中考數(shù)學(xué)滿(mǎn)分之路【02】四點(diǎn)共圓

中考數(shù)學(xué)滿(mǎn)分之路（2）：四點(diǎn)共圓一、使用定義解題【圓的定義】平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓．在題目中出現(xiàn)共端點(diǎn)的等線(xiàn)段時(shí)，可嘗試作出圓輔助求解．【典例】（1）如圖，四邊形中，∥，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）如圖，在等腰中，，為邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，則的值為_(kāi)_____．【同步練習(xí)】1、如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且位于軸的上方，將沿直線(xiàn)翻折得到，若點(diǎn)恰好落在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．2、【問(wèn)題背景】如圖1，等腰中，，，作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，于是；【遷移應(yīng)用】如圖2，和都是等腰三角形，，、、三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，連接．①求證：≌；②請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段，，之間的等量關(guān)系式；【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線(xiàn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、．①證明：是等邊三角形；②若，，求的長(zhǎng)．3、如圖，是半圓⊙的直徑，點(diǎn)為半圓⊙上的點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線(xiàn)上一點(diǎn)．（1）如圖1，連接，，若，求證：；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，，與相交于點(diǎn)，且．①試猜想和的數(shù)量關(guān)系，并證明；②連接，若，，⊙的半徑為2，求的長(zhǎng)．二、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理1、性質(zhì)【定理1】圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．【定理2】圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角．【圓周角定理的推論】同弧所對(duì)的圓周角相等．2、判定【圓內(nèi)接四邊形判定定理1】如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．【推論】如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．【圓內(nèi)接四邊形判定定理2】如果一個(gè)四邊形一邊與一對(duì)角線(xiàn)的夾角等于其對(duì)邊與另一對(duì)角線(xiàn)的夾角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．【書(shū)寫(xiě)格式如下】①∵，，，四點(diǎn)共圓，∴．②∵，，，四點(diǎn)共圓，∴．③∵，，，四點(diǎn)共圓，∴．④∵，∴，，，四點(diǎn)共圓．⑤∵，∴，，，四點(diǎn)共圓．⑥∵，∴，，，四點(diǎn)共圓．【同步練習(xí)】4、如圖，矩形的對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，的面積為6，則的值為_(kāi)_____．5、如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)，在同側(cè)，，，．（1）求證：；（2）若，，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，交直線(xiàn)與點(diǎn)；①當(dāng)點(diǎn)與，兩點(diǎn)不重合時(shí)，求的值；②當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑（線(xiàn)段）長(zhǎng)．6、如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，且，與相交于點(diǎn)．（1）求證：≌；（2）如圖2，將沿直線(xiàn)翻折得到對(duì)應(yīng)的，過(guò)作∥，交射線(xiàn)于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．①試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②若四邊形的面積為，，求的長(zhǎng)．三、與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段【相交弦定理】圓內(nèi)的兩條弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等．【割線(xiàn)定理】從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等．【切割線(xiàn)定理】從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)．【書(shū)寫(xiě)格式如下】①由相交弦定理，得．②由割線(xiàn)定理，得．③由切割線(xiàn)定理，得．【同步練習(xí)】7、如圖，已知是⊙的直徑，為⊙上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，于，交⊙于，交于．求證：．8、如圖1，線(xiàn)段是⊙的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，，．（1）求⊙的半徑的長(zhǎng)度；（2）求；（3）如圖2，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，直線(xiàn)交⊙于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的值．9、已知為⊙的直徑，為⊙的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，為⊙上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，若，的面積為15（），求⊙的面積．【競(jìng)賽拓展】10、（蝴蝶定理）如圖，過(guò)⊙的弦的中點(diǎn)引任意兩條弦，，連接，分別交于，兩點(diǎn)．求證：．【證法一】證明：過(guò)點(diǎn)作∥交⊙于另一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，①當(dāng)為直徑時(shí)，四邊形為矩形，易證；②當(dāng)不是直徑時(shí)，由垂徑定理推論，得，又∥，∴，又過(guò)圓心，∴垂直平分，∴，∴，又∥，∴，，∴，，∵，，，四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，，，四點(diǎn)共圓，∴，又，∴，又，，∴≌，∴．【證法二】證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，，，∵，，∴∽，∴，又，，∴，∴，又，∴∽，∴，∵點(diǎn)，，分別是⊙的弦，，的中點(diǎn)，∴，，，∴，，∴，，，四點(diǎn)共圓，，，，四點(diǎn)共圓，∴，，又，∴，又，，∴≌，∴．【證法三】證明：過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，過(guò)作于，∵，，，，∴∽，∽，∴①，②，由①×②得：，∴，又由相交弦定理及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，得：，∴，即，根據(jù)比例的基本性質(zhì)，得：，∴，∴．【證法四】證明：連接，，，，根據(jù)共圓定理，（共圓定理：同圓或等圓中的三角形面積比等于三邊乘積之比）得，又∽，∽，∽，∴，∴，即，∴，∴．【證法五】證明：連接并延長(zhǎng)交⊙于另一點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交⊙于另一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，六邊形內(nèi)接于⊙，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)帕斯卡定理，得，，三點(diǎn)共線(xiàn)，連接，，，∵，為⊙的直徑，