專題13難點(diǎn)探究專題整式中的規(guī)律探究問題壓軸題八種模型全

專題13難點(diǎn)探究專題：整式中的規(guī)律探究問題壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"13"\h\u【典型例題】 1【類型一數(shù)字類規(guī)律探索之單項(xiàng)式問題】 1【類型二數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題】 3【類型三數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題】 6【類型四數(shù)字類規(guī)律探索之算術(shù)平方根問題】 8【類型五數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題】 11【類型六數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題】 15【類型七圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題】 19【類型八圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題】 22【典型例題】【類型一數(shù)字類規(guī)律探索之單項(xiàng)式問題】例題：（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）觀察這一系列單項(xiàng)式的特點(diǎn)：，，，，…那么第8個單項(xiàng)式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，，，，…可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第個單項(xiàng)式為：，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由，，，，…可推導(dǎo)一般性規(guī)律為：第個單項(xiàng)式為，∴第8個單項(xiàng)式為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，…，第n個單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)所給的式子，分別找出分式的分母和分子的規(guī)律，從而求出第n個單項(xiàng)式.【詳解】解：，，，，第n個單項(xiàng)式是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查的是探索數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵要利用已知式子找出所存在的規(guī)律.2.（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級校考期中）一組數(shù)據(jù)，，，，…請按這種規(guī)律寫出第十個數(shù)是．【答案】【分析】由所給的單項(xiàng)式可得第個單項(xiàng)式為，當(dāng)時即可求解．【詳解】∵，，，，…，∴第個式子的指數(shù)是，系數(shù)是，則第個單項(xiàng)式為，當(dāng)時，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，通過所給的單項(xiàng)式，探索出系數(shù)與次數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·七年級課時練習(xí)）觀察下列單項(xiàng)式：．解決下列問題：(1)這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次為多少？系數(shù)的絕對值的規(guī)律是什么？(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是什么？(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第n個單項(xiàng)式是什么嗎？(4)請你根據(jù)猜想，寫出第2022個、第2023個單項(xiàng)式．【答案】(1)，系數(shù)的絕對值的規(guī)律是(2)這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)(3)(4)第2022個單項(xiàng)式是，第2023個單項(xiàng)式是【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的含義進(jìn)行求解，再觀察其絕對值的規(guī)律即可；（2）觀察次的變化，從而可求解；（3）結(jié)合（1）（2）進(jìn)行分析即可；（4）根據(jù)（3）進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：這組單項(xiàng)式的系數(shù)依次是，系數(shù)的絕對值為，是從1開始的奇數(shù)，∴系數(shù)的絕對值的規(guī)律是．（2）解：這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)．（3）解：由（1）問得：符合規(guī)律是，∵這組單項(xiàng)式的次數(shù)的規(guī)律是從1開始的連續(xù)自然數(shù)，∴第個單項(xiàng)式是．（4）解：第2022個單項(xiàng)式是，第2023個單項(xiàng)式是．【點(diǎn)睛】本題主要考查找規(guī)律，能夠通過觀察題中的單項(xiàng)式找出規(guī)律是解題關(guān)鍵．【類型二數(shù)字類規(guī)律探索之排列問題】例題：（2022秋·浙江金華·七年級校考期中）從3開始的連續(xù)奇數(shù)按右圖的規(guī)律排列，其余位置數(shù)字均為．（1）第行第列的數(shù)字是．（2）數(shù)字在圖中的第行，第列．【答案】【分析】（1）根據(jù)第行的第1至第列是非零數(shù)字，可得第行第列的數(shù)字是；（2）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)第行第1個數(shù)字為，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1）觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)根據(jù)第（為奇數(shù)）行第1至第列有非零數(shù)字，可得第行第列的數(shù)字是；故答案為：0．（2）第1行第1個數(shù)字為第3行第1個數(shù)字為第5行第1個數(shù)字為……∴第行的第1個數(shù)字為∵∴第行第1個數(shù)字為，∴數(shù)字在圖中的第行，第列故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東韶關(guān)·七年級?？计谥校┯^察下列一組數(shù)：、、、、……，它們是按一定規(guī)律排列的，那么第11個數(shù)是，第n個數(shù)是．【答案】【分析】觀察數(shù)據(jù)可知，分子是從1開始連續(xù)的奇數(shù)，分母是從1開始連續(xù)自然數(shù)的平方多1，則第n個數(shù)是代入數(shù)值即可的答案．【詳解】觀察數(shù)據(jù)可知，分子是從1開始連續(xù)的奇數(shù)，分母是從1開始連續(xù)自然數(shù)的平方多1，則第n個數(shù)是，第11個數(shù)是．故答案為：；．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析所給式子的特征得到規(guī)律，再把這個規(guī)律應(yīng)用于解題．2．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）觀察下列兩行數(shù)，探究第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系：，4，，16，，64，……①0，7，，21，，71，……②根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，完成填空：第①行數(shù)的第10個數(shù)為；取每行數(shù)的第2023個數(shù)，則這兩個數(shù)的和為．【答案】1024【分析】通過觀察第一行數(shù)的規(guī)律為，第二行數(shù)的規(guī)律為，代入數(shù)據(jù)即可.【詳解】第一行數(shù)的規(guī)律為，∴第①行數(shù)的第10個數(shù)為；第二行數(shù)的規(guī)律為，∴第①行數(shù)的第2023個數(shù)為，第②行數(shù)的第2023個數(shù)為，∴，故答案為：1024；．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化，找其中的規(guī)律，是今年考試中常見的題型.2．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）觀察下列三行數(shù)：，4，，16，，64，……0，6，，18，，66，……，1，，4，，16……(1)第①行數(shù)第七個數(shù)是，那么第二行數(shù)第七個數(shù)是_____，第三行第七個數(shù)是_____．(2)列式計(jì)算：取每行的第9個數(shù)，求這三個數(shù)的和．【答案】(1)，(2)這三個數(shù)的和是【分析】（1）根據(jù)各行數(shù)的特點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)第二行和第一行對應(yīng)數(shù)字的關(guān)系，第三行和第一行對應(yīng)數(shù)字的關(guān)系，即可得到第二行第七個數(shù)和第三行第七個數(shù)；（2）根據(jù)（1）發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，可以寫出每行的第九個數(shù)，然后相加即可解答本題．【詳解】（1）解：由題目中的數(shù)據(jù)可知，第二行中的每個數(shù)是第一行對應(yīng)數(shù)字加2，第三行中的每個數(shù)是第一行對應(yīng)數(shù)字的，∵第①行第七個數(shù)是，∴第二行第七個數(shù)是，第三行第七個數(shù)是，故答案為：，；（2）∵第①行第一個數(shù)是，第一個數(shù)是，第一個數(shù)是，…，∴第一行第9個數(shù)是第二行第9個數(shù)是第一行第9個數(shù)是這三個數(shù)的和是：答：這三個數(shù)的和是．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，找出規(guī)律解答．【類型三數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問題】例題：（2022秋·江蘇連云港·七年級校考階段練習(xí)）觀察下列算式：，，，，，，，…歸納各計(jì)算結(jié)果中個位數(shù)字的規(guī)律，可得的個位數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．9 D．7【答案】D【分析】先由前面8個具體的計(jì)算歸納得到個位數(shù)每四次循環(huán)，再利用規(guī)律解題即可．【詳解】解：，，，，，，，…，歸納可得：個位數(shù)每四次循環(huán)，∵，∴與的個位數(shù)相同，是7；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字變化規(guī)律的探究，乘方的含義，掌握探究的方法并靈活應(yīng)用規(guī)律解決問題是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·七年級專題練習(xí)）計(jì)算：，…歸納各計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字規(guī)律，猜測的個位數(shù)字是（

）A．1 B．3 C．7 D．5【答案】C【分析】根據(jù)題目中的式子可以計(jì)算出前幾個數(shù)字，從而可以發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字的變化規(guī)律，進(jìn)而可以得到的個位數(shù)字．【詳解】解：由，，，，，……可知計(jì)算結(jié)果中的個位數(shù)字以循環(huán)出現(xiàn)的，∵，∴的個位數(shù)字是7，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字的變化特點(diǎn)，求出所求式子的個位數(shù)字．2.（2023春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型來表示，即：，，，，，……，請你推算的個位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】利用已知得出數(shù)字個位數(shù)的變化規(guī)律，丙求出每一個循環(huán)4個數(shù)相加后的個位數(shù)字為0，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵，，，，，……，∴尾數(shù)每4個一循環(huán)，∵，又∵，∴每一組的4個數(shù)相加以后個位數(shù)字為0，∴505組相加后個位數(shù)字為0，∵，∴的個位數(shù)字為4，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，根據(jù)題意得出數(shù)字變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2023春·黑龍江綏化·七年級校考期末）觀察下列算式：，，，，，，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為的末位數(shù)字是．【答案】7【分析】根據(jù)，，，，，，得出末位數(shù)字以3、9、7、1，四個數(shù)字為一循環(huán)，由得出的末尾數(shù)字與的末位數(shù)字相同是7，從而得到答案．【詳解】解：，末位數(shù)字為3，，末位數(shù)字為9，，末位數(shù)字為7，，末位數(shù)字為1，，末位數(shù)字為3，，3的1，2，3，4，5，6，7，，次冪的末位數(shù)字以3、9、7、1，四個數(shù)字為一循環(huán)，，的末尾數(shù)字與的末位數(shù)字相同是7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尾數(shù)特征及數(shù)字規(guī)律類探索，通過觀察得出3的乘方的末位數(shù)字以3、9、7、1，四個數(shù)字為一循環(huán)，是解題的關(guān)鍵．【類型四數(shù)字類規(guī)律探索之算術(shù)平方根問題】例題：（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期末）有一列數(shù)按如下順序排列：，，，，，，…，則第2015個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，第個數(shù)為，據(jù)此可求得答案．【詳解】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，第個數(shù)為，所以，第個數(shù)是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查找一組數(shù)的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知數(shù)據(jù)歸納總結(jié)出規(guī)律，并牢記乘方的運(yùn)算法則（負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)）．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·四川廣元·七年級校聯(lián)考期中）已知按照一定規(guī)律排成的一列實(shí)數(shù)：，，，，，，，，，，…，則按此規(guī)律可推得這一列數(shù)中的第個數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，每三個數(shù)為一組，依次是這個數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，從而可以得到這一列數(shù)中的第2023個數(shù)．【詳解】解：一列實(shí)數(shù)：，，，，，，，，，，…這些數(shù)每三個數(shù)為一組，每組出現(xiàn)的特點(diǎn)一樣，依次是這個數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù)，算術(shù)平方根，立方根，這一列數(shù)中的第個數(shù)應(yīng)是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的規(guī)律探索，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律求解．2．（2023秋·山東棗莊·八年級滕州育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將、、、按如圖所示方式排列，若規(guī)定表示第排從左往右第個數(shù)，則表示的數(shù)是．1

第1排

第2排

1

第3排

1

第4排

1

第5排……

……【答案】【分析】題中數(shù)據(jù)以、、、為一個循環(huán)組，據(jù)此即可求解．【詳解】解：觀察可知，題中數(shù)據(jù)以、、、為一個循環(huán)組且每排中的數(shù)據(jù)個數(shù)與排數(shù)相同∵∴表示第個數(shù)∵∴表示的數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律問題．根據(jù)圖形找到一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．3．（2023春·江西新余·七年級新余四中?？计谥校┌匆笥?jì)算下列各題(1)計(jì)算：__________，__________，__________，__________；(2)求的值．【答案】(1)，，，；(2)【分析】（1）直接根據(jù)算術(shù)平方根計(jì)算格式即可；（2）根據(jù)（1）各式對代數(shù)式變形成，然后計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：，，，．故答案為，，，．（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化類規(guī)律、有理數(shù)加減混合運(yùn)算等知識點(diǎn)，根據(jù)題意、歸納出規(guī)律、并應(yīng)用規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．4．（2023春·河北石家莊·七年級石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）先觀察下列各式：；；；；(1)計(jì)算：_________；(2)已知為正整數(shù)，通過觀察并歸納，請寫出_________；(3)應(yīng)用上述結(jié)論，計(jì)算的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由個連續(xù)奇數(shù)和的算術(shù)平方根等于可得答案；（2）利用以上所得規(guī)律可得；（3）利用所得規(guī)律求解可得．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2），故答案為：；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根與數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出規(guī)律：個連續(xù)奇數(shù)和的算術(shù)平方根等于．【類型五數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問題】例題：（2022·湖南株洲·統(tǒng)考二模）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時，結(jié)果為；（2）當(dāng)n是偶數(shù)時，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取，第一次經(jīng)F運(yùn)算是29，第二次經(jīng)F運(yùn)算是92，第三次經(jīng)F運(yùn)算是23，第四次經(jīng)F運(yùn)算是74，……；若，則第2020次運(yùn)算結(jié)果是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】A【分析】由題意所給的定義新運(yùn)算可得當(dāng)時，第一次經(jīng)F運(yùn)算是32，第二次經(jīng)F運(yùn)算是1，第三次經(jīng)F運(yùn)算是8，第四次經(jīng)F運(yùn)算是1，，由此規(guī)律可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意時，第一次經(jīng)F運(yùn)算是，第二次經(jīng)F運(yùn)算是，第三次經(jīng)F運(yùn)算是，第四次經(jīng)F運(yùn)算是，；從第二次開始出現(xiàn)1、8循環(huán)，奇數(shù)次是8，偶數(shù)次是1，∴第2020次運(yùn)算結(jié)果1，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中所給新運(yùn)算得出數(shù)字的一般規(guī)律，然后可進(jìn)行求解．【變式訓(xùn)練】1.（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級校考階段練習(xí)）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是，的“哈利數(shù)”是，已知，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，．．．，依此類推，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每四次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，由此可求．【詳解】解：∵，∴，，，，，∴每四次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計(jì)算，探索出運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）定義：若是不為1的有理數(shù)，則稱為的差倒數(shù)．如2的差倒數(shù)為．現(xiàn)有若干個數(shù)，第一個數(shù)記為，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，依此類推，若，則．【答案】【分析】根據(jù)規(guī)定進(jìn)行計(jì)算，得出：，，，發(fā)現(xiàn)3個一循環(huán)，按照這個規(guī)律計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，，由此可以看出，，，三個數(shù)不斷循環(huán)出現(xiàn)．因?yàn)?，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)循環(huán)的規(guī)律，然后利用規(guī)律進(jìn)行計(jì)算分析判斷．3．（2023春·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）對于正整數(shù)a，我們規(guī)定：若a為奇數(shù)，則；若a為偶數(shù)，則，例如，，若，，，，…，依此規(guī)律進(jìn)行下去，得到一列數(shù)（n為正整數(shù)），則．【答案】4750【分析】由所給的規(guī)定，分別求出，，，，再分析其中的規(guī)律，從而可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，從第5個數(shù)開始，以4，2，1，這三個數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，，．故答案為：4750．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的條件總結(jié)出存在的規(guī)律．4．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）有一列數(shù)，，，，，，，第1個數(shù)，第2個數(shù)，且從第2個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它的前后兩個數(shù)之和，即，，，，…．據(jù)此可得，…請根據(jù)該列數(shù)的構(gòu)成規(guī)律計(jì)算：(1)，；(2)，；(3)計(jì)算這列數(shù)的前2022個數(shù)的和．【答案】(1)0，1(2)，1(3)0【分析】（1）根據(jù)，，再根據(jù)，，，，，即可求出、的值．（2）從（1）中找出規(guī)律，6個數(shù)一個循環(huán)，根據(jù)這規(guī)律再把所要求的數(shù)代入即可求出答案；（3）根據(jù)（1）得出的規(guī)律，6個數(shù)相加得0，即可求出答案．【詳解】（1）解：，；（2）解：，，，；（3）解：根據(jù)（1）中6個數(shù)一個循環(huán)，6個數(shù)相加，∵．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化類；解題的關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．【類型六數(shù)字類規(guī)律探索之等式問題】例題：（2023春·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列等式：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)請直接寫出第4個等式：．(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的等式表示），并說明理由．【答案】(1)(2)第n個等式為，理由見解析【分析】（1）觀察等式，即可求解；（2）由各個等式結(jié)構(gòu)即可得出規(guī)律．【詳解】（1）解：∵第1個等式為，第2個等式為，第3個等式為，∴第4個等式為，故答案為：；（2）解：第n個等式為，∵第1個等式為，第2個等式為，第3個等式為，第4個等式為，……，∴第n個等式為．【點(diǎn)睛】本題是與分式有關(guān)的規(guī)律問題．確定各分式分子、分母的規(guī)律即可．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級統(tǒng)考期中）已知，觀察下列等式；；；；…(1)猜想：________；(2)應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請你計(jì)算下列式子的值：①________；②________．(3)求的值是多少？【答案】(1)(2)①；②(3)【分析】（1）根據(jù)所列等式所呈現(xiàn)的規(guī)律得出答案；（2）①利用（1）中得到的結(jié)論得出結(jié)果為即可；②將原式變?yōu)?，再利用?）中的結(jié)論即可得出結(jié)果；（3）將原式化為，再利用（1）中得到的結(jié)論得出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：由已知條件可得：；故答案為：；（2）①，②，，，，故答案為：；（3），，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算的應(yīng)用和規(guī)律，做題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠利用規(guī)律解決問題，能夠在一系列運(yùn)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．2．（2023秋·浙江·七年級專題練習(xí)）找規(guī)律，完成下列各題：(1)如圖①，把正方形看作，．(2)如圖②，把正方形看作，．(3)如圖③，把正方形看作，．(4)計(jì)算：．(5)計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)，(4)(5)【分析】（1）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；（2）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；（3）根據(jù)圖示規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；（4）根據(jù)（1），（2），（3）的運(yùn)算規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；（5）根據(jù)（1），（2），（3）的運(yùn)算規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則即可求解；【詳解】（1）解：如圖①，把正方形看作把正方形看作，，故答案為：．（2）解：如圖②，把正方形看作把正方形看作，，故答案為：．（3）解：如圖③，把正方形看把正方形看作，，故答案為：，．（4）解：，故答案為：．（5）解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算的綜合，理解圖示規(guī)律，掌握有理數(shù)的混合方法是解題的關(guān)鍵．【類型七圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問題】例題：（2022秋·湖北黃岡·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，根據(jù)圖形中數(shù)的規(guī)律，可推斷出a的值為（

）A．128 B．216 C．226 D．240【答案】C【分析】根據(jù)圖形得出右下角三角形中的數(shù)字等于左下角與中間三角形中數(shù)字的積再加2，然后計(jì)算即可．【詳解】解：由圖可得：，，，，即右下角三角形中的數(shù)字等于左下角與中間三角形中數(shù)字的積再加2，所以，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·六年級統(tǒng)考開學(xué)考試）填在下面各方框中的三個數(shù)之間都具有相同的規(guī)律．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，（

）2468512177237228A．450 B．463 C．465 D．526【答案】B【分析】結(jié)合表格找出其中的規(guī)律，求出，，再計(jì)算即可．【詳解】解：由表可得：，；，；，；∴，；∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律：，．2．（2023秋·全國·七年級專題練習(xí)）填在下面各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，m的值是（）A．86 B．52 C．38 D．74【答案】A【分析】先看每個圖形中的左上的數(shù)字：0，2，4，6，依次增加2；同理得出每個圖形右上角和左下角的數(shù)字也是依次增加2；有以上規(guī)律可以求出第四個圖形的右上角和左下角的數(shù)；再看右下角的數(shù)與其它三個數(shù)的關(guān)系：；，；右下角的數(shù)=右上角的數(shù)×左下角的數(shù)+左上角的數(shù)；由此求解即可．【詳解】解：第四圖右上角的數(shù)是：；左下角的數(shù)是：；那么右下角的數(shù)就是：；即

故選：A．【點(diǎn)睛】本題稍復(fù)雜，不但要考慮相鄰兩個圖形中數(shù)字的變化規(guī)律，還要找出每個圖形中四個數(shù)之間的規(guī)律．3.（2023春·貴州畢節(jié)·七年級統(tǒng)考期末）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個圖中的值為196，則（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】C【分析】通過觀察可知，若第n個圖中A位置上的數(shù)是，B位置上的數(shù)是，C位置上的數(shù)是，D位置上的數(shù)是，所以，帶入數(shù)值求出即可．【詳解】解：通過觀察可知，若第n個圖中A位置上的數(shù)是，B位置上的數(shù)是，C位置上的數(shù)是，D位置上的數(shù)是，所以，當(dāng)時，，是正整數(shù)，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形中有關(guān)數(shù)字的變化規(guī)律，能準(zhǔn)確觀察到相關(guān)規(guī)律是解決問題關(guān)鍵．4.（2022秋·河南周口·七年級?？计谥校┤鐖D所示，下列各三角形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個三角形中，用表示的式子為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得各三角形中下邊第三個數(shù)是上邊兩個數(shù)字的和，而上邊第一個數(shù)的數(shù)字規(guī)律為1，2，3，，，第二個數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，，，，，由此即可得到答案．【詳解】解：由題意可得：三角形上邊第一個數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：1，2，3，，，三角形上邊第二個數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：2，，，，，三角形下邊的數(shù)的數(shù)字規(guī)律為：，，，，第個三角形中的數(shù)的規(guī)律為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，根據(jù)題意得出：第個三角形中的數(shù)的規(guī)律為：，是解題的關(guān)鍵．【類型八圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問題】例題：（2023·全國·七年級假期作業(yè)）用火柴棒按如圖的方式搭圖形．(1)按圖示規(guī)律完成下表：圖形標(biāo)號①②③④⑤……火柴棒根數(shù)59__________________……(2)按照這種方式搭下去，搭第n個圖形需要多少根火柴棒？(3)搭第15個圖形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)(3)61【分析】（1）根據(jù)所給的圖形進(jìn)行分析即可得出結(jié)果；（2）由（1）進(jìn)行總結(jié)即可；（3）根據(jù)（2）所得的式子進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：第1個圖形的火柴棒根數(shù)為：5，第2個圖形的火柴棒根數(shù)為：，第3個圖形的火柴棒根數(shù)為：，第4個圖形的火柴棒根數(shù)為：，第5個圖形的火柴棒根數(shù)為：，故答案為：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第個圖形需要火柴棒根數(shù)為：．答：第個圖形需要火柴棒根數(shù)為：；（3）解：當(dāng)時，，所以搭第15個圖形需要61根火柴棒．【點(diǎn)睛】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，解答的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形分析出其規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北張家口·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第2023個圖案中的“”的個數(shù)是（

）A．6074 B．6072 C．6070 D．6068【答案】C【分析】根據(jù)題意可得第n個圖案中的“”的個數(shù)為個，即可求解．【詳解】解：∵第1個圖案中的“”的個數(shù)（個），第2個圖案中的“”的個數(shù)（個），第3個圖案中的“”的個數(shù)（個），…，第2023個圖案中的“”的個數(shù)（個），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律．2．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，擺第一個圖形需要4根火柴，擺第二個圖形需要7根火柴，……，以此類推．那么擺第八個圖形需要（

）根火柴．A．24 B．27 C．25 D．28【答案】C【分析】根據(jù)給出的圖形，得到第個圖形需要根火柴，進(jìn)而求出第八個圖形所需要的火柴數(shù)．【詳解】解：由圖可知，擺第一個圖形需要4根火柴，擺第二個圖形需要根火柴，擺第三個圖形需要根火柴，∴第個圖形需要根火柴，∴擺第八個圖形需要根火柴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圖形類規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵是得到第個圖形需要根火柴．3．（2023春·四川成都·七年級成都外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）某餐廳中，一張桌子可坐6人，有以下兩種擺放方式：(1)有4張桌子，用第一種擺設(shè)方式，可坐多少人？用第二種擺設(shè)方式，可坐多少人？(2)用含有n的代數(shù)式表示：有n張桌子，用第一種擺設(shè)方式可坐多少人？用第二種擺設(shè)方式，可坐多少人？(3)一天中午，餐廳要接待80位顧客共同就餐，但餐廳只有20張這樣的桌子可用，且每4張拼成一張大桌子．若你是這家餐廳的經(jīng)理，你打算選擇哪種方式來擺放餐桌，并說明理由．【答案】(1)人；人(2)人；人(3)第一種方式來擺餐桌，理由見解析【分析】（1）旁邊2人除外，每張桌可以坐4人，由此即可解決問題；（2）旁邊4人除外，每張桌可以坐2人，由此即可解決問題；（3）結(jié)合（2）中的結(jié)論，進(jìn)行分析即可．【詳解】（1）有4張桌子，用第一種擺設(shè)方式，可以坐的人數(shù)為：；用第二種擺設(shè)方式，可以坐的人數(shù)為：；答：用第一種擺設(shè)方式，可坐18人；用第二種擺設(shè)方式，可坐12人；（2）第一種：1張桌子可坐的人數(shù)為：；2張桌子可坐人數(shù)為：；3張桌子可坐人數(shù)為：；故當(dāng)有張桌子時，能坐的人數(shù)為：人；第二種：1張桌子能坐的人數(shù)為：；2張桌子能坐的人數(shù)為：；3張桌子能坐的人數(shù)為：；故當(dāng)有張桌子時，能坐的人數(shù)為：人；（3）選擇第一種方式來擺餐桌．理由如下：第一種方