中考數(shù)學(xué)滿分之路【02】四點(diǎn)共圓

中考數(shù)學(xué)滿分之路（2）：四點(diǎn)共圓一、使用定義解題【圓的定義】平面上到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓．在題目中出現(xiàn)共端點(diǎn)的等線段時，可嘗試作出圓輔助求解．【典例】（1）如圖，四邊形中，∥，，，則的長為______．（2）如圖，在等腰中，，為邊上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，則的值為______．【同步練習(xí)】1、如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸相交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，且位于軸的上方，將沿直線翻折得到，若點(diǎn)恰好落在拋物線的對稱軸上，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，當(dāng)為等邊三角形時，求直線的函數(shù)表達(dá)式．2、【問題背景】如圖1，等腰中，，，作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，，于是；【遷移應(yīng)用】如圖2，和都是等腰三角形，，、、三點(diǎn)在同一條直線上，連接．①求證：≌；②請直接寫出線段，，之間的等量關(guān)系式；【拓展延伸】如圖3，在菱形中，，在內(nèi)作射線，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，連接、．①證明：是等邊三角形；②若，，求的長．3、如圖，是半圓⊙的直徑，點(diǎn)為半圓⊙上的點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)．（1）如圖1，連接，，若，求證：；（2）如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，，與相交于點(diǎn)，且．①試猜想和的數(shù)量關(guān)系，并證明；②連接，若，，⊙的半徑為2，求的長．二、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理1、性質(zhì)【定理1】圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．【定理2】圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角．【圓周角定理的推論】同弧所對的圓周角相等．2、判定【圓內(nèi)接四邊形判定定理1】如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．【推論】如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．【圓內(nèi)接四邊形判定定理2】如果一個四邊形一邊與一對角線的夾角等于其對邊與另一對角線的夾角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．【書寫格式如下】①∵，，，四點(diǎn)共圓，∴．②∵，，，四點(diǎn)共圓，∴．③∵，，，四點(diǎn)共圓，∴．④∵，∴，，，四點(diǎn)共圓．⑤∵，∴，，，四點(diǎn)共圓．⑥∵，∴，，，四點(diǎn)共圓．【同步練習(xí)】4、如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，的面積為6，則的值為______．5、如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，在同側(cè)，，，．（1）求證：；（2）若，，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，連接，作，交直線與點(diǎn)；①當(dāng)點(diǎn)與，兩點(diǎn)不重合時，求的值；②當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)時，求線段的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長．6、如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，且，與相交于點(diǎn)．（1）求證：≌；（2）如圖2，將沿直線翻折得到對應(yīng)的，過作∥，交射線于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．①試判斷四邊形的形狀，并說明理由；②若四邊形的面積為，，求的長．三、與圓有關(guān)的比例線段【相交弦定理】圓內(nèi)的兩條弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．【割線定理】從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等．【切割線定理】從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段的比例中項(xiàng)．【書寫格式如下】①由相交弦定理，得．②由割線定理，得．③由切割線定理，得．【同步練習(xí)】7、如圖，已知是⊙的直徑，為⊙上一點(diǎn)，延長至，使，于，交⊙于，交于．求證：．8、如圖1，線段是⊙的直徑，弦于點(diǎn)，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，，．（1）求⊙的半徑的長度；（2）求；（3）如圖2，直線交直線于點(diǎn)，直線交⊙于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的值．9、已知為⊙的直徑，為⊙的切線，為切點(diǎn)，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，為⊙上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，若，的面積為15（），求⊙的面積．【競賽拓展】10、（蝴蝶定理）如圖，過⊙的弦的中點(diǎn)引任意兩條弦，，連接，分別交于，兩點(diǎn)．求證：．【證法一】證明：過點(diǎn)作∥交⊙于另一點(diǎn)，連接并延長交于，①當(dāng)為直徑時，四邊形為矩形，易證；②當(dāng)不是直徑時，由垂徑定理推論，得，又∥，∴，又過圓心，∴垂直平分，∴，∴，又∥，∴，，∴，，∵，，，四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，，，四點(diǎn)共圓，∴，又，∴，又，，∴≌，∴．【證法二】證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，，，∵，，∴∽，∴，又，，∴，∴，又，∴∽，∴，∵點(diǎn)，，分別是⊙的弦，，的中點(diǎn)，∴，，，∴，，∴，，，四點(diǎn)共圓，，，，四點(diǎn)共圓，∴，，又，∴，又，，∴≌，∴．【證法三】證明：過作于，過作于，過作于，過作于，∵，，，，∴∽，∽，∴①，②，由①×②得：，∴，又由相交弦定理及平行線分線段成比例定理，得：，∴，即，根據(jù)比例的基本性質(zhì)，得：，∴，∴．【證法四】證明：連接，，，，根據(jù)共圓定理，（共圓定理：同圓或等圓中的三角形面積比等于三邊乘積之比）得，又∽，∽，∽，∴，∴，即，∴，∴．【證法五】證明：連接并延長交⊙于另一點(diǎn)E，連接并延長交⊙于另一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，六邊形內(nèi)接于⊙，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)帕斯卡定理，得，，三點(diǎn)共線，連接，，，∵，為⊙的直徑，