2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-5. 3. 2 極大值與極小值

?5.3.2極大值與極小值

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一函數(shù)極值的概念及其求解

1.已知函數(shù)f（X）的導(dǎo)函數(shù)為F（X）,則“F（Xo）=o"是"x=Xo是函數(shù)f（X）的一個(gè)

極值點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

2.（2020江蘇鎮(zhèn)江呂叔湘中學(xué)期中）函數(shù)f（x）=lnx-x的極大值點(diǎn)為（）

A.1B.-1C.eD.1-e

3.（2020江蘇無錫期中）已知函數(shù)f（x）=-x+2sinx,xQ0,1,則下列敘述正確的是

（）

A.函數(shù)f（x）有極大值1三

B.函數(shù)f（x）有極小值

C.函數(shù)f（x）有極大值舊-]

D.函數(shù)f（x）有極小值述-；

4.（多選）（2020江蘇揚(yáng)州中學(xué)期中）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖

象如圖所示,則以下結(jié)論正確的是（）

A.-3是y=f(x)的極小值點(diǎn)

B.-2和T都是y=f(x)的極大值點(diǎn)

C.y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,+8)

D.y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,—3)

5.求下列函數(shù)的極值.

(1)f(x)=X3-3X2-9X+5;

(2)f(x)=^-2;

(3)f(x)=x2-21nx.

題組二函數(shù)極值的應(yīng)用

6.(2021四川成都七中月考)“a>2”是“函數(shù)f(x)=(x-a)e'在(0,+8)上有極值”

的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

7.(2020江蘇徐州期中)若函數(shù)f(x)=x'+ax2+3x-9在x=-3處取得極值，則a=()

A.2B.3C.4D.5

8.(2021江蘇常州華羅庚中學(xué)階段測(cè)試)若m>0,n>0,且函數(shù)f(x)=8x3-mx2-2nx+3

在x=l處取得極直則mn的最大值為()

A.16B.25C.36D.49

9.(2020江蘇蘇州四中期中)函數(shù)f(x)=x2+aln(l+x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范

圍為()

C.(0,1)D.(-1,0)

10.已知三次函數(shù)f(x)=mx3+nx2+px+2q的圖象如圖所示,則烏鼻=,

11.(2022江蘇泰州中學(xué)月考)函數(shù)f(x)=x'+ax2+bx+a2在x=l處取得極值10,則

a+b=.

12.(2020山西呂梁期末)已知函數(shù)f(x)=2x'+3ax2+3bx+c在x=l及x=2處取得極

值.

⑴求a,b的值；

(2)若方程f(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)根,求c的取值范圍.

13.(2020江蘇常熟期中)已知函數(shù)f(x)=ax+bx?Inx,f(x)的圖象在x=e處的切

線方程是x+y-e=0,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)求函數(shù)f(x)的極值.

2

14.(2022河南中原名校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=a21nx-2x(aeR).

(1)若a￡1,1],f(x)的圖象在x=l處的切線在坐標(biāo)軸上的截距之和為g(a),求

g(a)的取值范圍；

(2)討論函數(shù)f(x)極值的情況,并求出當(dāng)函數(shù)f(x)的極大值為0時(shí)實(shí)數(shù)a的值.

能力提升練

題組函數(shù)極值的應(yīng)用

1.(2021湖北六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x，-px?-qx的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0),

則()

A.f(x)的極大值為盤極小值為0

B.f(x)的極大值為0,極小值為孩

C.f(x)的極小值為-捺,極大值為0

D.f(x)的極小值為0,極大值為卷

2.(2020江蘇常州教育學(xué)會(huì)期末)已知函數(shù)f(x)=ax'+3x+l的極大值與極小值的差

為4,則實(shí)數(shù)a的值為()

11

A.-1B.-C.-D.1

44

3.(2020河北邯鄲期末)已知函數(shù)f(x)為定義在(-8,0)u(0,+8)上的奇函數(shù),當(dāng)

x>0時(shí),f(x)=(x-2e)Inx.若函數(shù)g(x)=f(x)-m存在四個(gè)不同的零點(diǎn),則m的取值

范圍是()

A.(-e,e)B.[-e,e]C.(_1,1)D.[-1,1]

4.(多選)已知函數(shù)f(x)=ax-Inx(a￡R),則下列說法正確的是()

A.若aWO,則函數(shù)f(x)沒有極值

B.若a〉0,則函數(shù)f(x)有極值

C.若函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8彳)

D.若函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0]

5.(2022江蘇鎮(zhèn)江期中)已知函數(shù)f(x)=x3-3x在x￡(5-m2,m-1)的值域?yàn)閇a,b],則

實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

6.(2022江蘇鹽城模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)=lnx+mx2+nx+l,有下列四個(gè)論斷：

甲：函數(shù)f(x)有兩個(gè)減區(qū)間；

乙：函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn);

丙：函數(shù)f(X)在X=1處取得極大值；

丁:函數(shù)f(x)單調(diào).

若其中有且只有兩個(gè)論斷正確,則m的值為.

7.(2020江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)期中)設(shè)函數(shù)f(x)=ex[ax2-(4a+l)x+4a+3].

⑴a〉0時(shí)，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.

8.(2020江蘇宿豫中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=x/3ax2+3(a2-l)x.

⑴若f(x)在x=l處取得極小值,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)設(shè)Xi,X2是g(x)=f(x)-6ax2-3a2x+5a(a>0)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若g(xj+g(x2)W0,求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B由極值點(diǎn)的概念可以得出,若可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為x。,則f(xo)=O,必要性成立;反過來不成立,故

選B.

2.A因?yàn)閒(x)=lnx-x(x>0)，所以f'(x)[-1=?(x>0)?當(dāng)x>l時(shí),f'(x)〈0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)

0<x<l時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x=l處取得極大值,即函數(shù)f(x)=Inx-x的極大值點(diǎn)為

1,故選A.

3.C因?yàn)閒(x)=-x+2sinx,x￡所以f(x)=~l+2cosx,xE

令f"(x)=0,則cosx=|,可得x=a當(dāng)xd(o,§時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),f'(x)<0,

函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)Xg時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為fg)=-=+2sin==V3-p函數(shù)f(x)

無極小值.故選C.

4.ACD由題圖可知,當(dāng)x<-3時(shí),f'(x)〈0,當(dāng)xG(-3,+°°)時(shí),f(x)20,

??--3是函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),此函數(shù)無極大值點(diǎn),且其單調(diào)遞增區(qū)間是(-3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是

(-8,-3).故選ACD.

5.解析(1)由題意得,f'(x)=3X2-6X-9,

令f'(x)=0,

即3X2-6X-9=0,

解得x=T或x=3.

當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表：

X("I)-1(-1,3)3(3,+8)

f'(X)+0-0+

f(x)/極大值極小值/

當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值,且f(-1)=10;

當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值,且f(3)=-22.

(2)由題意得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,

f

(XL(N+l)2=-3+1)2?

令f'(x)=0,得x=T或x=L

當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:

X(-8,-1)-1(-1,1)1(l,+oo)

f'(X)-0+0-

f(x)X極小值/極大值X

.?.當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)取得極小值,且極小值為f(-1)=-3;

當(dāng)x=l時(shí),函數(shù)取得極大值,且極大值為f(1)=-1.

⑶由題意得,f'(x)=2x」,且函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

X

令f'(x)=0,得x=l或x=T(舍去),

當(dāng)x￡(0,1)時(shí),f'(x)<0,

當(dāng)x￡(l,+8)時(shí),f'(x)>0,

???當(dāng)x=l時(shí),函數(shù)取得極小值,且極小值為f(1)=1,無極大值.

6.A由f(x)=(x-a)e、,可得f(x)=(x-a+l),ex,

令f'(x)=0,可得x=a-l.

當(dāng)x<a-l時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>a-l時(shí),f'(x)>0.所以函數(shù)f(x)在x=a-l處取得極小值.若函數(shù)f(x)在(0,+8)

上有極值，則a-1>0,即a>L因此，“a>2”是“函數(shù)f(x)=(x-a)e、在(0,+8)上有極值”的充分不必要條件.

故選A.

7.D易得f'(x)=3x?+2ax+3,又f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3處取得極值,所以f'(-3)=27-6a+3=0,解得a=5.

故選D.

8.C因?yàn)閒(x)=8x3-mx?-2nx+3,所以f，&)=24x?-21nx-2n,

又函數(shù)f(x)=8x3-mx2-2nx+3在x=l處取得極值,所以f'(1)=24-2m-2n=0,即m+n=12,

因?yàn)閙>0,n>0,

所以mnW(等)2=36,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=6時(shí),等號(hào)成立.故選C.

9.A易得f(x)的定義域?yàn)?-1,+8),f，(x)=2X+F=空

1+XX+1

???函數(shù)f(x)=x'+alnd+x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，.,.2x2+2x+a=0在(T,+8)上有兩個(gè)不等的實(shí)根，

(2—2+a>0,

.?」』=4—8a>0,解得o〈a〈l

10.答案1

解析由題意得,mWO,且f，(x)=3mx2+2nx+p,

由題圖可知,x=2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),x-1是其極小值點(diǎn)，即2,T是f'(x)=0的兩個(gè)根，

由［尸(-l)=3m-2n+p=0,

出l/'(2)=12m+4n+p=0,

解得上：一6空

(,2n=—3m,

.*.f(0)=p=-6m,f'⑴=-6m,.?.倦=1.

11.答案-7

解析由題意可得f'(x)=3x?+2ax+b,

由f(x)在x=l處取得極值10,

［尸(l)=3+2a+b=0,

寸t/(l)=l+a+b+小=10,

解得ktil或仁丁’

若a=-3,b=3,則(x)=3x2-6x+3=3(x-l)2^0,

此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，函數(shù)無極值,不符合題意,舍去;

若a=4,b=-ll,則(X)=3X2+8X-11=(3X+11)(X-1),

當(dāng)x〈-藍(lán)或x>l時(shí),f'(x)〉0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)-日〈x<l時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x=l時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值,符合題意.

故a+b=-7.

12.解析(1)由題意得，f?(x)=6x2+6ax+3b,

由函數(shù)f(x)在x=l及x=2處取得極值,得隱:n解得［廣廣，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

(./(z)=24+lza+3b=U,lb=4,

(2)由(1)可知，f(x)=2X3-9X2+12X+C,

fJ(X)=6X2-18X+12=6(X-2)(X-1),

令ff(x)=0,得x=l或x=2,

當(dāng)x<l或x>2時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)l<x<2時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

???f(x)在x=l處取得極大值,在x=2處取得極小值.又f(x)=0有三個(gè)不同的實(shí)根,

(f(l)=5+c>0,

t/(2)=4+c<0,解得-5〈c<-4.

13.解析⑴由f(x)=ax+bxlnx,得f'(x①a+b(l+lnx)(x>0),

由f(x)的圖象在x二e處的切線方程是x+y-e=0,知切點(diǎn)為(e,0),切線的斜率為-1,

日巾、J/(e)=(a+b)e=0,

所以i/1e)=a+2匕=-1,

解得H

lb=-1.

(2)由(1)知f(x)=x-xlnx(x>0),

則f'(x)=—Inx(x>0),

令f'(x)=0,得x=l,

當(dāng)X變化時(shí)，f(X),f'(X)的變化情況如下表:

X(0,1)1(1,+°°)

f'(x)+0-

f(x)/極大值

由表可知,當(dāng)X=1時(shí),f(X)取得極大值,極大值為f(1)=1,無極小值.

14.解析(1)因?yàn)閒(xha,lnx-2x2,

所以f'(x)金4x(x〉0),

X

所以f'(l)=a?-4,又f(l)=-2,

所以f(x)的圖象在x=l處的切線方程為y-(-2)=d-4)(x-1).

因?yàn)閍d[-1,1],所以a-4e[-4,-3].

在切線方程y-(-2)=(a2-4)(x-1)中，

令x=0,得y=2-a2;

令y=0,得X=g.

所以g(a)=2-a，W=—[92-4>高]T,

因?yàn)楹瘮?shù)y=x-|在(-8,0)上單調(diào)遞增，

所以易得

(2)因?yàn)閒(x)=a2lnx_2x2,x>0,

所以f，(x)上皿=如幽1).

XX

①當(dāng)a=0時(shí),f(x)=-2x2,則f'(x)=-4x,

因?yàn)閤>0,所以f'(x)<0,

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞增區(qū)間，所以f(x)無極值;

②當(dāng)a<0時(shí),令f'(x)<0,則x>-p令f'(x)>0,則0<x<-p

所以f(x)在(0,-§上單調(diào)遞增，在?,+8)上單調(diào)遞減，

此時(shí)f(X)有極大值f(-0=a21noT無極小值，

令a2ln^-^-y=0,得ln(-§=即a=-2粕；

③當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)<0,則x>p令F(x)>0,則0<x<p

所以f(x)在(0,{)上單調(diào)遞增,在&+8)上單調(diào)遞減，

此時(shí)f(x)有極大值f(%a21n：—無極小值，

令aIn|—y=0,得In|=即a-2yfe.

綜上,當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a<0時(shí),f(x)有極大值f(-?=a21n-y,無極小值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)

有極大值fg)=a2ln無極小值.

當(dāng)函數(shù)f(x)的極大值為0時(shí),2粕或a=2Ve.

能力提升練

1.A由題意得f'(x)=3x?-2px-q,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0),

所以f'⑴=3-2p-q=0,且f⑴=『p_q=0,聯(lián)立{:1焉%“解得《二-1即f(x)=X-X,f

1

'(x)=3x?-4x+l=(3xT)(xT),當(dāng)xd(-8,g時(shí),f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xd&l)時(shí),f,(x)〈0,函數(shù)

f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xd(1,+8)時(shí),f，(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)的極大值為fg)=/極小值

為f(1)=0,故選A.

2.AVf(x)=ax3+3x+l,.*.f'(x)=3ax2+3,

；f(x)有極值,令f'(x)=0,解得x=±E，

當(dāng)X<-任或x>F時(shí),f'(x)<0,當(dāng)-FV%VF時(shí),f'(x)>0,所以當(dāng)X=-F時(shí),f(x)取得極小值,當(dāng)

x=月時(shí),f(x)取得極大值.又極大值與極小值的差為4,

Va

解得a=-l,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,故選A.

3.A當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)=lnx+1--,令h(x)=f'(x),則h'(x)=-+^|>0,故f'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)?/p>

XXxz

f'(e)=0,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+-)上單調(diào)遞增.

函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.

由g(x)=f(X)-Hl存在四個(gè)不同的零點(diǎn)知,直線y=ni與函數(shù)f(x)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

故(~e,e),故選A.

4.ABD由題意得,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),且f，(x)=a」=—,

XX

當(dāng)aW0時(shí)，f'(X)<0恒成立,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減,沒有極值，

當(dāng)Xf0時(shí)，f(x)f+8,當(dāng)Xf+8時(shí)，f(x)f-8,??.f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí)，在上有f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，在(二+8)上有F(x)〉0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)X」時(shí)，f(x)取

得極小值,極小值為fG)=l+lna,當(dāng)xf0時(shí)，Inf(x)當(dāng)x—+8時(shí)，f(x)當(dāng)1+lna=0,

即a』時(shí)，f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1+lna<0,即0〈aG時(shí)，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).綜上可知ABD正確,C

ee

錯(cuò)誤.故選ABD.

5.答案(傷，?]

解析易得f'(x)=3(x2-l),所以在區(qū)間(-8,-1)和(1,+8)上,f，(x)>0,止匕時(shí)f(x)單調(diào)遞增;在(-1,1)

上,f'(x)<0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減.

rm-l>5-m2,

5—m2<—1,

所以f(x)有極大值f(-1)=2,極小值f(1)=-2,由題意知a=-2,b=2,即有1>1，又易知

f(5-m2)^-2,

<f(m-l)W2,

m-1>5-m2,

5—77l2v—1,

(解得傷〈mW所以m的取值范

m-1>lfg,

5—m2>—2,

、7n-lW2,

圍為(而五].

易錯(cuò)警示

此題注意f(x)在開區(qū)間(5-￡m-1)上的值域?yàn)殚]區(qū)間[a,b],從而確定端點(diǎn)值的取舍.

6.答案2

解析易得f'(x)=+2mx+n=網(wǎng)立吧(x>0).

XX

若甲正確，則函數(shù)f(X)在(0,+8)上有兩個(gè)減區(qū)間,記g(x)=2mx2+nx+l,則g(x)=0在(0,+8)上有兩個(gè)解且其

m<0,

圖象開口向下，則2m>°，此不等式組無解集,故甲錯(cuò)誤.

—>0,

2m

因?yàn)楸?、丁相悖，所以若丁正確,則甲、丙錯(cuò)誤，乙、丁正確，

此時(shí)f(l)=m+n+l=-l=m+n=-2,

f'(x)」+2mx+n=2mx—^nx+1^0(或WO)在(0,+°°)上恒成立.

XX

則2瞰2-(m+2)x+120(或WO)在(0,+°°)上恒成立，

所以A=[-(m+2)]2-8m=(m-2)2^0^>m=2.

若丁錯(cuò)誤，則甲、丁錯(cuò)誤，乙、丙正確，此時(shí)解得｛;二巴

此時(shí)f，(x)三四=空皿2

XX

易知f(X)在x=l處取得極小值T,與丙矛盾,舍去.

綜上所述,m=2.

7.解析(1)因?yàn)閒(x)=ex[ax2-(4a+l)x+4a+3],

所以f'(x)=[ax?-(2a+l)x+2]e、=(axT),(x-2)ex.

當(dāng)a>1時(shí),令f'(x)>0,得或x>2;

當(dāng)O〈aT時(shí),令f