安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)2025屆高三下學(xué)期第27屆聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試題 含解析

安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)屆高三下學(xué)期第屆聯(lián)考（一模）數(shù)學(xué)試題注意事項：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1..中國代表隊在歷屆夏季奧運會獲得的金牌數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，則這屆夏季奧運會中國代表隊獲得的金牌數(shù)的第40百分位數(shù)為（）A.16B.26C.28D.32【答案】B【解析】【分析】由百分位數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為5，15，16，16，26，28，32，38，39，40，48.因為，所以這屆夏季奧運會中國代表隊獲得的金牌數(shù)的第40百分位數(shù)是第五個數(shù)26.故選：B2.若集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】先解一元二次不等式，再應(yīng)用交集定義計算即可.【詳解】由題意可得，則，第1頁/共21頁故中元素的個數(shù)為6.故選：C.3.圓與圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切B.外離C.外切D.內(nèi)含【答案】A【解析】【分析】先寫出圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓心間距離和半徑的關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系.【詳解】圓O與圓M的半徑分別為1，4，圓心坐標分別為，則，故圓O與圓M的位置關(guān)系是內(nèi)切.故選：A.4.在正四棱柱中，，分別為側(cè)棱上一點，則的最小值為（）A.B.C.D.14【答案】A【解析】【分析】將正四棱柱的側(cè)面展開，由直線段最短求解.【詳解】如圖所示：，將正四棱柱（圖1）的側(cè)面展開，得到展開圖（圖2當(dāng)五點共線時，取得最小值，且最小值為.故選：A第2頁/共21頁5.如圖，這是一朵美麗的幾何花，且這八片花瓣的頂端恰好可以圍成一個正八邊形，設(shè)，則（）A.-3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由條件，解三角形求，，再結(jié)合兩角和正切公式求結(jié)論.【詳解】連接，設(shè)線段與的交點為，線段與線段的交點為，因為，所以，又，所以，設(shè)，則，所以，所以，所以，，所以.故選：D.第3頁/共21頁6.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性比較對數(shù)值的大小【詳解】，A，B均錯誤.，C正確，D錯誤.故選：C7.同時拋擲三枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點數(shù)分別為，則是直角三角形的三個內(nèi)角的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用古典概型及排列數(shù)計算求解.【詳解】若是直角三角形的三個內(nèi)角，則，即.因為，所以這三個數(shù)只能是2，3，6或2，4，4，所以是直角三角形的三個內(nèi)角的概率為=.故選：B.第4頁/共21頁8.已知兩個非零向量的夾角為，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先應(yīng)用平面向量的數(shù)量積公式及運算律化簡，再設(shè)，再分類討論計算求解.【詳解】.由，得，即.設(shè)，則關(guān)于的方程有正實根.當(dāng)時，不符合條件；當(dāng)時，符合條件；當(dāng)時，或，解得.綜上可得.故選：C36分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)可以為（）A.B.C.D.第5頁/共21頁【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運算化簡可得出的表達式，即可得出合適的選項.【詳解】設(shè)，則，所以.對于A選項，由，可得，解得，合乎題意；對于B選項，由，可得，此時不存在，不合乎題意；對于C選項，由，可得，此時不存在，不合乎題意；對于D選項，由，可得，解得，合乎題意.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.與的奇偶性相同B.曲線關(guān)于直線對稱C.的最小正周期是最小正周期的2倍D.在上單調(diào)遞減【答案】ABD第6頁/共21頁【解析】【分析】利用奇偶函數(shù)的定義可以判斷出其奇偶性可判斷A，利用抽象函數(shù)的對稱性區(qū)證明即可判斷B選項，求出的最小正周期再去驗證是否滿足即可判斷,【詳解】因為，，所以與均為偶函數(shù)，A正確.因為，所以曲線關(guān)于直線對稱，B正確.因為，所以的最小正周期為，又的最小正周期不是C錯誤由，得，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，D正確.故選：曲線的形狀類似希臘字母“”，其方程為.若點在曲線上，，則（）A.當(dāng)在第一象限時，B.當(dāng)在第四象限時，C.直線與曲線的所有交點的橫坐標之和大于6D.直線與曲線恰有4個公共點【答案】BC【解析】第7頁/共21頁【分析】去絕對值，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)、直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系，逐項判斷即可.時，可化為，為橢圓的兩個焦點，則，A錯誤.當(dāng)時，可化為，為雙曲線的兩個焦點，則，B正確.當(dāng)時，可化為，所以點不可能在第三象限.當(dāng)時，可化為，所以曲線由三段曲線組成，其圖形如圖所示，因為雙曲線的漸近線方程為，所以直線與曲線無公共點.將代入，得，由圖可知直線與曲線有22個交點的橫坐標之和為，其中1個交點為.將代入，得，由圖可知直線與曲線第8頁/共21頁有2個交點，則這2個交點的橫坐標之和為，其中1個交點為，所以直線+4與曲線的所有交點的橫坐標之和為，C正確.結(jié)合雙曲線與的漸近線的斜率，由圖可知直線與曲線有2個公共點，與曲線只有1個公共點，與曲線沒有公共點，所以直線與曲線恰有3個公共點，D錯誤.故選：BC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分.12.函數(shù)的值域為____________.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為與在上均為減函數(shù)，且當(dāng)時，，所以，故的值域為.故答案為：13.已知頂點為的圓錐的外接球為球為底面圓的一條直徑，是母線的中點，為底面圓的中心，為線段是邊長為2的表面積為____________，與該圓錐底面所成角的正切值為____________.第9頁/共21頁【答案】①.②.##【解析】【分析】取的中點，連接，取的中點，連接，，，根據(jù)已知得，進而求出外接球的半徑，即可得球的表面積，應(yīng)用幾何法求線面角的正切值.【詳解】取的中點，連接，取的中點，連接，，.因為是邊長為2的正三角形，所以，所以設(shè)球的半徑為，由，得，故球表面積為.易知圓錐底面，則是與該圓錐底面所成的角，所以與該圓錐底面所成角的正切值為.故答案：，14.設(shè)表示有限集合中元素的個數(shù)，已知函數(shù)，若，其中為常數(shù)，且，則的取值范圍為____________.【答案】【解析】第10頁/共21頁和，共有兩個交點，再求解參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意得的定義域為，因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，而當(dāng)時，，且，令，則，當(dāng)時，，則在上的圖象越來越陡峭，我們作出和的圖象，結(jié)合圖象可得與在上只有一個交點，令，則，解得，而，得到與的圖象在上的交點的橫坐標，因為，所以和，共有兩個交點，第11頁/共21頁此時的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）證明：“在上單調(diào)遞增”是“在上單調(diào)遞增”的充要條件.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】1）根據(jù)函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率，進而得切線方程；（2）將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的恒成立問題，再參變分離求最值即可.【小問1詳解】因為，所以，得，由，得，則，，所以曲線在點處的切線方程為，化簡得.【小問2詳解】若在上單調(diào)遞增，則對恒成立，則對恒成立，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，若在上單調(diào)遞增，則對恒成立，則對恒成立，又函數(shù)是增函數(shù)，所以，所以“在上單調(diào)遞增”是“在上單調(diào)遞增”的充要條件.第12頁/共21頁16.在中，角的對邊分別為，已知.（1）若，求；（2）若依次成等差數(shù)列，求面積的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】1）先應(yīng)用正弦定理得出，再根據(jù)余弦定理計算求解；（2）先應(yīng)用等差數(shù)列得出，再結(jié)合余弦定理應(yīng)用基本不等式計算得出，最后應(yīng)用面積公式計算求解最值.【小問1詳解】由及正弦定理，得，因為，所以，由余弦定理得，代入得，解得或（舍）【小問2詳解】因為依次成等差數(shù)列，所以，由余弦定理得，因為，所以，所以，且，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以面積的最大值為.第13頁/共21頁17.已知拋物線的準線方程為，直線與交于兩點.（1）求標準方程.（2）若，為坐標原點，證明：.（3）若為的焦點，且的周長為，求的值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】1）根據(jù)題意求出即可得解；（2代入，利用韋達定理求出，證明即可；（3長公式求出的周長，進而可得出答案.【小問1詳解】的標準方程為，由的準線方程為，得，故的標準方程為；【小問2詳解】將代入，得，設(shè)，則，，所以，所以，即；【小問3詳解】聯(lián)立，得，第14頁/共21頁設(shè)，則，所以，所以，，所以的周長為，因為函數(shù)為增函數(shù)，且，所以方程的解為，所以.18.如圖，在五面體中，菱形的邊長為，，.（1）證明：且.（2）求五面體體積的最大值.（3）當(dāng)五面體的體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】第15頁/共21頁1平面的中點，的中點接，，，可得，進而得平面，則，即可證得；（2）分別作，，垂足分別為，，連接，，，，由已知和（1）中結(jié)論，可得，設(shè)，可得五面體的體積為，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可；（3為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量坐標運算分別求出平面和平面的一個法向量，利用公式即可求得兩個平面夾角的余弦值.（方法二）過點作于，過點作于，連接，可得平面，則，可得平面，則，則為平面與平面的夾角，在中，由三角函數(shù)定義求出，進而求得其余弦值.【小問1詳解】在菱形中，，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以.取的中點，的中點，連接，，，則，所以，故，，，四點共面，因為，，所以，，即，因為四邊形為梯形，所以與相交，所以平面，又平面，所以，而，所以.【小問2詳解】分別作，，垂足分別為，，連接，，，，第16頁/共21頁由（1）知，則，又，，平面，所以平面，同理平面.因為菱形的邊長為，，為的中點，為的中點，，則，，又，所以四邊形是等腰梯形，由對稱性可知設(shè)，則，，所以，所以，，所以五面體體積為，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，五面體體的最大，最大值為.【小問3詳解】當(dāng)五面體的體積最大時，，，（方法一）以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，第17頁/共21頁，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.（方法二）過點作于，過點作于，連接，由（2）知平面，則又，平面，所以平面，又平面，則，，因為，平面，所以平面，又平面，則，所以為平面與平面的夾角，又，，由（2）及已知，，所以，，則，第18頁/共21頁故平面與平面夾角的余弦值為.19.已知是各項均為正數(shù)的數(shù)列，事件“”發(fā)生的概率為，事件“”發(fā)生的概率為.（1）若隨機變量的期望不小于，求的取值范圍；（2）已知，若依次成等比數(shù)列的概率為，比較與的大?。唬?）若（為大于