橢圓定義及性質(zhì)講義

環(huán)球雅思教育學(xué)科教師講義講義編號：______________副校長/組長簽字：簽字日期：學(xué)員編號：年級：課時數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：學(xué)科教師：課題橢圓定義及其性質(zhì)授課日期及時段教學(xué)目的掌握橢圓的定義、性質(zhì)重難點橢圓性質(zhì)應(yīng)用【考綱說明】掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，了解橢圓的參數(shù)方程。掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)。3、高考占分10分左右?！救の舵溄印繖E圓在開普勒行星運行三定律中扮演了重要角色，即行星軌道是橢圓，以恒星為焦點.開普勒〔Kepler〕行星運行三定律的發(fā)現(xiàn)才知道行星繞太陽運行的軌道，乃是一種以太陽為其一焦點的橢圓.由此可見，圓錐截線不單單是幾何學(xué)家所愛好的精簡事物，它們也是大自然的根本規(guī)律中所自然選用的精要之一?！局R梳理】一、橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù),這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.假設(shè)，那么動點的軌跡為線段；假設(shè)，那么動點的軌跡無圖形。二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:，其中2．當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3．在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；

4．橢圓的焦點總在長軸上.當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標(biāo)為，.橢圓的簡單幾何性質(zhì)以此方程為例：的簡單幾何性質(zhì)

1.對稱性：對于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說明：把換成、或把換成、或把、同時換成、、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。范圍：

橢圓上所有的點都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標(biāo)滿足，.3.頂點：①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點；②橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標(biāo)分別為，，，;③線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，,.和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4.離心率：①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作.②因為，所以的取值范圍是.越接近1，那么就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時橢圓就越接近于圓.當(dāng)且僅當(dāng)時，，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為.注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征〔如以下圖〕：〔1〕；；；〔2〕；；；

〔3〕；；；四．橢圓常見的解題規(guī)律方法：1．如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程任何橢圓都有一個對稱中心，兩條對稱軸.當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式.此時，橢圓焦點在坐標(biāo)軸上。確定一個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個條件：兩個定形條件；一個定位條件焦點坐標(biāo)，由焦點坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個量的幾何意義橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的.分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：，，且.可借助右圖理解記憶：

顯然：恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。3．如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置橢圓的焦點總在長軸上，因此標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看，的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。4．方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，且AB時，方程表示橢圓.當(dāng)時，橢圓的焦點在軸上；當(dāng)時，橢圓的焦點在軸上。5．求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值.其主要步驟是“先定型，再定量”；

②定義法：由條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6．共焦點的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點，那么c相同.與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為，此類問題常用待定系數(shù)法求解。7．判斷曲線關(guān)于軸、軸、原點對稱的依據(jù)：①假設(shè)把曲線方程中的換成，方程不變，那么曲線關(guān)于軸對稱；②假設(shè)把曲線方程中的換成，方程不變，那么曲線關(guān)于軸對稱；③假設(shè)把曲線方程中的、同時換成、，方程不變，那么曲線關(guān)于原點對稱。8．如何求解與焦點三角形△PF1F2〔P為橢圓上的點〕有關(guān)的計算問題？思路分析：與焦點三角形△PF1F2有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理〔或勾股定理〕、三角形面積公式相結(jié)合的方法進行計算解題。將有關(guān)線段，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系。9．如何計算橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系？長軸與短軸的長短關(guān)系決定橢圓形狀的變化.離心率，因為，，用表示為.顯然：當(dāng)越小時，越大，橢圓形狀越扁；當(dāng)越大，越小，橢圓形狀越趨近于圓?！窘?jīng)典例題】【例1】橢圓兩焦點為，，P在橢圓上，假設(shè)△的面積的最大值為12，那么橢圓方程為〔〕A.B.C.D.【例2】橢圓的兩個焦點是F1(－1,0),F2(1,0)，P為橢圓上一點，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，那么該橢圓方程是〔〕.A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【例3】橢圓的兩個焦點和中心，將兩準(zhǔn)線間的距離四等分，那么它的焦點與短軸端點連線的夾角為()A.450B.600C.900D.1200【例4】橢圓上的點M到焦點F1的距離是2，N是MF1的中點，那么|ON|為〔〕A.4B.2C.8D.【例5】△ABC的頂點B、C在橢圓EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，那么△ABC的周長是()A.2EQ\r(,3)B.6C.4EQ\r(,3)D.12【例6】方程表示焦點在軸的橢圓時，實數(shù)的取值范圍是____________.【例7】過點且與橢圓有共同的焦點的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________.【例8】設(shè),,△的周長是，那么的頂點的軌跡方程為_______.【例9】〔1〕橢圓的中心在原點，焦點在軸上，一個焦點與短軸的兩個端點的連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的一個端點的距離為，那么橢圓方程為____________。〔2〕橢圓的中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，直線交橢圓于兩點，假設(shè)，且，那么橢圓方程為_____________________?！纠?0】中心在原點的橢圓的左，右焦點分別為，斜率為的直線過右焦點與橢圓交于兩點，與軸交于點點，且假設(shè)，求橢圓離心率的取值范圍；〔2〕假設(shè)，且弦的中點到右準(zhǔn)線的距離為，求橢圓的方程?！菊n堂練習(xí)】１.橢圓上的一點P，到橢圓一個焦點的距離為３，那么P到另一焦點距離為〔〕A．２B．３C．５D．７２．中心在原點，焦點在橫軸上，長軸長為4，短軸長為２，那么橢圓方程是〔〕A.B.C.D.３.與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點，且短軸長為4的橢圓方程是()A.４．橢圓的一個焦點是，那么等于〔〕A. B. C. D.５．假設(shè)橢圓短軸上的兩頂點與一焦點的連線互相垂直，那么離心率等于()A. B. C. D.【課后作業(yè)】1．以下命題是真命題的是 〔〕 A．到兩定點距離之和為常數(shù)的點的軌跡是橢圓 B．到定直線和定點F(c，0)的距離之比為的點的軌跡是橢圓 C．到定點F(－c，0)和定直線的距離之比為(a>c>0)的點的軌跡是左半個橢圓D．到定直線和定點F(c，0)的距離之比為(a>c>0)的點的軌跡是橢圓2．假設(shè)橢圓的兩焦點為〔－2，0〕和〔2，0〕，且橢圓過點，那么橢圓方程是 〔〕A． B． C． D．3．假設(shè)方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍為〔〕A．〔0，+∞〕 B．〔0，2〕 C．〔1，+∞〕 D．〔0，1〕4．設(shè)定點F1〔0，－3〕、F2〔0，3〕，動點P滿足條件，那么點P的軌跡是〔〕A．橢圓 B．線段C．不存在 D．橢圓或線段5．橢圓和具有〔〕A．相同的離心率 B．相同的焦點 C．相同的頂點 D．相同的長、短軸6．假設(shè)橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，那么這個橢圓的離心率為〔〕A． B． C． D．7．橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，離心率，短軸長為，求橢圓的方程。8、A、B為橢圓+=1上兩點，F(xiàn)2為橢圓的右焦點，假設(shè)|AF2|+|BF2|=a，AB中點到橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求該橢圓方程?！咀鳂I(yè)條】本次______________同學(xué)課堂狀態(tài)：_________________________________________________________________本次課后作業(yè)：___________________________________________________________________________________需要家長協(xié)助：____________________________________________________________________________________家長意見：________________________________________________________________________________________【參考答案】【典型例題答案】1、B；2、C；3、C；4、A；5、C；6．；7.；8.；9、〔1〕由：，又，故求得：.所以，橢圓方程為：.〔2〕設(shè)橢圓方程為：，且設(shè)，，PQ的中點為.由：，所以，即有：，又，求得：或.聯(lián)立，消去y,得：，那么有:，即.由韋達定理可得：，從而有，易知：，，所以或，解之得：或.故橢圓方程為：或.10