2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三單元函數(shù)3函數(shù)的應(yīng)用

3.3函數(shù)的應(yīng)用(一)

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

★水平一

i.了解和體會(huì)函數(shù)模型在社會(huì)生活及科研中的廣泛應(yīng)用.(數(shù)學(xué)抽象)

理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模2.初步體會(huì)一次函數(shù)、二次函數(shù)、基本不等式的廣泛應(yīng)用.能運(yùn)用函數(shù)思想解決現(xiàn)實(shí)生

型的基本過程.運(yùn)用模型活中的簡單問題.(直觀想象)

思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分3.會(huì)應(yīng)用基本不等式求某些函數(shù)的最值;能夠解決一些簡單的實(shí)際問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)

析和解決問題.★水平二

收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型.體會(huì)借助函數(shù)刻畫實(shí)

際問題,感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.(邏輯推理)

份基礎(chǔ)認(rèn)知?自主學(xué)習(xí)⑷

1.什么是一次函數(shù)與二次函數(shù)?

2.基本不等式的內(nèi)容是什么？

1.一次函數(shù)模型

形如y=kx+b的函數(shù)為一次函數(shù)模型，其中"0.

2.二次函數(shù)模型

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a?^0).

43b

(2)頂點(diǎn)式：y=a(x+旨)+43(a/)).

(3)兩點(diǎn)式：y=a(x—xi)(x—X2)(a￥0).

思考

一次、二次函數(shù)模型的定義域都是全體實(shí)數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用問題中，定義域一定是全體實(shí)數(shù)嗎?

提示：不一定，要根據(jù)應(yīng)用問題中的自變量的實(shí)際意義確定.

3.均值不等式

如果a,b是正數(shù)，那么一廠川而(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"=")

/思考

均值不等式適用的條件是什么？

提示：(1)代數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù).

(2)代數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；

(3)等號(hào)成立的條件必須存在.

基礎(chǔ)小測

1.辨析記憶(對(duì)的打“卡，錯(cuò)的打“x”).

（1）在選擇實(shí)際問題的函數(shù)模型時(shí)，必須使所有采集的數(shù)據(jù)都適合函數(shù)模型的解析式.（X）

提示：只要大部分?jǐn)?shù)據(jù)適合就可以.

（2）實(shí)際應(yīng)用問題中自變量的取值范圍由函數(shù)模型的解析式唯一確定.（x）

提示：由解析式、自變量的實(shí)際意義共同確定.

（3）利用函數(shù)模型得到數(shù)據(jù)后，要用該數(shù)據(jù)解釋需要解決的實(shí)際問題.（Y）

提示：建立數(shù)學(xué)模型是為解決實(shí)際問題服務(wù)的，得出的數(shù)據(jù)要能解釋實(shí)際問題.

2.一列貨運(yùn)火車從某站出發(fā)，勻加速行駛一段時(shí)間后開始勻速行駛，過了一段時(shí)間，火車到

達(dá)下一站停車，裝完貨以后，火車又勻加速行駛，一段時(shí)間后再次勻速行駛，下列圖像可以

近似地刻畫出這列火車的速度變化情況的是（）

【解析】選8根據(jù)題意，知這列火車從靜止開始勻加速行駛，所以排除A,D;然后勻速行駛

一段時(shí)間后又停止了一段時(shí)間，排除C.

3.某商品進(jìn)貨單價(jià)為30元，按40元一個(gè)銷售，能賣40個(gè)；若銷售價(jià)格每漲1元，銷量減

少1個(gè)，要獲得最大利潤，此商品的銷售單價(jià)應(yīng)是（）

A.55元B.50元C.56元D.48元

【解析】選A設(shè)銷售單價(jià)為x元，總利潤為W元，

貝4W=（x-30）［40-lx（x-40）］=-x2+HOx-2400=-（x-55）2+625,

所以x=55時(shí)獲得最大利潤為625元.

4.某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用新工藝把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利

用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為4003最多為600f,月處理成本y（元）與月處

理量x⑺之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=TX2-200X+80000,為使每r的平均處理成本最

低，該單位每月處理量應(yīng)為（）

A.200fB.300f

C.400tD.600t

【解析】選C由題意可知，二氧化碳每噸的平均處理成本為:x+鴕詈-

2002y$80—200=200,當(dāng)且僅當(dāng),即x=400時(shí)，等號(hào)成立，故該單位

每月處理量為400噸時(shí)，可使每噸的平均處理成本最低.

5.（教材例題改編）某類產(chǎn)品按工藝共分10個(gè)檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元.每提高一

個(gè)檔次，每件利潤增加2元.用同樣的工時(shí)，可以生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品60件，每提高一個(gè)檔次

將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品，則每天獲得利潤最大時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是（）

A.7B.8C.9D.10

【解析】選C.由題意，當(dāng)生產(chǎn)第k檔次的產(chǎn)品時(shí)，每天可獲利潤是生產(chǎn)件數(shù)與每件的利潤的

乘積，y=[8+2（k-l）][60-3（k-l）]=-6k2+108k+378（l<k<10）,配方可得y=-

6（k-9）2+864,

所以當(dāng)k=9時(shí)，獲得利潤最大.

》能力形成?合作探究⑷

類型一一次函數(shù)模型（數(shù)學(xué)建模）

題組訓(xùn)練

1.某商場將彩電的售價(jià)先按進(jìn)價(jià)提高40%,然后“八折優(yōu)惠”，結(jié)果每臺(tái)彩電利潤為360元,

那么彩電的進(jìn)價(jià)是（）

A.20007CB.2500元C.3000元D.3500元

【解析】選C.設(shè)進(jìn)價(jià)為尤元，得1.4xO8-x=360,解得x=3000,故選C.

2.某公司市場營銷人員的個(gè)人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示,

由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是（）

A.310元B.300元

【解析】選B.設(shè)函數(shù)解析式為>=丘+6（原0）,

函數(shù)圖像過點(diǎn)（1,800）,（2,1300）,

%+6=800,

則

[2k+b=l300

左=500,

解得?

b=300,

所以y=500x+300,當(dāng)尤=0時(shí)，y=300.

所以營銷人員沒有銷售量時(shí)的收入是300元.

解題策略

應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)

（1）分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.

（2）分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.

（3）分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.

類型二二次函數(shù)的應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)

【典例】山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠(yuǎn)銷

日本和韓國等地.上市時(shí)，外商李經(jīng)理按市場價(jià)格10元/千克在本市收購了2000kg香菇存放

入冷庫中.據(jù)預(yù)測，香菇的市場價(jià)格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時(shí)每天需

要支出各種費(fèi)用合計(jì)340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時(shí)，平均每天有6kg的

香菇損壞不能出售.

(1)若存放x天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與x

之間的函數(shù)關(guān)系式.

【思路導(dǎo)引】銷售金額=售價(jià)x銷售量.

【解析】由題意y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為

j=(10+0.5x)(2000-6%)

=-3X2+940X+20000(1<X<110,且尤為整數(shù)).

(2)李經(jīng)理如果想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？

【思路導(dǎo)引】表示出利潤=銷售總金額一收購成本一各種費(fèi)用，再求存放時(shí)間.

【解析】由題意令一3f+940x+20000-10x2000—340x=22500,解方程得：xi=50,&=

150(不合題意，舍去)，故需將這批香菇存放50天后出售.

(3)李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【思路導(dǎo)引】對(duì)利潤的表達(dá)式配方求最值.

【解析】設(shè)利潤為w,由題意得

w=一3爐+940x+20000-10x2000-340.r

=-3(尤一100)2+30000.

因?yàn)椤?一3<0,所以拋物線開口方向向下，

所以x=100時(shí)，w**=30000,

所以李經(jīng)理將這批香菇存放100天后出售可獲得最大利潤，最大利潤是30000元.

解題策略

利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)

(1)方法：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)

的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題.

(2)注意：取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符.

跟蹤訓(xùn)練

(2021?通榆高一檢測)某商場將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺(tái)，

為了增加銷量，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.調(diào)查表明：這種冰箱的售價(jià)每降低50元，平

均每天就能多售出4臺(tái).

(1)假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)尤元，商場每天銷售冰箱的利潤就是y元，請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí)，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤是多少？

Y

【解析】(1)根據(jù)題意，得降價(jià)X元后的銷售量為8+4義全臺(tái)，所以y=(2400-2000-

x)(8+4x京)，x>0

2

即y=—=X2+24X+3200,尤>0.

22

(2)y=一行/+24工+3200=一三(%-150)2+5000,

當(dāng)尤=150時(shí)，>max=5000,

所以每臺(tái)冰箱的售價(jià)降價(jià)150元時(shí)，商場的利潤最高，最高利潤是5000元.

類型三基本不等式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)

【典例】某單位用2160萬元購得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000

n?的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(;侖10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x(單

位：元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

【思路導(dǎo)引】平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購地費(fèi)用，

平均購地費(fèi)用黑:黑,建設(shè)層數(shù)x必須為正整數(shù).

【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，

貝，Jf(x)=(560+48x)+2嚼能0°°

,,10800*

=560+48x+——(x>10,xGN*).

所以人；0=560+48苫+譬以

>560+2^/48x10800=2000,

當(dāng)且僅當(dāng)4弘=坨詈，即x=15時(shí)取等號(hào).

因此，當(dāng)x=15時(shí)，穴x)取最小值五15)=2000,即為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，

該樓房應(yīng)建為15層.

解題策略

基本不等式解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)

在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意如下的思路和方法：①先理解題意，設(shè)出變量,

一般把要求最值的量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或

最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；④根據(jù)實(shí)際背景寫出答案.

跟蹤訓(xùn)練

某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為400平方米的三級(jí)污水處理池，平面圖如圖所示.池

外圈建造單價(jià)為每米200元，中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米250元，池底建造單價(jià)為每平方

米80元(池壁的厚度忽略不計(jì)，且池?zé)o蓋).試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求

出最低造價(jià).

【解析】設(shè)污水處理池的長為工米，

則寬為米，總造價(jià)-200+2x

250.華+80x400=40(*+誓)+32000>400x

2yJx^V+32000=56000(7C),

90040

當(dāng)且僅當(dāng)x=-,即x=30時(shí)取等號(hào).故污水處理池的長為30米、寬為至米時(shí)，最低造價(jià)

為56000元.

畿備選類型分段函數(shù)模型(數(shù)學(xué)建模)

【典例】對(duì)于季節(jié)性服裝的銷售，當(dāng)旺季來臨時(shí)，價(jià)格呈上升趨勢，設(shè)某服裝開始時(shí)定價(jià)為

10元，并且每周漲價(jià)2元，5周后開始保持20元的價(jià)格平穩(wěn)銷售；10周后旺季過去，平均每

周減價(jià)2元，直到16周后，該服裝不再銷售.

(1)試建立價(jià)格p與周數(shù)f之間的函數(shù)解析式.

(2)若此服裝每周進(jìn)貨一次，每件進(jìn)價(jià)Q與周數(shù)f之間的關(guān)系為。=—0.125。―8)2+12,re[0,

16],feN,試問該服裝第幾周每件銷售利潤最大？最大值是多少？

【思路導(dǎo)引】

列出?在不同范建立第,周每件銷售利求函數(shù)的

潤與，的函數(shù)解析式一最大值

圍時(shí)"的解析式

(10+2/,/e[0,5],zeN,

【解析】(l)p=，20,re(5,10],feN,

140-20re(10,16],/GN.

⑵設(shè)第t周時(shí)每件銷售利潤為L(f),則L(t)=p~Q,即L(f)=

110+21+0.125。-8)2—12,/￡[0,5],fGN,

320+0.125?-8)2-12,re(5,10],/eN,

[40-2-0.125?-8)2—12,/￡(10,16],reN,

f0.125?+6,re[0,5],

=50.125(/-8)2+8,re(5,10],/EN,

[0.125戶一書+36,ze(10,16],reN.

當(dāng)fG[O,5],fGN時(shí)，L⑺單調(diào)遞增，￡(r)max=￡(5)=9.125;

當(dāng)fd(5,10],fGN時(shí)，L(f)^=￡(6)=￡(10)=8.5;

當(dāng)，e(10,16],fGN時(shí)，L⑺單調(diào)遞減，L(t)max=L(ll)=7.125.

由9.125>8.5>7.125,知L⑺max=9.125.

所以第5周每件銷售利潤最大，最大值為9.125元.

解題策略

(1)現(xiàn)實(shí)星活中有很多問題都是用分段函數(shù)表示的，如出租車計(jì)費(fèi)、個(gè)人所得稅等，分段函數(shù)

是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的重要模型.

(2)分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其看成幾個(gè)問題，將各段

的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

跟蹤訓(xùn)練

李莊村某社區(qū)電費(fèi)收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：

方案一：每戶每月收管理費(fèi)2元，月用電不超過30度，每度0.4元，超過30度時(shí)，超過部分

按每度0.5元.

方案二：不收管理費(fèi)，每度0.48元.

(1)求方案一收費(fèi)元與用電量M度)間的函數(shù)關(guān)系.

【解析】當(dāng)0WE30時(shí)，L(x)=2+0.4x;

當(dāng)尤>30時(shí)，L(x)=2+30x0.4+(x—30)x0.5

[2+0.4尤，0W爛30,

=0.5x—1,所以L(無)=《

〔0.5x—l,x>30,

(2)小李家九月份按方案一交費(fèi)34元，問小李家該月用電多少度？

【解析】當(dāng)0SR30時(shí)，￡(x)<L(30)=14,

故小李家九月份用電超過30度，

由0金-1=34得了=70,故小李家該月用電70度.

(3)小李家月用電量在什么范圍時(shí)，選擇方案一比選擇方案二更好？

【解析】方案二收費(fèi)E(x)=0.48x,x>0,令L8<E(x),

當(dāng)0W爛30時(shí)，2+0.4x<0.48x,解得，25y30,

當(dāng)x>30時(shí)，0.5x—l<0.48無，解得，30a<50,

綜上可得小李家月用電量在(25,50)時(shí)，選擇方案一比選擇方案二更好.

》學(xué)情診斷?課堂測評(píng)《

1.(2021.天津高一檢測)若一根蠟燭長20cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm,則燃燒剩下的高度//(cm)

與燃燒時(shí)間f(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為()

【解析】選B.依題設(shè)可知，蠟燭高度〃與燃燒時(shí)間t之間構(gòu)成一次函數(shù)關(guān)系，

又因?yàn)楹瘮?shù)圖像必過點(diǎn)(0,20),(4,0)兩點(diǎn)，且該圖像應(yīng)為一條線段.所以選B.

2.(教材例題改編)建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造

價(jià)分別為120元/n?,80元/n?,那么水池的最低總造價(jià)為元.

【解析】設(shè)池底一邊長為xm,總造價(jià)為y元.貝Iy=4xl20+2(2x+2xgx80=320(x+^+

480(x>0).

4r~4

因?yàn)閤+->2ylx--=4,

4

當(dāng)且僅當(dāng)即x=2時(shí)取等號(hào)，

所以9=480+320x4=1760(元).

答案：1760

'10+2x,l<x<10

3.某種商品在第x(l裝30,xGN*)天的銷售價(jià)格(單位：元)為“r)=1,第

35—那，10<x<30

x天的銷售量(單位：件)為g(x)=30—x,則第14天該商品的銷售收入為元，在這30

天中，該商品日銷售收入的最大值為元.

【解析】由題意可得f(14)g(14)=28xl6=448(元),

即第14天該商品的銷售收入為448元.

'(10+2x)(30-x),l<x<10

銷售收入y=1>、x￡N*

(35一村(30-x),10<x<30

—2X2+5QX+300,1W爛10

即y=11x《N*.

開一5Qx+l050,10<x<30

2

當(dāng)1姿10時(shí)，y=-2X2+50X+300=-2(x-y)

+612.5,

故當(dāng)x=10時(shí)，y取最大值，ymax=600,

當(dāng)10〈爛30時(shí)，易知X102-50X10+1050=600,

故當(dāng)x=10,時(shí)該商品日銷售收入最大，最大值為600元.

答案：448600

4.已知甲、乙兩種商品在過去一段時(shí)間內(nèi)的價(jià)格走勢如圖所示.假設(shè)某商人持有資金120萬

元，他可以在fi至以的任意時(shí)刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交（其他費(fèi)用忽略不計(jì)）.

如果他在以時(shí)刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是萬元.

【解析】甲6元時(shí)，該商人全部買入甲商品，可以買120+6=20（萬份），在叁時(shí)刻全部賣出，

此時(shí)獲利20x2=40（萬元），乙4元時(shí)，該商人買入乙商品，可以買（120+40）+4=40（萬份），在

以時(shí)刻全部賣出，此時(shí)獲利40x2=80（萬元），共獲利40+80=120（萬元）.

答案：120

數(shù)學(xué)情境閱讀系列

系列之二分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用