遼寧省七校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2023-2024學(xué)年度（下）七校協(xié)作體高一聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出非讓四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，利用正切函數(shù)單調(diào)性比較與的大小，再由切化弦得的大小.【詳解】，在單調(diào)遞增，，由知，即最大，由，則，由得，所以，故.故選：C.2.已知向量滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將兩邊同時(shí)平方，將條件帶入計(jì)算即可.【詳解】由已知，所以，得，又，所以.故選：C.3.下列是函數(shù)的對(duì)稱中心的是（）A. B. C.0,1 D.【答案】D【解析】【分析】整體法求出函數(shù)的對(duì)稱中心為，一一檢驗(yàn)得到答案.【詳解】令，解得，故函數(shù)的對(duì)稱中心為，故AB錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故對(duì)稱中心為，D正確，經(jīng)檢驗(yàn)，C不滿足要求.故選：D4.為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式將變?yōu)檎倚秃瘮?shù)，再根據(jù)三角函數(shù)平移規(guī)則判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以將函?shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，故A符合題意；將函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，故B不符合題意；將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，故C不符合題意；將函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，故D不符合題意；故選：A5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式計(jì)算即可得.【詳解】.故選：C.6.已知函數(shù)，對(duì)任意的，都有，且在區(qū)間上單調(diào)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可知，繼而求得，再利用題中條件可得，繼而求得，即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的x∈R，都有所以，故，則，又在區(qū)間上單調(diào)，則，所以，解得，故當(dāng)時(shí)，符合題意，故選：D7.已知，，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角差的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值，注意角的范圍即可求解.【詳解】由，，得，，∴，即，∴，解得.又，，，∴，∴，∴，∴，∴.故選：A.8.已知函數(shù)的最小正周期為π，則（）A.在單調(diào)遞增 B.是的一個(gè)對(duì)稱中心C.在的值域?yàn)?D.是的一條對(duì)稱軸【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的最小正周期為π，求出，再代入化簡(jiǎn)，畫(huà)出的圖象，再對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為π，所以，所以函數(shù)即，作出函數(shù)圖象，如下圖所示：對(duì)于A，由圖可知，在單調(diào)有增有減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖象可知，無(wú)對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖象可知，為偶函數(shù)，當(dāng)，，所以，所以，所以在的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，由圖象可知，的對(duì)稱軸為，故D錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由函數(shù)的最小正周期求出，再代入化簡(jiǎn)，畫(huà)出的圖象，再由三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱性，值域?qū)x項(xiàng)一一判斷即可得出答案.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的部分得分，有選錯(cuò)的得0分.9.計(jì)算下列各式的值，其結(jié)果為1的有（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用輔助角公式、正弦兩角和、差公式判斷AB，利用同角三角函數(shù)關(guān)系、正弦、余弦的兩角差公式判斷C，利用正弦的二倍角公式和輔助角公式判斷D.【詳解】，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，分子分母同乘得，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，選項(xiàng)D正確；故選：AD10.已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，最小 B.當(dāng)最小時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，與的夾角最小 D.當(dāng)與的夾角最小時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，再由向量模的坐標(biāo)表示得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出，即可判斷A、B，設(shè)向量與的夾角為，表示出，由，可得，求出的值，即可判斷C、D.【詳解】由，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故A正確；當(dāng)最小時(shí)，，所以，所以，故B正確；設(shè)向量與的夾角為，則，要使向量與的夾角最小，則最大，由于，所以的最大值為1，此時(shí)，則，解得，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，與的夾角最小，此時(shí)，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，則B.當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)镃.當(dāng)時(shí)，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)解析式為D.若在區(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則【答案】BD【解析】【分析】先化簡(jiǎn)得，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，對(duì)于A：若相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，則，得，錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以，所以的值域?yàn)椋_；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得，錯(cuò)誤；對(duì)于D：，則，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以，所以，解得，正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.已知角的終邊上有一點(diǎn)P的坐標(biāo)是，，則______________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義，求得，再利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由角的終邊上有一點(diǎn)P的坐標(biāo)是，可得，則.故答案為：.13.已知函數(shù)的圖象的一個(gè)最高點(diǎn)是，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，如果圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，然后向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到的圖象，則__________．【答案】##2.5【解析】【分析】利用的性質(zhì)，結(jié)合題意可求得，再利用三角函數(shù)的平移伸縮變換得到，進(jìn)而可求得.【詳解】根據(jù)題意，得，又因?yàn)椋?，將代入，得，可知，故，因此，?故答案為：.14.在中，是的中點(diǎn)，，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】依題意可得，設(shè)，，則，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，所以，又，設(shè)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，與共線同向，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上可得的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟15.已知，，．（1）求；（2）求向量與的夾角．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由條件結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律求，再結(jié)合關(guān)系求；（2）根據(jù)向量的夾角余弦公式求向量與的夾角余弦，再求其夾角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以，解得，．所以，所以．【小?wèn)2詳解】．設(shè)向量與的夾角為，則．因?yàn)?，所以?6.已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若，求方程的解．【答案】（1）；（2）；（3）或或.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用余弦函數(shù)周期公式求解即得.（2）由（1）中函數(shù)式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性列式求解.（3）由（1）中函數(shù)式求出方程的解.【小問(wèn)1詳解】依題意，函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，，由，得，而，即，于是或或，解得或或，所以方程的解是或或.17.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量，，．（1）若，求的值；（2）設(shè)，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩角差的三角函數(shù)即可求解；（2）通過(guò)向量平行，轉(zhuǎn)化為求解角的大小即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，則，，由可得，即，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，則，由可得，化簡(jiǎn)可得，即，又，則，所以，即.18.的部分圖像如圖所示，（1）求函數(shù)的解析式.（2）若在區(qū)間上的值域?yàn)?，求的取值范?（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合圖象，直接求出，再由求得，再由求出即可求出函數(shù)解析式；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍即可.（3）由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的值域，再分離參數(shù)得，求出的最大值即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】由圖可知，，，，，，，即，由圖可知，即，可得，，，.【小問(wèn)2詳解】，，值域?yàn)?，，解?故的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】當(dāng)時(shí)，，則,即，于是，則，等價(jià)于，由，得的最大值為，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)．（1）求的對(duì)稱中心；（2）設(shè)常數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為2，求a的值．【答案】（1）對(duì)稱中心為；（2）；（3）或6．【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)即可得對(duì)稱中心；（2）求出函數(shù)的增區(qū)間，根據(jù)是其子區(qū)間解不等式得解；（3）化簡(jiǎn)通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為根據(jù)二次函數(shù)的最值