高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案72第十章統(tǒng)計統(tǒng)計案例第三講變量間的相關(guān)關(guān)系統(tǒng)計案例含解析新人教版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第三講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．觀察下列各圖形，其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是(C)A．①② B．①④C．③④ D．②③〖〖解析〗〗由散點(diǎn)圖知③中的點(diǎn)都分布在一條直線附近．④中的點(diǎn)都分布在一條曲線附近，所以③④中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系．2．(2021·廣西柳州模擬)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到了回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則(C)A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)<0，b>0C．a(chǎn)>0，b<0 D．a(chǎn)<0，b<0〖〖解析〗〗畫出散點(diǎn)圖，易知選C．3．(2021·吉林長春模擬)2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來，文化事業(yè)發(fā)展更加迅速，下圖是從2013年到2018年六年間我國公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)(個)與對應(yīng)年份編號的散點(diǎn)圖(為便于計算，將2013年編號為1,2014年編號為2，…，2018年編號為6，把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個數(shù)作為因變量，把年份編號從1到6作為自變量進(jìn)行回歸分析)，得到回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝13.743x＋3095.7，其相關(guān)指數(shù)R2＝0.9817，給出下列結(jié)論，其中正確的個數(shù)是(D)①公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng)②公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個③可預(yù)測2019年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)約為3192個A．0 B．1C．2 D．3〖〖解析〗〗由圖知點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，所以為正相關(guān)，又R2＝0.9817趨近于1，所以相關(guān)性較強(qiáng)，故①正確；由回歸方程知②正確；由回歸方程，當(dāng)x＝7時，得估計值為3191.9≈3192，故③正確．故選：D.4．(2021·滄州七校聯(lián)考)通過隨機(jī)詢問200名性別不同的大學(xué)生是否愛好踢毽子運(yùn)動，計算得到統(tǒng)計量K2的觀測值k≈4.892，參照附表，得到的正確結(jié)論是(C)P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024A.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”5．(2021·河南商丘、周口、駐馬店聯(lián)考)某飲料店5天的日銷售收入y(單位：百元)與當(dāng)天平均氣溫x(單位：℃)之間的數(shù)據(jù)如下表：x－2－1012y54221若x與y之間是線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋m，則實(shí)數(shù)m的值是(B)A．3 B．2.8C．2.6 D．2.4〖〖解析〗〗據(jù)題意，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(－2＋－1＋0＋1＋2,5)＝0，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(5＋4＋2＋2＋1,5)＝2.8.又y關(guān)于x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋m，所以2.8＝－1×0＋m，所以m＝2.8，故選B.6．(2021·西北狼聯(lián)盟質(zhì)檢)廣告投入對商品的銷售額有較大影響，某電商對連續(xù)5個年度的廣告費(fèi)x和銷售額y進(jìn)行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(單位：萬元)廣告費(fèi)x23456銷售額y2941505971由上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型，預(yù)測廣告費(fèi)為10萬元時銷售額約為(B)A．118.2萬元 B．111.2萬元C．108.8萬元 D．101.2萬元〖〖解析〗〗由表格中數(shù)據(jù)可得，eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝50，∴50＝4×10.2＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝9.2，∴回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2x＋9.2，∴當(dāng)x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2×10＋9.2＝111.2，即預(yù)測廣告費(fèi)10萬元時銷售額約為111.2萬元，故選B.7．(2021·“四省八?！甭?lián)考)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x、y的取值如下表x12345y5tm1012其回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))經(jīng)過點(diǎn)(3,8)的一個充分不必要條件是(D)A．t＋m＝13 B．t＝m＝6C．t＝m＝7 D．t＝6，m＝7〖〖解析〗〗回歸直線過樣本點(diǎn)中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(t＋m＋27,5)))，又直線過點(diǎn)(3,8)，∴eq\f(t＋m＋27,5)＝8，即t＋m＝13，又t＝6，m＝7?t＋m＝13，∴選D.8．(2021·廣東新高考適應(yīng)性測試)在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個變量x和y，下圖是由這兩個變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，則選項(xiàng)中適宜作為y關(guān)于x的回歸方程的函數(shù)類型是(B)A．y＝a＋bx B．y＝c＋deq\r(x)C．y＝m＋nx2 D．y＝p＋qcx(q>0)〖〖解析〗〗散點(diǎn)圖呈曲線狀，A錯誤，函數(shù)遞增且增速越來越慢，故選B.二、多選題9．(2021·山東日照聯(lián)考)某大學(xué)進(jìn)行自主招生測試，需要對邏輯思維和閱讀表達(dá)進(jìn)行能力測試．學(xué)校對參加測試的200名學(xué)生的邏輯思維成績、閱讀表達(dá)成績以及這兩項(xiàng)的總成績進(jìn)行了排名．其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況如圖所示，下列敘述正確的是(AC)A．甲同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達(dá)成績排名更靠前B．乙同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達(dá)成績排名更靠前C．甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中，甲同學(xué)更靠前D．甲同學(xué)的總成績排名比丙同學(xué)的總成績排名更靠前〖〖解析〗〗根據(jù)圖示，可得甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中，甲同學(xué)更靠前，他的閱讀表達(dá)成績排名靠后．故選AC．10．(2021·山東煙臺期末)某大學(xué)為了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到如圖所示的列聯(lián)表．經(jīng)計算K2的觀測值k≈4.762，則可以推斷出(ACD)滿意不滿意男3020女4010P(k2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A.該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計值為eq\f(3,5)B．調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對食堂服務(wù)更滿意C．有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異D．在犯錯概率不超過5%的前提下認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異〖〖解析〗〗由表易知男生比女生對食堂服務(wù)滿意率低，故B錯，又K2＝eq\f(100×30×10－40×202,70×30×50×50)≈4.8>3.841，∴ACD正確．三、填空題11．關(guān)于獨(dú)立性檢測，K2越大，則“X與Y有關(guān)系”這種判斷犯錯的概率越小.12．(2021·吉林市五地六校適應(yīng)性考試)公司對2019年1～4月份的獲利情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，如下表所示：月份x1234利潤y/萬元566.58利用線性回歸分析思想，預(yù)測出2019年8月份的利潤為11.6萬元，則y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋4.〖〖解析〗〗設(shè)線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(51,8)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(b,\s\up6(^))＋\o(a,\s\up6(^))＝\f(51,8)，,8\o(b,\s\up6(^))＋\o(a,\s\up6(^))＝11.6))，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.95，eq\o(a,\s\up6(^))＝4，即eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋4.故〖答案〗為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋4.13．(2021·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)通過市場調(diào)查知某商品每件的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時間x天41036市場價y元905190根據(jù)上表數(shù)據(jù)，當(dāng)a≠0時，下列函數(shù)：①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰當(dāng)?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞ry與上市時間x的變化關(guān)系的是(只需寫出序號即可)②.〖〖解析〗〗根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)可知，y隨x先變小，后變大，即至少有遞減和遞增兩個過程，而①③對應(yīng)的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意．②為二次函數(shù)，有遞減和遞增兩個區(qū)間，a>0時，能恰當(dāng)?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞ry與上市時間x的變化關(guān)系．故〖答案〗為：②.四、解答題14．(2021·唐山模擬)隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費(fèi)用也不斷增加，下表是某購物網(wǎng)站2017年1～8月促銷費(fèi)用x(萬元)和產(chǎn)品銷量y(萬件)的具體數(shù)據(jù).月份12345678促銷費(fèi)用x2361013211518產(chǎn)品銷量y11233.5544.5(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖能夠看出可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)r加以說明；(系數(shù)精確到0.001)(2)建立y關(guān)于x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(系數(shù)精確到0.01)，如果該公司計劃在9月份實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預(yù)測至少需投入促銷費(fèi)用多少萬元．(結(jié)果精確到0.01)參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－11)(yi－3)＝74.5，eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－11)2＝340，eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(yi－3)2＝16.5，eq\r(340)≈18.44，eq\r(16.5)＝4.06，其中xi，yi分別為第i個月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量，i＝1,2,3，…，8.參考公式：(i)樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))).(ii)對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).〖〖解析〗〗根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖如下，從散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并且逐步上升，所以可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系：(1)由題可知eq\o(x,\s\up6(－))＝11，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，將數(shù)據(jù)代入r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))，得r≈eq\f(74.5,18.44×4.06)＝eq\f(74.5,74.8664)≈0.995.因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.995，說明y與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(需要突出“很強(qiáng)”，“一般”或“較弱”，否則不給分)(2)將數(shù)據(jù)代入eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)，得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(74.5,340)＝0.219，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3－0.219×11≈0.59，所以y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22x＋0.59.由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22x＋0.59>6，解得x>24.59，即至少需要投入促銷費(fèi)用24.59萬元．15．(2021·山東濰坊期末)讀書可以使人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．書籍是文化的重要載體．讀書是承繼文化的重要方式．某地區(qū)為了解學(xué)生課余時間的讀書情況．隨機(jī)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到的學(xué)生日均課余讀書時間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，將日均課余讀書時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“讀書之星”，日均課余讀書時間低于40分鐘的學(xué)生稱為“非讀書之星”．已知抽取的樣本中日均課余讀書時間低于10分鐘的有10人．(1)求n，p的值；(2)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)？非讀書之星讀書之星總計男女1055總計(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)從該地區(qū)大量學(xué)生中，隨機(jī)抽取3名學(xué)生，每次抽取1名，已知每個人是否被抽到互不影響，記被抽取的“讀書之星”人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和期望E(X)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828〖〖解析〗〗(1)由頻率分布直方圖可知，p＝0.01，所以n＝eq\f(10,0.1)＝100.(2)因?yàn)閚＝100，所以“讀書之星”有100×0.25＝25，從而2×2列聯(lián)表如下圖所示：非讀書之星讀書之星總計男301545女451055總計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得K2＝eq\f(100×30×10－15×452,45×55×75×25)＝eq\f(100,33)≈3.030，因?yàn)?.030<3.841，所以沒有95%以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)．(3)將頻率視為概率，即從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書之星”的概率為eq\f(1,4)，由題意可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))3＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))2＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64)，所以X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)故E(X)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).B組能力提升1．(2021·四川攀枝花統(tǒng)考)某公司為提高市場銷售業(yè)績，促進(jìn)某產(chǎn)品的銷售，隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價x(單位：元/件)及相應(yīng)月銷量y(單位：萬件)，對近5個月的月銷售單價xi和月銷售量yi(i＝1,2,3,4,5)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下表數(shù)據(jù)：月銷售單價xi(元/件)99.51010.511月銷售量yi(萬件)1110865(1)建立y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)該公司開展促銷活動，當(dāng)該產(chǎn)品月銷售單價為7元/件時，其月銷售量達(dá)到18萬件，若由回歸直線方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與此次促銷活動的實(shí)際數(shù)據(jù)之差的絕對值不超過0.5萬件，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問：(1)中得到的回歸直線方程是否理想？(3)根據(jù)(1)的結(jié)果，若該產(chǎn)品成本是5元/件，月銷售單價x為何值時(銷售單價不超過11元/件)，公司月利潤的預(yù)計值最大？參考公式：回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋a，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝392，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝502.5.〖〖解析〗〗(1)因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(11＋10.5＋10＋9.5＋9)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(5＋6＋8＋10＋11)＝8.所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(392－5×10×8,502.5－5×102)＝－3.2，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝8－(－3.2)×10＝40，所以y關(guān)于x的回歸直線方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40.(2)當(dāng)x＝7時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2×7＋40＝17.6，則|17.6－18|＝0.4<0.5，所以可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的．(3)設(shè)銷售利潤為M，則M＝(x－5)(－3.2x＋40)(5<x≤11)M＝－3.2x2＋56x－200，所以x＝8.75時，M取最大值，所以該產(chǎn)品單價定為8.75元時，公司才能獲得最大利潤．2．(2021·山東濰坊五縣市聯(lián)考)某公園管理人員為提升服務(wù)效能，隨機(jī)調(diào)查了近三個月(每個月按30天計)中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)如下表(單位：天)鍛煉人次質(zhì)量等級〖0,100〗(100,200〗(200,300〗1(優(yōu))313202(良)410123(輕度污染)6684(中度污染)710若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱為這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱為這天“空氣質(zhì)量差”．(1)估計該公園一天的“空氣質(zhì)量好”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).人次≤200人次＞200空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量差附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828〖〖解析〗〗(1)由數(shù)據(jù)得“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)共為3＋13＋20＋4＋10＋12＝62，∴P＝eq\f(62,90)＝eq\f(31,45).該公園一天的“空氣質(zhì)量好”的概率為eq\f(31,45).(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，得到下面的2×2列聯(lián)表人次≤200人次＞200空氣質(zhì)量好3032空氣質(zhì)量差208∴K2＝eq\f(90×30×8－32×202,50×40×28×62)≈4.147.由于4.147>3.841，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．3．(2020·百校聯(lián)盟(全國Ⅰ卷)教質(zhì)監(jiān))為了響應(yīng)國家號召，某校組織部分學(xué)生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷作答，并將學(xué)生的作答結(jié)果分為“合格”與“不合格”兩類，統(tǒng)計如下所示．(1)是否有90%以上的把握認(rèn)為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)？(2)在成績合格的學(xué)生中，利用性別進(jìn)行分層抽樣，共選取9人進(jìn)行座談，再從這9人中隨機(jī)抽取5人發(fā)送獎品，記拿到獎品的男生人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).不合格合格男生1416女生1020參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.100.050.0100.001k02.7063.8416.63510.828〖〖解析〗〗(1)完善列聯(lián)表如下所示：不合格合格合計男生141630女生102030合計243660∴K2＝eq\f(60×14×20－10×162,30×30×24×36)≈1.111<2.706，故沒有90%的把握認(rèn)為“性別”與“問卷的結(jié)果”有關(guān)．(2)依題意，成績合格的男生抽取4人，成績合格的女生抽取5人，故X的可能取值為0,1,2,3,4，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,5),C\o\al(5,9))＝eq\f(1,126)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,5)C\o\al(1,4),C\o\al(5,9))＝eq\f(20,126)＝eq\f(10,63)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(2,4),C\o\al(5,9))＝eq\f(60,126)＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(3,4),C\o\al(5,9))＝eq\f(40,126)＝eq\f(20,63)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(4,4),C\o\al(5,9))＝eq\f(5,126)，故X的分布列為：X01234Peq\f(1,126)eq\f(10,63)eq\f(10,21)eq\f(20,63)eq\f(5,126)所以E(X)＝0×eq\f(1,126)＋1×eq\f(20,126)＋2×eq\f(60,126)＋3×eq\f(40,126)＋4×eq\f(5,126)＝eq\f(20,9).第三講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．觀察下列各圖形，其中兩個變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是(C)A．①② B．①④C．③④ D．②③〖〖解析〗〗由散點(diǎn)圖知③中的點(diǎn)都分布在一條直線附近．④中的點(diǎn)都分布在一條曲線附近，所以③④中的兩個變量具有相關(guān)關(guān)系．2．(2021·廣西柳州模擬)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到了回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則(C)A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)<0，b>0C．a(chǎn)>0，b<0 D．a(chǎn)<0，b<0〖〖解析〗〗畫出散點(diǎn)圖，易知選C．3．(2021·吉林長春模擬)2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展，尤其是黨的十八大以來，文化事業(yè)發(fā)展更加迅速，下圖是從2013年到2018年六年間我國公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)(個)與對應(yīng)年份編號的散點(diǎn)圖(為便于計算，將2013年編號為1,2014年編號為2，…，2018年編號為6，把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個數(shù)作為因變量，把年份編號從1到6作為自變量進(jìn)行回歸分析)，得到回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝13.743x＋3095.7，其相關(guān)指數(shù)R2＝0.9817，給出下列結(jié)論，其中正確的個數(shù)是(D)①公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng)②公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個③可預(yù)測2019年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)約為3192個A．0 B．1C．2 D．3〖〖解析〗〗由圖知點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，所以為正相關(guān)，又R2＝0.9817趨近于1，所以相關(guān)性較強(qiáng)，故①正確；由回歸方程知②正確；由回歸方程，當(dāng)x＝7時，得估計值為3191.9≈3192，故③正確．故選：D.4．(2021·滄州七校聯(lián)考)通過隨機(jī)詢問200名性別不同的大學(xué)生是否愛好踢毽子運(yùn)動，計算得到統(tǒng)計量K2的觀測值k≈4.892，參照附表，得到的正確結(jié)論是(C)P(K2≥k)0.100.050.025k2.7063.8415.024A.有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B．有97.5%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”5．(2021·河南商丘、周口、駐馬店聯(lián)考)某飲料店5天的日銷售收入y(單位：百元)與當(dāng)天平均氣溫x(單位：℃)之間的數(shù)據(jù)如下表：x－2－1012y54221若x與y之間是線性相關(guān)關(guān)系，且y關(guān)于x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋m，則實(shí)數(shù)m的值是(B)A．3 B．2.8C．2.6 D．2.4〖〖解析〗〗據(jù)題意，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(－2＋－1＋0＋1＋2,5)＝0，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(5＋4＋2＋2＋1,5)＝2.8.又y關(guān)于x的線性回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋m，所以2.8＝－1×0＋m，所以m＝2.8，故選B.6．(2021·西北狼聯(lián)盟質(zhì)檢)廣告投入對商品的銷售額有較大影響，某電商對連續(xù)5個年度的廣告費(fèi)x和銷售額y進(jìn)行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(單位：萬元)廣告費(fèi)x23456銷售額y2941505971由上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型，預(yù)測廣告費(fèi)為10萬元時銷售額約為(B)A．118.2萬元 B．111.2萬元C．108.8萬元 D．101.2萬元〖〖解析〗〗由表格中數(shù)據(jù)可得，eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝50，∴50＝4×10.2＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝9.2，∴回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2x＋9.2，∴當(dāng)x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝10.2×10＋9.2＝111.2，即預(yù)測廣告費(fèi)10萬元時銷售額約為111.2萬元，故選B.7．(2021·“四省八校”聯(lián)考)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量x、y的取值如下表x12345y5tm1012其回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))經(jīng)過點(diǎn)(3,8)的一個充分不必要條件是(D)A．t＋m＝13 B．t＝m＝6C．t＝m＝7 D．t＝6，m＝7〖〖解析〗〗回歸直線過樣本點(diǎn)中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(t＋m＋27,5)))，又直線過點(diǎn)(3,8)，∴eq\f(t＋m＋27,5)＝8，即t＋m＝13，又t＝6，m＝7?t＋m＝13，∴選D.8．(2021·廣東新高考適應(yīng)性測試)在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個變量x和y，下圖是由這兩個變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，則選項(xiàng)中適宜作為y關(guān)于x的回歸方程的函數(shù)類型是(B)A．y＝a＋bx B．y＝c＋deq\r(x)C．y＝m＋nx2 D．y＝p＋qcx(q>0)〖〖解析〗〗散點(diǎn)圖呈曲線狀，A錯誤，函數(shù)遞增且增速越來越慢，故選B.二、多選題9．(2021·山東日照聯(lián)考)某大學(xué)進(jìn)行自主招生測試，需要對邏輯思維和閱讀表達(dá)進(jìn)行能力測試．學(xué)校對參加測試的200名學(xué)生的邏輯思維成績、閱讀表達(dá)成績以及這兩項(xiàng)的總成績進(jìn)行了排名．其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況如圖所示，下列敘述正確的是(AC)A．甲同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達(dá)成績排名更靠前B．乙同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達(dá)成績排名更靠前C．甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中，甲同學(xué)更靠前D．甲同學(xué)的總成績排名比丙同學(xué)的總成績排名更靠前〖〖解析〗〗根據(jù)圖示，可得甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中，甲同學(xué)更靠前，他的閱讀表達(dá)成績排名靠后．故選AC．10．(2021·山東煙臺期末)某大學(xué)為了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到如圖所示的列聯(lián)表．經(jīng)計算K2的觀測值k≈4.762，則可以推斷出(ACD)滿意不滿意男3020女4010P(k2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A.該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計值為eq\f(3,5)B．調(diào)研結(jié)果顯示，該學(xué)校男生比女生對食堂服務(wù)更滿意C．有95%的把握認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異D．在犯錯概率不超過5%的前提下認(rèn)為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異〖〖解析〗〗由表易知男生比女生對食堂服務(wù)滿意率低，故B錯，又K2＝eq\f(100×30×10－40×202,70×30×50×50)≈4.8>3.841，∴ACD正確．三、填空題11．關(guān)于獨(dú)立性檢測，K2越大，則“X與Y有關(guān)系”這種判斷犯錯的概率越小.12．(2021·吉林市五地六校適應(yīng)性考試)公司對2019年1～4月份的獲利情況進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計，如下表所示：月份x1234利潤y/萬元566.58利用線性回歸分析思想，預(yù)測出2019年8月份的利潤為11.6萬元，則y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋4.〖〖解析〗〗設(shè)線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(51,8)，由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(b,\s\up6(^))＋\o(a,\s\up6(^))＝\f(51,8)，,8\o(b,\s\up6(^))＋\o(a,\s\up6(^))＝11.6))，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.95，eq\o(a,\s\up6(^))＝4，即eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋4.故〖答案〗為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋4.13．(2021·黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)通過市場調(diào)查知某商品每件的市場價y(單位：元)與上市時間x(單位：天)的數(shù)據(jù)如下：上市時間x天41036市場價y元905190根據(jù)上表數(shù)據(jù)，當(dāng)a≠0時，下列函數(shù)：①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰當(dāng)?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞ry與上市時間x的變化關(guān)系的是(只需寫出序號即可)②.〖〖解析〗〗根據(jù)表格提供數(shù)據(jù)可知，y隨x先變小，后變大，即至少有遞減和遞增兩個過程，而①③對應(yīng)的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意．②為二次函數(shù)，有遞減和遞增兩個區(qū)間，a>0時，能恰當(dāng)?shù)拿枋鲈撋唐返氖袌鰞ry與上市時間x的變化關(guān)系．故〖答案〗為：②.四、解答題14．(2021·唐山模擬)隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛，各大購物網(wǎng)站為增加收入，促銷策略越來越多樣化，促銷費(fèi)用也不斷增加，下表是某購物網(wǎng)站2017年1～8月促銷費(fèi)用x(萬元)和產(chǎn)品銷量y(萬件)的具體數(shù)據(jù).月份12345678促銷費(fèi)用x2361013211518產(chǎn)品銷量y11233.5544.5(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖能夠看出可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)r加以說明；(系數(shù)精確到0.001)(2)建立y關(guān)于x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))(系數(shù)精確到0.01)，如果該公司計劃在9月份實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件，預(yù)測至少需投入促銷費(fèi)用多少萬元．(結(jié)果精確到0.01)參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－11)(yi－3)＝74.5，eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－11)2＝340，eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(yi－3)2＝16.5，eq\r(340)≈18.44，eq\r(16.5)＝4.06，其中xi，yi分別為第i個月的促銷費(fèi)用和產(chǎn)品銷量，i＝1,2,3，…，8.參考公式：(i)樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))).(ii)對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).〖〖解析〗〗根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖如下，從散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并且逐步上升，所以可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系：(1)由題可知eq\o(x,\s\up6(－))＝11，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，將數(shù)據(jù)代入r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)\r(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))，得r≈eq\f(74.5,18.44×4.06)＝eq\f(74.5,74.8664)≈0.995.因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.995，說明y與x的線性相關(guān)性很強(qiáng)，從而可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．(需要突出“很強(qiáng)”，“一般”或“較弱”，否則不給分)(2)將數(shù)據(jù)代入eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)，得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(74.5,340)＝0.219，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3－0.219×11≈0.59，所以y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22x＋0.59.由eq\o(y,\s\up6(^))＝0.22x＋0.59>6，解得x>24.59，即至少需要投入促銷費(fèi)用24.59萬元．15．(2021·山東濰坊期末)讀書可以使人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．書籍是文化的重要載體．讀書是承繼文化的重要方式．某地區(qū)為了解學(xué)生課余時間的讀書情況．隨機(jī)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到的學(xué)生日均課余讀書時間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，將日均課余讀書時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“讀書之星”，日均課余讀書時間低于40分鐘的學(xué)生稱為“非讀書之星”．已知抽取的樣本中日均課余讀書時間低于10分鐘的有10人．(1)求n，p的值；(2)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)？非讀書之星讀書之星總計男女1055總計(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)從該地區(qū)大量學(xué)生中，隨機(jī)抽取3名學(xué)生，每次抽取1名，已知每個人是否被抽到互不影響，記被抽取的“讀書之星”人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和期望E(X)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828〖〖解析〗〗(1)由頻率分布直方圖可知，p＝0.01，所以n＝eq\f(10,0.1)＝100.(2)因?yàn)閚＝100，所以“讀書之星”有100×0.25＝25，從而2×2列聯(lián)表如下圖所示：非讀書之星讀書之星總計男301545女451055總計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得K2＝eq\f(100×30×10－15×452,45×55×75×25)＝eq\f(100,33)≈3.030，因?yàn)?.030<3.841，所以沒有95%以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)．(3)將頻率視為概率，即從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書之星”的概率為eq\f(1,4)，由題意可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))3＝eq\f(27,64)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))2＝eq\f(27,64)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(9,64)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))3＝eq\f(1,64)，所以X的分布列為X0123Peq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)故E(X)＝3×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).B組能力提升1．(2021·四川攀枝花統(tǒng)考)某公司為提高市場銷售業(yè)績，促進(jìn)某產(chǎn)品的銷售，隨機(jī)調(diào)查了該產(chǎn)品的月銷售單價x(單位：元/件)及相應(yīng)月銷量y(單位：萬件)，對近5個月的月銷售單價xi和月銷售量yi(i＝1,2,3,4,5)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下表數(shù)據(jù)：月銷售單價xi(元/件)99.51010.511月銷售量yi(萬件)1110865(1)建立y關(guān)于x的回歸直線方程；(2)該公司開展促銷活動，當(dāng)該產(chǎn)品月銷售單價為7元/件時，其月銷售量達(dá)到18萬件，若由回歸直線方程得到的預(yù)測數(shù)據(jù)與此次促銷活動的實(shí)際數(shù)據(jù)之差的絕對值不超過0.5萬件，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問：(1)中得到的回歸直線方程是否理想？(3)根據(jù)(1)的結(jié)果，若該產(chǎn)品成本是5元/件，月銷售單價x為何值時(銷售單價不超過11元/件)，公司月利潤的預(yù)計值最大？參考公式：回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋a，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝392，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝502.5.〖〖解析〗〗(1)因?yàn)閑q\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(11＋10.5＋10＋9.5＋9)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)(5＋6＋8＋10＋11)＝8.所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(392－5×10×8,50