2021-2022學年新教材高中數(shù)學本冊檢測含解析新人教A版必修第一冊

本冊檢測

考試時間120分鐘,滿分150分.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

2

1.已知集合人={1,2},B={2,力若3CA,則實數(shù)％的值為（D）

A.1或2B.3

C.1D.2

2

［解析］??,集合A={1,2},B={2,工},B^A,

2

?.?由集合元素的互異性及子集的概念可知％=1,解得％=2.故選D.

2.（2021?全國高考乙卷理科）已知命題p：sinx<l；q：V%eR,貝!Je園，1,則下

列命題中為真命題的是（A）

A.p/\qB.㈱p!\q

C.pA^qD.㈱（p\/q）

［解析］由于sin0=0,所以命題p為真命題；

由于y=ex在R上為增函數(shù)，|x|二0,所以匕R三?。=1,所以命題q為真命題;

所以p/\q為真命題，糠p/\q、pA㈱q、^（pVq）為假命題.

故選A.

3.sinl,cosl,tanl的大小關(guān)系為（A）

A.tanl>sinl>coslB.sinl>tanl>cosl

C.sinl>cosl>tanlD.tanl>cosl>sinl

兀A/2兀-\/27i

［角星析］Vsinl>sin^=，cosl<cos4=?tanl>tan4=l,

tanl>sinl>cosl.

4.Ig2—lg|—e?2—（1）—5+代二方的值為（A）

A.—1B.T

C.3D.-5

［解析］原式=lg2+lg5—2—2+2=lgl0—2—1—2=-1.故選A.

_35兀2sin（兀+a）cos（兀-a）-cos（7i+a）自估、/

5.設(shè)角a=~~則l+sin2a+sin（7i-a）-cos2（7i+a）、（D）

1

A.B.亞

22

D.

c.2小

［解析］因為a=一3等5兀,

2sin（7i+a）cos（兀一a）—cos（兀+a）

所以

1+sin2a+sin（7i—a）—cos2（7i+a）

_2sinacosa+cosa2sinacosa+cosacosa

1+sin2oc+since-cos2a2sin2a+sinasina

/35兀、兀

COS（—7-）COSg

.35n=-7=小?故選D.

sin（一7-）si%

6.若關(guān)于尤的方程y(x)—2=0在(-8,0)內(nèi)有解，則y=/(x)的圖象可以是(D)

［解析］因為關(guān)于x的方程於)-2=0在(-8,0)內(nèi)有解，所以函數(shù)y=/(x)與y=2的圖

象在(一8,0)內(nèi)有交點，觀察題中圖象可知只有D中圖象滿足要求.

7.定義在R上的偶函數(shù)加)在［0,+8)上單調(diào)遞增，且淤)=0,則滿足"ogj)>0的x

8

的取值范圍是(B)

A.(0,+8)B.(0,1)U(2,+8)

C.(0,1)U(1,2)D.(0,1)

［解析］由題意知/U)=A—x)=X"|),

所以川log")次g).因為式X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以llogUI』又x>o,解得0<x<|

88

或x>2.

8.(2021?四川綿陽高一檢測)已知函數(shù)段)=Asin((yx+夕)(A>0,co>0,\<p\<^,xGR)在一個

周期內(nèi)的圖象如圖所示，則要得到y(tǒng)=/(x)的圖象可由函數(shù)產(chǎn)cosx的圖象(縱坐標不變)(B)

A.先把各點的橫坐標縮短到原來的51,再向左平移送jr個單位長度

zo

1TT

B.先把各點的橫坐標縮短到原來的*再向右平移■個單位長度

C.先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移點個單位長度

D.先把各點的橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移各個單位長度

JT_

[解析]由函數(shù)1x)=Asin(Qx+0)(A>O,m>0,\(p\<^x^R)在一個周期內(nèi)的圖象可得A=

1,(7=9寺=云+令，解得①=2.把點(,，1)的坐標代入函數(shù)的解析式可得l=sin(2X^+9),

7T

即sin(g+^9)=l.

'JI'JI

再由Ml</,可得9=],故函數(shù)段)=sin(2x+1).

把函數(shù)y=cosx的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的3，

JT

可得y=cos2x的圖象，再向右平移巖個單位長度可得

71717171

y=cos2(x—記)=cos(2x—=sin[]—(2%—5)]

2兀71

=sin(——2x)=sin[ji—(]+2x)]

TT

=sin(2x+g)=/(x)的圖象.故選B.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)

9.將函數(shù)y=sin(x—，的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)，再向左平

移3半jr個單位長度得g(x)的圖象，則下列說法正確的是(ACD)

A.g(x)是奇函數(shù)

7T

B.尤=1是g(x)圖象的一條對稱軸

C.g(x)的圖象關(guān)于點(3兀，0)對稱

D.2g(。)=1

[解析]將函數(shù)y=sin(x一3的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變)得>=

sing一方的圖象，再向左平移竽個單位長度得g(x)=sin[|(x+￥)—1上靖的圖象，所以A正

TT

確；因為g(g)W±l,所以B錯；因為g(37i)=sin7t=O,所以C正確；又g(0)=0,所以2g⑼=1,

所以D正確.綜上，ACD正確.

10.已知0<〃<b<l<c,則下列不等式不成立的是（BD）

A.ac<bcB.cb<ca

C.logaC>log》cD.sin?>sinb

1111I1i

［解析］取。=不8=5，C=2,貝！Iq）2<（I）2,A成立；22〉24,B不成立；logj_2=—》logj_

"42

2——1,

、71

??logj_2>logj_2,C成立；\a0<a<b<l<^,/.sina<sinb,D不成立.故選BD.

42

11.函數(shù)?x）=sin2x—小（cosZx—sin2^）的圖象為C,如下結(jié)論正確的是（ABC）

A.黃元）的最小正周期為兀

JTTT

B.對任意的x￡R,都有於+4）+/（4—x）=0

C.危）在（一自居）上是增函數(shù)

D.由y=2sin2x的圖象向右平移為個單位長度可以得到圖象C

J5

［解析］fix）=sin2x—/cos2x=2sin（2x一$,

jIJi

?x）的最小正周期為兀，故A正確；y（d）=2sin（2><4—））=0,故圖象關(guān)于（不0）對稱，B正

確；當（一臺居）時，2x—*（一?,與，所以於）在（一臺，號）上是增函數(shù)，C正確；由）

1乙JL乙J乙乙X乙_L乙

TTJT2冗

=2sin2x向右平移W個單位長度得到y(tǒng)=2sin2（x—W）=2sin（2x—H）的圖象，故D錯誤.故選ABC.

12.下列命題正確的是（CD）

A.Vxe（2,+oo）,都有龍2>2、

B.“〃=3"是函數(shù)"y=cos22ox—sin22ax的最小正周期為兀”的充要條件

C.命題〃：3xoR,兀W=以3+%（）+〃=0是假命題，貝！］〃￡（—00,—^）U（~,+°°）

D.已知a,0GR,則“a=夕'是"tana=ta：M”的既不充分也不必要條件

［解析］A錯，當％=4時，42=2、故不等式不成立；B錯，y=cos22〃x—sin22〃x=cos4ax,

當時，y=cos2x,其最小正周期為：=兀；當a=1g時，y=cos（—2x）=cos2x,其最小正

周期為兀，故說法不正確；C正確，因為p為假命題，所以㈱夕為真命題，即不存在xo￡R,

使於o）=。，故』=1—4層<0,且。#0,解得號或〃<—；；D正確，如果兩個角為直角，那

么它們的正切值不存在，反過來，如果兩個角的正切值相等，那么它們可能相差E/￡Z）,故

反之不成立.綜上，CD正確.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.化簡、/2+cos200—sin21(r='NcoslO。.

［解析J^2+cos200-sin210°=

■\/2+2cos210o—1—sin210°=^3cos210°=^/3cosl0°.

14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,

價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促

銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元，每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明

會得到支付款的80%.

(1)當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付130元:

(2)在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的7折，則x的

最大值為15.

［解析］(l)x=10,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.

(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為y元，y<120元時，李明得到的金額為yX80%,

符合要求.

y2120元時，有(y-x)X80%>yX70%恒成立，

即8。-x)》7y,尤W.即尤W($min=15元，

所以X的最大值為15.

15.已知函數(shù)g(x)=/(x)+x2是奇函數(shù)，當x>0時，函數(shù)的圖象與函數(shù)y=log2X的圖象

關(guān)于直線y=x對稱，則。-1)+月(-2)=—11.

［解析］...當x>0時，凡?的圖象與函數(shù)y=log2%的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

/.當x>0時，fix)=2x,

.?.當x>0時，g(x)=2，+x2,

又g(x)是奇函數(shù)，；.g(—l)+g(—2)=—［g(l)+g(2)］=—(2+l+4+4)=—11.

16.函數(shù)八尤)=層二一1伍>0,a#1)的圖象恒過定點(2,0),當a>l時，犬N)的單調(diào)遞增

區(qū)間為(一8,0］.

2—

［解析］由2—x=0得x=2,此時，人2)=0,...危)恒過定點(2,0)；當?>1時，火爐)=。

-1,由復(fù)合函數(shù)同增異減可知，式x)的遞增區(qū)間為(一8,0］.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)如圖，以O(shè)x為始邊作角a與￡(0邙<a。)，它們的終邊分別與單位

34

圓相交于尸，。兩點，已知點尸的坐標為(一g,弓).

,sin2ot+cos2a+1,,..

⑴v求l+tana的值;

(2)若cosotcos^+sinasin夕=0,求sin((z+尸)的值.

34

［解析］(1)由三角函數(shù)定義得cosa=—亍sina=g,

2sinacosa+2cos2a2cosa(sina+cosa)18

原式='—2cos2tz=2X

1sincesina+cosG25,

cosacosa

⑵?.?cosacos￡+sinasinA=cos(a—W)=0,且0<^<a<7t,

匹?o—匹

2，**pa2,

/.sin/3=sin(a—^)=—cosoc,

71.4

cos￡=cos(a-=sinot^亍

44337

sin(a+尸)=sinocos￡+cosasin夕=gX~+(--)X-=—

x+2,尤WO,

18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)4v)=八且點(4,2)在函數(shù)段)的圖象上.

logaX,x>0,

(1)求函數(shù)"x)的解析式，并在如圖所示的平面直角坐標系中畫出函數(shù)八x)的圖象;

y

3

2

T

：：O2：

-2-l-13J5

一廠i-2

r-r-t

J...i.*

(2)求不等式於)<1的解集；

⑶若方程1元)一2根=0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)機的取值范圍.

［解析］(1)?.?點(4,2)在函數(shù)的圖象上，.?/4)=108於=2,解得。=2.

x~\~2,%W0,

，心)=

log2X,X>0.

函數(shù)的圖象如圖所示.

y

八fx>0,|xWO,

⑵不等式本)<1等價于1或」

Llog2%<l[x+2<l,

解得0<x<2或x<—1,

.二原不等式的解集為｛x|0<x<2或xv-1｝.

(3),.?方程人處一2根=0有兩個不相等的實數(shù)根，

函數(shù)y=2根的圖象與函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個不同的交點.

結(jié)合圖象可得2根W2,解得機W1.

?.?實數(shù)機的取值范圍為(-8,1].

兀兀[]

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)危)=cosq+x>cos(§—%),g(x)=]sin2x—7

(1)求函數(shù)?x)的最小正周期；

(2)求函數(shù)/i(x)=/a)—g(x)的最大值，并求使/?(%)取得最大值時x的集合.

「名力+匚1、/1近?、/11^3.、123-2l+cos2x

[用牛所」=(2C0SX—2siax)A2C0SX2sirLX^=4C0Sx_4smx=----§----

3(1—cos2x)11

=2cos2x-4?

.?猶尤)的最小正周期為7=代2兀=兀

(2)h(x)=fi,x)-g(x)

=^cos2x—^sin2x

=￥cos(2x+j),

,.71

當2x+i=2E/￡Z),

jr

即x=E一石(左￡Z)時，/z(x)有最大值為

oZ

、兀

此時x的集合為｛x|x=E—d，

okRZ\,

20.(本小題滿分12分)某工廠現(xiàn)有職工320人，平均每人每年可創(chuàng)利20萬元，該工廠打

算購進一批智能機器人(每購進一臺機器人，將有一名職工下崗).據(jù)測算，如果購進智能機器

人不超過100臺，每購進一臺機器人，所有留崗職工(機器人視為機器，不作為職工看待)在機

器人的幫助下，每人每年多創(chuàng)利2千元，每臺機器人購置費及日常維護費用折合后平均每年2

萬元，工廠為體現(xiàn)對職工的關(guān)心，給予下崗職工每人每年4萬元補貼；如果購進智能機器人

數(shù)量超過100臺，則工廠的年利潤y=8202+lgr萬元(x為機器人臺數(shù)且x<320).

(1)寫出工廠的年利潤y與購進智能機器人臺數(shù)x的函數(shù)關(guān)系；

(2)為獲得最大經(jīng)濟效益，工廠應(yīng)購進多少臺智能機器人？此時工廠的最大年利潤是多

少？(參考數(shù)據(jù)：lg2心0.3010)

［解析］(1)當購進智能機器人臺數(shù)xWlOO時，

工廠的年利潤y=(320-x)(20+0.2x)—4x—2x

=-0.2x2+38x+6400,

.J—0.2尤2+38X+6400,OWXWIOO,x^N,

7一18202+lgx,100<x<320,xdN.

(2)由(1)知，當OWxWlOO時，y=—0.2(x—95)2+8205,

當x=95時，ymax=8205；

當x>100時，y=8202+lgx為增函數(shù)，

8202+lgx<8202+lg320=8202+1+51g2?

8204.505<8205.

綜上可得，工廠購進95臺智能機器人時獲得最大經(jīng)濟效益，此時的最大年利潤為8205

萬元.

TTTT

21.(本小題滿分12分)已知?x)=sin(2x+§)+sin(2x—g)+2cos2尤，x?R.

(1)求y(x)的最小正周期；

(2)求兀0的單調(diào)減區(qū)間；

JTTT

(3)若函數(shù)g(x)=/(x)一根在區(qū)間［一不力上沒有零點，求用的取值范圍.

［解析］(l)/(x)=gsin2x+乎cos2x+gsin2x一坐cos2x+2cos2_x=sin2x+cos2x+1=y［2

TT

sin(2x+4)+l.

?。=2,??T=TI.

71713Tl

(2)由lkRZ,

兀5兀

得d+EWxWk+fai,

oo

IT57r

的單調(diào)減區(qū)間為伙n+g,E+5］,kRZ.

(3)作出函數(shù)y=?r)在［—會方上的圖象如圖所示.

函數(shù)g(x)無零點，即方程y(x)—%