEGF的面積是

△BOC面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。在直線PO上，假設(shè)以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形

是銳角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)〃的取值范圍.

6.(2021.吉林省)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/+故+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)做0,一令，點(diǎn)8(1,》

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)當(dāng)一2<xW2時(shí)，求二次函數(shù)y=x2+bx+c的最大值和最小值；

(3)點(diǎn)P為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，%過(guò)點(diǎn)P作PQ〃；d4，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-2巾+1.點(diǎn)P

與點(diǎn)。不重合，且線段PQ的長(zhǎng)度隨機(jī)的增大而減小.

①求，”的取值范圖；

②當(dāng)PQ<7時(shí)，直接寫出線段PQ與二次函數(shù)y=x2+bx+c(-2<x<$的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的

機(jī)的取值范圍.

7.(2021.吉林省長(zhǎng)春市)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=2(x—m)2+2m(7n為常數(shù))的頂點(diǎn)為A.

(1)當(dāng)巾=［時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是；

(2)假設(shè)點(diǎn)A在第一象限，且。A=㈢，求此拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)值y隨x

的增大而減小時(shí)x的取值范圍；

(3)當(dāng)xW2nl時(shí)，假設(shè)函數(shù)y=2(x—m)2+m的最小值為3,求相的值；

(4)分別過(guò)點(diǎn)P(4,2)、(2(4,2-26)作〉軸的垂線，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M、N.當(dāng)拋物線y=2(x-

m)2+2m與四邊形尸QVM的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，將這兩個(gè)交點(diǎn)分別記為點(diǎn)2、點(diǎn)C,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)

大于點(diǎn)C的縱坐標(biāo).假設(shè)點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離與點(diǎn)C到x軸的距離相等，直接寫出，〃的值.

8.(2021.江蘇省無(wú)錫市)四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)E是射線8C上的動(dòng)點(diǎn)，以AE為直角邊在

直線BC的上方作等腰直角三角形AEF,AAEF=90°,設(shè)BE=m.

備用圖

(1)如圖，假設(shè)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)，EF交CD于點(diǎn)、P,AF交CZ)于點(diǎn)Q,連結(jié)CF,

①當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求線段CF的長(zhǎng)；

②在APQE中，設(shè)邊QE上的高為〃，請(qǐng)用含，”的代數(shù)式表示/?,并求力的最大值；

(2)設(shè)過(guò)BC的中點(diǎn)且垂直于BC的直線被等腰直角三角形4E尸截得的線段長(zhǎng)為y,請(qǐng)直接寫出y與機(jī)

的關(guān)系式.

9.（2021.江蘇省南京市）在幾何體外表上，螞蟻怎樣爬行路徑最短?

（1）如圖①，圓錐的母線長(zhǎng)為12c牝，B為母線OC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在底面圓周上，元的長(zhǎng)為4兀cm.在圖

②所示的圓錐的側(cè)面展開圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路徑,并標(biāo)出它的長(zhǎng)（結(jié)果保存根號(hào)）.

①②

（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.0是圓錐的頂點(diǎn)，點(diǎn)A在圓柱的底面圓周上，

設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,圓柱的高為近

①螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為（用含I,h的代數(shù)式表示）.

②設(shè)檢的長(zhǎng)為m點(diǎn)8在母線OC上，0B=b.圓柱的側(cè)面展開圖如下圖④，在圖中畫出螞蟻從點(diǎn)A

爬行到點(diǎn)8的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長(zhǎng)的思路.

10.(2021?江蘇省宿遷市)如圖，拋物線y=-梟2+加；+(:與工軸交于4(—1,0),5(4,0),與y軸交于點(diǎn)C.連

接AC,BC,點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖①，假設(shè)點(diǎn)尸在第四象限，點(diǎn)。在PA的延長(zhǎng)線上，當(dāng)/CAQ=NCB4+45。時(shí)，求點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

(3)如圖②，假設(shè)點(diǎn)P在第一象限，直線AP交BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交BC于點(diǎn)H,當(dāng)4PFH

為等腰三角形時(shí)，求線段P”的長(zhǎng).

圖①圖②備用圖

11.(2021?江蘇省蘇州市)如圖，在矩形ABCO中，線段EF、GH分別平行于A。、AB,它們相交于點(diǎn)P,

7

點(diǎn)Pi、P2分別在線段刊、PH上,PP[=PG,PP2=PE,連接AH、P2F,PI”與「2/相交于點(diǎn)Q4G：

GD=AE：EB=1：2,設(shè)4G=a,AE=b.

(1)四邊形E8HP的面積四邊形GPBD的面積(填“>"、"="或)

(2)求證：&P、FQSAP2HQ；

(3)設(shè)四邊形PP1QP2的面積為S「四邊形C/。”的面積為S2,求興的值.

12.(2021?江蘇省連云港市)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

(：1)△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且4E=1,小亮以BE為邊作等邊三角形

(2)△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BE為邊作等邊三角形8EF,

如圖2.在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)尸所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng);

(3)△4BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以3M為邊作等邊三角形BMN,

如圖3.在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

cD

圖3圖4

(4)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為3,E是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小亮以

8為頂點(diǎn)作正方形8FG”，其中點(diǎn)尸、G都在直線上，如圖4.當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)尸、G、H與

點(diǎn)B重合.那么點(diǎn)”所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為.

13.(2021?浙江省衢州市)【推理】

如圖1,在正方形ABCO中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著BE折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連結(jié)

BE,CF,延長(zhǎng)CF交AO于點(diǎn)G.

(1)求證：ABCESACDG.

【運(yùn)用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交A。于點(diǎn)兒假設(shè)黑=：,CE=9,求線段。E的長(zhǎng).

rir5

【拓展】

(3)將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊,連結(jié)CF,延長(zhǎng)CF,BF交直線AO于G,H兩點(diǎn),假設(shè)黑=k,

DC

等=3求普的值(用含上的代數(shù)式表示).

nrbcC

14.(2021?浙江省寧波市)如圖1,四邊形ABC。內(nèi)接于。。，8。為直徑，檢上存在點(diǎn)E,滿足卷=%,

連結(jié)BE并延長(zhǎng)交C￡)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，BE與交于點(diǎn)G.

(1)假設(shè)NDBC=a,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示乙4GB.

(2)如圖2,連結(jié)CE,CE=BG.求證：EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)CG,AD=2.

①假設(shè)tan乙4DB=多求4FGD的周長(zhǎng).

②求CG的最小值.

圖1

15.（2021?浙江省杭州市）如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于。。，/B4C的平分線

AG交。。于點(diǎn)G,交8c邊于點(diǎn)F,連接2G.

（1）求證：^ABG-^AFC.

（2）48=a,AC=AF=b,求線段尸G的長(zhǎng)（用含a,〃的代數(shù)式表示）.

（3）點(diǎn)E在線段AF上（不與點(diǎn)A,點(diǎn)尸重合），點(diǎn)。在線段AE上（不與點(diǎn)A,

點(diǎn)E重合），LABD=Z.CBE,求證：BG2=GEGD.

16.（2021?浙江省臺(tái)州市）如圖，8。是半徑為3的。。的一條弦，BD=4VI,點(diǎn)A是。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不

與點(diǎn)、B,。重合），以A,B,。為頂點(diǎn)作。4BCZ）.

(1)如圖2,假設(shè)點(diǎn)A是劣弧崩的中點(diǎn).

①求證：辦8C。是菱形；

②求。ABCQ的面積.

(2)假設(shè)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧的上，且QABCQ有一邊與。。相切.

①求的長(zhǎng)；

②直接寫出口48s對(duì)角線所夾銳角的正切值.

17.(2021.浙江省金華市)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-/療,0),點(diǎn)B在直線/：y-|x.t,過(guò)點(diǎn)

B作A8的垂線，過(guò)原點(diǎn)O作直線/的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C.

(1)如圖，點(diǎn)8,C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與4。相交于點(diǎn)。.

①假設(shè)B4=B。，求證：CD=CO.

②假設(shè)“BO=45。，求四邊形ABOC的面積.

(2)是否存在點(diǎn)2,使得以A,B,C為頂點(diǎn)的三角形與ABCO相似？假設(shè)存在，求OB的長(zhǎng)；假設(shè)不存

備用圖

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.(2021.浙江省溫州市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OM經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0,分別交x軸、y軸于點(diǎn)4(2,0),8(0,8),

連結(jié)4B.直線CM分別交0M于點(diǎn)￡>,E(點(diǎn)。在左側(cè))，交x軸于點(diǎn)C(17,0),連結(jié)AE.

(1)求OM的半徑和直線CM的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求點(diǎn)。，E的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P在線段AC上，連結(jié)PE.當(dāng)N2EP與AOBD的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求所有滿足條件的OP的長(zhǎng).

19.(2021?浙江省嘉興市)小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁(yè)例2后，進(jìn)一步開展探究活動(dòng)：將一個(gè)矩形

ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0。<a<90°),得到矩形AB'C'D',連結(jié)BD.

［探究1］如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，點(diǎn)C'恰好在延長(zhǎng)線上.假設(shè)48=1,求BC的長(zhǎng).

［探究2］如圖2,連結(jié)4C',過(guò)點(diǎn)。'作交80于點(diǎn)M.線段D'M與。M相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

［探究3］在探究2的條件下，射線力8分別交AD',AC'于點(diǎn)尸，N(如圖3),發(fā)現(xiàn)線段0MMN,尸N存

在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出這個(gè)關(guān)系式，并加以證明.

20.(2021?浙江省麗水市)如圖，在菱形A8CO中，乙4BC是銳角，E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A

按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)E

(1)當(dāng)4EJ_BC,NE4F=zL4BC時(shí)，

①求證：AE=AF；

②連結(jié)8￡>,EF,假設(shè)霹=：，求戶匚的值；

JBD53菱形ABCD

(2)當(dāng)NE4F=時(shí)，延長(zhǎng)BC交射線AF于點(diǎn)M,延長(zhǎng)。C交射線AE于點(diǎn)M連結(jié)AC,MN,

假設(shè)4B=4,AC=2,那么當(dāng)CE為何值時(shí)，AAMN是等腰三角形.

D

21.(2021.浙江省湖州市)在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=：(x＞0)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

連結(jié)A。，A。的延長(zhǎng)線交反比例函數(shù)y=：(卜＞0,芯＜0)的圖象于點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)A作4E_Ly軸于點(diǎn)E.

圖1圖2

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)B作BF1x軸，于點(diǎn)F,連接EF.

①假設(shè)k=l,求證：四邊形AEF。是平行四邊形;

②連結(jié)3E,假設(shè)k=4,求△BOE的面積.

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EP〃/18,交反比例函數(shù)y=式卜＞0/＜0)的圖象于點(diǎn)「，連結(jié)。P.試探究：對(duì)

于確定的實(shí)數(shù)A,動(dòng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，APOE的面積是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.(2021.福建省)拋物線y=ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)假設(shè)拋物線過(guò)點(diǎn)P(0,l),求a+b的最小值；

(2)點(diǎn)七(一2,1),P2(2,-l),。3(2,1)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上.

①求拋物線的解析式；

②設(shè)直線/：y=kx+1與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線y=—l上，且4M4N=90。，過(guò)點(diǎn)A

且與x軸垂直的直線分別交拋物線和/于點(diǎn)B,C.求證：與AMBC的面積相等.

23.(2021?山東省東營(yíng)市)點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線/上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)8作直線

/的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)。.我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”.

(1)［猜測(cè)驗(yàn)證］如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，請(qǐng)你猜測(cè)、驗(yàn)證后直接寫出“足中距"OC和。。的數(shù)

量關(guān)系是.

(2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距"OC和。。的數(shù)量關(guān)系是否依然

成立，假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點(diǎn)尸是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距"OC和。。的數(shù)量關(guān)系

是否依然成立，假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②假設(shè)4。。。=60°,請(qǐng)直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

D

D.

OB

圖1圖2圖3

24.(2021.山東省棗莊市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-1x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

拋物線y=^%2+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)A,頂點(diǎn)為點(diǎn)M.

(1)求拋物線的關(guān)系式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)E是直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接EB,EA,當(dāng)△E4B的面積等于g時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)：

(3)將直線A3向下平移，得到過(guò)點(diǎn)M的直線y=7nx+n,且與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,取點(diǎn)。(2,0),連

接DM,求證：/.ADM-/.ACM=45°.

25.(2021?山東省荷澤市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a-+版一4交x軸于4(一1,0)、8(4,0)兩

備用圖

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接尸8,過(guò)點(diǎn)C作CQ〃BP交x軸于點(diǎn)Q,連接PQ,求△PBQ面

積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線丫=a/+bx-4向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，0)時(shí)，得到新拋物線y=%/+

bix+q,點(diǎn)E在新拋物線的對(duì)稱軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F,使得以A、P、E、尸為頂點(diǎn)的

四邊形為矩形，假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)：假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考：假設(shè)點(diǎn)Pi(x1,yi)、P2(x2,y2),那么線段「止2的中點(diǎn)％的坐標(biāo)為(弩，空),

26.(2021.山東省臨沂市)如圖，正方形ABC。，點(diǎn)E是8C邊上一點(diǎn)，將△ABE沿直線AE折疊，點(diǎn)8落在

/處，連接BF并延長(zhǎng)，與4。4尸的平分線相交于點(diǎn)H,與AE,CZ)分別相交于點(diǎn)G,M,連接HC.

(1)求證：AG=GH；

(2)假設(shè)4B=3,BE=1,求點(diǎn)。到直線的距離；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在8C邊上(端點(diǎn)除外)運(yùn)動(dòng)時(shí)，N8HC的大小是否變化？為什么？

27.(2021.山東省泰安市)如圖1,。為半圓的圓心，C、。為半圓上的兩點(diǎn)，且的=/.連接4C并延長(zhǎng),

與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：CD=ED；

(2)4。與OC,BC分別交于點(diǎn)凡H.

①假設(shè)CF=CH，如圖2,求證：CF-AF=FOAH-,

②假設(shè)圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

E

E

圖1

28.(2021.湖北省黃石市)拋物線y=ax2-2bx+b(a*0)與y軸相交于點(diǎn)C(0,—3),且拋物線的對(duì)稱軸為

%=3,。為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在x軸上方且平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于E、尸兩點(diǎn)，假設(shè)ADEF是等腰直角三

角形，求AOEF的面積；

(3)假設(shè)P(3,t)是對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求尸。的最小值(用含，的代數(shù)式表示).

B

29.(2021.湖北省襄陽(yáng)市)如圖，直線y="+l與x,y軸分別交于點(diǎn)B,A,頂點(diǎn)為P的拋物線曠=aM一

2ax+c過(guò)點(diǎn)A.

(1)求出點(diǎn)4,8的坐標(biāo)及c的值；

(2)假設(shè)函數(shù)y=ax2-2ax+c在3<%<4時(shí)有最大值為a+2,求a的值；

(3)連接AP,過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線交x軸于點(diǎn)時(shí).設(shè)4BMP的面積為5.

①直接寫出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式及a的取值范圍；

②結(jié)合S與a的函數(shù)圖象，直接寫出S>E時(shí)a的取值范圍.

30.(2021?湖北省)如圖1,ARPQ=45°,ZkABC中，AACB=90°,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以2西cm/s的速

度在線段AC上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，PQ,PR分別與射線AB交于E,尸兩點(diǎn)，且PE14B,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重

合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，如圖2,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為％s,4RPQ與△4BC的重疊局部面積為ycm2,y與工的

函數(shù)關(guān)系由Ci(0<%<5)和C2(5<%<九)兩段不同的圖象組成.

(1)填空：①當(dāng)％=5s時(shí)，EF=cm,

@sinA=；

(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍;

(3)當(dāng)y236cm2時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍.

31.(2021.湖北省鄂州市)如圖，直線y=-|尤+6與x軸交于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)尸為線段AB的中

點(diǎn)，點(diǎn)。是線段。4上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。、4重合).

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、點(diǎn)反點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)連接PQ,在第一象限內(nèi)將4OPQ沿PQ翻折得到^EPQ,點(diǎn)、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E.假設(shè)4QE=90°,

求線段A。的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線y=ax2-2a2x+a3+a+l(a*0)的頂點(diǎn)為點(diǎn)C.

①假設(shè)點(diǎn)C在APQE內(nèi)部(不包括邊)，求a的取值范圍；

②在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)C,使|CQ-CE|最大？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

32.(2021?湖北省恩施土家族苗族自治州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABC。為正方形，點(diǎn)A,B

在x軸上，拋物線y=/+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,。(一4,5)兩點(diǎn)，且與直線。C交于另一點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)F為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q,F,E,8為頂點(diǎn)的四

邊形是以BE為邊的菱形,假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)P為)，軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為例，連接用E,BP,探究EM+MP+PB是

否存在最小值.假設(shè)存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

備用圖

33.(2021?湖北省十堰市)拋物線y=ax2+bx-5與x軸交于點(diǎn)4(一1,0)和8(-5,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)

為P,點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上且位于x軸下方，連4V交拋物線于仞，連AC、CM.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,當(dāng)tan乙4cM=2時(shí)，求"點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線/,過(guò)M作MC_U于。，假設(shè)MD=bMN,求N點(diǎn)的坐標(biāo).

34.(2021?湖北省隨州市)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=￡1/+族+。與》軸交于點(diǎn)4(-1,0)和點(diǎn)8,與

y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,一4).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,假設(shè)點(diǎn)P在拋物線上且滿足4PCB=NCBD,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,M是直線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN1x軸交拋物線于點(diǎn)N,。是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)^QMN為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)M及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo).

35.(2021?湖北省宜昌市)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線％=—(X+4)(%-71)與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)

B(n,0)(n>一4),頂點(diǎn)坐標(biāo)記為(h1，上1),拋物線”=一(％+2n)2-n2+2n+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)記為(無(wú)2，12>

(1)寫出A點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求七，七的值(用含"的代數(shù)式表示)

(3)當(dāng)一4<n<4時(shí)，探究心與心的大小關(guān)系；

(4)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2n+9,-5n2)和點(diǎn)N(2n,9-5n2)的直線與拋物線y1=-(%+4)(x-n),y2=-(x+

2n)2-n2+2n+9的公共點(diǎn)恰好為3個(gè)不同點(diǎn)時(shí)，求n的值.

36.(2021?湖北省黃岡市)拋物線y=a/+"-3與x軸相交于4(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)N(n,0)是x軸上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,假設(shè)幾<3,過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P,交直線BC于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)P作PD1BC于

點(diǎn)￡>,當(dāng)〃為何值時(shí)、4PDGABNG；

(3)如圖2,將直線BC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它恰好經(jīng)過(guò)線段。C的中點(diǎn)，然后將它向上平移|個(gè)單位長(zhǎng)

度，得到直線

①tanz_80Bi=；

②當(dāng)點(diǎn)N關(guān)于直線。當(dāng)?shù)膶?duì)稱點(diǎn)M落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

37.(2021?湖北省武漢市)拋物線y=/-l交x軸于A,8兩點(diǎn)(4在2的左邊).

(1)〃1CZ)E的頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上，頂點(diǎn)E在)，軸右側(cè)的拋物線上；

①如圖(1),假設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,3),點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是|,直接寫出點(diǎn)A,。的坐標(biāo).

②如圖(2),假設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，且。4C￡>E的面積是12,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

(2)如圖(3),F是原點(diǎn)O關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不平行y軸的直線/分別交線段AF,BF(不含端

點(diǎn))于G,H兩點(diǎn).假設(shè)直線/與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：FG+FH的值是定值.

38.(2021.湖南省張家界市)如圖，二次函數(shù)丫=。/+"+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?(2,—3),且與x軸交于原點(diǎn)及

點(diǎn)B(8,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；

(3)判斷△AB。的形狀，試說(shuō)明理由；

(4)假設(shè)點(diǎn)P為。。上的動(dòng)點(diǎn)，且。。的半徑為2VL一動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速

度沿線段AP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段PB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng),

求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間r的最小值.

39.(2021?湖南省株洲市)二次函數(shù)y=ax2+b%+c(a＞0).

(1)假設(shè)a=T，b=c=-2,求方程a/+bx+c=0的根的判別式的值；

(2)如下圖，該二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)4(%,0)、0)，且不＜0＜型，與y軸的負(fù)半軸交于

點(diǎn)點(diǎn)。在線段上，連接、BD,滿足乙

C,OCAC4c0=N4BD,--a+C=X1.

①求證：4AOC任DOB；

②連接BC,過(guò)點(diǎn)。作DE1BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸(0,匕一&)在y軸的負(fù)半軸上，連接AF,且〃C。=^.CAF+

乙CBD,求F的值.

X1

40.（2021.湖南省長(zhǎng)沙市）如圖，點(diǎn)。為以AB為直徑的半圓的圓心，點(diǎn)M,N

在直徑A8上，點(diǎn)P,。在檢上，四邊形MNP。為正方形，點(diǎn)C在彼上

運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)C與點(diǎn)P,Q不重合），連接BC并延長(zhǎng)交"Q的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

連接AC交于點(diǎn)E,連接OQ.

（1）求sin乙40Q的值；

（2）求熬的值；

（3）令ME=x,QD=y,直徑4B=2R（R>0/是常數(shù)），求），關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指明自變量x

的取值范圍.

41.(2021?廣東省梅州市)二次函數(shù)曠=a/+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有4x-12W

ax2+bx+c<2x2—8x+6.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)假設(shè)(1)中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A,與)，軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是(1)中二次函數(shù)圖象上

的動(dòng)點(diǎn).問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)M使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.假設(shè)存在，求

出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

42.(2021.重慶市)在△ZBC中，AB=AC,。是邊8C上一動(dòng)點(diǎn)，連接4,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至4E

的位置，使得ND4E+ABAC=180°.

(1)如圖1,當(dāng)NB4C=90。時(shí)，連接BE,交AC于點(diǎn)F.假設(shè)8E平分44BC,BD=2,求AF的長(zhǎng)；

(2)如圖2,連接BE,取BE的中點(diǎn)G,連接4G.猜測(cè)AG與C￡?存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測(cè)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。G,CE,假設(shè)4BAC=120。，當(dāng)BD>CD,乙4EC=150。時(shí)，請(qǐng)直

接寫出安會(huì)的值.

CE

DD

圖1圖3

43.(2021?重慶市)在等邊△ABC中，AB=6,BD1AC,垂足為。，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線

上一點(diǎn)，連接EF.

(1)將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EG,連接FG.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合，且G尸的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，連接￡>G,求線段OG的長(zhǎng);

②如圖2,點(diǎn)E不與點(diǎn)A,B重合，GF的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)”，連接EH,求證：BE+BH=V3BF;

(2)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且DN=2NC,點(diǎn)F從BD中點(diǎn)

Q沿射線QO運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EP,連接FP,當(dāng)NP+^MP最小時(shí),

直接寫出ADPN的面積.

44.(2021.貴州省貴陽(yáng)市)(1)閱讀理解

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作凋髀算經(jīng)少中.漢代數(shù)學(xué)家趙

爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如下圖①的“弦圖"，后人稱之為“趙爽弦圖”.

根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過(guò)程；

(2)問(wèn)題解決

勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過(guò)正方形ACDE的中心0,作FG1HP,

將它分成4份，所分成的四局部和以BC為邊的正方形恰好能拼成以A8為邊的正方形.假設(shè)4c=12,

BC=5,求EF的值；

(3)拓展探究

如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,

重復(fù)這一過(guò)程就可以得到“勾股樹”的局部圖形.設(shè)大正方形N的邊長(zhǎng)為定值〃，小正方形A,B,C,

。的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d.

Z1=Z2=Z3=a,當(dāng)角a((T<a<90。)變化時(shí)，探究h與c的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過(guò)程

3與c的關(guān)系式用含〃的式子表示).

45.(2021?云南省)拋物線y=—2/+"+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)當(dāng)久<一4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x>-4

時(shí)，V隨x的增大而減小.設(shè)r是拋物線y=-2x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)(交點(diǎn)也稱公共點(diǎn))的橫坐標(biāo)，

r9+r7-2rs+r3+r-l

m=---------------?

r9+60r5-l

(1)求從C的值；

(2)求證：r4—2r2+1=60r2；

(3)以下結(jié)論：m<1,m=1,m>1,你認(rèn)為哪個(gè)正確？請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的那個(gè)結(jié)論.

46.(2021?甘肅省慶陽(yáng)市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12+汝+吟坐標(biāo)軸交于4(0,-2),

B(4,0)兩點(diǎn)，直線BC：y=-2x+8交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。為直線A8下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x

軸的垂線，垂足為G,OG分別交直線BC,A8于點(diǎn)E,F.

(1)求拋物線y=jx2+bx+c的表達(dá)式；

(2)當(dāng)GF=3時(shí)，連接80,求ABDF的面積；

(3)①”是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形8E/7F是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P,滿足PH=PC+2,求APHB周長(zhǎng)的最小值.

47.(2021?黑龍江省)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A/lOB的邊OA在x軸上，。4=48,且線段04的長(zhǎng)是

方程產(chǎn)一4%-5=0的根，過(guò)點(diǎn)8作BEJ.X軸，垂足為E,tan/BAE=+動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度，從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段A8向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)8停止.過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為￡>,以

MO為邊作正方形MOC凡點(diǎn)C在線段0A上，設(shè)正方形MOCF與AZOB重疊局部的面積為S,點(diǎn)M

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求S關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量/的取值范圍；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸落在線段0B上時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使以M、A、。、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？假設(shè)存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案和解析

1.【答案】B2c2

【解析】解：(1)由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)可知:AB=AB',AC=AC,

乙BAB'=^CAC,

由圖可知點(diǎn)A到圓上一點(diǎn)的距離”的范圍為&-l<d<V2+

vACr=3>d,

???點(diǎn)Cl'不可能在圓上，

不是。。的以A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，

???AC2=1,也=近，

???B2c2是。。的以4為中心的"關(guān)聯(lián)線段"，

???AC3=2,AB3=V5,

當(dāng)在圓上時(shí)，B3’(l,0)或

由圖可知此時(shí)C3'不在圓上，

???B3c3不是。。的以4為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

故答案為；B2c2.

(2)???△48C是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△AB'C'也是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,

4(0"),

二B'C'_Ly軸，且B'C'=1,

4。為B'C'邊上的高，且此高的長(zhǎng)為V5,

???t-或—0.

(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和“關(guān)聯(lián)線段”的定義，

可知4B'=4B=OB'=OC'=1,AC=AC=2,如圖1,

c

o

B'

圖1

利用四邊形的不穩(wěn)定性可知,

當(dāng)A,O,C'在同一直線上時(shí)，最小，最小值為1,如圖2,

圖2

止匕時(shí)。4=OB'=0C,

：.乙AB'C=90°,

B'C=>JAC'2-AB'2=V22-I2=V3.

OA最大，如圖3,

此時(shí)04=2,過(guò)點(diǎn)A作AE10C'于E,過(guò)點(diǎn)C'作C'F104于F.

?：AO=AC=2,AE1OC,

：.0E=EC=I，

：.AE=yjAO2-0E2=22-(|)2=苧

■■S^AOCI=\-AO-CF=1-OC'-AE,

C'F=-

4

：?OF=y/OC'2-C'F2=12_(塢2-1,

k474

FB'=OB'-OF=-,

4

B'C=7FB'2+FC'2=2+(嗎2=匹

I4，2

綜上OA的最小值為1時(shí)，此時(shí)BC的長(zhǎng)為V5,OA的最大值為2,此時(shí)BC的長(zhǎng)為當(dāng).

(1)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及點(diǎn)A到圓上一點(diǎn)距離的范圍，結(jié)合圖形判斷，即可求出答案.

(2)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，“關(guān)聯(lián)線段”的定義以及等邊三角形的性質(zhì)，求出B'C'的位置，從而求出，的值.

(3)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及“關(guān)聯(lián)線段”的定義，可知四邊形AB'OC'的各邊長(zhǎng)，利用四邊形的不穩(wěn)定性，畫

出OA最小和最大時(shí)的圖形，利用等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出答案.

此題屬于圓綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)有關(guān)的新定義題，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，勾股定理

等知識(shí)點(diǎn)，此題的關(guān)鍵畫出最小和最大時(shí)的圖形，屬于中考?jí)狠S題.

2.【答案】解：拋物線y=ax?-2ax+c(a,c為常數(shù)，aH0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)那么c=-1,

(I)當(dāng)。=1時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y=x2-2%-1=(x-I)2-2,

故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2)；

(II),?,y=ax2—2ax-1=a(x—l)2—a—1,

故點(diǎn)。(1,—a-1),

由DE=2V2DCW：DE2=8CD2,

即(1-0)2+(a+1+a+l)2=8[(1-0)2+(-a-1+l)2],

解得a=q或I，

故拋物線的表達(dá)式為y=|x2-x-1或y=|x2-3x-1；

(HI)將點(diǎn)D向左平移3個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)D'(-2,-a),

作點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)尸'，那么點(diǎn)F'的坐標(biāo)為(0,a-1),

當(dāng)滿足條件的點(diǎn)M落在尸'。上時(shí)，由圖象的平移知DN=D'M,故此時(shí)FM+ND最小，理由:

vFM+ND=F'M+D'M=F'。'為最小，即尸。=2V10.

那么D'F'=J(—2—0)2+(—a—2+1)2=2V10,

解得a="舍去)或一條

那么點(diǎn)。‘、F'的坐標(biāo)分別為(一2,|)、(0,-今,

由點(diǎn)D'、F’的坐標(biāo)得，直線。'尸'的表達(dá)式為y=-3x-%

77

當(dāng)y=0時(shí)，y--3%--=0,解得x=-z=m,

26

那么m+3=?,

6

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(一：,0)、點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,—1).

OO

【解析】(I)由y=x2-2x-l=(x—l)2-2,即可求解；

(n)由DE=2&DC得:DE2=8CD2,那么(1-0)2+(a+1+a+I)2=8[(1-0)2+(-a-1+l)2],

即可求解；

(皿)當(dāng)滿足條件的點(diǎn)"落在F'D'上時(shí)，由圖象的平移知DN=D'M,故此時(shí)FM+ND最小，進(jìn)而求解.

主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代

數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系.

3.【答案】論證：

證明：

-Z-A=乙B,Z.C=乙D,

在△4。。和ABOC中，

(Z-A=乙B

{AD=BC,

(乙。=Z.C

???△4。。幺8。。(的1),

???4。=B0,

vAO+BO=AB=20,

???4。=10；

發(fā)現(xiàn)：設(shè)AB的中點(diǎn)為。，如圖：

D

當(dāng)AD從初始位置40繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。時(shí)，BC也從初始位置BC'繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，

而B。=BC=10,

???△BC'。是等邊三角形，

???8c旋轉(zhuǎn)到BO的位置，即C以O(shè)重合，

???AO=AD