第19講　矩形、菱形和正方形

第19講矩形、菱形和正方形(時(shí)間45分鐘滿分120分)A卷一、選擇題(每小題3分,共24分)1．(2018·上海)已知平行四邊形ABCD,AC,BD是它的兩條對(duì)角線,那么下列條件中,能判斷這個(gè)平行四邊形為矩形的是(C)A．∠BAC＝∠DCAB．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABDD．∠BAC＝∠ADB2．(2018·聊城)如圖,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四邊形DBFE是菱形,還需要添加的條件是(D)A．AB＝ACB．AD＝BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC第2題圖第3題圖3．(2018·河南)我們知道:四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上,AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O,固定點(diǎn)A,B,把正方形沿箭頭方向推,使點(diǎn)D落在y軸正半軸上點(diǎn)D′處,則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(D)A．(eq\r(3),1)B．(2,1)C．(1,eq\r(3))D．(2,eq\r(3))(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824172)4．(2018·綿陽(yáng))如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作BD的垂線分別交AD,BC于E,F兩點(diǎn),若AC＝2eq\r(3),∠AEO＝120°,則FC的長(zhǎng)度為(A)A．1B．2C.eq\r(2)D.eq\r(3)第4題圖第5題圖5．(2018·長(zhǎng)沙)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD的長(zhǎng)分別為6cm,8cm,則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為(D)A．5cmB．10cmC．14cmD．20cm6．(2018·株洲)如圖,點(diǎn)E,F,G,H分別為四邊形ABCD的四邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則關(guān)于四邊形EFGH,下列說(shuō)法正確的為(C)A．一定不是平行四邊形B．一定不是中心對(duì)稱圖形C．可能是軸對(duì)稱圖形D．當(dāng)AC＝BD時(shí),它是矩形第6題圖第7題圖7．(2018·常州)如圖,已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A,D分別落在x軸、y軸上,OD＝2OA＝6,AD∶AB＝3∶1,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(A)A．(2,7)B．(3,7)C．(3,8)D．(4,8)8．(2018·呼和浩特)如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,E,F為BD所在直線上的兩點(diǎn),若AE＝eq\r(5),∠EAF＝135°,則以下結(jié)論正確的是(C)A．DE＝1B．tan∠AFO＝eq\f(1,3)C．AF＝eq\f(\r(10),2)D．四邊形AFCE的面積為eq\f(9,4)二、填空題(每小題3分,共18分)9．(2018·十堰)如圖,菱形ABCD中,AC交BD于點(diǎn)O,DE⊥BC于點(diǎn)E,連接OE,若∠ABC＝140°,則∠OED＝_20°_.第9題圖第10題圖10．(2016·成都)如圖,在矩形ABCD中,AB＝3,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AE垂直平分OB于點(diǎn)E,則AD的長(zhǎng)為_(kāi)3eq\r(3)_.(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824173)11．(2018·哈爾濱)四邊形ABCD是菱形,∠BAD＝60°,AB＝6,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在AC上,若OE＝eq\r(3),則CE的長(zhǎng)為_(kāi)4eq\r(3)或2eq\r(3)_.12．(2016·廣東)如圖,矩形ABCD中,對(duì)角線AC＝2eq\r(3),E為BC邊上一點(diǎn),BC＝3BE,將矩形ABCD沿AE所在的直線折疊,B點(diǎn)恰好落在對(duì)角線AC上的B′處,則AB＝_eq\r(3)_.13．(2018·懷化)如圖,在菱形ABCD中,∠ABC＝120°,AB＝10cm,點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn),若以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,則P,A(P,A兩點(diǎn)不重合)兩點(diǎn)間的最短距離為_(kāi)10eq\r(3)－10_cm.第13題圖第14題圖14．如圖,△ABC是等腰三角形,∠C＝90°,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E,F分別在AC,BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,C重合),且保持AE＝CF,連接DE,DF,EF.在此運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中,有下列結(jié)論:①DE＝DF；②∠EDF＝90°；③四邊形CEDF不可能為正方形；④四邊形CEDF的面積保持不變．一定成立的結(jié)論有_①②④_.(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)三、解答題(本大題4小題,共45分)15．(11分)(2018·張家界)如圖,在平行四邊形ABCD中,邊AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AF,BE.(1)求證:△AGE≌△BGF；(2)試判斷四邊形AFBE的形狀,并說(shuō)明理由．(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠AEG＝∠BFG,∵EF垂直平分AB,∴AG＝BG,在△AGE和△BGF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEG＝∠BFG，,∠AGE＝∠BGF，,AG＝BG，))∴△AGE≌△BGF(AAS)；(2)解:四邊形AFBE是菱形,理由如下:∵△AGE≌△BGF,∴AE＝BF,∵AD∥BC,∴四邊形AFBE是平行四邊形,又∵EF⊥AB,∴四邊形AFBE是菱形．16．(11分)(2018·南寧)如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在BD上,BE＝DF.(1)求證:AE＝CF；(2)若AB＝6,∠COD＝60°,求矩形ABCD的面積．(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824174)(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OA＝OC,OB＝OD,AC＝BD,∠ABC＝90°,∵BE＝DF,∴OE＝OF,在△AOE和△COF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，,OE＝OF，))∴△AOE≌△COF(SAS),∴AE＝CF；(2)解:∵∠AOB＝∠COD＝60°,OA＝OB,∴△AOB是等邊三角形,∴OA＝AB＝6,∴AC＝2OA＝12,在Rt△ABC中,BC＝eq\r(AC2－AB2)＝6eq\r(3).∴矩形ABCD的面積＝AB·BC＝6×6eq\r(3)＝36eq\r(3).17．(11分)(2018·北京)如圖,在四邊形ABCD中,BD為一條對(duì)角線,AD∥BC,AD＝2BC,∠ABD＝90°,E為AD的中點(diǎn),連接BE.(1)求證:四邊形BCDE為菱形；(2)連接AC,若AC平分∠BAD,BC＝1,求AC的長(zhǎng)．(1)證明:∵AD＝2BC,E為AD的中點(diǎn),∴DE＝BC,∵AD∥BC,∴四邊形BCDE是平行四邊形,∵∠ABD＝90°,AE＝DE,∴BE＝DE,∴四邊形BCDE是菱形；(2)解:如解圖,連接AC.∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA,∴AB＝BC＝1,∵AD＝2BC＝2,∴sin∠ADB＝eq\f(1,2),∴∠ADB＝30°,∴∠DAC＝30°,∠ADC＝60°,在Rt△ACD中,∵AD＝2,∴CD＝1,AC＝eq\r(3).18．(12分)(2018·玉林)如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,D是AB的中點(diǎn),E,F分別是AC,BC上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)A,C重合),且AE＝CF,連接EF并取EF的中點(diǎn)O,連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使GO＝OD,連接DE,DF,GE,GF.(1)求證:四邊形EDFG是正方形；(2)當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí),四邊形EDFG的面積最小？并求四邊形EDFG面積的最小值．(1)證明:連接CD,如解圖①所示．∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB＝90°,D是AB的中點(diǎn),∴∠A＝∠DCF＝45°,AD＝CD.在△ADE和△CDF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝CF，,∠A＝∠DCF，,AD＝CD，))∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE＝DF,∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°,∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°,∴△EDF為等腰直角三角形．∵O為EF的中點(diǎn),GO＝OD,∴GD⊥EF,且GD＝2OD＝EF,∴四邊形EDFG是正方形；圖①圖②(2)解:過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′,如解圖②所示．∵△ABC為等腰直角三角形,∠ACB＝90°,AC＝BC＝4,∴DE′＝eq\f(1,2)BC＝2,AB＝4eq\r(2),點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn),∴2≤DE＜2eq\r(2)(點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號(hào))．∴4≤S四邊形EDFG＝DE2＜8,∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形EDFG的面積最小,該最小值為4.B卷1．(3分)(2018·黔東南州)如圖,正方形ABCD中,E為AB中點(diǎn),FE⊥AB,AF＝2AE,FC交BD于點(diǎn)O,則∠DOC的度數(shù)為(A)A．60°B．67.5°C．75°D．54°第1題圖第2題圖2．(3分)(2018·蘇州)如圖,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AD＝8,F是AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作FE⊥AD,垂足為E,將△AEF沿點(diǎn)A到點(diǎn)B的方向平移,得到△A′E′F′,設(shè)P,P′分別是EF,E′F′的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合時(shí),四邊形PP′CD的面積為(A)A．28eq\r(3)B．24eq\r(3)C．32eq\r(3)D．32eq\r(3)－83．(3分)(2018·棗莊)在矩形ABCD中,∠B的角平分線BE與AD交于點(diǎn)E,∠BED的角平分線EF與DC交于點(diǎn)F,若AB＝9,DF＝2FC,則BC＝_6eq\r(2)＋3_.(結(jié)果保留根號(hào))(導(dǎo)學(xué)號(hào)58824175)4．(12分)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD＝5cm,BC＝9cm,M是CD的中點(diǎn),P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),連接PM并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.(1)求證:△PCM≌△QDM；(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B,C之間運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPQ是平行四邊形？并說(shuō)明理由．(1)證明:∵AD∥BC,∴∠QDM＝∠PCM,∵M(jìn)是CD的中點(diǎn),∴DM＝CM,∵∠DMQ＝∠CMP,在△PCM和△QDM中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠QDM＝∠PCM，,DM＝CM，,∠DMQ＝∠CMP，))∴△PCM≌△QDM(ASA)；(2)解:當(dāng)PC＝2時(shí),四邊形ABPQ是平行四邊形．5．(12分)(2018·德州)如圖①,在矩形紙片ABCD中,AB＝3cm,AD＝5cm,折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處,折痕為PQ,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交PQ于點(diǎn)F,連接BF.(1)求證:四邊形BFEP為菱形；(2)當(dāng)點(diǎn)E在AD邊上移動(dòng)時(shí),折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)；①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖②),求菱形BFEP的邊長(zhǎng)；②若限定點(diǎn)P,Q分別在邊BA,BC上移動(dòng),求出點(diǎn)E在邊AD上移動(dòng)的最大距離．(1)證明:∵折疊紙片使B點(diǎn)落在邊AD上的E處,折痕為PQ,∴點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱,∴PB＝PE,BF＝EF,∠BPF＝∠EPF,又∵EF∥AB,∴∠BPF＝∠EFP,∴∠EPF＝∠EFP,∴EP＝EF,∴BP＝BF＝EF＝EP,∴四邊形BFEP為菱形；(2)解:①∵四邊形ABCD是矩形,∴BC＝AD＝5cm,CD＝AB＝3cm,∠A＝∠D＝90°,∵點(diǎn)B與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱,∴CE＝BC＝5cm,在Rt△CDE中,