北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)全冊教學(xué)設(shè)計(jì)

北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)全冊教案完整版教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章直角三角形的邊角關(guān)系

1銳角三角形

課時1正切

1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程，理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.

2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，能

夠用正切進(jìn)行簡單的計(jì)算.

從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系；理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密

切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

難點(diǎn)理解正切的意義，并用它來表示兩邊的比.

用FLASH課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現(xiàn)：

問題1：在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎？

問題2：隨著改革開放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而

起.70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過多少年的城市發(fā)展,

“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字

嗎？你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎？

通過本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.

用多媒體演示如下內(nèi)容：

［師］梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w.我們經(jīng)常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個

梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的？“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的？請同學(xué)

們看下圖，并回答問題（用多媒體演示）.

(D在圖中，梯子和用哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？

［生］梯子比梯子旗更陡.

［師］你是如何判斷的？

［生］從圖中很容易發(fā)現(xiàn)叨，所以梯子4?比梯子如陡.

［生］我覺得是因?yàn)榭?，所以只要比較8G加的長度即可知哪個梯子陡.B&FD,

所以梯子比梯子牙■陡.

［師］我們再來看一個問題(用多媒體演示)

(2)在下圖中，梯子48和"哪個更陡？你是怎樣判斷的？

［師］我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個更陡，就比較困難了.能不能從

第(1)問中得到什么啟示呢？

［生］在第⑴問的圖形中梯子的垂直高度即和麒是相等的，而水平寬度灰和FD不

一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡.

［師］這位同學(xué)的想法很好，的確如此，在第(2)問的圖中，哪個梯子更陡，應(yīng)該從梯子

4?和斯的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.那么請同學(xué)們算一下梯子力6和跖哪一

個更陡呢？

必__4__8ED3.335..835

生「反尸獲:不麗=T7^=T??rii

梯子必比梯子4?更陡.

想一想:

如圖，小明想通過測量6c及/G,算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則

認(rèn)為，通過測量晟G及/G,算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法

嗎？

⑴直角三角形力笈。和直角三角形被C有什么關(guān)系？

(2)隼■和笑有什么關(guān)系？

71C1力。2

(3)如果改變8在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結(jié)論？

［師］我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾

斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度.下面請同學(xué)們思考上面的三個問題，再來討

論小明和小亮的做法.

［生］在上圖中，我們可以知道Rt△陽G,和Rt△仍G是相似的.因?yàn)?反

=90°,/艮伍根據(jù)相似的條件，得RtAIAGsRt△假心.

［生］由圖還可知：BiQVAQ,得與G〃5G,RtA^iG^RtA^G.

［生］相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得

~&G=AGf即元T=而

如果改變反在梯子上的位置，總可以得到Rt△氏&4sRt48C4仍能得到的=器.

/1C\AC2

因此，無論與在梯子的什么位置(除4外)，爺=爺總成立.

/iCiA5

［師］也就是說無論與在梯子的什么位置儲除外)，的對邊與鄰邊的比值是不會改變

的.

現(xiàn)在如果改變N4的大小，ZJ的對邊與鄰邊的比值會改變嗎？

［生］ZJ的大小改變，ZJ的對邊與鄰邊的比值會改變.

［師］你又能得出什么結(jié)論呢？

［生］N4的對邊與鄰邊的比只與//的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無

關(guān).也就是說，當(dāng)直角三角形中的一個銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.

［師］這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價？

［生］小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因?yàn)閳D中直角三角形中的銳角A

是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與旦，員在梯子上的位置無關(guān)，即

與直角三角形的大小無關(guān).

［生］但我覺得小亮的做法更實(shí)際，因?yàn)橐獪y量5G的長度，需攀到梯子的最高端，危險

并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成.

［師］這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為

了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué).

由于直角三角形中的銳角力確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如

下定義：(多媒體演示)

如圖，在中，如果銳角/確定，那么N4的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個

N4的對邊

比叫做N4的正切(tangent),記作tan4即tan4=

N｛的鄰邊.

注意:

(Dtan/l是一個完整的符號，它表示的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“N”.

(2)tan/l沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中的對邊與鄰邊的比.

(3)taM不表示"tan"乘以"4”.

(4)初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中銳角的正切.

思^■:

(1)/8的正切如何表示？它的數(shù)學(xué)意義是什么？

(2)前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖1—3,梯子的傾斜程度與tan/有關(guān)系嗎？

［生］(1)的正切記作tan6,表示N6的對邊與鄰邊的比值，即tan6=重錨.

(2)我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度，因此，在教材圖

1—3中，梯子越陡，tan/的值越大；反過來，tan/的值越大，梯子越陡.

例1(教材示例)如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡？

分析：比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡，只需分別求出tan。、tan萬的值，比較大

小，越大，扶梯就越陡.

M，N。的對邊41

解：甲梯中,tana=市硒=京=》

^U-.。/￡的對邊55

乙梯中'tanB一/萬的鄰邊—.132—52一正.

因?yàn)閠ana>tan￡,所以甲梯更陡.

［師］正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等.正切經(jīng)常用來描述山坡、

堤壩的坡度.

如圖，有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m,就升高60m,那么山坡的坡度（即坡角。

的正切tana）就是tana=黑=,

1UU0

這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡

度.坡度越大，坡面就越陡.

例2己知：如圖，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)4B,C,D,￡都在小

正方形的頂點(diǎn)上，求tanN/〃C的值.

分析：先證明△4。2△/%1,再根據(jù)tan/4%=tan/8%即可求解.

解：根據(jù)題意可得4c=3411522=乖,CD=CE=7f+W=4,AD=BE=5,：.△

ACI廷△BCE^S）.；.NADC=4BEC.；.tan/4〃C=tan/緲g*

J

例3已知一水壩的橫斷面是梯形/頗，下底比長14m,斜坡的坡度為3：4,

另一腰切與下底的夾角為45°,且長為4mm,求它的上底的長（精確到0.1in,參考數(shù)

據(jù)：小七1.414,4七1.732）.

分析：過點(diǎn)A作4反L8C于點(diǎn)E,過點(diǎn)〃作DELBC于點(diǎn)、F,根據(jù)已知條件求出AE=DF

的值，再根據(jù)坡度求出豳最后根據(jù)外■=8（7—應(yīng)一/匕求出

解：過點(diǎn)4作4吐陽過點(diǎn)〃作加垂足分別為反月與優(yōu)的夾角為45°,

4[6

:.ZDCF=45。,：.4CDF=45。.'：CD=\A/6m,；.0F=Cf=^~=4乖(m),：.AE=DF

AE3r-

=4mm.:斜坡力6的坡度為3：十,tanNABE=痔忑=小...龐=4m.'：BC=14

m,；.EF=BC-BE-CF=14—4T木=10—4小(m).,:AD=EF,.*."=10—44七

3.1(m).所以，它的上底的長約為3.1m.

<g??

本節(jié)課經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角關(guān)系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，

它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在''直角三角形”中定義了tanA=.接著,

我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問題坡度與正切的關(guān)系，了解了正切在現(xiàn)實(shí)生活中是

一個具有實(shí)際意義的很重要的概念.

^???

教材P4“隨堂練習(xí)”.

第一章直角三角形的邊角關(guān)系

1銳角三角函數(shù)

課時2正弦和余弦

W??

1.能利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)一一正弦、余弦，理解銳角的

正弦與余弦和梯子傾斜程度的關(guān)系.

2.能夠用sinA,cosA表示直角三角形中直角邊與斜邊的比，能夠用正弦、余弦進(jìn)行簡

單的計(jì)算.

理解正弦、余弦的數(shù)學(xué)定義，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

體會正弦、余弦的數(shù)學(xué)意義，并用它來解決生活中的實(shí)際問題.

設(shè)計(jì)意圖：以練代講，讓學(xué)生在練習(xí)中回顧正切的含義，避免死記硬背帶來的負(fù)面作用

（大腦負(fù)擔(dān)重，而不會實(shí)際運(yùn)用），測量旗桿高度的問題引發(fā)學(xué)生的疑問，激起學(xué)生的探究

欲望.

探究活動1（出示幻燈片4）：如圖，請思考:

(1)RtAAB.C,和RtAAB2C2的關(guān)系是

患和景的關(guān)系是

(2)

（3）如果改變民在斜邊上的位置，則土和殳亂的關(guān)系是

AB}AB,

思考：從上面的問題可以看出：當(dāng)直角三角形的一個銳角的大小已確定時，它的對邊與

斜邊的比值__________，根據(jù)是.

它的鄰邊與斜邊的比值呢？

設(shè)計(jì)意圖：1、在相似三角形的情景中，讓學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)直角三角形的一個銳角大

小確定時，它的對邊與斜邊的比值也隨之確定了?類比學(xué)習(xí)，可以知道，當(dāng)直角三角形的一

個銳角大小確定時，它的鄰邊與斜邊的比值也是不變的.2、在探究活動中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，學(xué)生

能記憶得更加深刻，這比老師幫助總結(jié)，學(xué)生被動接受和記憶要有用得多.

歸納概念

1、正弦的定義：

如圖，在RtAABC中，ZC=90°,我們把銳角/A的對邊BC與斜邊AB的比叫做/A

的正弦，記作sinA,即sinA=./［的

舄邊

A'c

2、余弦的定義：/A的鄰邊

如圖，在RtAABC中，NC=90°,我們把銳角NA的鄰邊AC與斜邊AB的比叫做/A的

余弦，記作cosA,即cosA=.

3、銳角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做NA的三角函數(shù).

溫馨提示

（1）sinA,cosA是在直角三角形中定義的，NA是一個銳角；

(2)sinA,cosA中常省去角的符號“.但NBAC的正弦和余弦表示為：sinZBAC,

cosZBAC.Z1的正弦和余弦表示為：sinZLcosZl；

(3)sinA,cosA沒有單位，它表示一個比值；

(4)sinA,cosA是一個完整的符號，不表示“sin”，“cos”乘以“A”；

(5)sinA,cosA的大小只與NA的大小有關(guān),而與直角三角形的邊長沒有必然的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：1、類比正切的定義，讓學(xué)生理解正弦和余弦的含義；2、讓學(xué)生了解：求一

個角的三角函數(shù)，是指求這個角的正切、正弦和余弦，不是單指某一個值；3、正弦和余弦

容易出現(xiàn)一些不規(guī)范的表示方法，在這里先進(jìn)行明確，可以減少日后不必要的錯誤.

探究活動2：我們知道，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系，tanA越大，梯子越陡，那么

梯子的傾斜程度與sinA和cosA有關(guān)系嗎？是怎樣的關(guān)系？

鉛

百

高

度

避免數(shù)學(xué)知識的枯燥無味，通過利用正弦和余弦來描述梯子的傾斜程度拓展了學(xué)生思維，感

受到從不同角度去解釋一件事物的合理性，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.

探索發(fā)現(xiàn)：梯子的傾斜程度與sinA,cosA的關(guān)系：

sinA越大，梯子；

cosA越，梯子越陡.

探究活動3：如圖,在RtZkABC中，ZC=90°,AB=20,sinA=0.6,求BC和cosB.

B

通過上面的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)sinA與cosB有什么關(guān)系呢？sinB與cosA呢？在其它直角三

角形中是不是也一樣呢？請舉例說明.

小結(jié)規(guī)律：在直角三角形中，一個銳角的正弦等于另一個銳角的.

設(shè)計(jì)意圖：在探究中進(jìn)一鞏固正弦和余弦的定義，同時發(fā)現(xiàn)直角三角形中兩個銳角的三

角函數(shù)值之間存在一定的關(guān)系，拓展學(xué)生的知識儲備.

類型一：已知直角三角形兩邊長，求銳角三角函數(shù)值B

例1、在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=3,AB=5,求A的三個三角函數(shù)值.

類型二：利用三角函數(shù)值求線段的長度

例2、如圖，在RtZ\ABC中，ZB=90°,AC=200,sinA=O.6,求BC畬長

l.sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定義的，NA是銳角（注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角

三角形）.

2.sinA,cosA,tanA,是一個完整的符號，表示/A

的正切，習(xí)慣省去號；

3.sinA,cosA,tanA,是一個比值.注意比的順序，

KsinA,cosA,tanA,均>0,無單位.

4.sinA,cosA,tanA,的大小只與/A的大小有關(guān)，

而與直角三角形的邊長無關(guān).

5.角相等，則其三角函數(shù)值相等；兩銳角的三角函數(shù)值相等,則這兩個銳角相等.

第一章直角三角形的邊角關(guān)系

230°,45°,60°角的三角函數(shù)值

1.經(jīng)歷探索30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的過程，能夠進(jìn)行有關(guān)的推理.進(jìn)一步

體會三角函數(shù)的意義.

2.能夠進(jìn)行30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

3.能夠根據(jù)30°,45°,60°角的三角函數(shù)值說明相應(yīng)的銳角的大小.

4.積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲；通過“試驗(yàn)一猜想一證明一應(yīng)用”

的數(shù)學(xué)活動提升科學(xué)素養(yǎng).

能夠進(jìn)行含30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的計(jì)算.

進(jìn)一步體會三角函數(shù)的意義.

為了測量一棵大樹的高度，準(zhǔn)備了如下測量工具：①含30°和60°兩個銳角的三角尺;

②皮尺.請你設(shè)計(jì)一個測量方案，測出這棵大樹的高度.（用多媒體演示上面的問題，并讓

學(xué)生交流各自的想法）

①給學(xué)生時間，讓學(xué)生去思考討論如何測量大樹的高度，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際

應(yīng)用.

②學(xué)生展示自己的想法.讓一位同學(xué)拿著三角尺站在一個適當(dāng)?shù)奈恢肂處，使這位同學(xué)拿起

三角尺，她的視線恰好和斜邊重合且過樹梢點(diǎn)C,30°角的鄰邊和水平方向平行，用卷尺測

量出AB的長度，BE的長度.因?yàn)镈E=AB,所以只需在Rt/XACD中求出CD的長度即可.

③在Rt/XACD中，ZCAD=30°,AD=BE,BE是已知的，設(shè)BE=a米，則AD=a米，如何求

CD呢？

④含30°角的直角三角形有一個非常重要的性質(zhì)：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，

即AC=2CD.根據(jù)勾股定理，得（2CD）2=CD'+a2,解得CD=*a.

則樹的高度即可求出.

C

⑤我們前面學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的定義，如果一個角的大小確定，那么它的正切、正弦、

余弦值也隨之確定，如果能求出30°角的正切值，在圖1—2—10中，//二--章

tan300=7^=—,則CD=atan30°,豈不簡單？%.........」

ADa

2.在剛剛過去的雙十一（11月11日）活動中，中國人創(chuàng)造了網(wǎng)購的奇跡，書寫了世界的傳

奇.今天是雙十二（12月12日），網(wǎng)上稱之為“年末促銷全民瘋搶購物節(jié)”，必將續(xù)寫網(wǎng)購

的傳奇.本課老師也準(zhǔn)備了幾件物美價廉的寶貝，投放進(jìn)幾家商鋪進(jìn)行出售，你們有沒有信

心搶到呢？

很好，我們先看看商鋪里面有些什么寶貝吧，看誰能搶到它們?。ɡ枚嗝襟w投影）商鋪:

圖

生：（積極“搶購訂單”）

/A的對邊、NA的鄰邊,NA的對邊

訂單1:sinA=COsA-

斜邊-tfii-，tanA=/A的鄰邊?

訂單2：sinA的值越大，梯子越陡；tanA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡.

訂單3：一副三角尺含有30°,60°和45°三種銳角.

【探究1】探究特殊角的三角函數(shù)值

看樣子大家都是網(wǎng)購高手！但剛才大家購得的都是過時的產(chǎn)品，

現(xiàn)在老師想研發(fā)一些新產(chǎn)品并投放到商鋪出售，大家?guī)椭蠋熝?/p>

發(fā)如何？

老師想研發(fā)以下幾種新產(chǎn)品(利用多媒體投影):

圖1一2—12

“產(chǎn)品”1：

sin30°表示在直角三角形中，30°角所對的直角邊

與斜邊的比值，與直角三角形的大小無關(guān).如圖1一2—13,我們不妨設(shè)30°角所對的邊為

a,根據(jù)“直角三角形中，30°角所

“產(chǎn)品”2：

在圖1—2—13的直角三角形中，由勾股定理得30°角的鄰邊為#(2a)a'u/a,所以

=返=也___a____1__#

cos300tan30°

2a2=而蔗=3?

“產(chǎn)品”3：

求60°角的三角函數(shù)值，可以利用求30°角的三角函數(shù)值的三角形.因?yàn)?0°角的對邊和

鄰邊分別是60°角的鄰邊和對邊，所以

V3ay[3a1y[3ayfi廣

COS6°o=痛=5'tan6°o=a=T=^-

sin60°=2a=2

“產(chǎn)品”4：

求45°角的三角函數(shù)值，可以利用另外那個等腰直角三角尺，如圖1—2—14.不妨設(shè)直角邊

為a,則斜邊長為47n=*a.所以cos45°=虛-=乎，sin45°=，彳=乎，tan45°

【探究2】熟記特殊角的三角函數(shù)值

仿照上面解決問題的過程，共同求一下30°,45°,60°角的三角函數(shù)值，然后填寫下表.

學(xué)生分組求值:

角函數(shù)值

sinacosatana

角a

I

30°更更

223

45°亞亞1

22

1

60°亞

22小

例1計(jì)算:

(1)sin30°+cos450；

(2)sin'60°+COS260°—tan45".

解：(l)sin30°+cos45°=g+坐

(2)sin2600+COS260°-tan45°

=0.

例2一個小孩蕩秋千，秋千鏈子的長度為2.5m,當(dāng)秋千向兩邊擺動時，擺角恰好為

60°,且兩邊的擺動角度相同，求它擺至最高位置時與其擺至最低位置時的高度之差.(結(jié)

果精確到0.01m)

［解析］引導(dǎo)學(xué)生自己根據(jù)題意畫出示意圖，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能

力.

解：根據(jù)題意畫出如圖1一2—15所示的示意圖.

圖1—2—15

可知NB0D=60°,0B=0A=0D=2.5m,ZA0D=1x60°=30°,

.,.0C=0D,cos30°=2.165(m).

，AC=2.5—2.165^0.34(m).

所以，最高位置與最低位置的高度差約為0.34m.

例3計(jì)算：

(1)sin60°—tan45°；(2)cos600+tan600：

2

(3)、B-sin450+sin60°—2cos45°

叵11

等/1X⑵z3x

xl1.J22-\(z)2-

2

例4求適合下列條件的銳角a：

/、廠/、2cosa+1/、/—

(l)yJ2sina-1=0；(2)---------=1；(3)3tana=y/3.

分析：這里a是未知數(shù)，可以仿照解方程的步驟：去分母、移項(xiàng).

解：(1)由Musina-1=0,得sina=羋.所以，銳角a=45°.

(2)由+1=1,得cosQ=巳.所以，銳角a=60°.

(3)由3tana得tana=好.所以，銳角a=30°.

例5圖1—2—16為住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AE=CF=30m,兩樓間的距離AC=

24in,現(xiàn)需了解甲樓對乙樓采光的影響情況.當(dāng)太陽光線與水平線的夾角為30°時，求甲

樓的影子在乙樓上有多高(精確到0.1m,y/2^1.41,gl.73).

4里

-

□

、□

、、、

□、

方□

-

■

I

_

□乙

□

口

O

-

.

C

/

6

2—1

圖1—

點(diǎn)D

樓的

到乙

直射

頂E

從樓

光線

題.當(dāng)

學(xué)問

為數(shù)

轉(zhuǎn)化

問題

實(shí)際

可將

意，

據(jù)題

］根

［解析

m,

C=24

BD=A

中，

BDE

RtA

.在

甲樓)

LAE(

作DB

點(diǎn)D

，過

到光線

接受不

以下便

點(diǎn)D

時，

E.

DF=B

所以

高，

樓一樣

乙兩